第7-9章复习专题（10大考点30类题型）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

新教材苏科版七下阶段性7-9章复习专题（10大考点30类题型） 范围：第7章 幂的运算， 第8章 整式乘法， 第9章 图形的变换. 目录 一、基础篇 2 【考点一】运算法则与乘法公式的辨析 2 【题型1】幂的运算法则辨析 2 【题型2】单（多）项式相乘运算法则辨析 4 【题型3】乘法公式辨析 6 【考点二】几何现象识别与图形的辨析 7 【题型1】图形变换（平移、轴对称、旋转）现象的识别 7 【题型2】平移、轴对称图形、中心对称图形的辨析 9 【题型3】旋转中心、旋转角、对应点的识别 12 【考点三】科学记数法与零指数、负整指数 14 【题型1】科学记数法表示绝对值小于1的有理数 14 【题型2】零指数、负整指数的意义 16 【考点四】运算法则与乘法公式中的参数 17 【题型1】幂的运算与逆运算中的参数 17 【题型2】单（多）项式相乘中不含某项参数问题 19 【题型3】乘法公式中的参数 21 【考点五】幂的运算与整式乘除基础运算 23 【题型1】零指数、负整指数、乘方综合运算 23 【题型2】幂的综合运算 24 【题型3】单（多）项式相乘运算 27 【题型4】利用乘法公式进行运算 28 【考点六】图形变换作图与性质的应用 31 【题型1】平移的性质与角度、线段长度计算 31 【题型2】轴对称变换的性质线段、角度计算 34 【题型3】旋转性质与角度、线段长度计算 37 【题型4】旋转作图、平移作图 + 平移扫过面积计算 39 二、综合篇 44 【考点七】幂的运算与整式乘法运算化简求值 44 【题型1】幂的运算与零指数、负整指数综合 44 【题型2】整式乘法与乘法公式综合运算 46 【题型3】整式乘法与乘法公式综合化简求值 48 【考点八】图形变换性质的求值证明 51 【题型1】利用平移性质求值证明 51 【题型2】利用轴对称性质求值证明 55 【题型3】利用旋转、中心对称性质求值证明 60 【考点九】整式乘法与图形变换实际应用 65 【题型1】整式乘法与乘法公式的应用 65 【题型2】图形变换的应用 69 三、压轴篇 73 【考点十】整式乘法与图形变换实际应用 73 【题型1】多项式乘多项式与整体代入求值 73 【题型2】杨辉三角与整式展开式系数规律探索 77 【题型3】图形变换与分类讨论思想 83 一、基础篇 【考点一】运算法则与乘法公式的辨析 【题型1】幂的运算法则辨析 1-1．（25-26八年级上·江苏南通·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方及合并同类项法则逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：、，该选项运算错误，不合题意； 、，该选项运算正确，符合题意； 、，该选项运算错误，不合题意； 、与不是同类项，不能合并，该选项运算错误，不合题意； 故选：． 1-2．（2025九年级·江苏徐州·专题练习）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的运算性质（积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法）及同类项的概念，熟练掌握幂的运算规则和同类项合并要求是解题的关键． 根据幂的运算性质（积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法）及同类项合并规则，逐一验证选项． 解： ，故A项错误． 与不是同类项，不能合并，故B项错误． ，故C项错误． ，，故D项正确． 故选：D． 1-3．（25-26八年级上·江苏南通·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除、幂的乘方． 根据合并同类项，同底数幂的乘除、幂的乘方逐一计算后判断即可． 解：选项A：a和不是同类项，不能合并，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确； 故选：D． 1-4．（23-24九年级下·河南·期中）下列各式中，计算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法和幂的乘方的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法和幂的乘方的知识，进行计算，即可求解； 解：选项A：∵， ∴ ，符合题意； 选项B：∵ ， ∴；不符合题意； 选项C：与不是同类项，无法合并，不符合题意； 选项D：∵， ∴， 综上所述：只有选项A正确， 故选：A； 【题型2】单（多）项式相乘运算法则辨析 2-1.（2024·重庆·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，计算即可． 解：， 故选：B． 2-2.（24-25七年级下·江苏泰州·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方、单项式乘多项式以及合并同类项．分别根据积的乘方和幂的乘方运算法则、单项式乘多项式以及合并同类项的运算法则对各项进行计算后再判断即可． 解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 2-3.（25-26八年级上·河南开封·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算法则与整式的乘法运算，需根据幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、多项式乘多项式的法则逐一验证选项． 解：A、，故错误，不符合题意； B、，故正确，符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意． 故选：B． 2-4.（25-26八年级上·河南周口·月考）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，积的乘方，同底数幂相除，熟练掌握知识点是解题的关键．根据单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，积的乘方，同底数幂相除逐项判断即可． 解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，计算正确，符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 【题型3】乘法公式辨析 3-1.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列计算结果正确的是（  ） A． B． C．． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的乘法公式，包括平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 通过直接计算每个选项的左边表达式，与右边对比，判断等式是否成立即可． 解：选项A、由于，则A错误； 选项B、，则B正确； 选项C、，则C错误； 选项D、，则D错误； 故选：B． 3-2.（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式的乘法运算，包括平方差公式和完全平方公式，通过直接计算每个选项，验证其正确性． 解：A：∵，∴ A错误； B：∵，∴B错误； C：∵，∴C正确； D：∵，∴D错误． 故选：C． 3-3.（24-25七年级下·四川成都·月考）下列各式中，能运用完全平方公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式的特征判断即可． 解：A．可以利用平方差公式计算，故不符合题意； B．可以利用平方差公式计算，故不符合题意； C．可以利用多项式乘以多项式法则计算，故不符合题意； D．可以利用完全平方公式计算，故符合题意； 故选：D． 3-4.（24-25七年级下·江苏常州·期中）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了乘法公式，多项式乘以多项式，根据乘法公式和多项式乘以多项式的计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 【考点二】几何现象识别与图形的辨析 【题型1】图形变换（平移、轴对称、旋转）现象的识别 1-1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“气球升空”属于平移现象 D．“摆钟的钟摆在摆动”属于旋转现象 【答案】D 【分析】本题主要考查平移、轴对称和旋转的定义，在实际当中的运用，把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫作平移；在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转． 解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项错误，不符合题意； B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称，故B选项错误，不符合题意； C、“气球升空”路线不固定，不一定是平移，故C选项错误，不符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 1-2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 【答案】A 【分析】本题主要考旋转，根据把图形倒过来放，看它还是和原来一样可判断出是图形是旋转变换即可． 解：“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的旋转， 故选：A． 1-3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列生活现象中，属于平移的是（   ） A．汽车轮胎在地上滚动 B．对折一张纸 C．拉开抽屉 D．时钟上分针的运动 【答案】C 【分析】根据平移是某图形沿某一直线方向移动一定的距离，平移不改变图形的形状和大小，可得答案． 本题考查了图形的平移，掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小是解题的关键． 解：A、汽车轮胎在地上滚动，方向发生变化，不是平移运动； B、对折一张纸，方向发生变化，不是平移运动； C、拉开抽屉，是平移运动； D、时钟上分针的运动，方向发生变化，不是平移运动； 故选：C． 1-4．（25-26七年级上·江苏常州·月考）2025年苏超联赛火爆全网，图①是苏超联赛标志图，经过一次运动得到图②，这次运动可以是（   ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上都可以 【答案】C 【分析】本题考查了几何变换的类型，熟记各种变换的定义并准确识图是解题的关键．根据翻折、旋转、平移的定义进行判断即可． 解：由图可知，图绕图案中心点旋转后可得到图，通过平移或者翻折不可以得到， 这次运动可以是旋转， 故选：C． 【题型2】平移、轴对称图形、中心对称图形的辨析 2-1.（2026·江苏苏州·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 2-2.（24-25八年级下·江苏扬州·月考）下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 2-3.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形方格中，阴影部分是5张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片到其它空白方格，使得到的新图案变成中心对称图形的移法有______种． 【答案】2 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：确定中心对称图形的关键是寻找对称中心；根据中心对称图形的定义，在平面内，如果把一个图形绕某点旋转能够与自身完全重合，再确定移动其中一个正方形即可． 解：如图， ∴新图案变成中心对称图形的移法有种； 故答案为： 2-4.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段是由线段a经过平移得到的，线段还可以看作是线段a经过怎样的图形变换得到？下列结论：1次中心对称；1次轴对称；2次轴对称．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③ 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形，能快速寻找对称中心和对称轴是解题的关键．事实上，任意一次旋转变换都可以通过两次轴对称变换来实现． 根据轴对称和中心对称的定义和性质逐个判断即可．把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点． 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称． 解：①这两条线段组成中心对称图形，因此①正确，对称中心如下图所示：    ②这两条线段不能组成轴对称图形，无法找到这样的直线，使得一边沿着这条直线翻折后与另一边重合，因此②错误； ③这两条线段组成中心对称图形，可以找到这样的两条对称轴，使得其中一条线段经过2次轴对称后与另一天重合，两条对称轴如下图所示：    故正确的有：①③ 故答案为：①③． 【题型3】旋转中心、旋转角、对应点的识别 3-1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心，掌握旋转的性质是解题的关键． 解：如图：连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心， 故选：C． 3-2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，结合对称点解答即可． 本题考查了旋转的性质，旋转中心的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 解：根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上， 根据坐标特点，得到中心一定在y轴上， 根据旋转的全等性，发现到对应点的距离相等， 故旋转中心为． 故选：C． 3-3.（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与对应，则旋转角为_________． 【答案】/90度 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质，旋转前后对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，通过连接对应点与旋转中心，观察夹角大小来确定旋转角． 解：在正方形网格中，找到与的垂直平分线的交点，点即为旋转中心， 如图所示，连接、、、、 观察可得，旋转角为， 故答案为：． 3-4.（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，由绕点A逆时针旋转得到，若，则___________．    【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．旋转之后得出，再根据角的和差即可得出答案． 解：由绕点A逆时针旋转得到， ， 故答案为：． 【考点三】科学记数法与零指数、负整指数 【题型1】科学记数法表示绝对值小于1的有理数 1-1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）近年来我国芯片技术突飞猛进，某品牌手机自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为米，将数据“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 解： 故选：D 1-2．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）芯片通常指集成电路，是电子设备的核心大脑，具备体积小、速度快、功耗低等特点．淮安西游乐园的“寻梦西游”情景秀中，无人机编队需精准呈现西游人物细节，其核心芯片的晶体管栅极宽度约为0.000000023米，该数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，解决本题的关键是熟练掌握科学记数法的规则． 科学记数法要求将数字表示为形式，其中，n为整数，由此求解即可． 解：， 故该数据用科学记数法表示为． 故选：B． 1-3.（25-26八年级上·江苏南通·期末）气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于．数据“”用科学记数法表示为____________． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是熟练应用科学记数法的表示形式；根据科学记数法的表示形式为 ，其中 ， 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数求解即可． 解： ， 故答案为：． 1-4.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为，精确到为________（结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．将原数用科学记数法表示，并确保精确到，即保留到小数点后第七位（位）． 解：原数m精确到m， 需看小数点后第八位数字，原数可写为， 小数点后第七位为，第八位为，由于，故不需进位，精确值为， 用科学记数法表示为， 故答案为：． 【题型2】零指数、负整指数的意义 2-1.（2026七年级下·江苏·专题练习）如果不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了零指数幂有意义的条件．根据零指数幂成立的条件是底数，当该等式不成立时，底数为0，据此列方程求解即可． 解：∵不成立， ∴， ∴． 故选：D 2-2.（2024七年级下·安徽·专题练习）若等式成立，那么满足等式成立的的值得个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查零指数幂以及有理数的乘方，理解“任何不为0的零次幂都等于1，1的任何次幂都等于1，的偶次幂等于1”是解决问题的关键． 解：根据任何不为0的零次幂都等于1可得，，解得， 而时，，因此符合题意； 由1的任何次幂都等于1可得，，解得，因此符合题意； 由的偶次幂等于1可得，解得，当时，不是偶数，因此不符合题意； 综上所述或，共2个， 故选：A． 2-3.（24-25七年级下·河南郑州·月考）当__________时，成立． 【答案】或/或 【分析】本题可根据负整数指数幂的运算法则，将转化为常规方程，进而求解的值．本题主要考查了负整数指数幂的运算，熟练掌握负整数指数幂的运算法则“（，为正整数）”是解题的关键． 解：∵ ∴ ∴ ∴ 当时，； 当时，． 故答案为：或． 2-4.（24-25八年级上·贵州铜仁·月考）若有意义，则应满足条件__． 【答案】且 【分析】代数式中有分式，分母不为0，0指数幂和负整数指数的底数不能为0，再求x的取值范围． 解：根据题意可知，且，解得且． 故答案为：且 【点拨】本题考查了负整数指数幂和0指数幂，解决本题的关键是明确负整数指数幂和0指数幂的底数不能为0． 【考点四】运算法则与乘法公式中的参数 【题型1】幂的运算与逆运算中的参数 1-1.（25-26八年级上·河南信阳·月考）若，则____． 【答案】3 【分析】先将等式两边化为同底数幂，根据同底数幂相等则指数相等，列一元一次方程求解即可． 解：将原方程左边变形，可得， 根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，得， 因此原方程可化为， 因此得， ∴． 1-2.（25-26六年级下·全国·课后作业）若与为同类项，则的值为___________． 【答案】10 【分析】本题考查了同底数幂相除，同类项，首先简化表达式，利用指数法则得到；由于该表达式与为同类项，故指数相同，即；然后代入求值 ，通过关系式计算，即可作答． 解： ， ∵与为同类项， 故， 则， 故答案为：3-2. 1-3.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查同底数的除法和幂的乘方，先将25和125化为以5为底的幂，再利用同底数幂的除法法则和指数相等求解即可． 解：因为， 所以， 所以， 因此， 解得． 故答案为：1-1． 1-4.（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则p的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法及负整数指数幂，掌握相关知识是解题的关键．利用同底数幂的乘法法则，将指数相加求解即可． 解：根据同底数幂的乘法法则，， 可得， 又因为 ， 所以 ， 故答案为：． 【题型2】单（多）项式相乘中不含某项参数问题 2-1．（24-25七年级下·全国·期中）若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用单项式乘多项式法则计算，根据结果中不含项，求出a的值即可． 解： ∵的计算结果中不含项， ∴， 解得：． 故选B． 2-2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）若的展开式中不含项，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算是解题的关键．展开乘积后，合并同类项，令项的系数为零，解出a的值． 解：∵ ， 又∵展开式中不含项， ∴， ∴． 故选：B． 2-3.（24-25八年级上·重庆·月考）要使的结果中不含项，则为______. 【答案】 【分析】本题是对整式乘法的考查，熟练掌握多项式乘多项式是解决本题的关键． 先计算多项式乘多项式，再使项系数为即可． 解：原式， ∵不含项， ∴， 解得． 故答案为：． 2-4.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）要使多项式 展开后不含x的二次项，则a与b的关系是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的运算，根据整式的乘法进行运算，合并后，使x的二次项系数等于0即可求解． 解： ， ∵多项式 展开后不含x的二次项， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3】乘法公式中的参数 3-1．（25-26八年级上·江苏南通·月考）若是一个完全平方式，则的值为（   ） A． B．8 C． D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了求完全平方公式中的字母系数，利用完全平方式的结构特征，通过系数比较确定参数值即可． 解：∵为完全平方式， 设其形式为， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 3-2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）多项式是一个完全平方式，则的值为（　　） A．11 B． C． D．11或 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 根据完全平方式的结构特征，确定中间项的系数，进而求出k的值． 解：∵为完全平方式， ∴ ∴ ∴或， 故选：D． 3-3.（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）若 是完全平方式，则m的值等于_______． 【答案】或 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方式． 根据完全平方公式，表达式为完全平方式时，常数项16的平方根为，中间项系数2（m-3）应等于2倍平方根或其相反数，从而求解m． 解：∵是完全平方式， 完全平方式形式为， ∴， ∴或， 当时，中间项系数或， 解得：或； 当时，中间项系数或， 解得：或， 综上，或， 故答案为：或． 3-4.（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若多项式是完全平方式，则的值是_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查完全平方式；根据题意得到，一一对应得到，，计算即可． 解：∵ 多项式是完全平方式， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为：1-4． 【考点五】幂的运算与整式乘除基础运算 【题型1】零指数、负整指数、乘方综合运算 1-1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则进行计算． 解：∵ ， ， ， ， 又∵ ， ∴ ． 1-2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算：_____ 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加法法则计算即可． 解：． 故答案为：． 1-3．（25-26七年级上·江苏常州·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）2023 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）先计算括号内减法、计算乘方、除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加法即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加法即可． 解：（1）解：原式 ； （2）原式 ． 1-4．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，零次幂，负整数指数幂等知识内容，先化简同底数幂相乘，幂的乘方，零次幂，负整数指数幂，再运算加减，即可作答． 解： 【题型2】幂的综合运算 2-1.（24-25七年级下·江苏盐城·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方以及同底数幂的除法法则． （1）按照幂的相关运算法则，逐步对式子进行化简计算； （2）同样依据幂的运算法则，分别计算各项后再进行合并运算． 解：（1）解：原式 ； （2）解： ． 2-2.（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求x的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1） ；（2） 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则的逆用是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算，再转换为一元一次方程即可； （2）先根据得出，再将变形，然后整体代入求值即可. 解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）∵， ∴， ∴ ． 2-3.（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；；（2）． 【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则是解题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算，然后再合并同类项即可． （2）先根据同底数幂的乘法和除法，积的乘方运算法则进行计算，然后再合并同类项即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 2-4.（24-25七年级下·江苏扬州·期中）将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若，，求的值； （2）若，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（）逆用幂的乘方法则、逆用同底数幂的除法法则，，再代入即可； （）把原式化为为底数的幂，再利用同底数幂的乘法，最后根据幂相等且底数相等，则指数相等，即可求解； 解：（1）解：，， ； （2）， ，即， 解得：． 【点拨】本题考查了幂的乘方法则正用与逆用、同底数幂的除法法则的逆用、同底数幂的乘法，掌握这些法则是解题的关键． 【题型3】单（多）项式相乘运算 3-1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式的运算法则进行计算，即可求解． 解： 故选：D． 3-2．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则______． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知单项式乘多项式的运算法则． 根据单项式乘多项式的运算法则即可求解． 解：∵， ∴ 故填：． 3-2．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）化简： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先去括号，再计算加减即可； （2）先计算乘法，再计算加减即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3-3．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）计算 （1）． （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）利用单项式乘多项式法则计算即可； （2）利用单项式乘多项式，多项式乘多项式法则展开，然后去括号，最后合并同类项即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型4】利用乘法公式进行运算 4-1.（25-26八年级上·江苏南通·期中）计算： （1） （2） （3） （4）（运用乘法公式计算） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2480.04 【分析】本题考查了同底数幂的乘除、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘除法则计算； （2）根据完全平方公式进行计算； （3）根据乘法公式进行计算； （4）根据完全平方公式进行计算． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 4-2.（25-26八年级上·江苏南通·期中）计算： （1）； （2）； （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）先根据平方差公式进行计算，再根据完全平方公式计算即可； （3）先逆用积的乘方计算，根据平方差公式进行计算，再根据完全平方公式计算即可． 解：（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 4-3.（24-25七年级下·江苏南京·月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键 （1）利用多项式乘多项式法则计算即可； （2）先变形，再利用平方差公式计算即可； （3）先变形利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可； （4）先变形两个因式，再利用平方差公式计算，最后利用完全平方公式计算即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 4-4.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）计算： （1） （2）． 【答案】（1）10000；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式的运算，平方差公式运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把原式整理得，再进行计算，即可作答． （2）先根据平方差公式进行整理，再运算每个括号的加法和减法运算，最后运算乘法，即可作答． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【考点六】图形变换作图与性质的应用 【题型1】平移的性质与角度、线段长度计算 1-1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图的边的长为将向上平移得到，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形平移的性质以及面积的计算，解题的关键是利用平移后图形面积不变的性质，通过面积的等量代换求出阴影部分的面积． 根据平移的性质可知与面积相等；结合题目给出的阴影部分面积计算方法，通过等量代换得出阴影部分面积等于矩形的面积；再根据矩形面积公式计算即可． 解：∵向上平移 得到， ∴的面积的面积（平移不改变图形的面积）． 由题意可知，阴影部分的面积的面积矩形的面积的面积． ∴阴影部分的面积=矩形的面积． ∵，，且， ∴矩形的面积． 即阴影部分的面积为． 故选：A． 1-2．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，将沿方向平移1个单位长度得到，已知，则的长为__________． 【答案】4 【分析】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是正确解答的关键．根据平移的性质进行计算即可． 解：由平移的性质可知，，， ． 故答案为：1-4． 1-3.（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，将面积为5的沿方向平移至的位置，平移的距离是边长的3倍． （1）那么图中线段与的关系是_____________， （2）求四边形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是关键． （1）根据平移的性质进行解答即可； （2）设点A到的距离为h，根据平移的性质可得，然后求出，，再根据梯形的面积公式列式计算即可得到四边形的面积，根据四边形的面积即可求出答案． 解：（1）解：根据平移的性质得到； 故答案为： （2）解：设点A到的距离为h， 则， ∵沿方向平移的距离是边长的3倍， ∴，， ∴， ∴四边形的面积 ． ∴四边形的面积． 1-4.（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，已知中，，将沿射线方向平移后，得到，连接． （1）若，求的长度； （2）若恰好平分，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平移的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质. （1）根据平移的性质得出的长度与平移的长度相等，据此可解决问题； （2）根据平移的性质得出，可得，根据角平分线的定义可知，根据平行线的性质作答即可. 解：（1）解：由平移可知， ∴； （2）由平移可知，， ∴． ∵， ∴． 又∵恰好平分， ∴． ∵， ∴． 【题型2】轴对称变换的性质线段、角度计算 2-1．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，点，关于对称，过点作，若，的面积等于2，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】连接交于点M，根据平行线的性质，轴对称性质，三角形面积公式解答即可． 本题考查了轴对称性质，平行线的性质，三角形面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 解：连接交于点M， ∵点，关于对称， ∴，且，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2-2.（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，在等宽纸带ABCD中，．将该纸带沿折叠后，点C，D分别落在，的位置．若，则________． 【答案】112 【分析】根据折叠性质得到，根据求出，进而得到﹒根据求出，即可求出﹒ 解：由折叠可得﹒ ∵， ∴， ∴﹒ ∵， ∴， ∴﹒ 2-3.（24-25七年级下·吉林·月考）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为_________． 【答案】（1）；（2）4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 解：（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ∵， ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为1-4． 故答案为：4 2-4.（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，点D，E分别在的边上，将沿直线折叠后，点C与点A重合．若，的周长为17，求线段的长？ 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，三角形的周长，由翻折可得，再由的周长为17，可得，即可求解，根据题意得出是解题的关键． 解：∵点D，E分别在的边上，将沿直线折叠后，点C与点A重合， ∴， ∵，的周长为17， ∴， ∴， ∴． 【题型3】旋转性质与角度、线段长度计算 3-1．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，使点恰好落在边上．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质得，则有，掌握旋转的性质是解题的关键． 解：∵将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ∴， ∴， 故选：． 3-2.（24-25七年级下·上海·月考）如图，旋转后到达的位置，，若，，，则的长度是________． 【答案】2 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出，再由求出即可． 解：∵旋转后到达的位置，， ∴， ∴． 故答案为：1-2． 3-3.（24-25七年级下·江苏徐州·月考）如图，将绕C点逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． （1）若，则旋转角的值为 ； （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2）5 【分析】本题主要考查了图形的旋转．熟练掌握旋转的定义和性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，可知旋转角为，再由周角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质，可得，由中点性质得，即得． 解：（1）解：∵由逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴旋转角度为， 故答案为：； （2）解：由旋转得，，， ∵点恰好为的中点， ∴， ∴． 3-4.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，四边形中，，，连接，将四边形绕着点逆时针旋转至四边形，使落在边上． （1）若，求的大小； （2）若，的周长为9，求的长． 【答案】（1）20度；（2）3 【分析】本题考查平行线的性质，图形旋转的性质，解题的关键是利用平行线的性质找到角之间的关系，以及根据旋转性质和已知条件计算线段长度． （1）先根据平行线的性质得出角的关系，再结合旋转性质求． （2）先根据已知条件求出长度，再利用旋转性质得到线段等量关系，最后根据三角形周长计算的长． 解：（1）解：， ， 将四边形绕着点逆时针旋转至四边形， ， ， ； （2）解：， ， 将四边形绕着点逆时针旋转至四边形， ， ， ，即， ． 【题型4】旋转作图、平移作图 + 平移扫过面积计算 4-1．（24-25七年级下·江苏常州·月考）如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点、、都在格点上． （1）将向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，请作出； （2）连结，，则线段和线段的关系为______； （3）在整个平移的过程中，求线段扫过的面积． 【答案】（1）图见分析；（2）平行且相等；（3）线段扫过的面积是 【分析】本题考查平移变换和线段之间的位置关系，熟练掌握网格中图形平移的方法是解题的关键， （1）根据题中的平移方法平移即可得到； （2）连结，由图可得线段和线段的关系为平行且相等； （3）线段扫过的面积，据此求出结论即可． 解：（1）解：由题可得：就是所要求作的三角形，如下图： （2）解：连结，，如下图所示： 由图可得：线段和线段的关系为平行且相等． （3）解：线段扫过的面积． 4-2．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，已知点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线： （1）如图①，作一条直线l，使得点B关于l的对称点为P． （2）如图②，作一条过点C的直线m，使得点P关于m的对称点落在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了轴对称的性质，尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线，熟练掌握尺规作图的步骤是解题的关键． （1）由点B关于l的对称点为P，可得直线l为线段的垂直平分线，即可作图； （2）点P关于m的对称点落在上，可得直线m为的平分线所在的直线，即可作图． 解：（1）解：如图①，连接，作线段的垂直平分线l， 则直线l即为所求． （2）解：如图②，作的平分线， 则的平分线所在的直线m即为所求． 4-3.（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，在的网格纸中给定了图形Ⅰ和格点O的位置（图形I的顶点均在格点上）． （1）画出图形I先向下平移4格，再向右平移2格后的图形Ⅱ； （2）画出图形Ⅰ绕点O旋转后的图形Ⅲ； （3）在（1），（2）所作的图形中，图形Ⅲ可以看成是由图形Ⅱ经过一次___________得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）旋转或轴对称 【分析】本题主要考查了平移，旋转作图，轴对称的定义，熟练掌握轴对称，旋转和平移的性质，是解题的关键． （1）根据平移的性质先作出三角形三个顶点的对应点，然后顺次连接即可； （2）根据旋转的性质先作出三角形三个顶点的对应点，然后顺次连接即可； （3）根据旋转和轴对称的性质进行判断即可． 解：（1）解：如图，图形Ⅱ即为所求作的图形； （2）解：如图，图形Ⅲ即为所求作的三角形； （3）解：如图，图形Ⅲ可以由图形Ⅱ沿直线l折叠得到，即图形Ⅲ可以看成是由图形Ⅱ经过一次轴对称得到； 图形Ⅲ可以由图形Ⅱ绕点M旋转得到，即图形Ⅲ可以看成是由图形Ⅱ经过一次旋转得到． 故答案为：轴对称或旋转． 4-4.（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上． （1）将绕点C按逆时针方向旋转，画出旋转后所得的； （2）将向下平移4个单位长度，画出平移后所得的； （3）线段在平移的过程中扫过区域的面积为____________． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）8 【分析】本题考查了平移（作图），画旋转图形，利用平移的性质求解，解题关键是正确作出图形． （1）根据旋转的性质得出对应点位置，即可画出图形； （2）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出图形； （3）根据线段在平移的过程中扫过的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可． 解：（1）解：如图就是所要作的三角形； （2）如图就是所要作的三角形； （3）线段在平移的过程中扫过区域的面积为， 故答案为：2-4. 二、综合篇 【考点七】幂的运算与整式乘法运算化简求值 【题型1】幂的运算与零指数、负整指数综合 1-1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂和幂运算，把握运算规则是解题关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，乘方，再合并即可； （2）先算积的乘方，同底数幂的除法，化简后在算加减运算． 解：（1）解： ； （2）解： ． 1-2．（24-25七年级下·重庆·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，负整数指数幂，零指数等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂和零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算同底数幂乘除法和积的乘方，再合并同类项即可得到答案． 解：（1）解； ； （2）解： ． 1-3．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用积的乘方、同底数幂的除法进行计算即可； （2）利用零指数幂和负整数指数幂进行计算即可． 解：（1）解： ； （2） 1-4．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2025；（2） 【分析】本题考查幂的混合运算： （1）先进行负整数指数幂，零指数幂，乘方的计算，再进行加减运算即可； （2）根据幂的运算法则进行计算即可． 解：（1）解：原式 ． （2）原式 ． 【题型2】整式乘法与乘法公式综合运算 2-1.（25-26七年级上·江苏南京·月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）先分别计算乘方、除法和乘法，再合并同类项： （2）利用平方差公式变形计算． 解：（1）解：原式= ； （2）解： ． 2-2.（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了整式的混合运算，积的乘方，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）先将看成一个整体利用完全平方公式展开，再用完全平方公式即可求解， （2）先将看成一个整体利用平方差公式展开，然后再用完全平方公式即可求解， （3）先利用积的乘方变形，再利用平方差公式，最后利用完全平方公式即可求解 ． 解：（1）解： ． （2）解： ． （3） ． 2-3.（24-25七年级下·广西贵港·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，然后合并即可； （2）首先计算多项式乘以多项式，然后去括号合并即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 2-4.（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型3】整式乘法与乘法公式综合化简求值 3-1.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）先化简，再求值： 其中 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算与求值，以及非负数的性质，解题的关键是先利用完全平方公式、平方差公式等对整式进行化简，再根据非负数的性质求出x、y的值，最后代入化简后的式子计算． 先根据完全平方公式展开利用平方差公式计算单项式乘多项式法则计算然后去括号、合并同类项对原式进行化简；再根据非负数的性质，由求出x和y的值；最后将x、y的值代入化简后的式子求值． 解：先化简原式： ∵且平方项具有非负性， ∴ 解得． 将代入化简后的式子得 故答案为：． 3-2.（24-25七年级下·江苏泰州·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，先计算整式的乘法运算，再合并同类项，最后代入计算即可． 解： ， 当，时，原式． 3-3.（24-25七年级下·江苏扬州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则和单项式乘多项式法则． 先根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则和单项式乘多项式法则进行化简，再把代入化简后的式子进行计算即可． 解： 当时 原式． 3-4.（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列是一道例题的部分解答过程，其中A、B是两个关于x、y的二项式． 例题：化简：， 解：原式， ____________．（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号） 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： （1）多项式A为____________，多项式B为____________；例题的化简结果为____________； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），，；（2）， 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练运用计算法则和乘法公式是解题的关键． （1）根据题意得到：，，即可得到多项式A，多项式B，再最后化简，即可解答． （2）把多项式A，多项式B代入先运算单项式乘以多项式，然后合并化简，最后代入数值即可解答． 解：（1）解：根据题意，得：， 两边同除以y得：； 同理，得：， 两边同除以得：， 例题的化简结果为：． 故答案为：，，； （2）解： 当，时，原式． 【考点八】图形变换性质的求值证明 【题型1】利用平移性质求值证明 1-1．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，长方形中，，第1次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，…，第n次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长度为2025，则n的值为（   ） A．504 B．505 C．2021 D．2025 【答案】B 【分析】此题主要考查了代数式，图形的变化规律，以及一元一次方程，根据图形变化规律得出长度的规律是解题关键． 根据平移的性质得出，，再找出长度的规律，然后根据所求得出数字变化规律，再根据规律列出方程求解n的值． 解：∵，第1次平移将长方形沿的方向向右平移4个单位，得到长方形，此时，， 第2次平移将长方形沿的方向向右平移4个单位，得到长方形，此时， 以此类推，第n次平移后，． ∵的长度为2025， ∴， 解得：， 故选：B． 1-2.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，将沿所在直线向右平移，得到，点为延长线上一点，交于点，平分，，则____． 【答案】/80度 【分析】本题考查了平移的性质、角平分线的定义、平行线的性质，由平移的性质可得，，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：由平移的性质可得：，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 1-3.（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，，将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． （1）依题意在图中补全图形，并证明：； （2）过点作直线，在直线上取点，使．当时，在备用图中画出图形，并求出与之间的数量关系． 【答案】（1）见分析；（2）见分析，或 【分析】作，根据平移的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，，求得； 分两种情况：点在直线的上方时，如图所示：当点在直线的下方时，如图，根据平移的性质和平行线的性质即可得到结论． 本题考查了作图平移变换，平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 解：（1）解：补全图形如图所示， 证明：作， 将线段沿平移得到线段， ， ， ，, ， 即； （2）解：点在直线的上方时，如图所示： 由平移的性质得：，， ， ， ， ， 整理，得； 当点在直线的下方时，如图， ， ， 整理，得； 综上所述，与之间的数量关系为或． 1-4.（2025七年级下·河南·专题练习）如图，线段和相交于点M，交于点N． （1）将线段沿线段所示的方向平移，使点M与点E重合，在图中画出平移后的线段； （2）若小梦测量出，求和的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了利用平移的性质作图，作垂线，平行线的性质，直角三角形的性质，理解作图的方法是解决本题的关键． （1）首先根据平移的性质，即可画得； （2）根据平行线的性质及直角三角形的性质，即可求解． 解：（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【题型2】利用轴对称性质求值证明 2-1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，，点M、N分别在射线上，的面积为12，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为．当点P在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 故选：A． 2-2.（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在点处，折痕为．点F为射线上一点，连接，将长方形纸片的另一角沿折叠，使得点B落在点处（折痕为）．若，则___________． 【答案】108或72 【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算，熟练掌握折叠变换的性质并采用分类讨论的数学思想是解题的关键．由折叠的性质可推出，，再分两种情况讨论，①当在的外部，则，求得，则；②当在的内部，则，求得，则，即可得到答案． 解：由题意可知，，， ，， ①当在的外部，如图 ，且， ， ， ∴； ②当在的内部，如图 ，且， ， ， ． 故答案为：108或71-2． 2-3．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． （1）求的周长； （2）连接、，若，求的度数． 【答案】（1）10；（2） 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； 解：（1）解：、分别是点关于、的对称点，且、分别在、上， ，， 又， ． （2）解：连接， 、分别是点关于、的对称点， ，， 又， ， ， 又， ． 2-4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）【观察发现】（1）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使落在上，为折痕，则的度数为________； 【思维拓展】（2）若规定：当两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“巧角”． 即：若，则和是一组“巧角”（，）． ①在条件（1）中，当点、、三点共线时，和是一组“巧角”，求的度数； ②当点、、三点不共线时，和还是一组“巧角”，且，，求的度数． 【答案】（1）  （2）①或  ②或 【分析】本题考查的是折叠的性质及角的和差计算、一元一次方程的应用， （1）由折叠得，，根据平角的定义解答即可； （2）①得出，根据“巧角”定义得出，解方程即可解答； ②设，得出，分两种情况：当，无重叠时，或当，有重叠时分别列方程解决． 解：（1）由折叠可得：，， ∴， 故答案为：； （2）①∵， ∴，即， 又∵和是一组“巧角”， ∴， 解得或； ②∵沿着，分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处， ， 与 是一组“巧角”， ∴设， ， 如图， ， ， 解得， ， ； 如图， ∴， ， ， 综上所述，的度数为或 【题型3】利用旋转、中心对称性质求值证明 3-1．（23-24七年级下·重庆·月考）将一副三角板按如图放置，三角板可绕点旋转，点为与的交点，下列结论中正确的个数是（　　） （1）若平分，则 （2）若，则 （3）若，则 （4）若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，三角板中的角度计算，由旋转的性质和平行线的性质与判定依次判断可求解． 解：由三角板可知，，，，， （1）当平分，则， ，故（1）错误； （2）若，且在的上方，则， ，故（2）错误； （3）若时，且在的下方时，则，故（3）错误； （4）若，且，则，故（4）正确， 故选：A． 3-2.（23-24八年级下·湖南邵阳·月考）如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 ________（填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了中心对称的性质，利用中心对称的性质解决问题即可． 解：∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴点A与点是对称点，，， 故①②③正确， 故答案为：①②③． 3-3.（24-25七年级上·江苏扬州·月考）已知一副三角板按图1所示摆放，．，，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧，保持不动．      （1）在图1中，_________； （2）将绕点旋转至如图2所示的位置，则_________； （3）将绕点逆时针方向旋转到边平分时，求旋转角的度数； （4）将绕点逆时针方向旋转时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出的所有值． 【答案】（1）150；（2）30；（3）30；（4），45，90，135 【分析】本题主要考查角之间的和差关系，熟练掌握角度之间的关系是解题的关键． （1）根据角的和差关系求解； （2）分别表示出和即可求解； （3）设旋转角度，平分时，，据此列方程，即可求解； （4）分情况讨论：当时；当时；当时；当时，根据平行线的性质求解即可． 解：（1）解：∵， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， （3）解：设旋转角，如图， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， ∴旋转角的度数是； （4）解：当时，如图， ∴， ∴， ∴； 当时，设与相交于E，如图， ∴， 又， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， ∴； 综上，，45，90，132-1. 3-4.（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． （1）由旋转的性质可得，即可得解； （2）由旋转的性质可得，，即可得解． 解：（1）解：由旋转的性质可得：， ∴； （2）解：由旋转的性质可得：，， ∴． 【考点九】整式乘法与图形变换实际应用 【题型1】整式乘法与乘法公式的应用 1-1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）边长分别为和a的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的运算的应用，关键是用代数式表示出阴影部分的面积．根据已知图形得出阴影部分的面积是：求出即可． 解：边长分别为和a的两个正方形，阴影部分的面积是： ， 故选：A． 1-2.（24-25七年级下·江苏徐州·月考）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何背景的结合，利用完全平方公式求出拼成后的正方形的面积，然后即可得出所需各类卡片的数量，根据完全平方公式求出拼成后的正方形的面积的表达式是解题的关键． 解：∵， ∴拼成一个边长为的正方形需要类卡片张，类卡片张，类卡片张， 故答案为：． 1-3.（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． （1） ； （2） ；若是完全平方式，则 ； （3）若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】（1）11；（2）；；（3）①2；② 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 解：（1）解：； （2）解：； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 1-4.（24-25七年级下·江苏连云港·月考）探究： （1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________（用含a，b的等式表示） 应用：（2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为___________． ②计算：． 拓展：（3）计算：． 【答案】（1）；（2）①4；②；（3） 【分析】本题考查平方差公式的应用． （1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可； （2）①利用平方差公式得出，代入求值即可； ②可将写成，再利用平方差公式计算即可； （3）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值即可． 解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 所以，得到乘法公式， 故答案为：； （2）①∵，， ∴， ∴； 故答案为：4； ② ； （3） ． 【题型2】图形变换的应用 2-1.（23-24七年级下·江苏盐城·月考）如图，有一块长方形区域，，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为米，若边的长为米，则图中空白区域的面积为（      ）平方米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，矩形的面积，利用平移的性质得出空白区域为一个矩形，矩形的长为米，宽为米，根据矩形面积公式计算即可求解，解题的关键是读懂题意，利用平移把空白区域可以拼成一个矩形． 解：由平移的性质知，空白区域为一个矩形，矩形的长为米，宽为米， ∴空白区域的面积（平方米）， 故选：． 2-2.（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 【答案】/64度 【分析】本题主要考查轴对称，平行线的性质的应用，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，求出，由直角三角形的性质求出，即可求出的度数． 解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由光的反射定律得到：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2-3.（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置． （1）如图①，如果点，点到外河岸的距离都是，请确定两座桥的位置，画出示意图． （2）如图②，如果点，点到外河岸的距离分别是和，请确定两座桥的位置，画出示意图． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答． （1）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． （2）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，等于河宽；连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． 解：（1）解：如图所示，即为两座桥的位置． （2）解：如图所示，即为两座桥的位置． 2-4．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明． ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， 请完整地写出小亮的证明过程． 【解决问题】 如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．） 【答案】分析问题：见分析；解决问题：见分析 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题： （1）先由轴对称的性质得到，，则，，再由两点之间线段最短即可证明结论； （2）如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求． 解：分析问题：∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，， ∴， ∴作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方； 解决问题：如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求． 易证明，则，根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 三、压轴篇 【考点十】整式乘法与图形变换实际应用 【题型1】多项式乘多项式与整体代入求值 1-1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式与数形结合思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键．运用完全平方公式与数形结合思想，根据等式的几何意义，判断各选项图形是否符合该等式． 解：选项A是推导的图形，不涉及，不符合题意； 选项B是推导的图形，不符合题意； 选项C是勾股定理的相关图形，与等式无关，不符合题意； 选项D表示边长为的大正方形与边长为的小正方形的面积差，等于4个长为、宽为的长方形的面积和，符合等式； 故选D． 1-2．（24-25八年级上·广西钦州·月考）阅读材料：“整体代入，解决问题”是数学中常见的方法，例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，“整体代入，解决问题”：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是________． 【答案】23 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，完全平方公式及一元一次方程解的定义，先根据是关于的一元一次方程的解，得到，再把所求的代数式变形为，把整体代入即可求值．把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键． 解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴ ． 故答案为：21-3． 1-3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． （1）【探索】观察图形，写出一个三者之间的等量关系式：_________； （2）【应用】运用（1）中的结论，当时，求的值； （3）【拓展】若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据两个图形中四个长方形的面积之和相等，即可得出答案； （2）根据（1）中结论可进行求解； （3）根据（1）中结论及整体思想可进行求解． 解：（1）解：∵一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形， ∴图中阴影部分的面积， ∴． 故答案为： （2）解：∵， ∴， ∴． （3）若，求 设，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 1-4．（25-26八年级上·福建泉州·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（）仿照题例，利用整体代入法解答即可； （）先化简代数式，再整体代入计算即可求解； （）把代数式转化为，再整体代入计算即可求解； 本题考查了代数式求值，多项式与多项式的乘法运算，掌握整体代入思想是解题的关键． 解：（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 【题型2】杨辉三角与整式展开式系数规律探索 2-1．（24-25八年级上·四川乐山·期末）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数……，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2024，余数为2021-3． 上述结论正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解． 解：由题意知， 的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与的积，即， 故结论①正确； 的计算结果中各项系数的之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论②正确； 当时，， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2024，因此除以2024，余数为，即2021-3． 故结论④正确； 故选D． 2-2．（2025七年级下·全国·专题练习）杨辉三角形是形如（这里，2，3，4……）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列：记载于1261年他所著的（详解九章算术）中．1854年：法国数学家帕斯卡也发现了这一规律，不过比杨辉迟了近四百年，杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就．如图是杨辉三角形与展开式的部分对照，请回答下列问题 （1）的展开式中系数为10的项是 __________． （2）的展开式中的系数是 ________． 【答案】 2023 【分析】本题主要考查了整式中的规律计算，准确找出相应的规律是解题关键． （1）根据规律将的展开即可得到结果； （2）每一行，倒数第二个数的数字系数为，字母为，每一项的正负号取决于字母的次数，据此解答即可． 解：（1）∵， ∴的展开式中系数为10的项是和， 故答案为：，； （2）∵展开后每一行倒数第二个数的数字系数为，字母为，每一项的正负号取决于字母的次数， ∴的展开式中的系数是2023， 故答案为：2021-3． 2-3．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）下图是我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出的“杨辉三角”，揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 根据以上规律，解答下列问题： （1）的展开式中共有______项，其中第三项是______； （2）利用表中规律计算：；（不按照规律计算不得分） （3）设，在等式中当时，可得的值为_______，从而可求得的值为_______． 【答案】（1），；（2）；（3）， 【分析】本题考查了整式的混合运算以及规律、有理数的乘方，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意得出，由此即可得解； （2）将所求式子变形为，结合规律计算即可得解； （3）当时，，由此即可求出的值，当时，，由此即可得出的值． 解：（1）解：由题意可得：， ∴的展开式中共有项，其中第三项是； （2）解： ； （3）解：∵， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴． 2-4．（24-25七年级下·山东济南·月考）“杨辉三角”揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 第一行          1 第二行        1   1                                    各项系数和为2 第三行       1  2  1                            各项系数和为4 第四行     1  3   3  1                   各项系数和为8 第五行   1   4  6  4   1          各项系数和为16 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为______． （2）将展开后，各项的系数和为______． （3）______． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行                 第二行                  第三行                    第四行                   第五行                                  …………………… （4）若表示第m行，从左到右数第n个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是______，表示的数是______． 【答案】（1）32；（2）；（3）；（4）：， 【分析】此题考查完全平方式的应用和数字类的规律题，能根据杨辉三角和“莱布尼茨三角形”得出规律是解此题的关键． （1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为； （2）根据规律可得结论； （3）把展开，即可得出答案； （4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是 ，经过计算可得结论． 解：（1）解： 展开后，各项的系数和为， 故答案为：32； （2）根据“杨辉三角”可知， 第2行，展开后，各项的系数和为， 第3行，展开后，各项的系数和为， 第4行，展开后，各项的系数和为， 第5行，展开后，各项的系数和为， 第6行，展开后，各项的系数和为， …… 展开后，各项的系数和为， 故答案为：； （3）解：根据规律可得，展开后，各项的系数依次为1、6、15、20、15、6、1， 所以 故答案为：； （4）解：由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是， ∴表示第六行第三个数， ∵第六行第二个数是， ∴第六行第三个数是， ∴表示的数是； 由规律可得， ∵第七行第一个数为，第六行第一个数为， ∴第七行第二个数为， ∵第八行第一个数为， ∴第八行第二个数为：，第八行第三个数为， ∴表示的数是与 表示的数一样，为； 故答案：，． 【题型3】图形变换与分类讨论思想 3-1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，点B，D折叠后的对应点分别为，则下列结论正确的个数有（   ） ①若，则；②若点与点重合，则； ③若，则或；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，角的和差计算，掌握折叠的性质是解题的关键． ①由折叠可得，，则，再由求解即可；②若点与点重合，则，，那么，据此即可求解；③分两种情况讨论，在的下方和在的上方；④此时，则，再由角度和差求解即可． 解：①若，如图， 由折叠可得，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，故错误； 若点与点重合，如图， 由折叠可得，，， ∴， 即，故正确； 如图，当在的下方时， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的上方时， ， ， ， ， ∴或，故错误； ④由上可知，当，在的下方，如图， ∵， ∴， ∴， ∴，故错误； ∴正确的有1个， 故选：A． 3-2．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，分别过直线上的点和点作射线、，，，射线从开始绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从开始绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，在射线旋转一周的过程中，经过____秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 【答案】15或60 【分析】本题考查了一元一次方程的运用、旋转的性质等知识点，在旋转中把角度表示出来是解答本题的关键． 情况一：如图：，，又，所以，故；情况二：如图：，，所以，故． 解：情况一，如图： ∴， ∴， 又∵，， ∴，解得：； 情况二，如图： ∴， ， 又∵， ∴，解得：． 综上，在射线旋转一周的过程中，经过15或60秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 故答案为：15或60． 3.3．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图1，将一副三角尺拼在一起，使得与重合．在中，．在中，，如图2，将绕点A按逆时针方向以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒． （1）在图1中，________； （2）随着的旋转，与之间的数量关系为________； （3）当t为何值时，直线与的一条边平行？ 【答案】（1）15；（2）；（3）当秒或5秒或9秒时，直线与的一条边平行 【分析】本题主要考查平行线的判定及一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）根据角的和差关系可进行求解； （2）根据题意可分当在△内部时和当在△外部时，进而分类求解即可； （3）由题意可知，然后可分当时，当时，当时，进而分类求解即可． 解：（1）解：如图①，，， ； 故答案为：15； （2）解：当在内部时，如图， ， ， 当在外部时，如图， ； 综上所述：与之间的数量关系为， 故答案为：； （3）解：由题意得：，， 当时，如图所示： ， 解得：； 当时，如图所示： ， ， 解得：；当时，如图所示： 、、三点在同一直线上， ， 解得：；综上所述：当与△的一边平行时，或5或3-1. 3.4.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知直角三角板中，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． （1）当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小． （2）当旋转方向为逆时针方向，且时，在图中，画出旋转得到的． （3）当时， ①若，求的度数． ②如图，当旋转方向为逆时针方向时，点为上一点．．在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 【答案】（1），；（2）画图见分析；（3）①或；② 【分析】（）由旋转的性质可得，，，进而根据角的和差关系即可求解； （）根据题意画出图形即可； （）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得，即得，进而可得，，即得到，即可得，求出的值即可求解； 本题考查了旋转，角的和差，掌握旋转的性质是解题的关键． 解：（1）解：由旋转的性质可得，，， ∴， ； （2）解：如图，即为所求； （3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，， ∵， ∴， 解得； 如图，当旋转方向为顺时针方向时，， ， ∴， 解得； 综上，的度数为或； ②由旋转性质可得，， ∵，， ∴， ， ∴， ∵与始终满足为定值， ∴， 解得， ∴常数的值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 新教材苏科版七下阶段性7-9章复习专题（10大考点30类题型） 范围：第7章 幂的运算， 第8章 整式乘法， 第9章 图形的变换. 目录 一、基础篇 2 【考点一】运算法则与乘法公式的辨析 2 【题型1】幂的运算法则辨析 2 【题型2】单（多）项式相乘运算法则辨析 3 【题型3】乘法公式辨析 3 【考点二】几何现象识别与图形的辨析 4 【题型1】图形变换（平移、轴对称、旋转）现象的识别 4 【题型2】平移、轴对称图形、中心对称图形的辨析 5 【题型3】旋转中心、旋转角、对应点的识别 5 【考点三】科学记数法与零指数、负整指数 6 【题型1】科学记数法表示绝对值小于1的有理数 7 【题型2】零指数、负整指数的意义 7 【考点四】运算法则与乘法公式中的参数 7 【题型1】幂的运算与逆运算中的参数 7 【题型2】单（多）项式相乘中不含某项参数问题 8 【题型3】乘法公式中的参数 8 【考点五】幂的运算与整式乘除基础运算 8 【题型1】零指数、负整指数、乘方综合运算 8 【题型2】幂的综合运算 9 【题型3】单（多）项式相乘运算 9 【题型4】利用乘法公式进行运算 10 【考点六】图形变换作图与性质的应用 10 【题型1】平移的性质与角度、线段长度计算 10 【题型2】轴对称变换的性质线段、角度计算 11 【题型3】旋转性质与角度、线段长度计算 12 【题型4】旋转作图、平移作图 + 平移扫过面积计算 14 二、综合篇 15 【考点七】幂的运算与整式乘法运算化简求值 15 【题型1】幂的运算与零指数、负整指数综合 15 【题型2】整式乘法与乘法公式综合运算 16 【题型3】整式乘法与乘法公式综合化简求值 16 【考点八】图形变换性质的求值证明 17 【题型1】利用平移性质求值证明 17 【题型2】利用轴对称性质求值证明 18 【题型3】利用旋转、中心对称性质求值证明 19 【考点九】整式乘法与图形变换实际应用 21 【题型1】整式乘法与乘法公式的应用 21 【题型2】图形变换的应用 22 三、压轴篇 24 【考点十】整式乘法与图形变换实际应用 24 【题型1】多项式乘多项式与整体代入求值 24 【题型2】杨辉三角与整式展开式系数规律探索 26 【题型3】图形变换与分类讨论思想 28 一、基础篇 【考点一】运算法则与乘法公式的辨析 【题型1】幂的运算法则辨析 1-1．（25-26八年级上·江苏南通·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 1-2．（2025九年级·江苏徐州·专题练习）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 1-3．（25-26八年级上·江苏南通·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1-4．（23-24九年级下·河南·期中）下列各式中，计算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】单（多）项式相乘运算法则辨析 2-1.（2024·重庆·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2-2.（24-25七年级下·江苏泰州·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2-3.（25-26八年级上·河南开封·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2-4.（25-26八年级上·河南周口·月考）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】乘法公式辨析 3-1.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列计算结果正确的是（  ） A． B． C．． D． 3-2.（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3-3.（24-25七年级下·四川成都·月考）下列各式中，能运用完全平方公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 3-4.（24-25七年级下·江苏常州·期中）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点二】几何现象识别与图形的辨析 【题型1】图形变换（平移、轴对称、旋转）现象的识别 1-1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“气球升空”属于平移现象 D．“摆钟的钟摆在摆动”属于旋转现象 1-2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 1-3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列生活现象中，属于平移的是（   ） A．汽车轮胎在地上滚动 B．对折一张纸 C．拉开抽屉 D．时钟上分针的运动 1-4．（25-26七年级上·江苏常州·月考）2025年苏超联赛火爆全网，图①是苏超联赛标志图，经过一次运动得到图②，这次运动可以是（   ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上都可以 【题型2】平移、轴对称图形、中心对称图形的辨析 2-1.（2026·江苏苏州·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2-2.（24-25八年级下·江苏扬州·月考）下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2-3.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形方格中，阴影部分是5张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片到其它空白方格，使得到的新图案变成中心对称图形的移法有______种． 2-4.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段是由线段a经过平移得到的，线段还可以看作是线段a经过怎样的图形变换得到？下列结论：1次中心对称；1次轴对称；2次轴对称．其中所有正确结论的序号是______． 【题型3】旋转中心、旋转角、对应点的识别 3-1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 3-2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 3-3.（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与对应，则旋转角为_________． 3-4.（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，由绕点A逆时针旋转得到，若，则___________．    【考点三】科学记数法与零指数、负整指数 【题型1】科学记数法表示绝对值小于1的有理数 1-1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）近年来我国芯片技术突飞猛进，某品牌手机自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为米，将数据“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 1-2．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）芯片通常指集成电路，是电子设备的核心大脑，具备体积小、速度快、功耗低等特点．淮安西游乐园的“寻梦西游”情景秀中，无人机编队需精准呈现西游人物细节，其核心芯片的晶体管栅极宽度约为0.000000023米，该数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 1-3.（25-26八年级上·江苏南通·期末）气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于．数据“”用科学记数法表示为____________． 1-4.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为，精确到为________（结果用科学记数法表示）． 【题型2】零指数、负整指数的意义 2-1.（2026七年级下·江苏·专题练习）如果不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 2-2.（2024七年级下·安徽·专题练习）若等式成立，那么满足等式成立的的值得个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2-3.（24-25七年级下·河南郑州·月考）当__________时，成立． 2-4.（24-25八年级上·贵州铜仁·月考）若有意义，则应满足条件__． 【考点四】运算法则与乘法公式中的参数 【题型1】幂的运算与逆运算中的参数 1-1.（25-26八年级上·河南信阳·月考）若，则____． 1-2.（25-26六年级下·全国·课后作业）若与为同类项，则的值为___________． 1-3.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则的值为________． 1-4.（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则p的值为______． 【题型2】单（多）项式相乘中不含某项参数问题 2-1．（24-25七年级下·全国·期中）若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 2-2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）若的展开式中不含项，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．1 2-3.（24-25八年级上·重庆·月考）要使的结果中不含项，则为______. 2-4.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）要使多项式 展开后不含x的二次项，则a与b的关系是___________． 【题型3】乘法公式中的参数 3-1．（25-26八年级上·江苏南通·月考）若是一个完全平方式，则的值为（   ） A． B．8 C． D．16 3-2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）多项式是一个完全平方式，则的值为（　　） A．11 B． C． D．11或 3-3.（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）若 是完全平方式，则m的值等于_______． 3-4.（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若多项式是完全平方式，则的值是_____． 【考点五】幂的运算与整式乘除基础运算 【题型1】零指数、负整指数、乘方综合运算 1-1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若则（   ） A． B． C． D． 1-2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算：_____ 1-3．（25-26七年级上·江苏常州·期末）计算： （1）； （2）． 1-4．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算：． 【题型2】幂的综合运算 2-1.（24-25七年级下·江苏盐城·期末）计算： （1）； （2）． 2-2.（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求x的值． （2）已知，求的值． 2-3.（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算： （1）； （2）． 2-4.（24-25七年级下·江苏扬州·期中）将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若，，求的值； （2）若，求x的值． 【题型3】单（多）项式相乘运算 3-1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3-2．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则______． 3-2．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）化简： （1）； （2）． 3-3．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）计算 （1）． （2） 【题型4】利用乘法公式进行运算 4-1.（25-26八年级上·江苏南通·期中）计算： （1） （2） （3） （4）（运用乘法公式计算） 4-2.（25-26八年级上·江苏南通·期中）计算： （1）； （2）； （3） 4-3.（24-25七年级下·江苏南京·月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 4-4.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）计算： （1） （2）． 【考点六】图形变换作图与性质的应用 【题型1】平移的性质与角度、线段长度计算 1-1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图的边的长为将向上平移得到，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 1-2．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，将沿方向平移1个单位长度得到，已知，则的长为__________． 1-3.（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，将面积为5的沿方向平移至的位置，平移的距离是边长的3倍． （1）那么图中线段与的关系是_____________， （2）求四边形的面积． 1-4.（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，已知中，，将沿射线方向平移后，得到，连接． （1）若，求的长度； （2）若恰好平分，求的度数． 【题型2】轴对称变换的性质线段、角度计算 2-1．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，点，关于对称，过点作，若，的面积等于2，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 2-2.（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，在等宽纸带ABCD中，．将该纸带沿折叠后，点C，D分别落在，的位置．若，则________． 2-3.（24-25七年级下·吉林·月考）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为_________． 2-4.（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，点D，E分别在的边上，将沿直线折叠后，点C与点A重合．若，的周长为17，求线段的长？ 【题型3】旋转性质与角度、线段长度计算 3-1．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，使点恰好落在边上．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3-2.（24-25七年级下·上海·月考）如图，旋转后到达的位置，，若，，，则的长度是________． 3-3.（24-25七年级下·江苏徐州·月考）如图，将绕C点逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． （1）若，则旋转角的值为 ； （2）若，求的长． 3-4.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，四边形中，，，连接，将四边形绕着点逆时针旋转至四边形，使落在边上． （1）若，求的大小； （2）若，的周长为9，求的长． 【题型4】旋转作图、平移作图 + 平移扫过面积计算 4-1．（24-25七年级下·江苏常州·月考）如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点、、都在格点上． （1）将向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，请作出； （2）连结，，则线段和线段的关系为______； （3）在整个平移的过程中，求线段扫过的面积． 4-2．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，已知点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线： （1）如图①，作一条直线l，使得点B关于l的对称点为P． （2）如图②，作一条过点C的直线m，使得点P关于m的对称点落在上．（保留作图痕迹，不写作法） 4-3.（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，在的网格纸中给定了图形Ⅰ和格点O的位置（图形I的顶点均在格点上）． （1）画出图形I先向下平移4格，再向右平移2格后的图形Ⅱ； （2）画出图形Ⅰ绕点O旋转后的图形Ⅲ； （3）在（1），（2）所作的图形中，图形Ⅲ可以看成是由图形Ⅱ经过一次___________得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． 4-4.（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上． （1）将绕点C按逆时针方向旋转，画出旋转后所得的； （2）将向下平移4个单位长度，画出平移后所得的； （3）线段在平移的过程中扫过区域的面积为____________． 二、综合篇 【考点七】幂的运算与整式乘法运算化简求值 【题型1】幂的运算与零指数、负整指数综合 1-1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算： （1） （2） 1-2．（24-25七年级下·重庆·期中）计算： （1） （2） 1-3．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算： （1）． （2）． 1-4．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【题型2】整式乘法与乘法公式综合运算 2-1.（25-26七年级上·江苏南京·月考）计算： （1）； （2）． 2-2.（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）计算： （1）； （2）； （3）． 2-3.（24-25七年级下·广西贵港·期中）计算： （1） （2） 2-4.（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）计算： （1）； （2）． 【题型3】整式乘法与乘法公式综合化简求值 3-1.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）先化简，再求值： 其中 3-2.（24-25七年级下·江苏泰州·月考）先化简，再求值：，其中，． 3-3.（24-25七年级下·江苏扬州·期末）先化简，再求值：，其中． 3-4.（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列是一道例题的部分解答过程，其中A、B是两个关于x、y的二项式． 例题：化简：， 解：原式， ____________．（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号） 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： （1）多项式A为____________，多项式B为____________；例题的化简结果为____________； （2）先化简，再求值：，其中，． 【考点八】图形变换性质的求值证明 【题型1】利用平移性质求值证明 1-1．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，长方形中，，第1次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，…，第n次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长度为2025，则n的值为（   ） A．504 B．505 C．2021 D．2025 1-2.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，将沿所在直线向右平移，得到，点为延长线上一点，交于点，平分，，则____． 1-3.（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，，将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． （1）依题意在图中补全图形，并证明：； （2）过点作直线，在直线上取点，使．当时，在备用图中画出图形，并求出与之间的数量关系． 1-4.（2025七年级下·河南·专题练习）如图，线段和相交于点M，交于点N． （1）将线段沿线段所示的方向平移，使点M与点E重合，在图中画出平移后的线段； （2）若小梦测量出，求和的度数． 【题型2】利用轴对称性质求值证明 2-1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，，点M、N分别在射线上，的面积为12，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为．当点P在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．8 B．12 C．16 D．24 2-2.（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在点处，折痕为．点F为射线上一点，连接，将长方形纸片的另一角沿折叠，使得点B落在点处（折痕为）．若，则___________． 2-3．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． （1）求的周长； （2）连接、，若，求的度数． 2-4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）【观察发现】（1）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使落在上，为折痕，则的度数为________； 【思维拓展】（2）若规定：当两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“巧角”． 即：若，则和是一组“巧角”（，）． ①在条件（1）中，当点、、三点共线时，和是一组“巧角”，求的度数； ②当点、、三点不共线时，和还是一组“巧角”，且，，求的度数． 【题型3】利用旋转、中心对称性质求值证明 3-1．（23-24七年级下·重庆·月考）将一副三角板按如图放置，三角板可绕点旋转，点为与的交点，下列结论中正确的个数是（　　） （1）若平分，则 （2）若，则 （3）若，则 （4）若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3-2.（23-24八年级下·湖南邵阳·月考）如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 ________（填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 3-3.（24-25七年级上·江苏扬州·月考）已知一副三角板按图1所示摆放，．，，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧，保持不动．      （1）在图1中，_________； （2）将绕点旋转至如图2所示的位置，则_________； （3）将绕点逆时针方向旋转到边平分时，求旋转角的度数； （4）将绕点逆时针方向旋转时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出的所有值． 3-4.（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长度． 【考点九】整式乘法与图形变换实际应用 【题型1】整式乘法与乘法公式的应用 1-1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）边长分别为和a的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 1-2.（24-25七年级下·江苏徐州·月考）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为________． 1-3.（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． （1） ； （2） ；若是完全平方式，则 ； （3）若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    1-4.（24-25七年级下·江苏连云港·月考）探究： （1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________（用含a，b的等式表示） 应用：（2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为___________． ②计算：． 拓展：（3）计算：． 【题型2】图形变换的应用 2-1.（23-24七年级下·江苏盐城·月考）如图，有一块长方形区域，，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为米，若边的长为米，则图中空白区域的面积为（      ）平方米． A． B． C． D． 2-2.（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 2-3.（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置． （1）如图①，如果点，点到外河岸的距离都是，请确定两座桥的位置，画出示意图． （2）如图②，如果点，点到外河岸的距离分别是和，请确定两座桥的位置，画出示意图． 2-4．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明． ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， 请完整地写出小亮的证明过程． 【解决问题】 如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．） 三、压轴篇 【考点十】整式乘法与图形变换实际应用 【题型1】多项式乘多项式与整体代入求值 1-1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（   ） A． B． C． D． 1-2．（24-25八年级上·广西钦州·月考）阅读材料：“整体代入，解决问题”是数学中常见的方法，例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，“整体代入，解决问题”：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是________． 1-3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． （1）【探索】观察图形，写出一个三者之间的等量关系式：_________； （2）【应用】运用（1）中的结论，当时，求的值； （3）【拓展】若，求的值． 1-4．（25-26八年级上·福建泉州·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 【题型2】杨辉三角与整式展开式系数规律探索 2-1．（24-25八年级上·四川乐山·期末）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数……，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2024，余数为2021-3． 上述结论正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2-2．（2025七年级下·全国·专题练习）杨辉三角形是形如（这里，2，3，4……）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列：记载于1261年他所著的（详解九章算术）中．1854年：法国数学家帕斯卡也发现了这一规律，不过比杨辉迟了近四百年，杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就．如图是杨辉三角形与展开式的部分对照，请回答下列问题 （1）的展开式中系数为10的项是 __________． （2）的展开式中的系数是 ________． 2-3．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）下图是我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出的“杨辉三角”，揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 根据以上规律，解答下列问题： （1）的展开式中共有______项，其中第三项是______； （2）利用表中规律计算：；（不按照规律计算不得分） （3）设，在等式中当时，可得的值为_______，从而可求得的值为_______． 2-4．（24-25七年级下·山东济南·月考）“杨辉三角”揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 第一行          1 第二行        1   1                                    各项系数和为2 第三行       1  2  1                            各项系数和为4 第四行     1  3   3  1                   各项系数和为8 第五行   1   4  6  4   1          各项系数和为16 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为______． （2）将展开后，各项的系数和为______． （3）______． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行                 第二行                  第三行                    第四行                   第五行                                  …………………… （4）若表示第m行，从左到右数第n个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是______，表示的数是______． 【题型3】图形变换与分类讨论思想 3-1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，点B，D折叠后的对应点分别为，则下列结论正确的个数有（   ） ①若，则；②若点与点重合，则； ③若，则或；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3-2．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，分别过直线上的点和点作射线、，，，射线从开始绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从开始绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，在射线旋转一周的过程中，经过____秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 3.3．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图1，将一副三角尺拼在一起，使得与重合．在中，．在中，，如图2，将绕点A按逆时针方向以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒． （1）在图1中，________； （2）随着的旋转，与之间的数量关系为________； （3）当t为何值时，直线与的一条边平行？ 3.4.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知直角三角板中，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． （1）当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小． （2）当旋转方向为逆时针方向，且时，在图中，画出旋转得到的． （3）当时， ①若，求的度数． ②如图，当旋转方向为逆时针方向时，点为上一点．．在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $