重点题型专题4 利用勾股定理解决最短路径问题（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）安徽专版

6.解：(1).202+212=400+441=841， 292=841,∴.202+212=292，故由线段a,b,c组成的三角 形是直角三角形， (2)52+72=25+49=74,82=64, 52+7≠82，故由线段a,b,c组成的三角形不是直角三 角形. (3).(3)2十22=3十4=7，(7)2=7， ∴(3)2十22=(/7)2，故由线段a,b,c组成的三角形是直 角三角形 7.解：(1)a=22,b=5,c=32 (2)以长度为a,b,c的三条线段为边不能构成直角三角形. 理由如下： .a2=8,b2=25,c2=18,a2+c2=8十18=26≠25， ∴.a2十c2≠b2, 根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形， 8.D9.11,60,6110.D11.C 12.解：(1)AC=√13，CE=2√/13 (2)证明：，AC=√/13，CE=213,AE=√65， AE2=AC2+CE2,∴.∠ACE=90. 13.解：(1)证明：如图，连接BE. D是边AB的中点，DE⊥AB, DE垂直平分AB, ..AE=BE 又AE2-CE2=BC, ∴.BE2-CE2=BC2,即BE2=CE+BC2, ∴.△BCE是直角三角形，且∠C=90°. (2)2.8 14.解：△ABC是直角三角形.理由如下： ,a2十b2+c2+50=6a+8b+10c, ∴.(a2-6a+9)+(b2-8b+16)+(c2-10c+25)=0, 即(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0, .a=3,b=4,c=5. .a2十b2=32十42=25=52=c2, ∴.△ABC是直角三角形 第2课时勾股定理的逆定理的应用 1.不垂直 ·答案 2解：BD⊥DE.理由如下： 连接BD(图略).在△BDC中，BD=48cm,BC=60cm, CD=60-24=36(cm), ..BC2=CD2+BD2 △BDC是直角三角形，即BD⊥DC, BD⊥DE. 3.C4.w3-1 5.解：△ABC是直角三角形.理由如下： .CD⊥AB, .∠ADC=∠BDC=90°， ∴.AD=√/AC-CD2=16,BC=√/CD2+BD2=15, ..AB=AD+BD=25, ∴.AC2+BC2=202+152=625=252=AB2, ∴.△ABC是直角三角形. 、13 6.(1)5(2)2 7.C8.45 9.解：(1)CH是从村庄C到河边最近的路.证明如下： 在△CHB中， .CH2+BH2=2.42+1.82=9,BC2=32=9, ..CH2+BH2=BC2, ∴.∠CHB=90°，即CH⊥AB, CH是从村庄C到河边最近的路， (2)2.5千米 10.解：(1)13 (2)△AOB是直角三角形.理由如下： ,A02=(1-0)2+(2-0)2=5, B02=(4-0)2+(-2-0)2=20, AB2=(4-1)2+(-2-2)2=25, .A02+B02=AB2, ,.△AOB是直角三角形」 (3)15 重点题型专题4利用勾股定理解决 最短路径问题 1.C2.5/33.10km 4.B【变式1】10【变式2】13 5.526.257.(20+2√/37)m 8.解：(1)√4+(8-x)7+√1+x(2)√/73 (3)如图，P为线段BD上的一个动，点，分别过点B,D作 。 AB⊥BD,ED⊥BD,连接AP,EP. D E 已知AB=1,DE=2,BD=3. 设BP=x,则PD=3一x, ∴.AP=√x2+1,PE=√(3-x)2十4， ∴.AP十PE=Wx2十1+W(3-x)2+4. 由(2)可知，AP十PE的最小值即为，点A与点E之间的 距离， .√+1+√(3-x)+4的最小值为√32+3=3√2. (号+2雨 重点题型专题5勾股定理在折叠中的应用 1.D23.15【变式1a3(247+7 3 4.C5.D6.1.27.(1)6(2)38.(1)5(2)10 9.①△AEC是等腿三角形，证明路(2号 数学活动利用勾股定理绘制图案 1.D2.A3.C4.C5.a-b 章末复习 ①a2+b2=c2②c2-b2③c2-a2 ④a2+b2=c2 ⑤正整数 1B245345415(2 3 5.4/136.C7.158.2.4 9.(1)1+√13(2)7.5m 10.解：(1)能.证明：如图，连接BD. D :∠DAC+∠ADE=90°，∠ADE=∠BAC, ∴.∠DAC+∠BAC=90°. :Smt事AaD=SaAD十S△oD=2C2+2a(h-a), ScD=SAanc +SAAcDb, ·答案 ∴72+2a6-o)=合b+26a+6=d (2)①C(0,3),D(4,0) 7 ②(80）.(9,0)，(-4,0)，(-1,0) 第二十一章四边形 21.1四边形及多边形 21.1.1四边形及其内角和 1.B2.(1)133°(2)100°(3)52 3.130°4.270°5.36°6.(1)100(2)65 7.四边形的不稳定性8.C9.C10.3 11.(1)69°(2)略 1 1 12.(1)40°(2)∠P=2∠A+2∠D-90.理由略 21.1.2多边形及其内角和 1.C2.D3.84.C5.B6.97.180 8.1159.(1)八边形(2)135 10.A11.A12.C13.7214.72m15.126° 16.(1)略(2)1440°17.5或6或7 探究与发现用多边形镶嵌平面 1.B2.C3.B4.D5.126.24 7.(3,3,6,6)(答案不唯) 21.2平行四边形 21.2.1平行四边形及其性质 第1课时平行四边形的性质 1.(1)18(2)11(3)5512555 (4)70110(5)10872 2.A3.(5,3)4.55.C6.C7.A 8.证明：解法1：利用平行四边形对角线的性质 如图，连接BD交AC于点O. ,四边形ABCD与四边形EBFD都是平行四边形， ,∴.AO=CO,EO=FO, ∴.AO-EO=CO-FO,即AE=CF. 解法2：利用平行四边形的边、角性质十全等三角形， ,四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形， ∴.AB=CD,AB∥CD,BE∥DF,重点题型专题④ 利用么 类型1平面上的最短路径问题 ·方法指导 罐 P、 C B 利用“两点之间，线段 利用“垂线段最短”确 解 最短”确定最短路径→ 定最短路径→构造直 略 构造Rt△ACB',利用 角三角形，利用勾股 勾股定理求解 定理求解 1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3, BC=4,P是边AC上的一个动点，则线段BP 长度的最小值为 ( A.3 B.2.5 C.2.4 D.2 第1题图 第2题图 2.如图，在等边三角形ABC中，D是BC的中点， E是AB的中点，H是AD上的任意一点.如果 AB=AC=BC=10,那么HE+HB的最小值 是 3.如图，高速公路MN的同一侧有A,B两个城 镇，它们到高速公路的距离分别为AA'= 2km,BB'=4km,且A'B′=8km.现要在高 速公路上的A',B'之间建一个出口P,使A,B 两个城镇到出口P的距离之和最小，求 AP+PB的最小值， A MA' B N 30数学8年级下册RJ版 J股定理解决最短路径问题 类型2几何体中的最短路径问题 ·方法指导 直接展开 类讨论 B 将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线 解题策略 段最短”确定最短路径→构造直角三角形利用 勾股定理求解 4.如图，已知圆柱的高为5cm,底面的周长为 24cm,一只蚂蚁在点A处，要想吃到点B处 的食物，则它需要沿圆柱侧面爬行的最短路线 的长度为 A.9 cm B.13 cm C.14 cm D.25 cm [变式1]如图，圆柱形玻璃杯的高为5cm, 底面周长为12cm,在杯内壁底的点B处有一 滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁与蜂蜜相 对的点A处，点A距离杯上沿3cm,则蚂蚁从 外壁点A处爬行到内壁点B处的最短路程是 cm.(杯壁厚度不计) 蚂蚁A B蜂蜜 变式1题图 变式2题图 [变式2]如图，小冰用一条彩带将圆柱缠绕 4圈，正好从点A处绕到正上方的点B处.已知 圆柱底面的周长是3dm,高是5dm,则彩带至 少需要 dm. 5.如图，已知长方体的长AC=3cm,宽BC= 2cm,高AA'=5cm.若有一只蚂蚁沿长方体 的表面从点A爬到点B'处，则爬行的最短路程 为 cm. D' D 6.如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分 别为20dm,3dm,2dm,A和B是这个台阶上 两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁想到点B 处去吃可口的食物，则该蚂蚁沿着台阶面爬行 到点B的最短路程为 dm A20 7.一个供滑板爱好者使用的U形池如图所示，该 U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆 柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径 为4m的半圆，其边缘AB=CD=18m,点E 在CD上，CE=2m.一滑板爱好者从A点滑到 E点，再从E点滑到B点，则他滑行的最短路 程是多少？（边缘部分的厚度忽略不计，π取3） E B 类型3数形结合求最短路径的长 8.(一题多问)如图1，C为线段BD上的一个动点， 分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC, EC.已知AB=2,DE=1,BD=8,设CD=x. (1)用含x的式子表示AC+CE的长 为 (2)AC+CE的最小值为 (3)根据上述规律和结论，请模仿图1在图2中 构图并求式子√x2+1+√(3-x)2十4的最 小值， (4)[拓展]在解决“当0<x<5时，求代数式 云9+(6一x)的最小值”这个问题时，我 们可以将√x2十9看作是一个以x和3为直角 边的Rt△ABP的斜边AP的长，再将BP延 长至点C,使得BC=5,以PC为斜边构造如图 3所示的∠C=30的Rt△PCD,则2(5-x)即 为PD的长，于是将问题转化为求AP+PD 的最小值利用上述方法，这个代数式的最小值 是 图1 图2 D 图3 第二十章勾股定理31