10.3几个三角恒等式（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

10.3 几个三角恒等式 第十章 三角恒等变换 学 习 目 标 1 2 3 掌握积化和差、和差化积及半角公式的推导过程. 能熟练运用三类三角恒等式进行三角函数式的变形、求值与恒等证明. 经历代数运算（加、减、代换）推导新公式的过程，提升逻辑推理能力和数学运算能力. 新课导入 在前面的课程中，我们已经两角和与差的正弦、余弦公式，你还记得公式内容吗？ ① ② ③ ④ 如果把以上这些公式进行加、减运算，能得到什么新的结论？能否将三角函数的 “乘积形式” 转化为 “和差形式”，反之亦然？ 这就是我们今天要探究的主要内容——《几个三角恒等式》 新知探究 探究一：积化和差公式 尝试计算①+②、①-②、③+④、③-④得到的等式是什么？能不能把它变形为“乘积 = 和差”的形式？ ② ③ ④ ① ①+②： 形式： “乘积 = 和” 新知探究 ①-②： ③+④： ③-④： 形式：“乘积 = 差” 形式：“乘积 = 差” 形式： “乘积 = 和” 观察以上化解结果公，它们在形式上有什么共同特征？ 共同特征：乘积形式转化为和差形式 以上化解结果通常称之为三角函数的积化和差公式. 即时训练 1.等于（    ） A． B． C． D． 【分析】由条件利用诱导公式、积化和差公式化简所给的式子，可得结果. 【解析】由题意， A . 知识小结 积化和差公式 ① ② ③ ④ 积 和或差 典例分析 例1 求 的值. 【分析】通过积化和差公式将三角函数乘积转化为和，再利用特殊角的三角函数值求解. 解： 原式 . 新知探究 将转化为乘积形式？ 若要利用积化和差公式，需将、表示为和的形式，令,, 如何用、表示和 , 上述代换式代入积化和差公式，能得到什么形式？ 代入后得 化简得到： 探究二：和差化积公式 新知探究 类比推导得过程，你能推导出的乘积形式吗？ 类似的，可以得到： 可以发现，这组公式中，每个等式左边为三角函数和与差的形式，而等式右边为三角函数乘积的形式. 这就是三角函数的和差化积公式． 积的形式 和或差的形式 即时训练 2.（    ） A． B． C． D． 【分析】利用和差化积公式，即可求值. 【解析】 ． A 知识小结 和差化积公式 ① ② ③ ④ 典例分析 例2 【分析】根据和差化积公式，将两个三角函数的和转化为积的形式，再代入化简。 新知探究 探究三：半角公式 二倍角公式 若将 换成 ，则 换成 ，能否推导出用 表示 、 的公式？ 即 所以 将 换成 ，则 换成 得： 新知探究 如何根据、的公式公式得到？ 由 可得： 注：由所在的象限决定符号，若象限不确定，保留“ 这组公式通常称为三角函数的半角公式 即时训练 3.已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【分析】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得，再求得，然后由半角公式计算． 【解析】 是锐角，则 B 知识小结 半角公式 ① ② ③ 典例分析 例3 已知 ，求 ，， 的值。 【分析】利用半角公式，将半角的三角函数值用已知的cosα表示并代入计算，因象限未知保留正负号 解： ． 典例分析 例4 设 ，求证： 【分析】利用二倍角公式和同角三角函数关系，将的三角函数用半角正切表示，从而证明万能公式。 证明：由二倍角公式，得 再由同角三角函数间的关系，得 巩固提升 题型1 积化和差公式的应用 1.已知，则（   ） A． B． C． D． 【分析】由积化和差公式及余弦二倍角公式化简即可求解. 【解析】由， 可得：， 即，又， 结合平方差公式可得：. C 巩固提升 题型2 和差化积公式的应用 2.在中，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【分析】由题及和差化积公式可得，然后结合诱导公式及二倍角余弦公式可得答案. ，又注意到 则. A 【解析】由和差化积公式： 巩固提升 题型3 半角公式 3.若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 【分析】由两角差的正弦公式、平方关系依次得，，由半角公式即可求解. 【解析】由已知及正弦公式得，， 是第三象限角，． ． A 巩固提升 题型4 辅助角公式的应用 4.已知，则（   ） A． B． C． D． 【分析】先利用辅助角公式结合正弦函数性质得到，再结合诱导公式求解即可. 【解析】因为，所以 则，解得 由诱导公式得 B 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 三角恒等式(二) 积化和差 · 和差化积 · 半角 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 点击蓝色色块查看答案 核心公式体系 1. 积化和差公式 sinαcosβ = 1 2 [sin(α+β) + sin(α-β)] cosαsinβ = 1 2 [sin(α+β) - sin(α-β)] cosαcosβ = 1 2 [cos(α+β) + cos(α-β)] sinαsinβ = - 1 2 [cos(α+β) - cos(α-β)] 2. 和差化积公式 sinα + sinβ = 2sinα+β2cosα-β2 sinα - sinβ = 2cosα+β2sinα-β2 cosα + cosβ = 2cosα+β2cosα-β2 cosα - cosβ = - 2sinα+β2sinα-β2 3. 半角公式 sin²α2 = 1 - cosα2 cos²α2 = 1 + cosα2 tanα2 = ±√1 - cosα1 + cosα = sinα1 + cosα = 1 - cosαsinα 常见陷阱与误区 1. 积化和差的系数 积化和差公式前必须有系数 1/2。 sinαcosβ ≠ sin(α+β) + sin(α-β) 漏了 1/2 ！ 2. 余弦差的负号 和差化积中，cosα - cosβ 的结果前有负号。 cosα - cosβ = -2sin...sin... 或者将后一项写成 sin((β-α)/2) 3. 半角公式的符号 开方后的符号由 α/2 所在的象限决定，而不是 α。 若 α∈(0, 2π)，则 α/2∈(0, π) 需单独讨论符号 4. 角度对应关系 和差化积中，正弦/余弦内的角是 (α+β)/2 和 (α-β)/2。 不要漏掉分母 2 解题策略与记忆 01 和差化积记忆口诀 利用口诀辅助记忆复杂的公式结构。 正加正，正在前 (2sin...cos...) 正减正，余在前 (2cos...sin...) 余加余，余并肩 (2cos...cos...) 余减余，负正弦 (-2sin...sin...) 02 结构特征分析 根据式子的结构选择变形方向。 求值/化简 遇到“乘积”形式，考虑积化和差，将不同角转化为同角或特殊角。 求和/因式分解 遇到“和差”形式，考虑和差化积，将多项式转化为单项式乘积。 03 升幂与降幂 半角公式本质上是降幂公式的逆运算。 降幂扩角 cos²α → cos2α ⇄ 升幂缩角 cosα → cos²(α/2) $