20.2 第1课时勾股定理的逆定理（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）安徽专版

第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理 1.4913BCAB 2.证明：连接BF(图略). AC=b,.正方形ACDE的面积为b2 .CD=DE=AC=6,EF=BC=a, ∴.BD=CD-BC=b-a,DF=EF+DE=a十b. :∠CAE=90°，∴∠BAC+∠BAE=90. .'∠BAC=∠FAE,∴.∠FAE+∠BAE=90°， ∴△BAF为等腰直角三角形， 1 四边形ABDF的面积为2c2十？(b-a)(a十b)门 2+6-. 1 ,正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等， 6=+w-a.6=+0-2 1 1 3.(1)10(2)5(3)23 4.B【变式】185.35 6.(1)553(2)5√25√27.√53 8.5cm或√/7cm9.A10.50π11.(1)150(2)12 12.解：[合作探究](1)14-x (2)由勾股定理，得AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2= AC2-CD2=132-(14-x)2,故152-x2=132-(14- x)2,解得x=9. [类比应用]如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点 D,AD2=AB:-BD*=AC2-CD*, B 即152-(4+CD)2=132-CD2, 解得CD=5,.AD=12, 1 SAAc=zAD·BC=24. 第2课时勾股定理的应用（一） 1.D2.D3.44.2.65.756.D 7.(6-2√3)8.680 9.解：(1)由题意，得∠BOA=90°，OE=3m. 在Rt△OAB中，AB=30m,OA=24m, ·答 ∴.0B=√AB2-OA=√302-24=18(m), ..BE=OB+OE=18+3=21(m). 答：B处与地面的距离是21m. (2)由题意，得BD=6m. .CD=30m,OD=OB+BD=18+6=24(m), ∴.0C=√CD2-0D=√302-24=18(m), ∴.AC=OA-OC=24-18=6(m). 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为6m. 10.(1)2.6m(2)2m 第3课时勾股定理的应用（二） 1.B【变式】D2W5 3.解：如图，△ABC即为所求（答案不唯一）. 4.c5.46.65【变式】(2,12)75 8.D9.<10211.6 12.解：(1)△BED是等腰三角形.理由如下： 由折叠的性质，知∠CBD=∠C'BD, 四边形ABCD是长方形， .AD∥BC,∴.∠CBD=∠ADB, .∠C'BD=∠ADB, BE=ED,即△BED是等腰三角形. (2)15(3)90 13.证明：△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， .BC=AC,DC=EC,∠B=∠BAC=45°. ,'∠ACB=∠ECD, .∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE, .∠BCD=∠ACE. .BC=AC,DC=EC, ∴.△BCD≌△ACE(SAS), ∴∠B=∠CAE=45°，BD=AE, ∴.∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°. 在Rt△AED中，由勾股定理，得AD2十AE=DE2, .'.AD2+DB2=DE2. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 1.D2.A3.√24.直角5.90 3· 6.解：(1).202+212=400+441=841， 292=841,∴.202+212=292，故由线段a,b,c组成的三角 形是直角三角形， (2)52+72=25+49=74,82=64, 52+7≠82，故由线段a,b,c组成的三角形不是直角三 角形. (3).(3)2十22=3十4=7，(7)2=7， ∴(3)2十22=(/7)2，故由线段a,b,c组成的三角形是直 角三角形 7.解：(1)a=22,b=5,c=32 (2)以长度为a,b,c的三条线段为边不能构成直角三角形. 理由如下： .a2=8,b2=25,c2=18,a2+c2=8十18=26≠25， ∴.a2十c2≠b2, 根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形， 8.D9.11,60,6110.D11.C 12.解：(1)AC=√13，CE=2√/13 (2)证明：，AC=√/13，CE=213,AE=√65， AE2=AC2+CE2,∴.∠ACE=90. 13.解：(1)证明：如图，连接BE. D是边AB的中点，DE⊥AB, DE垂直平分AB, ..AE=BE 又AE2-CE2=BC, ∴.BE2-CE2=BC2,即BE2=CE+BC2, ∴.△BCE是直角三角形，且∠C=90°. (2)2.8 14.解：△ABC是直角三角形.理由如下： ,a2十b2+c2+50=6a+8b+10c, ∴.(a2-6a+9)+(b2-8b+16)+(c2-10c+25)=0, 即(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0, .a=3,b=4,c=5. .a2十b2=32十42=25=52=c2, ∴.△ABC是直角三角形 第2课时勾股定理的逆定理的应用 1.不垂直 ·答案 2解：BD⊥DE.理由如下： 连接BD(图略).在△BDC中，BD=48cm,BC=60cm, CD=60-24=36(cm), ..BC2=CD2+BD2 △BDC是直角三角形，即BD⊥DC, BD⊥DE. 3.C4.w3-1 5.解：△ABC是直角三角形.理由如下： .CD⊥AB, .∠ADC=∠BDC=90°， ∴.AD=√/AC-CD2=16,BC=√/CD2+BD2=15, ..AB=AD+BD=25, ∴.AC2+BC2=202+152=625=252=AB2, ∴.△ABC是直角三角形. 、13 6.(1)5(2)2 7.C8.45 9.解：(1)CH是从村庄C到河边最近的路.证明如下： 在△CHB中， .CH2+BH2=2.42+1.82=9,BC2=32=9, ..CH2+BH2=BC2, ∴.∠CHB=90°，即CH⊥AB, CH是从村庄C到河边最近的路， (2)2.5千米 10.解：(1)13 (2)△AOB是直角三角形.理由如下： ,A02=(1-0)2+(2-0)2=5, B02=(4-0)2+(-2-0)2=20, AB2=(4-1)2+(-2-2)2=25, .A02+B02=AB2, ,.△AOB是直角三角形」 (3)15 重点题型专题4利用勾股定理解决 最短路径问题 1.C2.5/33.10km 4.B【变式1】10【变式2】13 5.526.257.(20+2√/37)m 8.解：(1)√4+(8-x)7+√1+x(2)√/73 (3)如图，P为线段BD上的一个动，点，分别过点B,D作 。20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 A知识分点练 夯基础 (2)a=5,b=7,c=8; 知识点1勾股定理的逆定理 1.(2025·宣城宁国期中)以下列各组数为边长的三 角形中，能组成直角三角形的一组是() A.6,8,11 B2号 5 (3)a=√7，b=√3，c=2. C.4,5,6 D.2,2,22 2.在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边长分别 为a,b,c,且满足b2一a2=c2,则下列判断正 确的是 () A.∠A与∠C互余 7.已知a,b,c满足|a-√81十√b-5十 B.∠B与∠C互余 (c-√18)=0. C.∠A与∠B互余 (1)求a,b,c的值. D.△ABC是等腰三角形 (2)以长度为a,b,c的三条线段为边能否构成 3.已知一个三角形的三边长分别为√2cm, 直角三角形？请说明理由 √6cm,2cm,则这个三角形的面积为 cm2. 4.若一个三角形的三边长之比为3：4：5，则此 三角形为 三角形 5.如图，三个正方形的面积分别为S1=3,S2=2, S3=1,则分别以它们的一边为边围成的三角 知识点2勾股数 形中，∠1+∠2 8.下列四组数中，是勾股数的是 A.2.5,6,6.5 B.6,7,8 C.1,2,5 D.8,15,17 9.【新情境·数学文化】(2025·扬州)清代数学家 6.根据下列条件，判断由线段a,b,c组成的三角 罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算 形是不是直角三角形： 勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简 (1)a=20,b=21,c=29; 化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数 学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几 组勾股数：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25； ④9,40,41；….根据上述规律，第⑤组勾股数为 26数学8年级下册RJ版 B能力综合练 练思维、 13.如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB 于点D,交AC于点E,且AE2-CE2=BC2. 10.(2025·合肥包河区期中)如图，在网格（每个小方 (1)求证：∠C=90°； 格均是边长为1的正方形)中，以AB为一边 (2)若DE=6,BD=8,求CE的长. 作直角三角形ABC,要求顶点C在格点上，则 图中不符合条件的点是 A.C B.C2 C.Ca D.C 11.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长 都是1个单位长度，点A,B,C,D,E均在小 正方形的顶点上，线段AB,CD交于点F.若 ∠CFB=a,则∠ABE= ( C拓展探究练 提素养 14.已知△ABC的三边长分别是a,b,c,且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,试判断 A.180°-a B.180°-2a △ABC是不是直角三角形，并说明理由. C.90°+a D.90°+2a 12.如图，已知C是线段BD上的一点，∠B= ∠D=90°，AB=3,BC=2,CD=6,DE=4, AE=√65. (1)求AC,CE的长； (2)求证：∠ACE=90° 第二十章勾殷定理27