第23章 一次函数(重难题思维训练)（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）安徽专版

该初中数学课件聚焦八年级下册一次函数，涵盖与坐标轴平行线段长、最值、参数范围、几何面积等题型，通过基础例题到拔高、压轴变式题，搭建由浅入深的学习支架，衔接函数与几何知识脉络。 其亮点在于融入合肥、安庆等地期末真题，以真实情境培养数学眼光，通过构造全等模型等逻辑推理发展数学思维，用函数解析式与几何模型强化数学语言。学生能提升综合应用能力，教师可获得丰富题型与真题资源，优化教学效率。

初中数学 八年级下册·（RJ版）·安徽专版 第二十三章　一次函数 题型11　求与坐标轴平行的线段长有关的问题 如图，一次函数y＝－ x＋3的图象与x轴、y轴分别交于 A，B两点，C是线段AB上的一点，CD⊥OA于点D， CE⊥OB于点E，OD＝2OE，则点C的坐标为 ⁠. （ ， ） 例题图 上一页 下一页 拔高题 【变式1】如图，直线y＝－x＋4和直线y＝2x＋1相交于点 A，分别与y轴交于B，C两点.在x轴上有一动点P（a， 0），过点P作x轴的垂线，分别交直线y＝－x＋4和直线y＝ 2x＋1于点D，E. 若DE＝18，则此时点P的坐标为 ⁠ ⁠. （7， 0）或（－5，0）　 变式1图 上一页 下一页 【变式2】已知一次函数y＝kx＋2的图象与x轴交于点A，与y 轴交于点C，一次函数y＝－x＋4的图象与x轴交于点B，与y 轴交于点D，两函数图象交于点P（m，3）. （1）求k和m的值. 解：（1）把P（m，3）代入y＝－x＋4，得3＝－m＋4，解 得m＝1，所以P（1，3）. 把P（1，3）代入y＝kx＋2，得3＝k＋2，解得k＝1. （2）若直线AC上有一动点Q，过点Q作直线QH平行于y轴， 与直线BD交于点H. 当QH＝OB时，求点Q的坐标. 上一页 下一页 解：（2）由（1），得y＝x＋2. 令y＝0，得－x＋4＝0，解得x＝4，所以OB＝4. 设Q（t，t＋2），则H（t，－t＋4）. 因为QH＝OB，所以｜－t＋4－（t＋2）｜＝4，所以｜－2t ＋2｜＝4，解得t＝3或t＝－1. 当t＝3时，t＋2＝5；当t＝－1时，t＋2＝1， 所以点Q的坐标为（3，5）或（－1，1）. 上一页 下一页 压轴题 【变式3】（2025•合肥瑶海区期末）直线l1：y＝2x＋m （m＞0）与x轴、y轴分别相交于点A，D，直线l2：y＝－x ＋n（n＞0）与x轴、y轴分别相交于点B，E，两直线的交点 为C，AB＝4. （1）当m＝4时，点C的坐标为 ⁠； （2）若D，E两点之间的距离为2，则m＝ ⁠. （－ ， ）　 4或 　 上一页 下一页 题型12　利用一次函数的性质求最值 （2025•合肥琥珀教育集团期末）若对于x的每一个值，y是 y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝－x中的最大值，则当x变化时，函 数y的最小值为（　A　） A. 1 B. 4 C. 8 D. A 上一页 下一页 拔高题 【变式1】（2025•合肥四十五中期末）已知函数y＝ ＝ （1）若a＝1，当0≤x≤2时，y的取值范围是 ⁠； （2）当1≤x≤3时，y有最小值5，则a的值是 ⁠. 0≤y≤1　 8或－4　 上一页 下一页 压轴题 【变式2】（2025•安庆外国语期末节选）已知函数y＝ 其中m为常数，该函数的图象记为G. （1）当m＝－2时，若点D（3，n）在图象G上，求n的值； 解：（1）当m＝－2时，函数y＝ ∵点D（3，n）在图象G上， ∴当x＝3时，n＝－3－2＝－5. 上一页 下一页 【变式2】（2025•安庆外国语期末节选）已知函数y＝ 其中m为常数，该函数的图象记为G. （2）当m＝2时，求函数的最大值； 解：（2）当m＝2时，函数y＝ 当x＜2时，由k＝1＞0，得y随x的增大而增大， 即当x＝2时，函数有最大值2； 当x≥2时，由k＝－1＜0，得y随x的增大而减小，即当x＝2 时，函数有最大值2. 综上，函数的最大值为2. 上一页 下一页 【变式2】（2025•安庆外国语期末节选）已知函数y＝ 其中m为常数，该函数的图象记为G. （3）当m－1≤x≤m＋1时，求函数最大值与最小值的差. 解：（3）由题意可得，当x＜m时， y随x的增大而增大； 当x≥m时，y随x的增大而减小. ①当m－1≤x≤m时，y随x的增大而增大. 上一页 下一页 当x＝m时，y有最大值－m＋ m＋1＝ m＋1； 当x＝m－1时，y有最小值m－1－ m＋1＝ m. ②当m≤x≤m＋1时，y随x的增大而减小. 当x＝m时，y有最大值－m＋ m＋1＝ m＋1； 当x＝m＋1时，y有最小值－m－1＋ m＋1＝ m. 综上，当m－1≤x≤m＋1时，y有最大值 m＋1，最小值 m， ∴函数最大值与最小值的差为 m＋1－ m＝1. 上一页 下一页 题型13　根据函数值的大小关系求参数的取值范围 （2025•安庆外国语期末）在平面直角坐标系xOy中，一次 函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与函数y＝2x的图象平行，且 过点A（1，3）. （1）求这个一次函数的解析式； 解：（1）∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与函数y＝2x的图象平行，∴k＝2. ∵一次函数y＝2x＋b的图象过点A（1，3）， ∴3＝2×1＋b，∴b＝1， ∴这个一次函数的解析式为y＝2x＋1. 上一页 下一页 （2025•安庆外国语期末）在平面直角坐标系xOy中，一次 函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与函数y＝2x的图象平行，且 过点A（1，3）. （2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的 值都大于函数y＝kx＋b（k≠0）的值，求m的取值范围. 解：（2）如图所示. 当x＝2时，y＝2×2＋1＝5. 把（2，5）代入y＝mx，∴m＝ . 由图象可知，当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值都大于函数y＝kx＋b（k≠0）的值，∴m≥ . 上一页 下一页 拔高题 【变式1】（2024•马鞍山七中期末）当x＜1时，对于x的每 一个值，函数y＝2x的值都大于一次函数y＝ax－2的值，则a 的取值范围是 ⁠. 【变式2】（2024•合肥瑶海区期末改编）当x＜3时，对于x的 每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值都大于一次函数y＝x－ 2的值，则m的取值范围是 ⁠. 2≤a≤4　 ≤m≤1　 上一页 下一页 【变式3】（2025•合肥蜀山区期末节选）在平面直角坐标系 xOy中，函数y＝mx－1（m≠0）与y＝－mx＋3的图象交于 点（3，1）.当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝kx （k≠0）的值既大于函数y＝mx－1（m≠0）的值，也大于函 数y＝－mx＋3的值，则k的取值范围是 ⁠. k≥ 　 上一页 下一页 压轴题 【变式4】（2025•芜湖二十九中期末）如图，直线y＝2x－ 6与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的正半轴上，点 D在直线AB上，且CB＝10，CD＝OD. 若P为线段AB上的一 个动点，且点P关于x轴的对称点Q总在△OCD内（不包括边 界），则点P的横坐标m的取值范围为（　D　） D A. ＜m＜ B. ＜m＜ C. ＜m＜ D. ＜m＜ 上一页 下一页 题型14　含参直线与线段（直线）的交点问题 （2024•六安九中期末节选）如图，在平面直角坐标系中， 已知点A（－5，2），B（－1，2），直线y＝kx－1与y轴交 于点C，与线段AB交于点P. 若点A和点B在直线y＝kx－1的 两侧，则k的取值范围是 ⁠. －3＜k＜－ 　 上一页 下一页 拔高题 【变式1】（2024•合肥蜀山区期末）已知一次函数y＝kx－4 －k（k≠0）. （1）无论k取何非零的值，一次函数的图象都经过一定点，则 这个点的坐标是 ⁠； （2）在平面直角坐标系中有一条线段AB，其中A（－1， 2），B（4，1），若这个一次函数的图象与线段AB相交，则 k的取值范围是 ⁠. （1，－4）　 k≤－3或k≥ 　 上一页 下一页 【变式2】（2024•池州期中节选）如图，已知在长方形ABCD 中，点A的坐标为（－2，3），AD＝5，AB＝2.若一次函数y ＝k（x－1）（k为常数，k≠0）的图象与长方形ABCD的边 有公共点，则k的取值范围是 ⁠. k≥ 或k≤－ 　 上一页 下一页 压轴题 【变式3】（2025•合肥四十五中期末）新定义：对于两个实 数a，b，我们用max{a，b}表示这两个数中较大的数，即 max{a，b}＝ 已知函数y＝max{2x－1，－x＋2}. （1）当x＝1时，y＝ ⁠； （2）若过定点的直线y＝kx＋3k－1与函数y＝max{2x－1， －x＋2}的图象有两个交点，则k的取值范围是 ⁠. 1　 ＜k＜2　 上一页 下一页 【变式4】（2025•安庆外国语期末改编）已知函数y＝ 其中m为常数，该函数的图象记为 G. 已知A（ m，－2），B（－ m，－2），当图象G与线 段AB只有一个公共点时，m的取值范围是 ⁠ ⁠. m≥3或－ ≤m≤－ 　 上一页 下一页 题型15　一次函数背景下几何图形的面积问题 （2025•合肥三十八中期中）如图，直线y＝ x＋6交坐标轴 于点A，B，将△AOB向x轴负半轴平移4个单位长度得到 △CDE，则图中阴影部分的面积为（　C　） C A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 例题图 上一页 下一页 拔高题 【变式1】（2024•合肥四十二中期中）如图，点A，B的坐 标分别为（2，0），（0，1），P是第一象限内直线y＝－ x ＋2上的一个动点，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB 的面积（　D　） D 变式1图 A. 逐渐增大 B. 逐渐减少 C. 先减少后增大 D. 不变 上一页 下一页 【变式2】（2025•蚌埠经开区期末）如图，在平面直角坐标系 xOy中，△OAB，△BCD均是等腰直角三角形，其直角顶点 A，C在直线y＝ x＋b上，点B，D在x轴上，且OB＝8. （1）点A的坐标是 ⁠； （2）△BCD的面积是 ⁠. （4，4）　 　 变式2图 上一页 下一页 【变式3】（2025•六安金安区期末）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数y＝ x＋2的图象分别与x轴、y轴交于点A， B，C是线段OA上的一个动点（不与点O和点A重合），过点 C作CD∥y轴交直线AB于点E，使CD＝ OC，设点C的横坐 标为m. （1）求点A，B的坐标； 解：（1）在y＝ x＋2中，当y＝0时，x＝－3， ∴A（－3，0）； 当x＝0时，y＝2，∴B（0，2）. 上一页 下一页 【变式3】（2025•六安金安区期末）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数y＝ x＋2的图象分别与x轴、y轴交于点A， B，C是线段OA上的一个动点（不与点O和点A重合），过点 C作CD∥y轴交直线AB于点E，使CD＝ OC，设点C的横坐 标为m. （2）当DE＝CE时，求m的值； 上一页 下一页 解：（2）∵点C的横坐标为m，∴OC＝－m. 在y＝ x＋2中，当x＝m时，y＝ m＋2，∴CE＝ m＋2. ∵CD＝ OC，∴CD＝－ m， ∴DE＝CD－CE＝－ m－（ m＋2）＝－ m－2. 由DE＝CE，得－ m－2＝ m＋2， 解得m＝－ . 上一页 下一页 【变式3】（2025•六安金安区期末）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数y＝ x＋2的图象分别与x轴、y轴交于点A， B，C是线段OA上的一个动点（不与点O和点A重合），过点 C作CD∥y轴交直线AB于点E，使CD＝ OC，设点C的横坐 标为m. （3）连接AD，BD，在点C运动的过程中，当S△ABD＝S△AOB时，求m的值. 上一页 下一页 解：（3）如图，过点B作BF⊥DE于点F. S△ABD＝S△ADE＋S△BDE＝ DE•AC＋ DE•BF＝ DE•AC＋ DE•OC＝ DE• （AC＋OC）＝ DE•OA. ∵S△ABD＝S△AOB，S△AOB＝ OB•OA， ∴DE＝OB，∴－ m－2＝2，解得m＝－ . 上一页 下一页 压轴题 【变式4】（2025•亳州谯城区期末）如图1，已知一次函数y ＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于点A （4，0），B，E为y轴负半轴上的一点，且OA＝2OB， S△ABE＝12. （1）求该一次函数的解析式； 上一页 下一页 解：（1）∵A（4，0），OA＝2OB，∴B（0，2）. 把A（4，0），B（0，2）代入y＝kx＋b，得 解得 ∴该一次函数的解析式为y＝－ x＋2. 上一页 下一页 【变式4】（2025•亳州谯城区期末）如图1，已知一次函数y ＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于点A （4，0），B，E为y轴负半轴上的一点，且OA＝2OB， S△ABE＝12. （2）求直线AE的函数解析式； 上一页 下一页 解：（2）由题意，知OA＝4，OB＝2. ∵S△ABE＝12， ∴ BE•OA＝ ×（2＋OE）×4＝12， 解得OE＝4， ∴点E的坐标为（0，－4）. 设直线AE的函数解析式为y＝k′x－4. 将A（4，0）代入，得0＝4k′－4， 解得k′＝1， ∴直线AE的函数解析式为y＝x－4. 上一页 下一页 （3）如图2，直线y＝mx交直线AB于点M，交直线AE于点N，当S△OEN＝2S△OBM时，求m的值. 上一页 下一页 解：（3）如图2，过点M作MC⊥x轴于点C，过点N作 ND⊥x轴于点D. 由（2），知OE＝4. ∵S△OEN＝2S△OBM，∴ OE•OD＝2× OB•OC， 即 ×4×OD＝2× ×2×OC，∴OD＝OC. 在△DON和△COM中， ∴△DON≌△COM（ASA），∴DN＝CM. 设点N的坐标为（n，n－4）， 则点M的坐标为（－n，－n＋4）. 上一页 下一页 将点M的坐标代入y＝－ x＋2，得－n＋4＝－ ×（－n）＋ 2，解得n＝ ， ∴点N的坐标为（ ，－ ）. 将点N的坐标代入y＝mx，得－ ＝ m，解得m＝－2， 即m的值为－2. 上一页 下一页 【变式5】（2025•合肥寿春中学期末改编）如图，四边形 ABCD的顶点坐标分别为A（－4，0），B（－2，－1），C （3，0），D（0，3）. （1）四边形ABCD的面积为 ⁠； 14　 【解析】（1）∵A（－4，0），B（－2，－1），C（3，0），D（0，3），∴AC＝7， ∴S四边形ABCD＝S△ADC＋S△ABC ＝ AC•OD＋ AC•（－yB） ＝ ×7×3＋ ×7×1＝14. 故答案为14. 上一页 下一页 【变式5】（2025•合肥寿春中学期末改编）如图，四边形 ABCD的顶点坐标分别为A（－4，0），B（－2，－1），C （3，0），D（0，3）. （2）当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分 时，直线l对应的函数解析式为 ⁠. y＝ x＋ 　 上一页 下一页 【解析】（2）当直线l与x轴平行时，直线l不能将四边形ABCD分成面积相等的两部分. 如图，设直线l与x轴的交点为M，与直线CD的交点为G. 设直线l对应的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）. 将B（－2，－1）代入，得－1＝－2k＋b， ∴b＝2k－1，∴直线l对应的函数解析式为y＝kx＋2k－1. 当y≥0时，x＝ ， 上一页 下一页 ∴点M的坐标为（ ，0），∴CM＝3－ . 设直线CD对应的函数解析式为y＝ax＋d. 将C（3，0），D（0，3）代入，得 解得 ∴直线CD对应的函数解析式为y＝－x＋3. 当k＝－1时，直线l与直线CD平行， 此时直线l不可能将四边形ABCD分成 面积相等的两部分. 上一页 下一页 联立 解得 ∴点G的坐标为（ ， ）. ∵S△BCG＝S△BCM＋S△GCM＝ CM•（－yB）＋ CM•yG， ∴S△BCG＝ CM•（yG－yB）. 上一页 下一页 ∵过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分， ∴S△BCG＝ S四边形ABCD， ∴ ×（3－ ）×（ ＋1）＝ ×14，解得k＝ ， ∴直线l对应的函数解析式为y＝ x＋ . 故答案为y＝ x＋ . 上一页 下一页 题型16　一次函数背景下求线段最值问题 （2025•阜阳期末）材料一：如图1，由函数y＝－6x与y＝ －6x＋5的图象可知，直线y＝－6x＋5可以由直线y＝－6x向 上平移5个单位长度得到.由此我们得到正确的结论一：在直线 l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2中，如果k1＝k2且 b1≠b2，那么l1∥l2；反过来，也成立. 上一页 下一页 材料二：如图2，由函数y＝2x－1与y＝－0.5x＋1的图象可 知，利用所学知识一定能证出这两条直线是互相垂直的.由此 我们得到正确的结论二：在直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x ＋b2中，如果k1•k2＝－1，那么l1⊥l2；反过来，也成立. 应用举例：已知直线y＝－ x＋5 与直线y＝kx＋2互相垂直， 则－ k＝－1，解得k＝6. 上一页 下一页 （1）请写出一个解析式，使其对应的图象与直线y＝x－3平 行. 解：（1）∵两条直线平行，∴k1＝k2＝1，b1≠b2＝－3， ∴该直线的解析式可以为y＝x.（答案不唯一） 解决问题： 上一页 下一页 （2）如图3，点A的坐标为（－1，0），P是直线y＝－3x＋2 上的一个动点，当点P运动到何位置时，线段PA的长度最小？ 求出此时点P的坐标. 解：（2）过点A作AP⊥直线y＝－3x＋2于点P，此时线段PA的长度最小，如图3所示. ∵直线PA与直线y＝－3x＋2垂直， ∴设直线PA的解析式为y＝ x＋b. 上一页 下一页 ∵点A（－1，0）在直线PA上， ∴ ×（－1）＋b＝0，解得b＝ ， ∴直线PA的解析式为 y＝ x＋ . 联立 解得 ∴当线段PA的长度最小时，点P的坐标为（ ， ）. 上一页 下一页 压轴题 【变式1】【一题多解】（2025•淮南期末）已知在平面直角 坐标系xOy中，有一点A（－4，0），且点B在直线y＝x＋2上.当A，B两点间的距离最小时，点B的坐标是 ⁠ ⁠. （－3，－1） 上一页 下一页 【解析】解法1（几何法）：如图，过点A作AB⊥直线y＝x＋2于点B，过点B作BE⊥x轴于点E. 设直线y＝x＋2与x轴、y轴交于点C，D. ∵垂线段最短，∴点B即为所求. 把x＝0代入y＝x＋2，得y＝2； 把y＝0代入y＝x＋2，得0＝x＋2，解得x＝－2， ∴C（－2，0），D（0，2）， ∴OC＝OD＝2，∴∠OCD＝ ×90°＝45°， ∴∠ACB＝∠OCD＝45°. 上一页 下一页 ∵∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形. ∵A（－4，0），∴AC＝4－2＝2. ∵BE⊥AC，∴BE＝EC＝ AC＝1， ∴OE＝2＋1＝3，∴B（－3，－1）. 解法2（代数法）：利用两直线垂直k的关系可求过点A的直线 的解析式，进而可求出交点B的坐标. 上一页 下一页 （1）直接写出直线BC的解析式. 解：（1）直线BC的解析式为y＝－x＋6. （2）如图，点H在OC上，过点H作 HP⊥OC交BC于点P，将点P向下平移 HA个单位长度得到点Q，连接OQ. 在点H从点O运动至点C的过程中，求OQ的最小值. 【变式2】（2025•芜湖南陵期末节选）如图，一次函数y＝－ 2x＋6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正 半轴上，AC＝AO. 上一页 下一页 解：（2）设H（t，0），则P（t，6－t）. 当0≤t≤3时，HA＝3－t. ∵PQ＝ HA，∴Q（t， ）. 令 消去t，得y＝－ x＋ （0≤x≤3）， 即点Q在线段SK上运动，当t＝0时，点Q在点S（0， ）处；当t＝3时，点Q在点K（3，3）处，如图所示. 利用垂线段最短可知，当且仅当OQ⊥SK时，OQ有最小值. 上一页 下一页 ∵S（0， ），K（3，3），∴OS＝ ，SK＝ . ∵S△OSK＝ OS•xK＝ SK•OQ，即 × ×3＝ × OQ， ∴OQ＝ . 当3＜t≤6时，HA＝t－3. ∵PQ＝ HA，∴Q（t， ）. 令 消去t，得y＝－ x＋ （3＜x≤6）， 即点Q在线段KE上运动，当t＝3时，点Q在点K（3，3）处；当t＝6时，点Q在点E（6，－ ）处，线段KE交x轴于点T（5，0）， 上一页 下一页 如图所示.利用垂线段最短可知，当且仅当OQ⊥TK时， OQ有最小值. ∵K（3，3），T（5，0），∴OT＝5，TK＝ . ∵S△OTK＝ OT•yK＝ TK•OQ， 即 ×5×3＝ × OQ， ∴OQ＝ . ∵ ＜ ， ∴OQ的最小值为 . 上一页 下一页 题型17　构造全等模型解决一次函数与几何图形综合的问题 （2025•六安裕安区期末）（1）［K字模型建立］ 如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝ CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作 BE⊥ED于点E. 求证：DE＝BE＋AD. 上一页 下一页 解：（1）证明：由题意，得∠D＝∠E＝∠BCA＝90°， CB＝CA，∴∠ACD＋∠BCE＝90°. 又∵∠EBC＋∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC. 在△ACD和△CBE中， ∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE， ∴DE＝CD＋CE＝BE＋AD. 上一页 下一页 ①如图2，已知直线l1：y＝ x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕着点A逆时针旋转45°至直线l2，求直线l2的解析式. （2）［模型应用］ 解：（2）①过点B作BC⊥AB交l2于点C，过点C作CD⊥y轴于点D（图略）. ∵∠BAC＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形. 同理可得△CBD≌△BAO， ∴BD＝AO，CD＝OB. 上一页 下一页 在l1：y＝ x＋4中，令y＝0，则x＝－3，∴A（－3，0）； 令x＝0，则y＝4，∴B（0，4）， ∴BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，∴OD＝4＋3＝7， ∴C（－4，7）. 设直线l2的解析式为y＝kx＋b. 将A（－3，0），C（－4，7）代入y＝kx＋b，得 解得 ∴直线l2的解析式为y＝－7x－21. 上一页 下一页 ②如图3，在平面直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴 于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，Q是 直线y＝2x－6上的动点且在第一象限内.问：点A，P，Q能 否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形？若能，请求出此 时点Q的坐标；若不能，请说明理由. （2）［模型应用］ 上一页 下一页 解：（2）②能.设Q（m，2m－6）. 如图3，过点Q作QN⊥BC于点N，交y轴于点M，则QM⊥AO. 当∠AQP＝90°时，同理可得△QNP≌△AMQ（AAS）， ∴QN＝AM，即 ＝ ， 解得m＝4或m＝ ， 故此时点Q的坐标为（4，2）或（ ， ）. 上一页 下一页 拔高题 【变式1】（2025•阜阳十九中期末节选）如图，在平面直角 坐标系中，已知点A在x轴的负半轴上，直线y＝－x＋6与x 轴、y轴分别交于点C，B，且OB＝2OA. （1）求直线AB的解析式. 上一页 下一页 解：（1）在y＝－x＋6中，令x＝0，得y＝6，∴B（0，6）. 令y＝0，得x＝6，∴C（6，0），∴OB＝OC＝6. ∵OB＝2OA，∴OA＝3，∴A（－3，0）. 设直线AB的解析式为y＝kx＋b（k≠0）. 把A（－3，0），B（0，6）代入， 得 解得 ∴直线AB的解析式为y＝2x＋6. 上一页 下一页 【变式1】（2025•阜阳十九中期末节选）如图，在平面直角 坐标系中，已知点A在x轴的负半轴上，直线y＝－x＋6与x 轴、y轴分别交于点C，B，且OB＝2OA. （2）M是BC的中点，N为直线AB上的一个动点，连接MN. 若∠BNM＝45°，求点N的坐标. 上一页 下一页 解：（2）如图1，当点N在点B的下方时，过点M作MH⊥MN 交直线AB于点H，过点M作MD⊥AC于点D，过点N作 NF⊥MD于点F，过点H作HE⊥MD交DM的延长线于点E， 则∠NMH＝∠HEM＝∠NFM＝90°， ∴∠NMF＋∠HME＝90°＝∠NMF＋∠MNF， ∴∠HME＝∠MNF. ∵∠BNM＝45°， ∴△NHM是等腰直角三角形，∴MN＝MH， ∴△NMF≌△MHE（AAS）， ∴MF＝HE，NF＝EM. 上一页 下一页 ∵M是BC的中点，B（0，6），C（6，0），∴M（3，3）. 设N（n，2n＋6），则MF＝3－（2n＋6）＝－3－2n＝HE，NF＝3－n＝EM，∴H（6＋2n，6－n）， ∴6－n＝2（6＋2n）＋6，解得n＝－ ， ∴点N的坐标为（－ ， ）； 如图2，当点N在点B的上方时，构造同样的辅助线， 同理可得△NMF≌△MHE（AAS）， ∴MF＝HE，NF＝EM. 上一页 下一页 ∵M是BC的中点，B（0，6），C（6，0）， ∴M（3，3）. 设N（m，2m＋6）， ∴MF＝2m＋6－3＝2m＋3＝EH，NF＝3－m＝EM， ∴H（－2n，n），∴m＝2（－2m）＋6， ∴m＝ ，∴点N的坐标为（ ， ）. 综上所述，点N的坐标为（－ ， ）或（ ， ）. 上一页 下一页 压轴题 【变式2】（2025•芜湖南陵期末节选）如图，一次函数y＝ －2x＋6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的 正半轴上，AC＝AO，点D在y轴的正半轴上，∠OCD＝ ∠ABC，求点D的坐标. 上一页 下一页 解：在y轴上取点E，使OE＝OA，连接CE，作EF⊥CE交 CD的延长线于点F，作FG⊥y轴于点G，如图所示. 由题意，得A（3，0），B（0，6）. ∵AC＝AO，∴C（6，0）. ∵OE＝OA＝3，∴E（0，－3）. 在△BOA和△COE中， ∴△BOA≌△COE（SAS）， ∴∠ABO＝∠ECO. 上一页 下一页 ∵∠OCD＝∠ABC，∴∠OCD＋∠ECO＝∠ABC＋∠ABO， 即∠ECF＝∠OBC＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形，∴EC＝EF. ∵∠ECO＋∠OEC＝90°，∠FEG＋∠OEC＝90°， ∴∠FEG＝∠ECO. 在△EGF和△COE中， ∴△EGF≌△COE（AAS）， 上一页 下一页 ∴FG＝OE＝3，EG＝OC＝6， ∴OG＝EG－OE＝3，即F（－3，3）. 设直线FC的解析式为y＝kx＋b. 将F（－3，3），C（6，0）代入，得 解得 ∴直线FC的解析式为y＝－ x＋2， ∴直线FC与y轴的交点D的坐标为（0，2）. 上一页 下一页 谢谢观看 $