重点题型专题 4 利用勾股定理解决最短路径问题（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）安徽专版

该初中数学课件聚焦勾股定理解决最短路径问题，从平面上的对称点、垂线段最短模型入手，过渡到几何体展开（圆柱、长方体等），再延伸至数形结合的代数式转化，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是分类梳理三类问题模型，通过表格方法指导、变式训练和一题多问，培养几何直观与空间观念（如圆柱侧面展开转化直角三角形），发展模型意识（如代数式构造几何图形）。学生能提升推理能力与应用意识，教师可借助结构化资源高效开展分层教学。

初中数学 八年级下册·（RJ版）·安徽专版 第二十章　勾股定理 重点题型专题 4　利用勾股定理解决最短路径问题 类型1　平面上的最短路径问题 方法指导　 模型 解题 策略 利用“两点之间，线段最 短”确定最短路径→构造 Rt△ACB'，利用勾股定理 求解 利用“垂线段最短”确定 最短路径→构造直角三角 形，利用勾股定理求解 上一页 下一页 1. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，P 是边AC上的一个动点，则线段BP长度的最小值为（　C　） A. 3 B. 2.5 C. 2.4 D. 2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 2. 如图，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，E是AB的中 点，H是AD上的任意一点.如果AB＝AC＝BC＝10，那么HE ＋HB的最小值是 ⁠. 5 　 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 3. 如图，高速公路MN的同一侧有A，B两个城镇，它们到高 速公路的距离分别为AA'＝2 km，BB'＝4 km，且A'B'＝8 km.现 要在高速公路上的A'，B'之间建一个出口P，使A，B两个城镇 到出口P的距离之和最小，求AP＋PB的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 解：如图，作点A关于直线MN的对称点C，连接CB交直线 MN于点P，此时AP＋PB的值最小，为CB的长.过点C作 CD⊥BB'交BB'的延长线于点D. ∵AA'＝2 km，∴A'C＝B'D＝2 km， ∴BD＝6 km，CD＝A'B'＝8 km. 在Rt△CDB中，CB2＝BD2＋CD2＝62＋82＝100，∴CB＝10 km， ∴AP＋PB的最小值为10 km. 解：如图，作点A关于直线MN的对称点C，连接CB交直线 MN于点P，此时AP＋PB的值最小，为CB的长.过点C作 CD⊥BB'交BB'的延长线于点D. ∵AA'＝2 km，∴A'C＝B'D＝2 km， ∴BD＝6 km，CD＝A'B'＝8 km. 在Rt△CDB中，CB2＝BD2＋CD2＝62＋82＝100， ∴CB＝10 km， ∴AP＋PB的最小值为10 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 类型2　几何体中的最短路径问题 方法指导 直接展开 分类讨论 解题策略 将立体图形展开成平面图形→利用“两点之 间，线段最短”确定最短路径→构造直角三角 形→利用勾股定理求解 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 4. 如图，已知圆柱的高为5 cm，底面的周长为24 cm，一只蚂 蚁在点A处，要想吃到点B处的食物，则它需要沿圆柱侧面爬 行的最短路线的长度为（　B　） A. 9 cm B. 13 cm C. 14 cm D. 25 cm B 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 [变式1] 如图，圆柱形玻璃杯的高为5 cm，底面周长为12 cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁与蜂蜜相对的点A处，点A距离杯上沿3 cm，则蚂蚁从外壁点A处爬行到内壁点B处的最短路程是 cm.（杯壁厚度不计） 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 [变式2] 如图，小冰用一条彩带将圆柱缠绕4圈，正好从点A处 绕到正上方的点B处.已知圆柱底面的周长是3 dm，高是5 dm，则彩带至少需要 dm. 13　 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 5. 如图，已知长方体的长AC＝3 cm，宽BC＝2 cm，高AA'＝ 5 cm.若有一只蚂蚁沿长方体的表面从点A爬到点B'处，则爬行 的最短路程为 cm. 5 　 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 6. 如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点， 点A处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物，则该蚂蚁沿 着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm. 25　 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 7. 一个供滑板爱好者使用的U形池如图所示，该U形池可以看 作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部 分的截面是半径为4 m的半圆，其边缘AB＝CD＝18 m，点E 在CD上，CE＝2 m.一滑板爱好者从A点滑到E点，再从E点 滑到B点，则他滑行的最短路程是多少？（边缘部分的厚度忽 略不计，π取3） 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 解：U形池的部分展开图如图所示. 由题意，得AD＝BC＝ ＝4π≈12（m），AB＝ CD＝18 m，DE＝CD－CE＝18－2＝16（m）. 在Rt△ADE中，AE＝ ≈ ＝ 20（m）， 在Rt△BCE中，BE＝ ≈ ＝ 2 （m）， ∴AE＋BE≈（20＋2 ）m. 答：他滑行的最短路程约是（20＋2 ）m. 解：U形池的部分展开图如图所示. 由题意，得AD＝BC＝ ＝4π≈12（m），AB＝CD＝18 m， DE＝CD－CE＝18－2＝16（m）. 在Rt△ADE中，AE＝ ≈ ＝20（m）， 在Rt△BCE中，BE＝ ≈ ＝ 2 （m）， ∴AE＋BE≈（20＋2 ）m. 答：他滑行的最短路程约是（20＋2 ）m. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 8. （一题多问）如图1，C为线段BD上的一个动点，分别过点 B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC. 已知AB＝2， DE＝1，BD＝8，设CD＝x. （1）用含x的式子表示AC＋CE的长为 .（2）AC＋CE的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 类型3　数形结合求最短路径的长 ＋ 上一页 下一页 8. （一题多问）如图1，C为线段BD上的一个动点，分别过点 B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC. 已知AB＝2， DE＝1，BD＝8，设CD＝x. （3）根据上述规律和结论，请模仿图1在图2中构图并求式子 ＋ 的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 类型3　数形结合求最短路径的长 上一页 下一页 解：（3）如图2，P为线段BD上的一个动点，分别过点B， D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AP，EP. 已知AB＝1，DE＝2，BD＝3. 设BP＝x，则PD＝3－x， ∴AP＝ ，PE＝ ， ∴AP＋PE＝ ＋ . 由（2）可知，AP＋PE的最小值即为点A与点E之间的距离， ∴ ＋ 的最小值为 ＝3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 （4）[拓展]在解决“当0＜x＜5时，求代数式 ＋ （5－x）的最小值”这个问题时，我们可以将 看作是一个以x和3为直角边的Rt△ABP的斜边AP的长，再将BP延长至 点C，使得BC＝5，以PC为斜边构造如图3所示的∠C＝30° 的Rt△PCD，则 （5－x）即为PD的长，于是将问题转化为 求AP＋PD的最小值.利用上述方法，这个 代数式的最小值是 ⁠. ＋ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 谢谢观看 $