21.3.3 第2课时正方形的判定（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）安徽专版

第2课时 A知识分点练 夯基础、 知识点正方形的判定 1.如图，添加下列条件能使矩形ABCD成为正方 形的是 ( A.AC=BD B.AB⊥BC C.AD=BC D.AC⊥BD 第1题图 第2题图 2.【新考法·开放题】如图，在菱形ABCD中，对 角线AC,BD相交于点O,请添加一个条 件： ,使得菱形ABCD为正方形. 3.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在边 BC上的点F处，折痕为BE.若将纸片沿EF 剪开，则四边形ABFE是一个正方形，其数学 原理是 F 4.(2024·宿州埔桥区月考)如图，在菱形ABCD中， 对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线 BD上，且BE=DF,AE⊥AF.求证：四边形 AECF是正方形， B 66数学8年级下册RJ版 正方形的判定 5.(教材P77练习T3变式)如图，在矩形ABCD中， 点E,F分别在边AB,BC上，AF⊥DE,且 AF=DE,AF与DE相交于点G.求证：矩形 ABCD是正方形. B能力综合练 练思维 6.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理的 内容如图所示，(1)(2)(3)(4)处需要添加条件， 则下列条件添加错误的是 () A D (1) 矩形 (2) C D 平行 四边形 D 正方形 (3 菱形c (4) B A.(1)处可填∠A=90 B.(2)处可填AD=AB C.(3)处可填AC⊥BD D.(4)处可填∠B=∠D 7.如图，E,F,P,Q分别是正方形ABCD的四条 边上的点，并且AF=BP=CQ=DE,则下列 结论不一定正确的是 ) A.∠AFP=∠BPQ B.EF∥QP C.四边形EFPQ是正方形 D.四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积 的一半 8.如图，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥ BC于点D.小明同学灵活运用轴对称知识将图 形进行翻折变换：分别以直线AB,AC为对称 轴，画出△ABD,△ACD的轴对称图形，点D 的对称点分别为点E,F,延长EB,FC相交于 点G. 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： (1)求证：四边形AEGF是正方形； (2)若AD=6,BD=2,求CD的长， C拓展探究练 提素养、 9.【新考法·过程性学习】如图，四边形ABCD是 正方形，点P在线段AC上，点E在射线BC 上，且PB=PE,连接PD,O为线段AC的 中点. [感知]如图1，当点P在线段AO上时， ①易证△ABP≌△ADP(不需要证明)，进而 得到PE与PD的数量关系是 ②过点P作PM⊥CD于点M,PN⊥BC于点 N,易证Rt△PNE≌Rt△PMD(不需要证明)， 进而得到PE与PD的位置关系是 [探究]如图2，当点P在线段OC上（点P不与 点O,C重合)时，试写出PE与PD的数量关 系和位置关系，并说明理由. D B N 图1 图2 温馨提示：学习至此，建议使用周周清小卷5(21.3) 第二十一章四边形678证明：四边形ABCD为正方形， ∴.OC=OD,∠OCE=∠ODF=45°，∠C0D=90°， ∴∠DOF+∠COF=90°. .∠EOF=90°，∴.∠COE+∠COF=90°， ∴.∠COE=∠DOF,∴.△COE≌△DOF(ASA), ∴CE=DF. 7 【变式】49.210.B 11.(1)略(2)成立.理由略 12.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAD=90°，AB=AD,∴.∠BAG+∠DAE=90 DE⊥AG,.∠AED=∠DEF=90°， ∴∠DAE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BAG. BF∥DE,.∠BFA=∠DEF=90°， ∴.∠AED=∠BFA,∴.△ADE≌△BAF(AAS), ∴.AE=BF, ∴.AF-BF=AF-AE=EF」 (2)AF+BF=EF.证明如下： 在正方形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°， ∴.∠BAF+∠DAE=90° DE⊥AG,∴.∠E=90°，∴∠DAE+∠ADE=901 ∴.∠BAF=∠ADE BF∥DE,.∠AFB=180°-∠E=90°， ∴.∠E=∠AFB,∴.△ADE≌△BAF(AAS),.AE=BF ..AF+BF=AF+AE=EF. (3)8 第2课时正方形的判定 1.D2.AC=BD(答案不唯一) 3.有一组邻边相等的矩形是正方形 4.证明：，四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,OA=OC,OB=OD BE=DF,OE=OF,四边形AECF是菱形. ,AE⊥AF,.∠EAF=90°， ∴.四边形AECF是正方形. 5.证明：，四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠B=90°，∴∠BAF+∠DAF=90°. .DE⊥AF,,.∠AGD=90°， ∴.∠ADE+∠DAF=90°， ∴.∠BAF=∠ADE. 又：AF=DE,∠ABF=∠DAE=90°， ∴.△ABF≌△DAE(AAS), ..AB=AD. 四边形ABCD是矩形， .矩形ABCD是正方形. 6.D7.D 8.解：(1)证明：根据题意，得△ABD≌△ABE,△ACD≌ △ACF, .AD=AE,∠DAB=∠EAB,AD=AF,∠DAC= ∠FAC,.AE=AF. ∠BAC=45°， .∠EAF=∠DAB+∠DAC+∠EAB+∠FAC= ∠BAC+∠BAC=90 ,AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC=90°， ∴.∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°， ∴.四边形AEGF是矩形. 又.AE=AF, .四边形AEGF是正方形. (2)3 9.[感知]①PE=PD②PE⊥PD [探究]PE=PD,PE⊥PD.理由略 重点题型专题9平行四边形及特殊 平行四边形的性质与判定 ①∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°②AD∥BC,AB∥ CD③AD=BC,AB=CD④AD IL BC⑤∠BAD= ∠BCD,∠ABC=∠ADC⑥OA=OC,OB=OD⑦AB BC=CD=AD⑧∠BAD=90°⑨AC=BD⑩AB= BC,∠BAD=90°①AC⊥BD,AC=BD②AB=BC ③AC⊥BD④AB=BC⑤AC⊥BDG∠BAD=90 ⑦AC=BD 1.解：(1)如图，直线EF即为所求 (2)证明：如图，设EF与AC的交点为O ,直线EF是线段AC的垂直平分线， .EA=EC,FA=FC,∠COE=∠AOF=90°，OA=OC. 四边形ABCD是矩形，CD∥AB, .∠ECO=∠FAO, .△COE≌△AOF(ASA),.EC=FA, ..EA=EC=FA=FC, ∴.四边形AFCE是菱形. 答案9·