重点题型专题 8 平行四边形性质与判定的综合应用（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）安徽专版

该初中数学课件聚焦平行四边形性质与判定的综合应用，通过一题多问的例题（如涉及对角线、角平分线、坐标系等问题）搭建学习支架，帮助学生衔接前后知识，逐步掌握综合应用方法。 其亮点在于采用一题多解设计（如平行四边形判定的两种证法），培养学生数学思维中的推理能力与创新意识。结合期中期末真题，引导学生用数学语言解决实际问题，提升应用意识。学生能增强综合解题能力，教师可借助丰富例题优化教学。

初中数学 八年级下册·（RJ版）·安徽专版 第二十一章　四边形 重点题型专题 8　平行四边形性质与判定的综合应用 【例】（一题多问）已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于 点O. （1）如图1，若BD＝2 ，AC＝4，AC⊥CD，则▱ABCD 的面积是 ⁠. （2）如图2，AT平分∠BAD，分别交BC，BD于点T，P，连 接OT. 若∠ADC＝60°，AB＝ BC＝2，则∠CAD＝ ⁠°. 12　 30　 上一页 下一页 （3）若以▱ABCD的边BC所在直线为x轴建立平面直角坐标 系，点D在y轴正半轴上，点Q为坐标原点，点A在第二象 限，且C（－3，0），BC＝5，∠ADC＝45°，则点A的坐标 为 ⁠. （4）如图3，过点O作直线EF，交BA的延长 线于点E，交DC的延长线于点F，分别交AD， BC于点G，H，连接AF，EC. （－5，3）　 ①【一题多解】求证：四边形AECF是平行四边形； 上一页 下一页 解：（4）①证明：解法1：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AO＝CO， ∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO， ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形. 解法2：通过证明△AEO≌△CFO，得AE＝CF. 由AE綉CF可 证得四边形AECF是平行四边形. 解：（4）①证明：解法1：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AO＝CO， ∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO， ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形. 解法2：通过证明△AEO≌△CFO，得AE＝CF. 由AE綉CF可 证得四边形AECF是平行四边形. 上一页 下一页 ②如果四边形ABCD与四边形AECF的周长分别是16与10，求 △BEC的周长. 解：∵四边形ABCD和四边形AECF都是平行四边形，且周长 分别为16与10， ∴AB＋BC＝8，AE＋EC＝5， ∴△BEC的周长为BE＋EC＋BC＝AB＋AE＋EC＋BC＝AB ＋BC＋AE＋EC＝8＋5＝13. 解：∵四边形ABCD和四边形AECF都是平行四边形，且周长 分别为16与10， ∴AB＋BC＝8，AE＋EC＝5， ∴△BEC的周长为BE＋EC＋BC ＝AB＋AE＋EC＋BC ＝AB＋BC＋AE＋EC＝8＋5＝13. 上一页 下一页 学以致用 1. （2025·马鞍山和县期中）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC 于点E，AF⊥CD于点F，∠BAD＝120°，BE＝2，DF＝3.求： （1）∠EAF的度数； 1 2 3 上一页 下一页 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝120°， ∴AD∥BC，∠B＝∠D， ∴∠B＋∠BAD＝180°， ∴∠B＝∠D＝180°－120°＝60°. ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∴∠BAE＝∠DAF＝30°， ∴∠EAF＝∠BAD－∠BAE－∠DAF＝60°. 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝120°， ∴AD∥BC，∠B＝∠D， ∴∠B＋∠BAD＝180°， ∴∠B＝∠D＝180°－120°＝60°. ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∴∠BAE＝∠DAF＝30°， ∴∠EAF＝∠BAD－∠BAE－∠DAF＝60°. 1 2 3 上一页 下一页 1. （2025·马鞍山和县期中）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC 于点E，AF⊥CD于点F，∠BAD＝120°，BE＝2，DF＝3.求： （2）▱ABCD的周长. 解：（2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC. ∵∠BAE＝∠DAF＝30°，BE＝2，FD＝3， ∴AB＝2BE＝4，AD＝2DF＝6， ∴▱ABCD的周长为2（AB＋AD）＝2×（4＋6）＝20. 解：（2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC. ∵∠BAE＝∠DAF＝30°，BE＝2，FD＝3， ∴AB＝2BE＝4，AD＝2DF＝6， ∴▱ABCD的周长为2（AB＋AD）＝2×（4＋6）＝20. 1 2 3 上一页 下一页 2. （2024·芜湖期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的 中点，连接GF，EF，BE. 求证： （1）∠OBE＝ ∠ADO； 1 2 3 上一页 下一页 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，BD＝2DO＝2BO， ∴∠ADO＝∠CBO. ∵BD＝2AD，∴BO＝AD＝BC， ∴△BOC是等腰三角形. ∵E是OC的中点，∴OE＝CE， ∴∠OBE＝∠CBE＝ ∠CBO＝ ∠ADO. 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，BD＝2DO＝2BO， ∴∠ADO＝∠CBO. ∵BD＝2AD，∴BO＝AD＝BC， ∴△BOC是等腰三角形. ∵E是OC的中点，∴OE＝CE， ∴∠OBE＝∠CBE＝ ∠CBO＝ ∠ADO. 1 2 3 上一页 下一页 2. （2024·芜湖期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的 中点，连接GF，EF，BE. 求证： （2）四边形BEFG是平行四边形. 1 2 3 上一页 下一页 证明：（2）∵G是AB的中点，∴BG＝ AB. ∵E，F分别是OC，OD的中点， ∴EF＝ CD，EF∥CD， ∴EF＝ AB＝BG. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥BG，∴EF∥BG， ∴四边形BEFG是平行四边形. 证明：（2）∵G是AB的中点，∴BG＝ AB. ∵E，F分别是OC，OD的中点， ∴EF＝ CD，EF∥CD， ∴EF＝ AB＝BG. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥BG，∴EF∥BG， ∴四边形BEFG是平行四边形. 1 2 3 上一页 下一页 3. 如图，E是▱ABCD的对角线AC上的一点，延长BE至点 F，使EF＝BE，且BF与CD交于点G，连接DF. （1）【一题多解】求证：DF∥AC； 解：（1）证明：解法1：利用中位线. 如图1，连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD. ∵EF＝BE，∴OE是△BDF的中位线， ∴OE∥DF，即DF∥AC. 1 2 3 上一页 下一页 解法2：构造平行四边形. 如图2，在EA上取一点H，使EH＝EC，连接BH，FH，CF. ∵EF＝BE，EH＝EC，∴四边形BCFH是平行四边形， ∴FH∥BC，FH＝BC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∴FH∥AD，FH＝AD， ∴四边形ADFH是平行四边形， ∴DF∥AH，即DF∥AC. 1 2 3 上一页 下一页 3. 如图，E是▱ABCD的对角线AC上的一点，延长BE至点 F，使EF＝BE，且BF与CD交于点G，连接DF. （2）若AB＝6，∠BAC＝30°，BF垂直平分CD，求AD的长. 解：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAC＝30°， ∴AB＝CD＝6，AB∥CD，AD＝BC， ∴∠ACD＝∠BAC＝30°. ∵BF垂直平分CD， 1 2 3 ∴CG＝DG＝ CD＝3， △CEG和△DFG都是直角三角形. 上一页 下一页 在Rt△CEG中，∠ACG＝30°，∴CE＝2EG， ∴CG＝ ＝ EG＝3，∴EG＝ . 由（1）可知，DF∥AC，∴∠CDF＝∠ACD＝30°， ∴在Rt△DFG中，DF＝2GF， ∴DG＝ ＝ GF＝3， ∴GF＝ ，∴EF＝EG＋GF＝2 ， ∴BG＝BE＋EG＝EF＋EG＝2 ＋ ＝3 . 在Rt△BCG中，由勾股定理，得BC＝ ＝ ＝6，∴AD＝6. ∴DG＝ ＝ GF＝3， ∴GF＝ ，∴EF＝EG＋GF＝2 ， ∴BG＝BE＋EG＝EF＋EG＝2 ＋ ＝3 . 在Rt△BCG中，由勾股定理，得BC＝ ＝ ＝6，∴AD＝6. 1 2 3 上一页 下一页 谢谢观看 $