探究与发现 利用菱形的性质和判定尺规作图&数学活动（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

4.证明：四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,OA=OC,OB=OD BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形. AE⊥AF,∠EAF=90°， ∴四边形AECF是正方形. 5.证明：四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠B=90°，∴∠BAF+∠DAF=90° ,DE⊥AF,.∠AGD=90°， ∴.∠ADE+∠DAF=90°， ∴.∠BAF=∠ADE. 又，'AF=DE,∠ABF=∠DAE=90°， .△ABF≌△DAE(AAS), ..AB=AD. 四边形ABCD是矩形， .矩形ABCD是正方形. 6.D7.D 8.解：(1)证明：根据题意，得△ABD≌△ABE,△ACD≌ △ACF, .AD=AE,∠DAB=∠EAB,AD=AF,∠DAC= ∠FAC,∴.AE=AF :∠BAC=45°， ∴.∠EAF=∠DAB+∠DAC+∠EAB+∠FAC= ∠BAC+∠BAC=90°. :AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC=90°， ∴.∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°， .四边形AEGF是矩形， 又AE=AF, .四边形AEGF是正方形 (2)3 9.[感知]①PE=PD②PE⊥PD [探究]PE=PD,PE⊥PD.理由略 探究与发现利用菱形的性质和判定 尺规作图 1.D2.A 3解：(1)如图.①以点N为圆心，适当长度为半径画孤，交 AB于C,D两点； ②分别以点C,D为圆心，CN的长为半径画孤，两孤交于 点N'; ③连接N'M,交AB于点P,点P即为所求. M D B (2)如图，分别以点A,B为圆心，AB的长为半径画孤，分 别交AD和BC于点E,F,连接BE,AF交于点O,点O即 为所求 ·答凳 (3)如图.①以，点B为圆心，BD的长为半径画孤，交BC于 点F; ②分别以点D,F为圆心，BD的长为半径画孤，两孤交于 点P(不与点B重合)： ③作射线DP,交AC于点E,点E即为所求 数学活动 1.c 2.四边形GHDF是黄金矩形.理由略 3.D 4.解：(1)裁剪方法如图1所示，此时这个大正方形的边长 为5 图1 图2 (2)栽剪方法如图2所示，最少只需剪2刀 章末复习 ①AB∥CD,AD∥BC②AD∥BC③∠BAD=90 ④AC=BD⑤AB=AD⑥AC⊥BD⑦AB=AD ⑧AC⊥BD⑨∠BAD=9O°⑩AC=BD①AD⊥BC, AB ILCD@∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC③OA= OC,OB=OD@AD⊥BC,AB⊥CD⑤∠BAD= ∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°⑥OA=OD=OC=OB ⑦AB=AD=DC=BC⑧∠BAD=∠BCD,∠ABC= ∠ADC9AC⊥BD 1.B【变式】B2.C3.45° 5 4.(1)18号(2)1<AB<7(3)70 (4)作图略①平行②矩形③正方形 5.D6.C7.c8.A9.B 10.解：(1)证明：D,E分别为AB,AC的中点， .DE是△ABC的中位线，∴.DE∥BC. ,DG=FC,∴，四边形DFCG是平行四边形」 又，DF⊥BC,∴.∠DFC=90°， ∴.四边形DFCG是矩形. (2)BC=8,AC=210 11解：(1)证明：AB∥CD,∴.∠ABF=∠CDE. ,AF⊥AB,CE⊥CD,.∠BAF=∠DCE=90° .BE=EF=FD. ∴.BE+EF=FD十EF,即BF=DE. (∠BAF=∠DCE 在△ABF和△CDE中，∠ABF=∠CDE, BF=DE, .∴.△ABF≌△CDE(AAS). (2)四边形AECF是菱形.理由略 7.探究与发现 利用菱形的性质和判定尺规作图 1.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点 (2)如图，在平行四边形ABCD中，确定一点 O,则下列结论错误的是 O,使得∠AOB=90°； A.AB=BC=CD=AD B.AB∥CD,AD∥BC C.∠BAC=∠DAC,∠ABD=∠CBD D.OA=OB=OC=OD 第1题图 第2题图 2.“作线段AB的垂直平分线”的作图痕迹如图所 示，安安和徽徽两名同学对作图细节和依据进 行了讨论： 安安 徽徽 作图的关键是保证两段 作图时对两段弧的半径 (3)如图，在△ABC中，D是边AB上的任意一 弧的半径相等，此时四边 无要求，只需保证两段弧 点，在边AC上确定一点E,使得DE∥BC. 形AMBN是菱形，根据 相交即可，根据AM= 菱形的性质可知，线段 AN,BM=BN,可判断 AB和MN互相垂直平分MN垂直平分AB 对于两人的说法，判断正确的是 A.安安正确，徽徽错误 B.安安错误，徽徽正确 C.两人均正确 D两人均错误 3.利用菱形的判定和性质作出下列图形（写出必 要的步骤说明)： (1)如图，在直线AB上确定一点P,使得PM十 PN的值最小； M B 56数学8年级下册R刷版 数学活动 活动1黄金矩形 活动2剪拼正方形 1.(2024·芜湖期未)宽与长的比是5，- 3.一张纸片的两种剪拼方案（沿虚线剪开）如图 2 的矩形叫 1、图2所示，记图1为方案甲，记图2为方案 作黄金矩形.如图，已知矩形ABCD是黄金矩 乙，其中∠BAF=∠ABC=∠EDC=∠FED= 形，对角线AC,BD相交于点O,且BC=2.关于 ∠F=∠C=90°，AB=AF=2,EF=ED=1. 黄金矩形ABCD,下列结论不正确的是() 对于方案甲，满足MN⊥BE,MF=0.5;对于方 案乙，满足AG⊥DG,BG=1.若要拼一个与原 纸片面积相等的正方形（纸片没有空隙且不重 叠)，则 ) A.AC=BD 方案甲 方案乙 M B.SANon=5-1 C.AC=8-25 G D.矩形ABCD的周长为2√5+2 图1 图2 A.甲可以，乙不可以B.甲不可以，乙可以 2.如图，已知矩形纸片ABCD是黄金矩形（宽与 C.甲、乙都不可以 D.甲、乙都可以 长的比是52)宽AB=2,折叠纸片，使点A 4.如图，在3×3的小正方形网格中画出了由5个 小正方形组成的十字形纸板，每个小正方形的 落在BC上的点E处，得到折痕BF;再次折叠 边长均为1.请你按下列要求将十字形纸板剪 纸片，使点C落在EF上的点G处，得到折痕 开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形 EH.四边形GHDF是黄金矩形吗？请说明 (1)如果剪4刀，应如何剪拼？请在图1中用虚 理由。 线画出裁剪线，此时这个大正方形的边长是 多少？ (2)最少只需剪多少刀可拼成一个大正方形？ 请在图2中用虚线画出此时的裁剪线。 图1 图2 第二十一章四边形57