方法归纳专题11 平行四边形中的最值问题&探究与发现利用菱形的性质和判定尺规作图（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）安徽专版

方法归纳专题们平行四边形中的最值问题 一安徽2025中考T10针对练 方法1利用“两点之间，线段最短”求最值 3.(2025·六安霍邱一模)在凸四边形ABCD中，若 【例1】(2017·安徽)如图，在矩形ABCD中，AB= 对角线AC⊥BD,且AC=2,BD=3,则AD十 5,AD-3,动点P满足SAPAR=3S是带AaD,则 1 BC的最小值为 () A.5 B.√13 C.52 D.53 点P到A,B两点的距离之和PA十PB的最 小值为 () 4.如图，在矩形ABCD中，E,F,G,H分别是边 AB,BC,CD,DA上的动点（不与端点重合）. 若四个点在运动过程中满足AE=CG,BF= DH,且AB=10,BC=5,则四边形EFGH周 长的最小值为 () A.W29 B.√34 C.52 D.W/41 方法2利用“垂线段最短”求最值 【例2(2025·山东)如图，在Rt△ABC中，∠ABC= 90°，AB=6,BC=8,P为边AC上异于点A的 A.10√5 B.10√3C.5/5 D.53 一点，以PA,PB为邻边作□PAQB,则PQ的 5.(2024·准北期末节选)如图，在菱形ABCD中， 最小值是 AB=2,∠ABC=120°.若点E,F分别在AB, CD上，且DF=BE,连接DE,AF,则DE十 AF的最小值为 。学以致用 1.(2025·合肥庐江月考)如图，在平行四边形ABCD 中，∠C=120°，AB=2,H,G分别是边DC, 6.(2025·安徽改编)如图，在四边形ABCD中， BC上的动点，连接AH,HG,E为AH的中 点，F为GH的中点，连接EF,则EF的最小 ∠A=∠ABC=90°，AB=4,BC=3,AD=1, 值为 E为边AB上的一个动点. (1)EC-ED的最大值为 (2)EC+ED的最小值为 A.2 B./3 C.1 吗 2.(2025·合肥四十二中模拟)如图，在菱形ABCD E 中，AC=8,BD=6,E是边CD上的一个动点， [变式](2023·安徽改编)如图，E是线段AB 过点E分别作EF⊥OC于点F,EG⊥OD于 上的一点，△ADE和△BCE是位于直线AB 点G,连接FG,则FG的最小值为 () 同侧的两个等边三角形，P是CD的中点.若 AB=4,则PA+PB的最小值为 A.2.4 B.3 C.4.8 D.4 第二十一章四边形73 探究与发现 利用菱形的性质和判定尺规作图 1.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点 (2)如图，在平行四边形ABCD中，确定一点 O,则下列结论错误的是 O,使得∠AOB=90°； A.AB=BC=CD=AD B.AB∥CD,AD∥BC C.∠BAC=∠DAC,∠ABD=∠CBD D.OA=OB=OC=OD 第1题图 第2题图 2.“作线段AB的垂直平分线”的作图痕迹如图所 示，安安和徽徽两名同学对作图细节和依据进 行了讨论： 安安 徽徽 作图的关键是保证两段 作图时对两段弧的半径 (3)如图，在△ABC中，D是边AB上的任意一 弧的半径相等，此时四边 无要求，只需保证两段弧 点，在边AC上确定一点E,使得DE∥BC. 形AMBN是菱形，根据 相交即可，根据AM= 菱形的性质可知，线段 AN,BM=BN,可判断 AB和MN互相垂直平分MN垂直平分AB 对于两人的说法，判断正确的是 A.安安正确，徽徽错误 B.安安错误，徽徽正确 C.两人均正确 D两人均错误 3.利用菱形的判定和性质作出下列图形（写出必 要的步骤说明)： (1)如图，在直线AB上确定一点P,使得PM十 PN的值最小； M B 74数学8年级下册R刷版2.(1)当∠EAD=90°时，四边形ABEC为菱形.理由略 (2)略 3.解：(1)证明：DE⊥BC,.∠DFB=90° ∠ACB=90°，∴.∠ACB=∠DFB,.AC∥DE. 又，CE∥AD, .四边形ADEC是平行四边形，.CE=AD. (2)四边形BECD是菱形.理由如下： D为AB的中点，AD=BD. 由(1)，知CE=AD,.BD=CE. BD∥CE,.四边形BECD是平行四边形 又，DE⊥BC,∴.四边形BECD是菱形 (3)证明：∠ACB=90°，D为AB的中点， ∴.CD=AD, .∠DCA=∠A=45°， ∴∠CDA=180°-∠DCA-∠A=90°， .∠BDC=90°，∴.四边形BECD是正方形. 4.解：(1)证明：AF平分∠BAD, .∠BAF=∠DAF. 四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,AB∥CD, .∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE, .∠CEF=∠CFE,.CE=CF ,四边形ECFG是平行四边形， ∴.四边形ECFG是菱形. (2)45° 经典模型专题10与正方形有关的 几个常考模型 【例1】解：(1)证明：.四边形ABCD是正方形， ∴.BC=CD,∠EBC=∠FCD=90°， ∴.∠BCE+∠OCD=90. DF⊥CE, ∴.∠CDF+∠OCD=90°，∴.∠BCE=∠CDF I∠BCE=∠CDF, 在△BCE和△CDF中，〈BC=CD, ∠EBC=∠FCD, ∴.△BCE≌△CDF(ASA),.BE=CF. (2)12-82 【例2】略 【例3】解：[方法回顾]证明：：四边形ABCD为正方形， ∴.AB=AD,∠BAD=90°， ∴.∠BAE+∠DAF=90°. · BE⊥AP,∴.∠BEA=90°，.∠BAE+∠ABE=90°， ∴.∠ABE=∠DAF DF⊥AP,.∠DFA=90°=∠AEB, ∴.△ABE≌△DAF(AAS), .BE=AF,AE=DF」 EF=AE-AF,∴.EF=DF-BE [问题解决]日 [思维拓展]4m 【例4】解：(1)证明：如图，延长CB至，点E,使BE=DN. E B M ,四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠D=∠ABE=90°. AB-AD, 在△AEB和△AND中，∠ABE=∠ADN, BE=DN, ∴.△AEB≌△AND(SAS), .AE=AN,∠EAB=∠NAD :∠MAN=45°，∴.∠BAM+∠NAD=45, ∴.∠EAM=∠EAB+∠BAM=45°=∠NAM. (AE-AN, 在△AEM和△ANM中，∠EAM=∠NAM, AM=AM, .△AEM≌△ANM(SAS),∴.S△AEM=SAAM,EM=MN. :AB,AH分别是△AEM和△ANM对应边上的高， ∴.AB=AH (2)3 1.B2.c3w34.5/ 3 5.2 方法归纳专题11平行四边形中的最值问题 安徽2025中考T10针对练 【例1】D【例2】4.81.D2.A3.B4.A5.4 6.(1)4(2)4√2【变式】2√7 探究与发现利用菱形的性质和判定 尺规作图 1.D2.A 3.解：(1)如图.①以点N为圆心，适当长度为半径画孤，交 AB于C,D两点； 案10· ②分别以，点C,D为圆心，CN的长为半径画孤，两孤交于 点N'; ③连接N'M,交AB于点P,点P即为所求. N M P D B (2)如图，分别以点A,B为圆心，AB的长为半径画孤，分 别交AD和BC于点E,F,连接BE,AF交于点O,点O即 为所求. (3)如图.①以点B为圆心，BD的长为半径画孤，交BC于 点F; ②分别以点D,F为圆心，BD的长为半径画孤，两孤交于 点P(不与点B重合)； ③作射线DP,交AC于点E,点E即为所求. 数学活动 1.c 2.四边形GHDF是黄金矩形.理由略 3.D 4.解：(1)栽剪方法如图1所示，此时这个大正方形的边长 为√5， 图1 图2 (2)裁剪方法如图2所示，最少只需剪2刀. 章末复习 ①AB∥CD,AD∥BC②AD∥BC③∠BAD=90° ④AC=BD⑤AB=AD⑥AC⊥BD⑦AB=AD ⑧AC⊥BD⑨∠BAD=90°⑩AC=BD①AD IL BC, AB ILCD@∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC BOA= OC,OB=OD④AD IL BC,AB IL CD⑤∠BAD ∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°GOA=OD=OC=OB ⑦AB=AD=DC=BC⑧∠BAD=∠BCD,∠ABC= ∠ADC©AC⊥BD 1.B【变式】B2.C3.45° ·答季 4.(1)18 2 (2)1<AB<7(3)70 (4)作图略①平行②矩形③正方形 5.D6.C7.C8.A9.B 10.解：(1)证明：.D,E分别为AB,AC的中点， ∴.DE是△ABC的中位线，.DE∥BC. .DG=FC,∴.四边形DFCG是平行四边形. 又.DF⊥BC,∴.∠DFC=90°， .四边形DFCG是矩形 (2)BC=8,AC=210 11.解：(1)证明：.AB∥CD,.∠ABF=∠CDE ,AF⊥AB,CE⊥CD,∴.∠BAF=∠DCE=90° .BE=EF=FD, ∴，BE+EF=FD十EF,即BF=DE (∠BAF=∠DCE, 在△ABF和△CDE中， ∠ABF=∠CDE, BF=DE, ∴.△ABF≌△CDE(AAS). (2)四边形AECF是菱形.理由略 12.(1)略(2)0 2 13.解：(1)BE是线段AA'的垂直平分线， ∴.A'E=AE=1,BA'=BA 又BE=BE, .△ABE≌△A'BE(SSS), ,∴.∠BAE=∠BA'E=90 四边形ABCD是正方形，.∠ADB=45°， .△A'DE是等腰直角三角形， A'D=A'E=1,∴DE=√2， ∴.AD=DE+AE=√/2+1，.AB=AD=2+1. (2)①证明：由题意，知BA=BA'=BC, ∠BAA'=∠BA'A,∠BCA'=∠BA'C, 1 ·∠AA'C=∠AA'B+∠CA'B=2(180°-∠ABA')+ (180°-∠CBA)=180°-45°=135， 1 .∠CA'F=180°-∠AA'C=45° ②△A'DG是等腰直角三角形.理由如下： 如图，过点C作CN⊥BG交BG于，点M,交AB于点N CN⊥BG,CG=CB,.M为BG的中点. 11·