第二十章 一次函数（单元自测·提升卷）数学新教材冀教版八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十章 一次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．在①；②；③；④；⑤，一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下表给出的是关于某个一次函数的自变量x及其对应的函数值y的若干信息．请你根据表格中的相关数据计算：（    ） x 1 2 y m 2 n A．5 B．6 C．7 D．8 3．若三点在同一直线上，则的值等于（    ） A．10 B．0 C．3 D．4 4．张老师给出关于的函数．同学们独立思考后，给出了4个关于这个函数的结论： ①此函数是一次函数，但不可能是正比例函数； ②函数的值随着自变量的增大而减小； ③若函数图象与轴交于点，则； ④此函数图象与直线和轴围成的图形的面积必小于． 其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．随着科技发展，无人配送车逐渐普及．某小区的配送车“小橙”和“小绿”从配送站出发，给距离配送站的居民送包裹．小橙比小绿先出发，小绿的行驶速度为，若小橙、小绿行驶的路程（单位：）与小橙行驶的时间为（单位：）之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．小橙的行驶时间为 B．小橙的速度为 C．小橙比小绿先出发 D．小橙比小绿晚到达居民位置 6．如图，在中，点是的两内角平分线的交点，过点作分别交于点，已知的周长为，，的周长为，则表示与的函数图像大致是（   ） A． B． C． D． 7．如图，点A的坐标为，点B在第二、四象限的角平分线(直线l)上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．直线y=-2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则b的值为（      ） A．4 B．-4 C．±4 D．±2 9．若a是一元一次不等式与解的公共部分内的最大负整数，则直线与坐标轴围成的三角形面积为（    ） A．2 B．1 C． D． 10．已知A点坐标为，点B是直线上一个动点，当线段最短时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为．过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．下列说法不正确的是（   ） A．， B．当时，或 C．当时， D．当时， 12．定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“和一点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“和一点”，点，也是“和一点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“和一点”，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．若一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，则该函数的解析式为____________． 14．在平面直角坐标系中，直线过点、，点在第二象限，点为坐标原点，连接、，的面积为90，则直线的函数表达式是_____________． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，点是坐标系内一点，给出定义：若存在过点的直线与线段，都有公共点，则称点是线段，的“联络点”．现有点在直线上，且它是线段，的“联络点”，则的取值范围是_____． 16．定义：若实数a，b满足（k为常数），则称点为“k倍幸福点”，如点为“3倍幸福点”．在平面直角坐标系中，点，点B为直线l：上两点，其中点B为“k倍幸福点”，且的面积为，则k的值为___________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知直线过点，交x轴于点P，把点P先向左平移3个单位，再向下平移6个单位得到点Q． (1)求P点坐标． (2)判断点Q是否在直线上，并说明理由． 18．（8分）已知一次函数 (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)根据图象回答问题： ①图象与x轴的交点坐标是___________，与y轴的交点坐标是___________． ②当x________时，． 19．（8分）小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是小亮测得的弹簧的长度与所挂物体质量的几组对应值： 所挂物体质量 弹簧长度 (1)上表所反映的变化过程中的两个变量， 是自变量， 是自变量的函数；(请用文字语言描述) (2)请直接写出与的关系式 ； (3)当 (在弹簧承受范围内)时，求对应的值，并说明此时的实际意义. 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为和，直线：恒过定点． (1)求定点的坐标； (2)当直线和线段有交点时，求的取值范围； (3)若直线和线段所在直线交于点，点的横坐标为，请用含的代数式表示，并求出当是正整数时，整数k的所有值． 21．（8分）如图，直线的函数表达式为，与x轴交于点D；直线的函数表达式为，与x轴交于点A；与交于点C． (1)求点C的坐标． (2)求的面积． (3)若是直线上的点，P为线段上的一个动点，且．求点P的坐标． 22．（10分）如图1，甲、乙两个遥控车分别从A，B两处同时出发，沿直线轨道匀速行驶，并同时到达C处．甲、乙两个遥控车距离A处的距离，（米）与时间t（分钟）的函数图像如图2所示． (1)A，C两地的距离为________米，甲车的速度为________米/分钟，a的值为________； (2)当时，求与t的函数关系式； (3)直接写出图2中M点的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义． 23．（12分）项目式学习 项目主题：为智慧农场设计无人机与运输车协同作业方案． 项目背景：在现代智慧农业中，为大型农田喷洒农药常采用无人机与运输车协同作业的模式．运输车承载农药和操作人员，无人机进行快速喷洒．为确保作业效率与通信稳定，两种设备需保持合理距离．某农场计划对一块长条形标准化农田（长度4.8千米）进行喷洒作业，数学实践小组受邀通过建立函数模型，为此次协同作业设计最优方案． 数据搜集：小组根据设备性能参数，模拟绘制了无人机与运输车从起点出发，驶向农田另一端（4.8千米处）的作业过程．下图中，折线表示无人机行程，线段表示运输车行程，它们分别表示无人机、运输车所走路程（千米）、（千米）与时间x（分钟）之间的函数关系对应的图象．运输车因装载农药，比无人机晚出发；无人机在途中因临时指令停留，随后提速飞往终点． 请结合图象信息，完成下列任务： 分析作业过程：（1）运输车比无人机晚出发______分钟，无人机在途中因接收临时指令停留了______分钟； 建立行程模型：（2）分别求出无人机在接收完指令后（即时段）所走路程，和运输车所走路程，与时间x之间的函数关系式； （3）无人机在接收完指令后，立即提速飞往终点．请问无人机在接收指令时，距离起点多少公里？ 评估协同方案：（4）为保证作业指令实时传输及安全，无人机在接受指令后提速飞行过程中，与运输车之间的路程不超过250米．请通过计算判断：按图象所示的走法，两设备的距离是否符合上述约定？ 24．（12分）如图，直线与轴，轴于，两点，直线与直线交于点，与轴交于点，点是轴上一动点． (1)求点的坐标与直线的解析式； (2)若，求的值； (3)如图，连接，，将沿翻折，若当点的对应点刚好落在直线上，求此时点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十章 一次函数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B A A C B B C C A C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．y=2x-1 14． 15．或 16. 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分） 【解析】（1）解：把代入得， 解得． 所以 把代入得． 所以．（3分） （2）解：把点 P 先向左平移3个单位，再向下平移6个单位得到点．Q在直线上， 理由如下∶ 当时，， 所以点Q在直线上．（6分） 18．（8分） 【解析】（1）解：当时，， 当时，， ∴． 一次函数的图象如图，   ；（2分） （2）解：①图象与x轴的交点坐标是，（4分）与y轴的交点坐标是；（6分） ②由图象可知，当时，自变量的取值范围是．（8分） 故答案为：①，；②． 19．(8分) 【解析】（1）∵表格反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系，其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量， 故答案为：所挂物体质量；（1分）弹簧长度．（2分） （2）设弹簧长度和所挂物体质量的关系式为：， ∴把，代入 ∴，（3分） ∴，（4分） ∴．（5分） （3）∵， ∴当时，，（7分） ∴， ∴此时所挂物体的质量为（8分） 20．(8分) 【解析】（1）解：∵， 当时，，不管取任何不为0的值，均成立， ∴定点的坐标为；（2分） （2）解：当直线经过点时，将代入，得，解得，（3分） 当直线经过点时，将代入，得，解得，（4分） ∴的取值范围是且；（5分） （3）解：设所在直线的函数解析式为， 将，代入，得，解得， ∴线段所在直线的函数解析式为，（6分） ∵点是直线和直线的交点， ∴， ∴，（7分） 当是正整数时，的值可以是1，5， ∴整数k的值为，．（8分） 21．（8分） 【解析】（1）解：根据题意，可列方程组， 解得， ；（2分） （2）解：对于， 当时，，解得，，（3分） 对于， 当时，，解得，，（4分） ， ；（5分） （3）在直线上，，解得 设则，， ，（6分） 即， ， 解得，（7分） ．（8分） 22．（10分） 【解析】（1）解：由图可得，米，米，同时到达需要分钟， ∴甲车的速度为：（米/分钟）， 乙车的速度为：（米/分钟）， ∴乙从点到点需要的时间为：（分钟）， ∴， 故答案为：；（3分） （2）解：由（1）可知，，设与t的函数关系式为：， 当，即时，把，代入得： ，（5分） 解得：，（6分） ∴当时，与t的函数关系式为：；（7分） （3）解：由题意可知，点表示为两车到点的距离相等，为米， 设两车经过分钟两车到点的距离相等，依题意得： ， 解得：，（8分） ∴（米）， ∴点，（9分） ∴点的坐标为，所表示的实际意义为：当甲、乙两个遥控车经过分钟后，距离处的距离相等，为24米．（10分） 23．（12分） 【解析】（1）根据函数图象可得，运输车比无人机晚出发1.25分钟，无人机在途中因接收临时指令停留了分钟；（2分） （2）设运输车所行路程直线的表达式为， ∵点，点均在直线上， ∴， 解得， ∴运输车所行路程直线的表达式是．（4分） ∵点C在直线上，且点C的横坐标为6， ∴点C的纵坐标为， ∴点C的坐标是． 设直线的解析式为， ∵点、点在直线上， ∴， 解得， ∴无人机在接收完指令后（即时段）的表达式．（6分） （3）∵B点在直线上且点B的横坐标为4.9，代入y得， ∴无人机在排除故障时，距出发点的路程是2.7千米．（8分） （4）符合约定； 方法一：由图象可知：无人机和运输车第一次相遇后在B和D相距最远． 在点B处有千米220米250米；（10分） 在点D有千米200米250米， ∴按图象所表示的走法符合约定．（12分） 方法二：设两设备之间的距离为h千米， 当时，， ∵，∴h随着x的增大而减小， ∴当时，（千米）220米250米；（10分） 当时，， ∵，∴h随着x的增大而增大， ∴当时，（千米）200米250米； ∴按图象所表示的走法符合约定．（12分） 24．（12分） 【解析】（1）解：直线与直线交于点， ，解得， ．（2分） 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得， 直线的解析式为；（4分） （2）解：当点在轴的负半轴时，，过点作于点，如图， 对于直线， 令，则， ， ， ， ， ， ． ，， ， ，． ， ， ， 为等腰直角三角形， ． ， ， 解得或（不合题意，舍去）， ；（7分） 当点在轴的正半轴时，，作出点关于轴的对称点，过点作于点，如图， 则，， ， ． ，， ， ，． ， ， ， 为等腰直角三角形， ． ， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 综上，若，的值为；（10分） （3）解：过点作于点，轴于点，过点作于点，如图， ， ， 对于直线， 令，则， ， ， ， ，，， ，， ， ， 将沿翻折，若当点的对应点刚好落在直线上， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， ， ， 点的坐标为或．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十章 一次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．在①；②；③；④；⑤，一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下表给出的是关于某个一次函数的自变量x及其对应的函数值y的若干信息．请你根据表格中的相关数据计算：（    ） x 1 2 y m 2 n A．5 B．6 C．7 D．8 3．若三点在同一直线上，则的值等于（    ） A．10 B．0 C．3 D．4 4．张老师给出关于的函数．同学们独立思考后，给出了4个关于这个函数的结论： ①此函数是一次函数，但不可能是正比例函数； ②函数的值随着自变量的增大而减小； ③若函数图象与轴交于点，则； ④此函数图象与直线和轴围成的图形的面积必小于． 其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．随着科技发展，无人配送车逐渐普及．某小区的配送车“小橙”和“小绿”从配送站出发，给距离配送站的居民送包裹．小橙比小绿先出发，小绿的行驶速度为，若小橙、小绿行驶的路程（单位：）与小橙行驶的时间为（单位：）之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．小橙的行驶时间为 B．小橙的速度为 C．小橙比小绿先出发 D．小橙比小绿晚到达居民位置 6．如图，在中，点是的两内角平分线的交点，过点作分别交于点，已知的周长为，，的周长为，则表示与的函数图像大致是（   ） A． B． C． D． 7．如图，点A的坐标为，点B在第二、四象限的角平分线(直线l)上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．直线y=-2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则b的值为（      ） A．4 B．-4 C．±4 D．±2 9．若a是一元一次不等式与解的公共部分内的最大负整数，则直线与坐标轴围成的三角形面积为（    ） A．2 B．1 C． D． 10．已知A点坐标为，点B是直线上一个动点，当线段最短时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为．过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．下列说法不正确的是（   ） A．， B．当时，或 C．当时， D．当时， 12．定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“和一点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“和一点”，点，也是“和一点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“和一点”，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．若一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，则该函数的解析式为____________． 14．在平面直角坐标系中，直线过点、，点在第二象限，点为坐标原点，连接、，的面积为90，则直线的函数表达式是_____________． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，点是坐标系内一点，给出定义：若存在过点的直线与线段，都有公共点，则称点是线段，的“联络点”．现有点在直线上，且它是线段，的“联络点”，则的取值范围是_____． 16．定义：若实数a，b满足（k为常数），则称点为“k倍幸福点”，如点为“3倍幸福点”．在平面直角坐标系中，点，点B为直线l：上两点，其中点B为“k倍幸福点”，且的面积为，则k的值为___________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知直线过点，交x轴于点P，把点P先向左平移3个单位，再向下平移6个单位得到点Q． (1)求P点坐标． (2)判断点Q是否在直线上，并说明理由． 18．（8分）已知一次函数 (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)根据图象回答问题： ①图象与x轴的交点坐标是___________，与y轴的交点坐标是___________． ②当x________时，． 19．（8分）小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是小亮测得的弹簧的长度与所挂物体质量的几组对应值： 所挂物体质量 弹簧长度 (1)上表所反映的变化过程中的两个变量， 是自变量， 是自变量的函数；(请用文字语言描述) (2)请直接写出与的关系式 ； (3)当 (在弹簧承受范围内)时，求对应的值，并说明此时的实际意义. 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为和，直线：恒过定点． (1)求定点的坐标； (2)当直线和线段有交点时，求的取值范围； (3)若直线和线段所在直线交于点，点的横坐标为，请用含的代数式表示，并求出当是正整数时，整数k的所有值． 21．（8分）如图，直线的函数表达式为，与x轴交于点D；直线的函数表达式为，与x轴交于点A；与交于点C． (1)求点C的坐标． (2)求的面积． (3)若是直线上的点，P为线段上的一个动点，且．求点P的坐标． 22．（10分）如图1，甲、乙两个遥控车分别从A，B两处同时出发，沿直线轨道匀速行驶，并同时到达C处．甲、乙两个遥控车距离A处的距离，（米）与时间t（分钟）的函数图像如图2所示． (1)A，C两地的距离为________米，甲车的速度为________米/分钟，a的值为________； (2)当时，求与t的函数关系式； (3)直接写出图2中M点的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义． 23．（12分）项目式学习 项目主题：为智慧农场设计无人机与运输车协同作业方案． 项目背景：在现代智慧农业中，为大型农田喷洒农药常采用无人机与运输车协同作业的模式．运输车承载农药和操作人员，无人机进行快速喷洒．为确保作业效率与通信稳定，两种设备需保持合理距离．某农场计划对一块长条形标准化农田（长度4.8千米）进行喷洒作业，数学实践小组受邀通过建立函数模型，为此次协同作业设计最优方案． 数据搜集：小组根据设备性能参数，模拟绘制了无人机与运输车从起点出发，驶向农田另一端（4.8千米处）的作业过程．下图中，折线表示无人机行程，线段表示运输车行程，它们分别表示无人机、运输车所走路程（千米）、（千米）与时间x（分钟）之间的函数关系对应的图象．运输车因装载农药，比无人机晚出发；无人机在途中因临时指令停留，随后提速飞往终点． 请结合图象信息，完成下列任务： 分析作业过程：（1）运输车比无人机晚出发______分钟，无人机在途中因接收临时指令停留了______分钟； 建立行程模型：（2）分别求出无人机在接收完指令后（即时段）所走路程，和运输车所走路程，与时间x之间的函数关系式； （3）无人机在接收完指令后，立即提速飞往终点．请问无人机在接收指令时，距离起点多少公里？ 评估协同方案：（4）为保证作业指令实时传输及安全，无人机在接受指令后提速飞行过程中，与运输车之间的路程不超过250米．请通过计算判断：按图象所示的走法，两设备的距离是否符合上述约定？ 24．（12分）如图，直线与轴，轴于，两点，直线与直线交于点，与轴交于点，点是轴上一动点． (1)求点的坐标与直线的解析式； (2)若，求的值； (3)如图，连接，，将沿翻折，若当点的对应点刚好落在直线上，求此时点的坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十章 一次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．在①；②；③；④；⑤，一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：①y=-8x属于一次函数； ②y=属于反比例函数； ③y=+1不属于一次函数； ④y=-8x2+6属于二次函数； ⑤y=-0.5x-1属于一次函数， ∴一次函数有2个， 故选：B． 2．下表给出的是关于某个一次函数的自变量x及其对应的函数值y的若干信息．请你根据表格中的相关数据计算：（    ） x 1 2 y m 2 n A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】解：设一次函数解析式为：y=kx+b， 则可得：-k+b=m；k+b=2；2k+b=n； ∴m+2n=-k+b+2（2k+b）=3k+3b=3×2=6． 故选：B． 3．若三点在同一直线上，则的值等于（    ） A．10 B．0 C．3 D．4 【答案】A 【解析】解：设经过（0，1），（2，7）两点的直线解析式为y=kx+b， 则，解得：， ∴y=3x+1， 将点（3，a）代入解析式，则a=10； 故选：A． 4．张老师给出关于的函数．同学们独立思考后，给出了4个关于这个函数的结论： ①此函数是一次函数，但不可能是正比例函数； ②函数的值随着自变量的增大而减小； ③若函数图象与轴交于点，则； ④此函数图象与直线和轴围成的图形的面积必小于． 其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】解：结论①：函数为一次函数，但当时，是正比例函数，故①错误； 结论②：函数斜率的符号由决定，当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大，因此②不一定成立，错误； 结论③：令，解得，因，，故，③正确； 结论④：两直线交点为，与y轴交于和，面积，当时，，故④错误； 综上，仅结论③正确，正确个数为1， 故选：A 5．随着科技发展，无人配送车逐渐普及．某小区的配送车“小橙”和“小绿”从配送站出发，给距离配送站的居民送包裹．小橙比小绿先出发，小绿的行驶速度为，若小橙、小绿行驶的路程（单位：）与小橙行驶的时间为（单位：）之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．小橙的行驶时间为 B．小橙的速度为 C．小橙比小绿先出发 D．小橙比小绿晚到达居民位置 【答案】C 【解析】解：从图象上可知，小橙比小绿先出发，故C正确； 总路程为，小绿的行驶速度为， ∴小绿的行驶时间为， ∴， 由图象可知，当时，， ∴小橙的行驶速度为，故B错误； 小橙行驶时间为，故A错误； 小橙比小绿晚到达，故D错误． 故选：C． 6．如图，在中，点是的两内角平分线的交点，过点作分别交于点，已知的周长为，，的周长为，则表示与的函数图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：点是和两个内角平分线的交点, , , ， 是等腰三角形, 同理是等腰三角形,即, 的周长, 的周长为, ，即是关于的一次函数，图像是递减的直线， 三角形中两边之和大于第三边 ，即 得，即 故选：B 7．如图，点A的坐标为，点B在第二、四象限的角平分线(直线l)上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当线段最短时， ∵l 为第二、四象限的角平分线， ∴ 又∵， ∴． ∴为等腰直角三角形． 作轴于点C， 则 ∵点B 在第四象限， 故选 B． 8．直线y=-2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则b的值为（      ） A．4 B．-4 C．±4 D．±2 【答案】C 【解析】解：∵直线y=-2x+b与x轴的交点为（，0），与y轴的交点是（0，b），直线y=-2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是4， ∴， 解得：． 故选C． 9．若a是一元一次不等式与解的公共部分内的最大负整数，则直线与坐标轴围成的三角形面积为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】解：， 解得：x＜， ， 解得：x＜， ∵a是公共部分内的最大负整数， ∴a=-1， ∴y=-x+1，令x=0，则y=1，令y=0，则x=1， ∴直线y=-x+1与坐标轴的交点为（1，0），（0，1）， ∴S=， 故选C． 10．已知A点坐标为，点B是直线上一个动点，当线段最短时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵点B是直线上一个动点， ∴点B的坐标为， ∵A点坐标为， ∴ 当时，有最小值， 此时把代入，得， ∴B点的坐标为． 故选：A 11．如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为．过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．下列说法不正确的是（   ） A．， B．当时，或 C．当时， D．当时， 【答案】C 【解析】解：直线在轴上的截距为， ， 将代入， 得：， 解得：， ，故A选项不符合题意， 由题意得：，， ， 或， 解得：或，故B选项不符合题意， ，， 当时， 即：或 解得：或， 故C选项符合题意， 当，即， 两边同时平方整理得：， 解得：或 当时，，故D选项不符合题意， 故选：C 12．定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“和一点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“和一点”，点，也是“和一点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“和一点”，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由题意可得：点到轴，轴的距离和为1，即，去绝对值后可得： ， 将“和一点”的函数表示在直角坐标系中如图： 一次函数的图象经过点，且图象上存在“和一点”， 一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点， 当一次函数的图象在直线与直线之间时，一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点， 当最小时，一次函数图象过点， 由题意可得：， 解得：，即的最小值为． 当最大时，一次函数与图象过点， 由题意可得： 则有， 解得：， 即的最大值为2． ． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．若一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，则该函数的解析式为____________． 【答案】y=2x-1 【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过两点A（0，-1），B（1，1）， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为：y=2x-1， 故答案为：y=2x-1． 14．在平面直角坐标系中，直线过点、，点在第二象限，点为坐标原点，连接、，的面积为90，则直线的函数表达式是_____________． 【答案】 【解析】∵，点在第二象限， ∴， ∴在第一象限， 如图，作轴于点C，作轴于点D， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、， 设线的函数表达式是，把、代入，得 ， 解得， ． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，点是坐标系内一点，给出定义：若存在过点的直线与线段，都有公共点，则称点是线段，的“联络点”．现有点在直线上，且它是线段，的“联络点”，则的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】解：作直线、、以及，如图所示． 设直线的解析式为， 将点、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为． 观察图形可知： 当时，直线在轴（包括轴上）于直线之间，此时直线上的点均为“联络点”； 当时，联立直线与直线成方程组， 得：，解得：， 直线在时，图象在直线（包括直线上的点）、之间， ∴当时，直线上的点均为“联络点”． 故的取值范围为：或． 故答案为：或． 16．定义：若实数a，b满足（k为常数），则称点为“k倍幸福点”，如点为“3倍幸福点”．在平面直角坐标系中，点，点B为直线l：上两点，其中点B为“k倍幸福点”，且的面积为，则k的值为___________． 【答案】 【解析】解：∵点在直线上， 解得：， ∴直线的函数解析式为． 又在直线上， ∴可设． 又为“倍幸福点”， 即 ，即， 设直线与轴交于点， 令，则． ①若在上方， 又 ②若在下方，在C上方， 又 ③若在下方，在C下方， 又 不符合题意， 综上 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．已知直线过点，交x轴于点P，把点P先向左平移3个单位，再向下平移6个单位得到点Q． (1)求P点坐标． (2)判断点Q是否在直线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 【解析】（1）解：把代入得， 解得． 所以 把代入得． 所以． （2）解：把点 P 先向左平移3个单位，再向下平移6个单位得到点．Q在直线上， 理由如下∶ 当时，， 所以点Q在直线上． 18．已知一次函数    (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)根据图象回答问题： ①图象与x轴的交点坐标是___________，与y轴的交点坐标是___________． ②当x________时，． 【答案】(1)见解析 (2)①，；② 【解析】（1）解：当时，， 当时，， ∴． 一次函数的图象如图，   ； （2）解：①图象与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是； ②由图象可知，当时，自变量的取值范围是． 故答案为：①，；②． 19．小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是小亮测得的弹簧的长度与所挂物体质量的几组对应值： 所挂物体质量 弹簧长度 (1)上表所反映的变化过程中的两个变量， 是自变量， 是自变量的函数；(请用文字语言描述) (2)请直接写出与的关系式 ； (3)当 (在弹簧承受范围内)时，求对应的值，并说明此时的实际意义. 【答案】(1)所挂物体质量；弹簧长度 (2) (3)此时所挂物体的质量为 【解析】（1）∵表格反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系，其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量， 故答案为：所挂物体质量；弹簧长度． （2）设弹簧长度和所挂物体质量的关系式为：， ∴把，代入 ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴当时，， ∴， ∴此时所挂物体的质量为 20.如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为和，直线：恒过定点． (1)求定点的坐标； (2)当直线和线段有交点时，求的取值范围； (3)若直线和线段所在直线交于点，点的横坐标为，请用含的代数式表示，并求出当是正整数时，整数k的所有值． 【答案】(1) (2)的取值范围是且 (3)，整数k的值为， 【解析】（1）解：∵， 当时，，不管取任何不为0的值，均成立， ∴定点的坐标为； （2）解：当直线经过点时，将代入，得，解得， 当直线经过点时，将代入，得，解得， ∴的取值范围是且； （3）解：设所在直线的函数解析式为， 将，代入，得，解得， ∴线段所在直线的函数解析式为， ∵点是直线和直线的交点， ∴， ∴， 当是正整数时，的值可以是1，5， ∴整数k的值为，． 21.如图，直线的函数表达式为，与x轴交于点D；直线的函数表达式为，与x轴交于点A；与交于点C． (1)求点C的坐标． (2)求的面积． (3)若是直线上的点，P为线段上的一个动点，且．求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：根据题意，可列方程组， 解得， ； （2）解：对于， 当时，，解得，， 对于， 当时，，解得，， ， ； （3）（3）在直线上，，解得 设则，， ， 即， ， 解得， ． 22．如图1，甲、乙两个遥控车分别从A，B两处同时出发，沿直线轨道匀速行驶，并同时到达C处．甲、乙两个遥控车距离A处的距离，（米）与时间t（分钟）的函数图像如图2所示． (1)A，C两地的距离为________米，甲车的速度为________米/分钟，a的值为________； (2)当时，求与t的函数关系式； (3)直接写出图2中M点的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义． 【答案】(1)120，40，1； (2)； (3)点的坐标为；所表示的实际意义：当甲、乙两个遥控车经过分钟后，距离处的距离相等，为24米． 【解析】（1）解：由图可得，米，米，同时到达需要分钟， ∴甲车的速度为：（米/分钟）， 乙车的速度为：（米/分钟）， ∴乙从点到点需要的时间为：（分钟）， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，，设与t的函数关系式为：， 当，即时，把，代入得： ， 解得：， ∴当时，与t的函数关系式为：； （3）解：由题意可知，点表示为两车到点的距离相等，为米， 设两车经过分钟两车到点的距离相等，依题意得： ， 解得：， ∴（米）， ∴点， ∴点的坐标为，所表示的实际意义为：当甲、乙两个遥控车经过分钟后，距离处的距离相等，为24米． 23．项目式学习 项目主题：为智慧农场设计无人机与运输车协同作业方案． 项目背景：在现代智慧农业中，为大型农田喷洒农药常采用无人机与运输车协同作业的模式．运输车承载农药和操作人员，无人机进行快速喷洒．为确保作业效率与通信稳定，两种设备需保持合理距离．某农场计划对一块长条形标准化农田（长度4.8千米）进行喷洒作业，数学实践小组受邀通过建立函数模型，为此次协同作业设计最优方案． 数据搜集：小组根据设备性能参数，模拟绘制了无人机与运输车从起点出发，驶向农田另一端（4.8千米处）的作业过程．下图中，折线表示无人机行程，线段表示运输车行程，它们分别表示无人机、运输车所走路程（千米）、（千米）与时间x（分钟）之间的函数关系对应的图象．运输车因装载农药，比无人机晚出发；无人机在途中因临时指令停留，随后提速飞往终点． 请结合图象信息，完成下列任务： 分析作业过程：（1）运输车比无人机晚出发______分钟，无人机在途中因接收临时指令停留了______分钟； 建立行程模型：（2）分别求出无人机在接收完指令后（即时段）所走路程，和运输车所走路程，与时间x之间的函数关系式； （3）无人机在接收完指令后，立即提速飞往终点．请问无人机在接收指令时，距离起点多少公里？ 评估协同方案：（4）为保证作业指令实时传输及安全，无人机在接受指令后提速飞行过程中，与运输车之间的路程不超过250米．请通过计算判断：按图象所示的走法，两设备的距离是否符合上述约定？ 【答案】（1）1.25，1.9；（2）；；（3）2.7千米；（4）符合约定 【解析】解：（1）根据函数图象可得，运输车比无人机晚出发1.25分钟，无人机在途中因接收临时指令停留了分钟； （2）设运输车所行路程直线的表达式为， ∵点，点均在直线上， ∴， 解得， ∴运输车所行路程直线的表达式是． ∵点C在直线上，且点C的横坐标为6， ∴点C的纵坐标为， ∴点C的坐标是． 设直线的解析式为， ∵点、点在直线上， ∴， 解得， ∴无人机在接收完指令后（即时段）的表达式． （3）∵B点在直线上且点B的横坐标为4.9，代入y得， ∴无人机在排除故障时，距出发点的路程是2.7千米． （4）符合约定； 方法一：由图象可知：无人机和运输车第一次相遇后在B和D相距最远． 在点B处有千米220米250米； 在点D有千米200米250米， ∴按图象所表示的走法符合约定． 方法二：设两设备之间的距离为h千米， 当时，， ∵，∴h随着x的增大而减小， ∴当时，（千米）220米250米； 当时，， ∵，∴h随着x的增大而增大， ∴当时，（千米）200米250米； ∴按图象所表示的走法符合约定． 24．如图，直线与轴，轴于，两点，直线与直线交于点，与轴交于点，点是轴上一动点． (1)求点的坐标与直线的解析式； (2)若，求的值； (3)如图，连接，，将沿翻折，若当点的对应点刚好落在直线上，求此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)的值为 (3)点的坐标为或 【解析】（1）解：直线与直线交于点， ，解得， ． 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得， 直线的解析式为； （2）解：当点在轴的负半轴时，，过点作于点，如图， 对于直线， 令，则， ， ， ， ， ， ． ，， ， ，． ， ， ， 为等腰直角三角形， ． ， ， 解得或（不合题意，舍去）， ； 当点在轴的正半轴时，，作出点关于轴的对称点，过点作于点，如图， 则，， ， ． ，， ， ，． ， ， ， 为等腰直角三角形， ． ， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 综上，若，的值为； （3）解：过点作于点，轴于点，过点作于点，如图， ， ， 对于直线， 令，则， ， ， ， ，，， ，， ， ， 将沿翻折，若当点的对应点刚好落在直线上， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， ， ， 点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $