第二十一章 四边形（单元自测·基础卷）数学新教材人教版八年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十一章四边形基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B B B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.360°360度 12.1209 13.4 14.3 2 15.3 2 16.√7或5或4 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17.(6分) 【详解】(1)解：n=8,多边形对角线为88-3引-20…3分 2 (2)解：n-2)x180°=360°×4 解得n=10.6分 18.(6分) 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， :AD=BC,ADI BC .BE DE, .AF =EC, .四边形AECF是平行四边形， :AE⊥BC, ∠AEC=90°， .四边形AECF是矩形；3分 (2)解：BF平分∠ABC,AD∥BC, 1/11 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .∠ABF=∠CBF=∠AFB, :AB=AF=2,AD=BC=AF+DF=2+1=3, 在Rt△ABE中，DF=BE=1, AE CF=AB2-BE2=3, 在Rt△BFC中，BF=√BC2+CF2=V32+(N5)2=2V5. 即BF的长是2万.6分 19.(6分) 【详解】(1)证明：：在ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线， .CD =AD CE=CD, .AD=CE, AD∥CE, :四边形ADCE是平行四边形， CE=CD, .四边形ADCE是菱形；3分 (2)解：当ABC满足AB=AC时，四边形ADCE是正方形，理由如下： AB=AC, .△ABC是等腰直角三角形， :AD是BC边上的中线， .AD⊥BC, .∠ADC=90°， .菱形ADCE是正方形， 故答案为：AB=AC.6分 20.(6分) 【详解】(1)解：如图①，线段BF即为所作. 2/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A 3分 B 图① (2)解：如图②，△BFG即为所作. D G A∈D C .6分 B 图② 21.(8分) 【详解】(1)解：：四边形ABCD的内角和为360°，∠A=145°，∠D=75°， ∴∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D=360°-145°-75°=140°； :BE平分∠ABC,CE平分∠BCD, a∠B8c-48c∠Ec8sCn. ∠EBc+∠EcB-∠4c+∠BcD-l40=70, 在△BEC中，∠BEC=180°-∠EBC+∠ECB=180°-70°=110°； 故答案为：110°.3分 (2)解：∠BEC的度数不会发生变化，理由如下： 在△FBC中，：∠F=40°， .∠FBC+∠FCB=180°-∠F=180°-40°=140°； :BE平分∠FBC,CE平分∠FCB, :∠EBC=∠FBC,∠ECB=∠FCB, 2 2 ∠E8C+∠ECB=∠FBC+∠Fc8)-x140=0: 在ABEC中，∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB)=180°-70°=110°； 答：∠BEC的度数不变，为110°.8分 22.(8分) 【详解】(1)解：补全图形，如图所示： 3/11 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 过点C作CG∥DF交BD于点G,，连接AC,如图所示： E DCG∥DF, :LCGE=∠FDE, :LCED ZFDE .∠CED=∠CGE, .CE=CG :CE=DF, ..CG=DF, :四边形CGDF为平行四边形， :DG∥CF,即CF∥BD, :当∠EDF=90时，∠CFD=∠CED=90, .CE⊥BD, :四边形ABCD为菱形， :AC⊥BD,B0=D0=5BD=6, ·当点E在对角线的交点O上时，符合题意， 此时BE=BO=6, 故答案为：6；3分 (2)BE+2AG=12; 证明：连接AE、EF,如图所示： A D:EC⊥CD, 4/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠ECD=90°， :四边形ABCD为菱形， AB=BC=CD=AD,∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB, BEBE, △ABE≌△CBE(SAS), :AE CE, CE FD, AE FD, :CE=DF,∠CED=∠FDE,DE=DE, ACDE≌FED SAS, .∠DFE=∠ECD=90°，EF=CD, AD=CD, AD EF, ·四边形AEFD为平行四边形， ∠DFE=90°， :四边形AEFD为矩形， .AF=DE,AF =2AG, :DE=2AG, :BE+DE=BD =12, BE+2AG=12;5分 (3)解：连接AE,EF，如图所示： G D 四边形ABCD为菱形， AB=CD,AB∥CD, ∠ABG=LCDE, :CE∥AF, .∠AGB=∠CED, 5/11 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 △ABG≌△CDE(AAS), :BG=DE, :BG-EG DE-EG, :.BE GD, 根据解析(2)可知，四边形AEFD为平行四边形， :EG=GD, BE=EG=GD-1BD-4, 3 即当BE=4时，CE将平行AF, 故答案为：4.8分 23.(8分) 【详解】(I)解：设ABCD中BC边上的高为h,CD边上的高为h, :S。ABcD=BC·h=CD·h2=S, S.cw-7BC.h=7,S.c-CD.h-, 1 1 1 2 2 2 S=8,S.-5: 故答案为：分，=3；2分 (2):0为AC、BD的中点， .55.w+5.co-5.w+wo-5.wo+5. (3)设口ABCD中CD边上的高为h,△PAB中AB边上高为h,△PCD中CD边上的高为h4, AB CD h+h4=h2, S.PAB+S.PCD= 8+0%=48+48= 即s+8 故答案为：S+S”= 2S:5分 1 （4）S.pa+S,no=2S=SaD,S.w=3,S.c=7, ·SPBD=S图边形PBcD-S.BCD=SPBc+SPCD-S.aCD, 6/11 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 即5m7+-35=7-3-4.8分 24.(12分) 【详解】(I)证明：如图，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点， D 四边形ABCD为正方形， G ∴∠BCD=90°， :EM⊥BC,EN⊥CD, ∴.∠EMF=∠ENC=∠END=90°， ∴四边形EMCN是矩形， ∠MEN=90°， :E是正方形ABCD对角线的一点， .∠MCE=45°， :∠MCE=∠CEM=45°， .EM =CM, .四边形EMCN是正方形， .EM EN :四边形DEFG为矩形， .∠FED=90°， ∴.∠MEN-∠FEN=∠FED-∠FEN, 即∠MEF=∠NED, 在△FEM和△DEN中， ∠EMF=∠END EM=EN ∠MEF=∠NED .aFEM≌△DEN(ASA, .EF ED, .矩形DEFG为正方形；4分 7111 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：CE+CG是定值，定值为6，理由如下： :矩形DEFG为正方形， .DE=DG,∠EDG=90°， :四边形ABCD是正方形， :AD=DC,∠ADC=90°， .ZEDG-ZEDC ZADC-ZEDC, 即LADE=LCDG, AD=DG 在ADE和ACDG中， ∠ADE=∠CDG, DE=DG .△ADE≌CDG(SAS), .AE=CG, :CE+CG=CE+AE=AC=2AB=6, .CE+CG是定值，定值为6.…8分 (3)解：矩形DEFG为正方形， :DG=DE, 由垂线段最短可知，当DE⊥AC时，DE取得最小值，最小值为)AC, 此时，DG有最小值， 由(2)知AC=6, DG的最小值为24C=3.…12分 25.(12分) 【详解】(1)解：设AE=x,则ED=8-x, 图1 由折叠的性质可知BE=ED=8-X, 在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2, 8/11 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 x2+62=(8-x, 解得x=了 AE气494分 (2)证明：由折叠的性质可知∠A=∠A'=90°，AB=A'B', A G D F 图2 在△A'EG和△DB'G中， ∠A=∠D A'G=DG ∠A'GE=∠DGB .△A'EG≌△DB'G(ASA), :EG=B'G, ∠DEB'=∠A'B'E, 在ADEB'和△A'B'E中， 「∠A=∠D ∠DEB'=∠AB'E, B'E=EB' △DEB'≌△A'B'EAAS), .A'B'=DE, .AB=DE;8分 (3)解：①当B在CD的延长线上时，如图①， 9/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B' D B F 图① 由BD1 BC2,设B"D=r,则8C=2x, CD=6, .B'C=B'D+CD .2x=X+6, .x=6, B'D=6,B'C=12, 设CF=y,则B'F=BF=BC+CF=8+y, 在Rt△B'CF中，BF2=B'C2+CF2, (8+y)2=122+y2, 解得y=5, .CF=5; ②当B在线段CD时，如图②， A G B 图② 设FC=m,则BF=8-m, 由折叠的性质可知BF=B'F=8-m, :B'D 1 B'C2’CD=6, BC=4, 在Rt△B'CF中，B'F2=B'C2+CF2, 10/11 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十一章 四边形·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若一个五边形的每个内角都是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形内角和公式的应用．先利用边形内角和公式求出五边形的内角和，再结合每个内角相等的条件列方程求解即可． 【详解】∵边形内角和公式为， ∴五边形的内角和为， ∵五边形的每个内角都是， ∴， 解得：． 故选：A． 2．如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而求出，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，在中，，D为中点，且，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判定和性质，熟记“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，进而得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：在中，，D为的中点， 则， ， ， 为等边三角形， ． 故选：． 4．如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、正方形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，平分， 又∵， ∴四边形是菱形； A：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意； B：四边形是菱形，当时，四边形是正方形，故该选项符合题意； C：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意； D：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意． 故选：B ． 6．如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，等腰三角形的性质和判定，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 由平行四边形的性质及角平分线的定义得，从而得的长，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点，， ∴， 故选：B． 7．在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的定义，关键是矩形性质的应用；根据矩形的性质可得，结合，可得的度数，又根据角平分线的定义可得的度数，则可求． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B ． 8．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可． 【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 9．如图，在菱形中，，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于两点，作直线与交于点，如果点为线段上一动点，那么的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】先证明，推出，推出当点与点重合时，的值最小，求出即可． 【详解】解：如图，连接，，，设交于点，，交于点O． ∵四边形是菱形， ∴，，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，都是等边三角形， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由作图可知垂直平分， ∴，， ∴在直线上， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴（负值舍去）， ∵D，B关于对称， ∴， ∴， ∴当点P与点重合时，的值最小，此时， 根据垂直平分， ∴此时， ∴的值最小为． 故选：B． 10．如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式及平行线的判定．先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等三角形的判定、勾股定理、面积计算及平行线判定逐一验证四个结论的正确性． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，，故②正确； ，故③错误； ， ， ，， ， ，故④正确； ∴①②④正确， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．四边形外角和的度数是 ． 【答案】/360度 【分析】本题考查了多边形的外角和，根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和均为，四边形作为多边形的一种，其外角和自然为． 【详解】解：由多边形外角和定理可知，所有多边形的外角和都等于，因此四边形的外角和为． 故答案为：． 12．如图，在中，是的延长线上的一点．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，邻补角的定义知识点，掌握平行四边形对角相等的性质是解题的关键． 先利用邻补角的定义求出的度数，再根据平行四边形对角相等的性质得到的度数． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ∵ 点在的延长线上， ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 13．如图，在矩形中，，相交于点O，于E，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理和三角形的中位线的性质，先根据矩形的性质得，点O是的中点，，，再由勾股定理求出，然后由点O是的中点得出是的中位线，所以． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，点O是的中点，，，， ∴， ∵，， ∴是中点， ∵， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：4． 14．如图，菱形的对角线相交于点，点在边上，连接并延长交于点．若，，则与的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质及面积计算． 利用菱形对边平行、对角线互相垂直平分的性质，证明与全等，进而将两个三角形的面积之和转化为的面积求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，是等边三角形，，对角线， ∴，，； ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， 故答案为：． 15．四边形不具有稳定性．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形．如果，那么菱形与正方形ABCD的面积之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形与菱形面积，涉及含角的直角三角形的三边关系，熟记正方形与菱形面积公式是解决问题的关键． 过点作于点，利用含角的直角三角形的三边关系，在直角三角形中得到，从而，菱形的面积，两个面积作比即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示， 则． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积， ∴菱形与正方形的面积之比． 故答案为：． 16．在矩形中，，，点是折线上的动点（且点不与点重合），当的长为整数时，则的长是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，点在折线上运动，不与点重合．分两种情况：当点在上运动时，当点在上运动时，分别结合勾股定理计算即可得出结果，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点是折线上的动点（且点不与点重合）， ∴当点在上运动时，如图： ， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵的长为整数， ∴当时，，此时（负值不符合题意，舍去），此时； 当时，，此时（负值不符合题意，舍去），此时； 当点在上运动时，如图： ， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵的长为整数， ∴当时，，此时（即点与点重合），此时； 综上所述，当为整数时，的长为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（6分）已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形共有多少条对角线． (2)若这个多边形的内角和等于外角和的倍，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，多边形的对角线，熟练掌握多边形内角和公式以及多边形的外角和为是解本题的关键． （1）直接根据多边形对角线公式求解即可； （2）根据多边形的外角和为，然后根据多边形内角和列方程求解即可． 【详解】（1）解：，多边形对角线为 （2）解： 解得． 18．（6分）如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平分，且，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明四边形是矩形是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，又由即可证明结论成立； （2）求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵平分，， ∴， ∴， 在中，， ， 在中， ． 即的长是． 19．（6分）如图，在中，，是边上的中线，过点C作的平行线，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足 时，四边形是正方形．请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质、菱形的判定与性质、正方形的判定定理、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，推出，结合得出四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即，即可得证． 【详解】（1）证明：∵在中，，是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：当满足时，四边形是正方形，理由如下： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 20．（6分）如图，在菱形的边上有一点（不与点，重合），请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中的菱形的边上找一点，作线段，使． (2)在图②中的菱形的边上找点，，使，并作出等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）结合菱形的性质、全等三角形的判定与性质，连接交于点，连接并延长，交于点即可； （2）结合菱形的性质、全等三角形的判定与性质，连接，相交于点，交于点，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，连接，，即可． 【详解】（1）解：如图①，线段即为所作． （2）解：如图②，即为所作． 【点睛】本题考查无刻度的直尺作图、菱形的性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 21．（8分）在四边形中，． (1)如图①，若和的平分线交于点，则的度数为___________； (2)在（1）的条件下，若延长交于点(如图②)，将原来的条件“”改为“”，其他条件不变，的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出的度数． 【答案】(1)； (2)的度数不变，为 【分析】本题考查四边形内角和定理、角平分线的定义、三角形内角和定理．关键是通过内角和关系，结合角平分线求出相关角的和，进而计算目标角． （1）先利用四边形内角和求出的度数，再根据角平分线性质得到的度数，最后用三角形内角和求出； （2）先在中利用三角形内角和求出的度数，再结合角平分线性质得到的度数，进而求出，判断度数是否变化． 【详解】（1）解：∵四边形的内角和为，，， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴； 在中，； 故答案为：． （2）解：的度数不会发生变化，理由如下： 在中，， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴； 在中，； 答：的度数不变，为． 22．（8分）如图，点是菱形对角线上一动点，．在线段的同侧作线段，使得，连接． (1)补全图形，并回答问题：当 时，； (2)连接，交于点，若，探索与的数量关系，并证明； (3)直接写出当 时，将平行． 【答案】(1)图见详解，； (2)，证明见详解； (3)． 【分析】（1）根据题意补全图形即可；过点作交于点，连接，证明四边形为平行四边形，得出，即，得出当时，，当时，四边形为菱形，得出，，得出当点在对角线的交点上时，符合题意，此时； （2）连接、， 证明，得出，证明，得出，，证明四边形为矩形，得出，，根据，即可得出； （3）连接，，证明，得出，证明，由（2）得四边形为平行四边形，得出，从而得出． 【详解】（1）解：补全图形，如图所示： 过点作交于点，连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，即， 当时，， ， 四边形为菱形， ，， 当点在对角线的交点上时，符合题意， 此时， 故答案为：； （2）； 证明：连接、，如图所示： ， ， 四边形为菱形， ，，， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ； （3）解：连接，，如图所示： 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 根据解析（2）可知，四边形为平行四边形， ， ， 即当时，将平行， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定． 23．（8分）我们知道：平行四边形的面积（底边）（这条底边上的高）．如图，四边形都是平行四边形，，，设它的面积为． (1)如图①，点为上任意一点，则的面积，的面积与的面积的数量关系是 ． (2)如图②，设、交于点，则为、的中点，试探究的面积与的面积之和与平行四边形的面积的数量关系． (3)如图③，点为平行四边形内任意一点时，记的面积为，的面积为，平行四边形的面积为，猜想得、的和与的数量关系式为 ． (4)如图④，已知点为平行四边形内任意一点，的面积为，的面积为，求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形及三角形的面积公式是解答此题的关键． （1）设中边上的高为，边上的高为，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可； （2）根据为、的中点，故可得出； （3）设中边上的高为，中边上的高为，中边上的高为，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可； （4）根据即可得出结论． 【详解】（1）解：设中边上的高为，边上的高为， ， ，， ，， 故答案为：，； （2）为、的中点， ； （3）设中边上的高为，中边上高为，中边上的高为， ， ， ， 即， 故答案为：； （4），，， ， 即． 24．（12分）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，6 (3) 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； （）证明，可得，即得，即可求解； （3）由矩形为正方形，得到，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，此时，有最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． （3）解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为． 25．（12分）已知点E，F分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点A落在处，点B落在'处．当，时，请解决下列问题： (1)如图1，若点恰好与点D重合，与相交于点O，连接、，求的长； (2)如图2，若点恰好在边上时，交于点G，且满足，求证：； (3)若点在边所在直线上，且满足，求的长． 【答案】(1)的长为 (2)见解析 (3)的长为5或3 【分析】（1）利用折叠的性质和勾股定理即可求解； （2）利用折叠的性质得出，，利用证得，得到，利用等边对等角得到，然后证得，得到，即可证得； （3）分①当在的延长线上时，②当在线段时，两种情况讨论，根据折叠的性质．利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 由折叠的性质可知， 在中，， ∴， 解得， ∴； （2）证明：由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当在的延长线上时，如图①， 由，设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； ②当在线段时，如图②， 设，则， 由折叠的性质可知， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 综上，的长为5或3． 方法总结 1. 抓折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2. 利用矩形性质：结合矩形四个角为直角、对边平行的性质，寻找全等或直角三角形。 解题技巧 1. 标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由折叠产生的新等量关系。 2. 设元列方程：常设未知线段长为x，在直角三角形中利用勾股定理建立方程求解。 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十一章 四边形·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若一个五边形的每个内角都是，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，D为中点，且，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 7．在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 9．如图，在菱形中，，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于两点，作直线与交于点，如果点为线段上一动点，那么的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 10．如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．四边形外角和的度数是 ． 12．如图，在中，是的延长线上的一点．若，则的度数为 ． 13．如图，在矩形中，，相交于点O，于E，若，，则的长为 ． 14．如图，菱形的对角线相交于点，点在边上，连接并延长交于点．若，，则与的面积之和为 ． 15．四边形不具有稳定性．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形．如果，那么菱形与正方形ABCD的面积之比是 ． 16．在矩形中，，，点是折线上的动点（且点不与点重合），当的长为整数时，则的长是 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（6分）已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形共有多少条对角线． (2)若这个多边形的内角和等于外角和的倍，求的值． 18．（6分）如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平分，且，求线段的长． 19．（6分）如图，在中，，是边上的中线，过点C作的平行线，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足 时，四边形是正方形．请说明理由． 20．（6分）如图，在菱形的边上有一点（不与点，重合），请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中的菱形的边上找一点，作线段，使． (2)在图②中的菱形的边上找点，，使，并作出等腰三角形． 21．（8分）在四边形中，． (1)如图①，若和的平分线交于点，则的度数为___________； (2)在（1）的条件下，若延长交于点(如图②)，将原来的条件“”改为“”，其他条件不变，的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出的度数． 22．（8分）如图，点是菱形对角线上一动点，．在线段的同侧作线段，使得，连接． (1)补全图形，并回答问题：当 时，； (2)连接，交于点，若，探索与的数量关系，并证明； (3)直接写出当 时，将平行． 23．（8分）我们知道：平行四边形的面积（底边）（这条底边上的高）．如图，四边形都是平行四边形，，，设它的面积为． (1)如图①，点为上任意一点，则的面积，的面积与的面积的数量关系是 ． (2)如图②，设、交于点，则为、的中点，试探究的面积与的面积之和与平行四边形的面积的数量关系． (3)如图③，点为平行四边形内任意一点时，记的面积为，的面积为，平行四边形的面积为，猜想得、的和与的数量关系式为 ． (4)如图④，已知点为平行四边形内任意一点，的面积为，的面积为，求的面积． 24．（12分）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 25．（12分）已知点E，F分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点A落在处，点B落在'处．当，时，请解决下列问题： (1)如图1，若点恰好与点D重合，与相交于点O，连接、，求的长； (2)如图2，若点恰好在边上时，交于点G，且满足，求证：； (3)若点在边所在直线上，且满足，求的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十一章 四边形·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若一个五边形的每个内角都是，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，D为中点，且，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 7．在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 9．如图，在菱形中，，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于两点，作直线与交于点，如果点为线段上一动点，那么的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 10．如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．四边形外角和的度数是 ． 12．如图，在中，是的延长线上的一点．若，则的度数为 ． 13．如图，在矩形中，，相交于点O，于E，若，，则的长为 ． 14．如图，菱形的对角线相交于点，点在边上，连接并延长交于点．若，，则与的面积之和为 ． 15．四边形不具有稳定性．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形．如果，那么菱形与正方形ABCD的面积之比是 ． 16．在矩形中，，，点是折线上的动点（且点不与点重合），当的长为整数时，则的长是 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（6分）已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形共有多少条对角线． (2)若这个多边形的内角和等于外角和的倍，求的值． 18．（6分）如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平分，且，求线段的长． 19．（6分）如图，在中，，是边上的中线，过点C作的平行线，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足 时，四边形是正方形．请说明理由． 20．（6分）如图，在菱形的边上有一点（不与点，重合），请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中的菱形的边上找一点，作线段，使． (2)在图②中的菱形的边上找点，，使，并作出等腰三角形． 21．（8分）在四边形中，． (1)如图①，若和的平分线交于点，则的度数为___________； (2)在（1）的条件下，若延长交于点(如图②)，将原来的条件“”改为“”，其他条件不变，的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出的度数． 22．（8分）如图，点是菱形对角线上一动点，．在线段的同侧作线段，使得，连接． (1)补全图形，并回答问题：当 时，； (2)连接，交于点，若，探索与的数量关系，并证明； (3)直接写出当 时，将平行． 23．（8分）我们知道：平行四边形的面积（底边）（这条底边上的高）．如图，四边形都是平行四边形，，，设它的面积为． (1)如图①，点为上任意一点，则的面积，的面积与的面积的数量关系是 ． (2)如图②，设、交于点，则为、的中点，试探究的面积与的面积之和与平行四边形的面积的数量关系． (3)如图③，点为平行四边形内任意一点时，记的面积为，的面积为，平行四边形的面积为，猜想得、的和与的数量关系式为 ． (4)如图④，已知点为平行四边形内任意一点，的面积为，的面积为，求的面积． 24．（12分）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 25．（12分）已知点E，F分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点A落在处，点B落在'处．当，时，请解决下列问题： (1)如图1，若点恰好与点D重合，与相交于点O，连接、，求的长； (2)如图2，若点恰好在边上时，交于点G，且满足，求证：； (3)若点在边所在直线上，且满足，求的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $