6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示&6.3.3 平面向量加、减法运算的坐标表示课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示&6.3.3 平面向量加、减法运算的坐标表示 如果， 是同一平面内的两个________ 向量，那么对于这一平面内的_______向量_______________实数，，使得 =___________ 1. 平面向量的基本定理 有且只有一对　 若_________，我们把{， }叫做表示这一平面内_______向量的一个基底. 不共线　 所有　 2. 基底 不共线　 任一　 M N O 复习回顾 卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向,为了便于分析,需要将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度. 思考：如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度呢? 可以将飞行速度分别向坐标轴投影,在xOy平面上分解为x,y轴上的向量即可. 情景导入 O F1 G F2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 受到重力 的作用 垂直于斜面的压力 使木块沿斜面下滑的力 产生两个效果 物理上是怎样对力进行分解的？ 思考1 如图，在平面直角坐标系中， 设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量向量分别为i、j，取{i，j} 为基底.对于平面内的任意一个向量a如何表示？ a i x y O j xi yj 由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj. 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 思考2 平面内的任意一个向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作 向量a的坐标表示 a在y轴上的坐标 a在x轴上的坐标 问题2. 以原点O为起点作＝a，点A的坐标与向量a的坐标关系如何？ 两者相同 问题1. 以原点O为起点作＝a，点A的位置由谁确定? 由向量a唯一确定 注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同. 问题3. 向量 与 相等，利用坐标如何表示？ x y 重要结论1：向当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量坐标 重要结论2：a b 例3. 如图，用基底 ，分别表示向量 、 、 、 ，并求它们的坐标． -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 A B 1 2 -2 -1 y 4 5 3 -4 -3 -5 a与b关于y轴对称， a与c关于原点对称， a与d关于x轴对称，利用对称性可由a的坐标得出其余三个向量的坐标. 观察图中四个向量的位置关系，你能得出什么结论？ 思考3 点的坐标与向量的坐标的联系与区别 区别 表示形式不同 意义不同 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 A(x,y) 向量有等号，点无等号 点A的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置； 的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向 为了加以区分，在叙述中，常说点(x,y)或向量(x,y) 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求a＋b的坐标？ 思考4 即 同理 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差） 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求a＋b的坐标？ 思考4 例4.已知向量a＝(2，1) ，b＝(-3，4)，求a+b，a-b的坐标. 如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能得出的坐标吗？ 作向量 则 A(x1,y1) B(x2,y2) O y x 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标 思考5 (1) 向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． (2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变. (3)在求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再利用终点坐标减去始点坐标即可得到该向量的坐标. 方法归纳： 例5.已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(- 2，1)、(- 1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标. 解法1：设顶点D的坐标为(x,y) ∴顶点D的坐标为(2,2). 由 得 解法2：由向量加法的平行四边形法则可知 ∴顶点D的坐标为(2,2). 例5.已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(- 2，1)、(- 1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标. (2)解答2利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标，进而得到点D的坐标，解答过程中应用了数形结合的思想方法. (1) 解答1利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解答过程中应用了方程思想． 两种解法在思想方法上有何异同？ 1.已知四边形ABCD的三个顶点A(0, 2)，B(－1,－2)，C(3, 1)，且＝ ，则顶点D的坐标为(　　) A. B. C．(4, 5) D．(1, 3) 设点D(m，n)， ＝ (4, 3)＝(m，n－2) D(4,5) C 练一练 (1)求向量a，b的坐标； (2)求向量的坐标； (3)求点B的坐标． 例6 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°， ∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形． 例6 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°， ∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形． (1)求向量a，b的坐标； ∴A(2，2)，故a＝(2，2)． ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， ∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3， 作AM⊥x轴于点M， 则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2， AM＝OA·sin 45°＝4×＝2， ∴C(, )，∴ ＝ ＝(, )，即b＝ (, ). (2)求向量的坐标； ＝(,) 例6 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°， ∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形． (3)求点B的坐标． ＝ ＝(2，2) ＝(2，2) 所以点B的坐标(2，2). 例6 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°， ∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形． 方法总结 求向量坐标的三个步骤 平移 求角 求坐标 将向量的始点移至坐标原点 找出以x轴正向为始边，向量所在射线为终边的角 根据x=rcos, y=rcos(r为向量的模)求终点坐标，即为向量坐标 2.已知O是坐标原点，点A在第二象限，||=6，∠xOA= 150°，向量的坐标为________. 解:设点A（x，y），则x=||cos 150°=6cos150°=，y=||sin150°=6sin150°=3，即A（-3 ，3）， 所以= （-3 ，3）. 练一练 平面向量的坐标表示及运算 平面向量的正交分解 平面向量的坐标运算 平面向量的坐标表示 加法运算 减法运算 $