重点题型专题 5 勾股定理在折叠中的应用（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）安徽专版

2026-03-16

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摘要：

该初中数学课件聚焦勾股定理在折叠中的应用，通过直角三角形和长方形折叠问题导入，衔接勾股定理基础应用与几何变换知识，构建从模型分析到方程求解的学习支架，帮助学生逐步掌握折叠问题解题思路。其亮点在于以问题模型为核心，结合几何直观与推理能力，通过“方法指导+例题解析+变式练习”呈现，如直角三角形折叠中设未知数用勾股定理列方程，长方形折叠中证明等腰三角形并求坐标，培养学生模型意识。学生能提升折叠问题解决能力，教师可直接使用系统题型与方法指导，提高教学效率。

内容正文：

初中数学八年级下册·（RJ版）·安徽专版第二十章　勾股定理重点题型专题 5　勾股定理在折叠中的应用类型1　直角三角形中的折叠问题角度1　折线是斜边的垂直平分线方法指导　问题模型如图，将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE. 已知 BC＝a，AC＝b，求CD的长思路方法设CD＝x，则AD＝BD＝a－x.在Rt△ACD中，利用勾股定理列方程求出x 返回目录上一页下一页 1. 如图，有一张直角三角形纸片ABC，AC＝5，BC＝10.将 △ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（　D　） A. 1.8 B. 2.5 C. 3 D. 3.75 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录上一页下一页 2. 如图，有一张三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝8 cm， BC＝6 cm.现将纸片折叠，使点A与点B重合，那么折痕的长为 cm. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录上一页下一页角度2　折线是锐角的平分线方法指导　问题模型如图，将△ABC折叠，使点C恰好落在边AB上，记为点E，折痕为AD. 已知BC＝a，AC＝b， AB＝c，求DE的长思路方法设DE＝x，则CD＝DE＝x，AE＝AC＝b，故 BD＝a－x，BE＝c－b.在Rt△BED中，利用勾股定理列方程求出x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录上一页下一页 3. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝30，BC＝40.将 △ABC折叠，使点B恰好落在边AC上的点B'处，折痕为AE，则EB'＝ ⁠. 15　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录上一页下一页 [变式] 　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边BC上的一点.将△ACD沿AD折叠，点C恰好落在边AB上的点E处，且BD＝4，CD＝ . （1）BE的长为 ⁠；（2）AC的长为 ⁠. 3　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录上一页下一页 4. 如图，有一张直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝ 4，BC＝3.将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（　C　） A. B. 1.5 C. D. 3 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录上一页下一页角度3　其他类型 5. 如图，将等腰直角三角形ABC（∠ABC＝90°）沿EF折叠，使点A落在边BC的中点A'处，BC＝6，则线段AE的长为（　D　） A. 5 B. 4 C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录上一页下一页 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10.将边AC沿CE翻折，使点A落在边AB上的点D处；再将边BC沿 CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处.两条折痕与斜边 AB分别交于点E，F，则DF的长为 ⁠. 1.2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录上一页下一页类型2　长方形中的折叠问题方法指导问题模型在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，进行如图所示的折叠操作. （1）如图1，求FD的长；（2）如图2，求FD的长；（3）如图3，求DE的长思路方法在阴影三角形中利用勾股定理列方程求解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录上一页下一页 7. 如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，E为边CD 上的一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F 处.求：（1）BF的长；解：（1）由折叠的性质，得AF＝AD＝BC＝10. ∵AB＝8， ∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得 BF＝＝6. 解：（1）由折叠的性质，得AF＝AD＝BC＝10. ∵AB＝8， ∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录上一页下一页 7. 如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，E为边CD 上的一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F 处.求：（2）CE的长. 解：（2）设CE＝x，则DE＝CD－CE＝8－x. 由折叠的性质，得FE＝DE＝8－x. 由（1），知BF＝6，∴CF＝BC－BF＝10－6＝4. 在Rt△CEF中，由勾股定理，得CF2＋CE2＝FE2， ∴42＋x2＝（8－x）2，解得x＝3，∴CE的长为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录上一页下一页 8. 把一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式进行折叠，使点 B恰好与点D重合，折痕为EF，其中AB＝4，BC＝8.求：（1）DF的长；解：（1）∵四边形ABCD是长方形， ∴∠C＝90°，CD＝AB＝4. 由折叠的性质，得BF＝DF. 在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF2＝CF2＋CD2，即DF2＝（8－DF）2＋42，解得DF＝5. 解：（1）∵四边形ABCD是长方形， ∴∠C＝90°，CD＝AB＝4. 由折叠的性质，得BF＝DF. 在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF2＝CF2＋CD2，即DF2＝（8－DF）2＋42，解得DF＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录上一页下一页 8. 把一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式进行折叠，使点 B恰好与点D重合，折痕为EF，其中AB＝4，BC＝8.求：（2）纸片重叠部分的面积. 解：（2）由折叠的性质，得A'E＝AE，A'D＝AB，∠A'＝∠A ＝90°.设A'E＝AE＝x，则DE＝8－x. 在Rt△A'ED中，由勾股定理，得x2＋42＝（8－x）2，解：（2）由折叠的性质，得A'E＝AE，A'D＝AB，∠A'＝∠A ＝90°.设A'E＝AE＝x，则DE＝8－x. 在Rt△A'ED中，由勾股定理，得x2＋42＝（8－x）2，解得x＝3，∴DE＝8－3＝5， ∴纸片重叠部分的面积为 ×5×4＝10. 解得x＝3，∴DE＝8－3＝5， ∴纸片重叠部分的面积为 ×5×4＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录上一页下一页 9. 如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使 OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC 折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，已知点B 的坐标为（4，8）. （1）△AEC是等腰三角形吗？请证明. 解：（1）△AEC是等腰三角形. 证明：由折叠的性质，得∠BAC＝∠EAC. ∵OC∥AB，∴∠ECA＝∠BAC，∴∠EAC＝∠ECA， ∴AE＝CE，即△AEC是等腰三角形. 解：（1）△AEC是等腰三角形. 证明：由折叠的性质，得∠BAC＝∠EAC. ∵OC∥AB，∴∠ECA＝∠BAC，∴∠EAC＝∠ECA， ∴AE＝CE，即△AEC是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录上一页下一页 9. 如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使 OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC 折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，已知点B 的坐标为（4，8）. （2）求点D的横坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录上一页下一页解：（2）过点D作DF⊥y轴于点F（图略）. 令AE＝CE＝x，则OE＝8－x. 在Rt△OEA中，由勾股定理，得（8－x）2＋42＝x2，解：（2）过点D作DF⊥y轴于点F（图略）. 令AE＝CE＝x，则OE＝8－x. 在Rt△OEA中，由勾股定理，得（8－x）2＋42＝x2，解得x＝5，∴AE＝CE＝5. 由折叠的性质，得CD＝BC＝4，AD＝AB＝8， ∴DE＝AD－AE＝3. ∵S△CDE＝ CD·DE＝ CE·DF， ∴DF＝，∴点D的横坐标为－ . 解得x＝5，∴AE＝CE＝5. 由折叠的性质，得CD＝BC＝4，AD＝AB＝8， ∴DE＝AD－AE＝3. ∵S△CDE＝ CD·DE＝ CE·DF， ∴DF＝，∴点D的横坐标为－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录上一页下一页谢谢观看 $

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