专题 3.2 图形的旋转（知识梳理+题型精析+中考真题）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 3.2 图形的旋转（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】旋转及相关概念 1 ★【题型 1】判断生活中的旋转现象 2 ★【题型 2】判断一个图形旋转而形成的图案 2 ★【题型 3】确定旋转中心、旋转角、对应点 3 【知识点二】旋转的性质 4 ★【题型 4】旋转性质辨析 4 ★★【题型 5】求平面直角坐标系中绕着某点旋转后的坐标 5 ★★【题型 6】利用旋转性质求值 6 ★★【题型 7】利用旋转性质求值与证明 7 【知识点三】旋转作图 8 ★【题型 8】利用旋转性质作图 9 【知识点四】中心对称与中心对称图形 10 ★【题型 9】轴对称图形与中心对称图形的辨析 11 ★★【题型 10】利用中心对称与中心对称图形性质求值 11 二.中考真题 13 （一）单选题（6题） 13 （二）填空题（6题） 14 （二）解答题（4题） 15 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】旋转及相关概念 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的形状和大小。 ★【题型 1】判断生活中的旋转现象 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）举出现实生活中旋转的一些实例． 【变式1】（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列现象：时针的转动；摩天轮的转动；地下水位逐年下降；传送带上的机器人其中，属于旋转的是________． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）请你举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角． ★【题型 2】判断一个图形旋转而形成的图案 【例题2】（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，和都是等边三角形，点在边上． （1）在图中找一对全等三角形，并说明理由； （2）在（1）中全等三角形中，其中一个是另一个经过怎样的图形变换得到的？ 【变式1】（24-25九年级上·山西大同·月考）下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·天津·期中）如图，都是等边三角形．可由绕点______，______方向，旋转______角度得到． 【变式3】（25-26七年级上·江苏·专题练习）如图，可以由经过怎样的变换而得到？请简要说明变换过程． ★【题型 3】确定旋转中心、旋转角、对应点 【例题3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在正方形网格中，将格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点，，的对应点分别为，，． （1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； （2）直接写出旋转角的度数． 【变式1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，等边经过平移或旋转都可以得到． （1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是______个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是_______；绕原点顺时针旋转得到，则旋转的角度是______； （2）连接，交于点，求的度数． 【知识点二】旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，对应角相等。 ★【题型 4】旋转性质辨析 【例题4】（23-24九年级上·北京·月考）如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，当点落在的中点处时，求的度数．    【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）平移、轴对称、旋转所具有的共同性质不包括（    ） A．变换前后两个图形重合 B．对应线段相等 C．对应角相等 D．对应线段平行或在一条直线上 【变式2】（25-26七年级下·湖南怀化·期末）如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点____ ，逆时针方向旋转了____度. 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，是等边三角形，是延长线上一点，经过旋转后到达的位置， （1）旋转中心是　　，逆时针旋转了　　度； （2）如果是的中点，那么经过上述旋转后，点转到的位置为　　． ★★【题型 5】求平面直角坐标系中绕着某点旋转后的坐标 【例题5】（25-26九年级上·江西新余·月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，连接． （1）将线段绕着点O逆时针旋转得线段，则点的坐标为 ． （2）将线段绕着点O逆时针旋转得线段，求点的坐标． 【变式1】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________． 【变式3】（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）点C关于原点对称点的坐标为___________； （2）画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点、的坐标； （3）若点P为x轴上一点，则的最小值为___________． ★★【题型 6】利用旋转性质求值 【例题6】（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）求的长度． （2）求的面积． 【变式1】（25-26九年级上·四川绵阳·月考）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为______． 【变式3】（24-25九年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，连接．求的长． ★★【题型 7】利用旋转性质求值与证明 【例题7】（2025九年级下·北京·专题练习）如图，中，，将绕点逆时针旋转到，的延长线与相交于点，连接、． （1）求证：； （2）若，求的长． 【变式1】（2025·浙江台州·三模）在等边中，为内的一点，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【变式2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9； ④．其中正确的序号是 ______ 【变式3】（24-25九年级上·甘肃武威·月考）如图，在中，，，在平面内任取一点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，，． （1）请根据题意补全图1； （2）猜测和的数量关系并证明； （3）作射线，交于点，把绕点旋转，当，，时，补全图形，直接写出的长． 【知识点三】旋转作图 （1） 确定旋转中心、方向和角度：明确绕哪一点旋转，是顺时针还是逆时针，以及旋转的角度大小； （2） 连接关键点与旋转中心：将原图形的每个关键点分别与旋转中心用线段连接起来； （3） 作等角并截取等长线段：以旋转中心为顶点，以上一步画出的线段为一边，按指定旋转方向作与旋转角相等的角；在角的另一边上截取与原线段长度相等的线段，得到该关键点旋转后的对应点； （4） 重复操作得到所有对应点：对原图形的每一个关键点，都重复步骤（2）和（3），得到全部对应点； （5） 顺次连接对应点：按照原图形的顶点顺序，依次连接所有对应点，形成旋转后的新图形。 ★【题型 8】利用旋转性质作图 【例题8】（25-26八年级上·山东烟台·期末）在直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）请在图中画出： （2）画出关于原点成中心对称的； （3）将向上平移4个单位长度后得到，请在图中画出； （4）将绕原点按逆时针方向旋转后得到，请在图中画出． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，的三个顶点的坐标分别为、、，将绕着原点O顺时针旋转后，A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，将线段绕点P按顺时针方向旋转，得到线段，其中点A、B的对应点分别是点、，则点的坐标是______． 【变式3】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为； （1）若与关于原点成中心对称，写出顶点的坐标：_____，_____，_____； （2）画出绕原点逆时针旋转得到的． 【知识点四】中心对称与中心对称图形 （1）定义：如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫作它们的对称中心。 （2）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。 （3）把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心。 ★【题型 9】轴对称图形与中心对称图形的辨析 【例题9】（25-26九年级上·重庆忠县·期末）如图，已知点O为边的中点． （1）作关于点O成中心对称的图形，并标出有关点的字母（不写作法，保留作图痕迹）； （2）写出图（含所作图形）中以点O为对称中心的两对三角形． 【变式1】（2026·湖南邵阳·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西延安·期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图，这是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，且点的坐标分别为，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的坐标为________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）用图中四个全等的直角三角形和一个正方形拼接成一个中心对称图形，并画出你所拼接的图形． ★★【题型 10】利用中心对称与中心对称图形性质求值 【例题10】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，和关于点成中心对称，若，，，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）平面直角坐标系中，点P关于x轴的对称点为，点P关于y轴的对称点为，则为（    ） A．0 B． C．2 D．8 【变式2】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 【变式3】（24-25八年级下·江西宜春·月考）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： （1）应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 （2）应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·四川自贡·中考真题）起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知直角坐标系，点在该坐标系中的坐标为，现将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置，则点在新坐标系中的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 6．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2） 填空题（6题） 7．（2023·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________． 8．（2023·山东枣庄·中考真题）银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为，将银杏叶绕原点顺时针旋转后，叶柄上点A对应点的坐标为___________．    9．（2023·浙江金华·中考真题）在直角坐标系中，点绕原点逆时针方向旋转，得到的点的坐标是__________． 10．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段　绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是________．    11．（2023·湖北十堰·中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为，，的中点，G，H分别为，的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________，最大值为___________________．    12．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是______．    （3） 解答题（4题） 13．（2023·浙江宁波·中考真题）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．   （1）在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的． （2）将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． 14．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）． （1）在图中画一个等腰三角形，使底边长为，点E在上，点F在上，再画出该三角形绕矩形的中心旋转180°后的图形． （2）在图中画一个，使，点Q在上，点R在上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形． 15．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空． （1）画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接； （2）画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C； （3）填空：的度数为_________． 16．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    （3）如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.2 图形的旋转（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】旋转及相关概念 1 ★【题型 1】判断生活中的旋转现象 2 ★【题型 2】判断一个图形旋转而形成的图案 3 ★【题型 3】确定旋转中心、旋转角、对应点 5 【知识点二】旋转的性质 8 ★【题型 4】旋转性质辨析 8 ★★【题型 5】求平面直角坐标系中绕着某点旋转后的坐标 11 ★★【题型 6】利用旋转性质求值 16 ★★【题型 7】利用旋转性质求值与证明 19 【知识点三】旋转作图 24 ★【题型 8】利用旋转性质作图 25 【知识点四】中心对称与中心对称图形 29 ★【题型 9】轴对称图形与中心对称图形的辨析 29 ★★【题型 10】利用中心对称与中心对称图形性质求值 32 二.中考真题 34 （一）单选题（6题） 34 （二）填空题（6题） 42 （二）解答题（4题） 49 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】旋转及相关概念 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的形状和大小。 ★【题型 1】判断生活中的旋转现象 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）举出现实生活中旋转的一些实例． 【答案】汽车开动时的车轮、钟表、酒店的旋转门等等 【分析】根据旋转的定义，结合实际生活可得答案． 解：汽车开动时的车轮：旋转中心是轴心； 钟表：旋转中心是表盘心； 酒店的旋转门：旋转中心是中间的立柱． 【点拨】本题考查生活中的旋转现象，解题关键是掌握旋转的定义． 【变式1】（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转运动；旋转运动是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．选项A、B、C均为平移运动，只有选项D的荡秋千是围绕固定点旋转． 解：∵ 旋转运动需围绕固定点转动， A项为平移运动，无旋转中心； B项传送带为平移运动； C项电梯为上下平移运动； D项荡秋千是围绕悬挂点做圆弧运动，属于旋转运动． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列现象：时针的转动；摩天轮的转动；地下水位逐年下降；传送带上的机器人其中，属于旋转的是________． 【答案】 【分析】本题考查了图形的旋转，旋转是在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，解决本题的关键是根据旋转的定义进行判断即可． 解：时针的转动属于旋转； 摩天轮的转动属于旋转； 地下水位逐年下降属于平移，不是旋转； 传送带上的机器人属于平移，不是旋转． 故答案为： ． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）请你举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角． 【答案】见分析 【分析】根据旋转的性质举例． 解：生活中的旋转现象有很多，比如： 汽车开动时的车轮：旋转中心是轴心，旋转角是车轮上对应点与轴心连线的夹角； 钟表：旋转中心是三个指针重叠的表盘心；旋转角是表盘上指针上对应点与表盘心连线的夹角； 荡秋千：旋转中心是秋千固定的端点，旋转角是秋千上对应点与秋千固定点连线的夹角． 【点拨】本题考查的是旋转变换的概念和性质，掌握对应点与旋转中心连线的夹角是旋转角是解题的关键． ★【题型 2】判断一个图形旋转而形成的图案 【例题2】（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，和都是等边三角形，点在边上． （1）在图中找一对全等三角形，并说明理由； （2）在（1）中全等三角形中，其中一个是另一个经过怎样的图形变换得到的？ 【答案】（1）；理由见分析；（2）可以看作是由绕着点A逆时针旋转得到的（或可以看作是由绕着点A顺时针旋转得到的） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，旋转的定义； （1）根据等边三角形的性质得出，，，根据证明即可； （2）根据旋转的定义进行判断即可； 解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和三角形全等的判定方法． 解：（1）解：；理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴； （2）解：根据解析（1）可知，可以看作是由绕着点A逆时针旋转得到的．（或可以看作是由绕着点A顺时针旋转得到的） 【变式1】（24-25九年级上·山西大同·月考）下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转变换，熟练掌握旋转变换的特点是解题的关键．根据图形变换的特点，对选项逐个分析判断即可． 解：A、此选项图案在设计中用到平移变换方式，不符合题意； B、此选项图案在设计中用到旋转变换方式，符合题意； C、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； D、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·天津·期中）如图，都是等边三角形．可由绕点______，______方向，旋转______角度得到． 【答案】 顺时针 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，旋转的定义，由等边三角形的性质可得，，，进而得到，即可根据旋转的定义求解，掌握等边三角形的性质和旋转的定义是解题的关键． 解：∵都是等边三角形， ∴，，， ∴ 即， ∴， ∴可由绕点顺时针方向旋转得到， 故答案为：，顺时针，． 【变式3】（25-26七年级上·江苏·专题练习）如图，可以由经过怎样的变换而得到？请简要说明变换过程． 【答案】把先向右平移1个单位，再绕点B逆时针旋转可得到（答案不唯一） 【分析】利用平移和旋转变换说明变换过程即可． 解：根据网格和图形中与的相对位置， 可知：把先向右平移1个单位，再绕点B逆时针旋转可得到． 即变换过程为：把先向右平移1个单位，再绕点B逆时针旋转． 【点拨】本题考查了几何变换，掌握平移变换、旋转变换的特点是解答本题的关键． ★【题型 3】确定旋转中心、旋转角、对应点 【例题3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在正方形网格中，将格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点，，的对应点分别为，，． （1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； （2）直接写出旋转角的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查作图确认旋转中心、旋转角，牢记相关的知识点是解题的关键． （1）连接，结合网格特点分别作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线交于点，则点即为所作； （2）根据旋转的性质，以及网格特点写出旋转角的度数即可． 解：（1）解： 所作旋转中心点如图所示： （2）解： 由图知，旋转角． 【变式1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【答案】 C （或） D 线段 【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等． 解：（1）∵经过旋转后得到， ∴旋转中心是点C，旋转角是（或）； （2）点的对应点是点D； （3）线段的对应线段是线段；的对应角是． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，等边经过平移或旋转都可以得到． （1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是______个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是_______；绕原点顺时针旋转得到，则旋转的角度是______； （2）连接，交于点，求的度数． 【答案】（1）2，轴，；（2） 【分析】（1）平移的距离为对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小，据此判断即可； （2）可得顶角为的等腰三角形，进而根据等腰三角形的性质即可求解． 解：（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵等边， ∴， ∴沿x轴向右平移得到，平移的距离是2个单位长度； 与关于直线对称，根据线段被y轴垂直平分可知，对称轴是y轴； 绕原点顺时针旋转得到，根据可知，旋转角度可以是； 故答案为：2；y轴；； （2）解：由旋转，得，． 为等边三角形， ， ， ． 又， ， ． 【知识点二】旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，对应角相等。 ★【题型 4】旋转性质辨析 【例题4】（23-24九年级上·北京·月考）如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，当点落在的中点处时，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出是等边三角形，进而得出答案，正确掌握直角三角形的性质是解题的关键． 解：将绕点逆时针旋转得到，    ∴，， ∵点可以恰好落在的中点处， ∴点是的中点， ∵， ∴，             ∴， 即是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）平移、轴对称、旋转所具有的共同性质不包括（    ） A．变换前后两个图形重合 B．对应线段相等 C．对应角相等 D．对应线段平行或在一条直线上 【答案】D 【分析】本题考查几何变换的类型，平行线的性质，利用平移，轴对称，旋转的性质一一判断即可． 解：平移、轴对称、旋转所具有的共同性质：变换前后两个图形重合，对应线段相等，对应角相等， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·湖南怀化·期末）如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点____ ，逆时针方向旋转了____度. 【答案】 N 90 【分析】根据对应点到旋转中心的距离相等可确定旋转中心，对应点与旋转中心的连线所形成的角为旋转角进行解答即可． 解：如图，连接N与两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且对应点与N的连线所成的角是直角，故旋转中心是点N，逆时针方向旋转了90°， 故答案为：N，90． 【点拨】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，是等边三角形，是延长线上一点，经过旋转后到达的位置， （1）旋转中心是　　，逆时针旋转了　　度； （2）如果是的中点，那么经过上述旋转后，点转到的位置为　　． 【答案】（1）点，60；（2）的中点 【分析】（1）根据旋转的定义，确定旋转中心和旋转角度即可； （2）根据旋转不改变形状即可解答． 解：（1）由经过旋转后到达的位置， 得，旋转中心是点，逆时针旋转了60度， 故填：点，60； （2）如果是的中点，那么经过上述旋转后，点转到的位置为的中点； 故填：的中点． 【点拨】本题主要考查的是旋转的性质、旋转的定义，掌握旋转前后图形所具有的性质——不变性质以及明确旋转中心、旋转角度和旋转位置成为解答本题的关键． ★★【题型 5】求平面直角坐标系中绕着某点旋转后的坐标 【例题5】（25-26九年级上·江西新余·月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，连接． （1）将线段绕着点O逆时针旋转得线段，则点的坐标为 ． （2）将线段绕着点O逆时针旋转得线段，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了旋转的性质、关于原点对称的点、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意可得点和点A的关于原点对称，据此即可求解； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，由旋转的性质可得，，通过证明，得到，，结合点A的坐标即可求解． 解：（1）解：∵线段绕着点O逆时针旋转得线段， ∴点和点A关于原点对称， ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为； 故答案为：； （2）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， 由旋转的性质可得，， ， ， ， ，， 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 【变式1】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作轴于点，由点的坐标可得：，，由旋转可得：，，证明，得到，，即可求解． 解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为， ，， 由旋转可得：，， ， 轴，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，进而可得点P的坐标． 解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P， 则线段绕点P逆时针旋转后能与线段重合， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）点C关于原点对称点的坐标为___________； （2）画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点、的坐标； （3）若点P为x轴上一点，则的最小值为___________． 【答案】（1）；（2）作图见分析，；（3） 【分析】本题考查了点的中心对称、作图旋转变换、轴对称最短路线问题、勾股定理，掌握相关知识及“将军饮马”问题是解答本题的关键． （1）根据点C关于原点对称，横纵坐标互为相反数可解答； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则的最小值为，再由勾股定理计算可得答案． 解：（1）解：∵点， ∴点C关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：； （2）解：∵绕点A逆时针旋转得到的，， ∴的点的坐标分别为． ∴如图1所示； （3）解：如图2，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则的最小值为． 由勾股定理，得． 故答案为：． ★★【题型 6】利用旋转性质求值 【例题6】（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）求的长度． （2）求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，于是可证得是等腰直角三角形，然后根据勾股定理即可求出的长度； （2）由（1）可知是等腰直角三角形，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，进而可得，然后利用三角形的面积公式即可求出的面积． 解：（1）解∵是旋转得到的，，， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， 在中，根据勾股定理可得： ， ∴； （2）解：∵， 由（1）可知，，，，是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的面积公式等知识点，由旋转的性质得出是等腰直角三角形并证明是直角三角形是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·四川绵阳·月考）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由题意可得，，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求，即可得的度数. 解：∵将绕点A顺时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A. 【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是解答本题的关键． 先由旋转性质得到，，，进而得到是等腰直角三角形，则，再根据题意，得到，在中，由含的直角三角形性质得到，从而由勾股定理求出，即可得到答案． 解：将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接， ，，， 即是等腰直角三角形， ，且， ， ，， 在中，，，，则， 由勾股定理可得， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，连接．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由旋转的性质可求得，的长和的大小，由勾股定理可求得的长，进而可求得的长，再次利用勾股定理即可求得的长． 解：由旋转的性质可知： ，，， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ． ★★【题型 7】利用旋转性质求值与证明 【例题7】（2025九年级下·北京·专题练习）如图，中，，将绕点逆时针旋转到，的延长线与相交于点，连接、． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质，关键是熟练运用旋转的性质得到相等的边和角，结合等边三角形与全等三角形的判定完成推理，再利用特殊直角三角形的性质求解线段长度． （1）根据旋转的性质得到，旋转角，据此判定为等边三角形，得到，结合已知，利用内错角相等，两直线平行即可证明； （2）由等边三角形的性质得，结合已知，公共边，利用判定，得到，进而推出相关角为，再利用含角的直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半的性质求解的长度． 解：（1）解：∵绕点逆时针旋转到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∵， ∴， 在中，，， ∴． 【变式1】（2025·浙江台州·三模）在等边中，为内的一点，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】此题考查了等边三角形的性质、旋转的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是通过构造辅助线（旋转三角形）将分散的角和线段关系集中，利用等边三角形和直角三角形的性质建立等量关系求解． 将绕点A顺时针旋转得到利用旋转性质得到结合等边三角形性质证为等边三角形，得通过角度计算推出；在中用勾股定理求出的长，进而得到的长． 解：将绕点A顺时针旋转，得到连接． ∵是等边三角形， ∴． 由旋转性质得：． ∴ ，即． 又∵ ∴是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵ 是等边三角形，故． ∴． 在中，，， ∴斜边． 由勾股定理得：即 解得，． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9； ④．其中正确的序号是 ______ 【答案】①②③④ 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，根据等边三角形的性质和旋转的性质，得到，即可得到是等边三角形判断①；根据，得到，判断②；将的周长转化为，判断③；根据三角形的外角和角的和差关系判断④即可． 解：∵等边， ∴， ∵将绕点B逆时针旋转，得到， ∴，，，， ∴是等边三角形；故①正确； ∵， ∴；故②正确； ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∵的周长；故③正确； ∵， 又∵， ∴；故④正确； 故答案为：①②③④． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃武威·月考）如图，在中，，，在平面内任取一点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，，． （1）请根据题意补全图1； （2）猜测和的数量关系并证明； （3）作射线，交于点，把绕点旋转，当，，时，补全图形，直接写出的长． 【答案】（1）图见分析；（2），证明见分析；（3）图见分析， 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）先证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （3）根据题意补全图形，再利用勾股定理即可求解． 解：（1）解：如图， （2）解：，证明如下： ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （3）解：①当点在左侧时，如图： ∵，，， ∴； ②当点在右侧时，如图： ∵，，， ∴； ∴综上所述，的长为． 【知识点三】旋转作图 （1） 确定旋转中心、方向和角度：明确绕哪一点旋转，是顺时针还是逆时针，以及旋转的角度大小； （2） 连接关键点与旋转中心：将原图形的每个关键点分别与旋转中心用线段连接起来； （3） 作等角并截取等长线段：以旋转中心为顶点，以上一步画出的线段为一边，按指定旋转方向作与旋转角相等的角；在角的另一边上截取与原线段长度相等的线段，得到该关键点旋转后的对应点； （4） 重复操作得到所有对应点：对原图形的每一个关键点，都重复步骤（2）和（3），得到全部对应点； （5） 顺次连接对应点：按照原图形的顶点顺序，依次连接所有对应点，形成旋转后的新图形。 ★【题型 8】利用旋转性质作图 【例题8】（25-26八年级上·山东烟台·期末）在直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）请在图中画出： （2）画出关于原点成中心对称的； （3）将向上平移4个单位长度后得到，请在图中画出； （4）将绕原点按逆时针方向旋转后得到，请在图中画出． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析；（4）见分析 【分析】本题考查了平移作图、作中心对称图形以及旋转作图，解题关键是掌握作图的关键步骤，即描点与连线．本题先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图． （1）先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图． （2）先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图． （3）先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图． （4）先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图． 解：（1）解：如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示： （4）如图所示： 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，的三个顶点的坐标分别为、、，将绕着原点O顺时针旋转后，A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转作图，旋转性质，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，画出绕着原点O顺时针旋转得到的，再读取A的对应点的坐标，即可作答． 解：依题意，画出绕着原点O顺时针旋转得到的，如图所示： ∴A的对应点的坐标为， 故选：D 【变式2】（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，将线段绕点P按顺时针方向旋转，得到线段，其中点A、B的对应点分别是点、，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】此题考查了图形的旋转作图．根据旋转的要求作出图形即可得到答案． 解：如图，线段即为所求，则点的坐标是， 故答案为： 【变式3】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为； （1）若与关于原点成中心对称，写出顶点的坐标：_____，_____，_____； （2）画出绕原点逆时针旋转得到的． 【答案】（1），，；（2）见分析 【分析】本题考查了中心对称的性质，画旋转图形． （1）根据关于原点成中心对称的点的横纵坐标互为相反数求解即可； （2）分别作出点绕原点逆时针旋转得到的点，再顺次连接即可． 解：（1）解：∵的三个顶点坐标分别为，且与关于原点成中心对称， ∴ 故答案为：，，； （2）解：如图，即为所求； 【知识点四】中心对称与中心对称图形 （1）定义：如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫作它们的对称中心。 （2）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。 （3）把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心。 ★【题型 9】轴对称图形与中心对称图形的辨析 【例题9】（25-26九年级上·重庆忠县·期末）如图，已知点O为边的中点． （1）作关于点O成中心对称的图形，并标出有关点的字母（不写作法，保留作图痕迹）； （2）写出图（含所作图形）中以点O为对称中心的两对三角形． 【答案】（1）见分析；（2）和关于点O成中心对称的图形，和关于点O成中心对称的图形（或和关于点O成中心对称的图形） 【分析】本题主要考查了画中心对称图形，中心对称图形的识别，熟知中心对称图形的相关知识是解题的关键． （1）以点O为圆心，的长为半径画弧，交延长线于点D，连接，则即为所求； （2）根据中心对称图形的定义求解即可． 解：（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：和关于点O成中心对称的图形， 和关于点O成中心对称的图形， 和关于点O成中心对称的图形． 【变式1】（2026·湖南邵阳·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是轴对称图形及中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的概念． 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐个选项判断即可． 解：选项，该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 选项，该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 选项，该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，选项正确； 选项，该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，选项错误． 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·陕西延安·期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图，这是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，且点的坐标分别为，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案． 解：根据点的坐标分别为，建立平面直角坐标系，如图所示： ∴当放入白子的位置在点处时，是中心对称图形． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）用图中四个全等的直角三角形和一个正方形拼接成一个中心对称图形，并画出你所拼接的图形． 【答案】见分析 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 根据中心对称图形的定义设计图案即可． 解：如图所示， ★★【题型 10】利用中心对称与中心对称图形性质求值 【例题10】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，和关于点成中心对称，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，解题的关键是对中心对称性质的应用．根据中心对称的性质及，由勾股定理可求得的长． 解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，， ∴ 由勾股定理得：． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）平面直角坐标系中，点P关于x轴的对称点为，点P关于y轴的对称点为，则为（    ） A．0 B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数．据此列式计算即可求解． 解：∵点P关于x轴的对称点为，点P关于y轴的对称点为， ∴与关于原点对称， ∴，， 解得，， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称及等边三角形的性质，熟知等边三角形的性质及中心对称的性质是解题的关键． 先求出及的长，进一步得出及的长，据此求出的长，最后用三角形的面积公式进行计算即可． 解：∵是等边三角形，O为的中点，， ∴，． 在中， ． ∵与关于点B中心对称， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·江西宜春·月考）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： （1）应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 （2）应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查中心对称性质的应用； （1）连接矩形的对角线交于点，则即为矩形的对称中心，连接直线，则直线平分矩形的面积，直线即为所求； （2）连接正方形对角线，取交点，则即为正方形的对称中心，由为的对称中心，则直线即平分正方形的面积也平分的面积，即平分阴影部分面积，直线与正方形边长交点组成的线段所在直线即为． 解：（1）解：如图，连接矩形的对角线交于点，作直线，直线即为所求； （2）解：如图，连接正方形对角线，取交点，作直线与正方形边长交点为，则直线即为所求． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·四川自贡·中考真题）起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知直角坐标系，点在该坐标系中的坐标为，现将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置，则点在新坐标系中的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转，点的坐标；根据题意得到点在新坐标系中的第一象限，且与原来横纵坐标互换，均为正数，即可求出． 解：将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置， ∴此时点在新坐标系中的第一象限，且原来横纵坐标互换均为正数， ∴点在新坐标系中的坐标为， 故选：B． 3．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的变换，熟练掌握点的对称与旋转是解决本题的关键． 先根据图中的位置求出点A的坐标，再根据关于y轴的对称可求解点，再根据绕原点O旋转即可求解点的坐标． 解：在平面直角坐标系中，点， ∴点A关于y轴对称的点， 将点绕原点O旋转， ∴如图，点． 故选：A． 4．（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，全等三角形的性质与判定，先根据题意得到平移方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为；如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，证明，得到，则，即点A的对应点的坐标是． 解：由题意得，平移前， ∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合， ∴平移方式为向右平移3个单位长度， ∴平移后点A的对应点坐标为， 如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A的对应点的坐标是， 故选：A． 5．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故选：D． 6．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答． 解：令则， ∴， 即， 令，则， 即， ∵沿轴翻折， ∴沿轴翻折得 设的解析式为， 把，代入 得， ∴， 则， ∴沿轴翻折不过点， ∴①不符合题意； ②令则， 解得， 即经过点， 令，则 即经过点， 连接，如图所示： ∵，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称， 故沿函数的图像翻折过点， ∴②符合题意； ③ 依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点； 过程如下： ∴， 此时点， 把代入， 得 ∴不在， 即绕原点按顺时针方向旋转不经过点， 故③不符合题意； ∵绕点按顺时针方向旋转，且， ∴记为T点，连接， ∴， ∴， 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点， ∴④符合题意． 故选：B． 【点拨】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （2） 填空题（6题） 7．（2023·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________． 【答案】1 【分析】根据关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数，进行解答即可． 解：∵点与点关于原点对称， ∴． 故答案为：1． 【点拨】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数． 8．（2023·山东枣庄·中考真题）银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为，将银杏叶绕原点顺时针旋转后，叶柄上点A对应点的坐标为___________．    【答案】 【分析】根据点的坐标，确定坐标系的位置，再根据旋转的性质，进行求解即可． 解：∵B，C的坐标分别为， ∴坐标系的位置如图所示：    ∴点的坐标为：， 连接，将绕点顺时针旋转后，如图，叶柄上点A对应点的坐标为； 故答案为： 【点拨】本题考查坐标与旋转．解题的关键是确定原点的位置，熟练掌握旋转的性质． 9．（2023·浙江金华·中考真题）在直角坐标系中，点绕原点逆时针方向旋转，得到的点的坐标是__________． 【答案】 【分析】把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题． 解：过A点作轴，过B点作轴，    ∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴, ∴点B的坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题． 10．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段　绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是________．    【答案】 【分析】首先画出图形，然后得到旋转3次为一循环，然后求出点在射线的延长线上，点在x轴的正半轴上，然后利用旋转的性质得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可． 解：如图所示，    由图象可得，点，在x轴的正半轴上， ∴．旋转3次为一个循环， ∵ ∴点在射线的延长线上， ∴点在x轴的正半轴上， ∵，是正三角形， ∴由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴同理可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴由旋转的性质可得，， ∴如图所示，过点作轴于点E，      ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标是． 故答案为：． 【点拨】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理，等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键． 11．（2023·湖北十堰·中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为，，的中点，G，H分别为，的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________，最大值为___________________．    【答案】 8 【分析】根据题意，可固定四边形，平移或旋转其它图形，组合成四边形，求出周长，判断最小值，最大值． 解：    如图1，，， ∴四边形周长=；          如图2， ∴四边形周长为； 故答案为：最小值为8，最大值. 【点拨】本题考查图形变换及勾股定理，通过平移、旋转组成满足要求的四边形是解题的关键． 12．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是______．    【答案】/ 【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解． 解：∵为高上的动点． ∴ ∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∴点在射线上运动， 如图所示，    作点关于的对称点，连接，设交于点，则 在中，，则， 则当三点共线时，取得最小值，即 ∵，， ∴ ∴ 在中，, ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键． （3） 解答题（4题） 13．（2023·浙江宁波·中考真题）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．   （1）在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的． （2）将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． 【答案】（1）画图见分析；（2）画图见分析 【分析】（1）先画等腰三角形，，再确定平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）确定A，B旋转后的对应点，而C的对应点是其本身，再顺次连接即可． 解：（1）解：如图，，即为所求作的三角形；    （2）如图，即为所求作的三角形，    【点拨】本题考查的是平移，旋转的作图，作等腰三角形，熟练的利用网格特点以及平移旋转的性质进行作图是解本题的关键． 14．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）． （1）在图中画一个等腰三角形，使底边长为，点E在上，点F在上，再画出该三角形绕矩形的中心旋转180°后的图形． （2）在图中画一个，使，点Q在上，点R在上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）底边长为即底边为小方格的对角线，根据要求画出底边，再在其底边的垂直平分线找到在格点上的顶点即可得到等腰，然后根据中心旋转性质作出绕矩形的中心旋转180°后的图形． （2）根据网格特点，按要求构造等腰直角三角形，然后按平移的规律作出平移后图形即可． 解：（1）（1）画法不唯一，如图1（ ，），或图2（）．    （2）画法不唯一，如图3或图4．    【点拨】本题主要考查了格点作图，解题关键是掌握网格的特点，灵活画出相等的线段和互相垂直或平行的线段． 15．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空． （1）画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接； （2）画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C； （3）填空：的度数为_________． 【答案】（1）详见分析；（2）详见分析；（3） 【分析】（1）根据题目叙述画出图形即可； （2）根据题目叙述画出图形即可； （3）由（1）作图可得是等腰直角三角形，且，由对称的性质可得． 解：（1）在方格纸中画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接,如图； （2）画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C；如上图所示： （3）由（1）作图可得是等腰直角三角形，且， 再根据对称的性质可得． 故答案为：． 【点拨】此题考查了旋转作图及作轴对称图形，解答本题的关键是仔细审题，得出旋转三要素，进而得出旋转后的图形． 16．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    （3）如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 【答案】（1）①等边；②两点之间线段最短；③；④A；（2）；（3） 【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论； （2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可， （3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可． 解：（1）解：∵， ∴为等边三角形； ∴，， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴，， ∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④． （2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，    ∵， ∴， 又∵ ∴， 由旋转性质可知：， ∴， ∴最小值为， （3）∵总的铺设成本 ∴当最小时，总的铺设成本最低， 将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， 当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，    过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为 总的铺设成本（元） 故答案为： 【点拨】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $