专题08 圆的证明与计算（高频考点专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题08 圆的证明与计算 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（8大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 圆的基本性质应用（角度、弧的判定与计算） 题型二 垂径定理的综合应用 题型三 切线的判定与证明 题型四 切线的性质与计算 题型五 圆中线段长度的计算 题型六 弧长与扇形面积的计算（扇形、弓形、不规则图形） 题型七 圆与三角形、四边形的综合证明与计算 题型八 圆的动点、探究型问题 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 圆的证明与计算是中考数学几何板块的核心必考内容，分值约 12～20 分，题型覆盖选择题、填空题、解答题，其中解答题为压轴高频题型，以中档题、难题为主，侧重考查圆的基本性质与三角形、四边形、相似形、三角函数的综合运用，是拉开分数差距的关键板块。 基础知识必备：掌握圆的有关概念（圆心、半径、弦、弧、圆周角、圆心角、切线等）；熟练运用圆的基本性质（垂径定理、圆周角定理及推论、圆心角与弧弦的关系、切线的判定与性质等）；能结合全等三角形、相似三角形的判定与性质进行几何证明；会利用勾股定理、三角函数求解圆中的线段长度、角度、面积等计算问题；掌握圆与三角形、四边形的综合构图与解题思路，形成规范的几何证明书写和逻辑推理习惯。 2026中考预测： 题型稳定：圆周角与圆心角的角度计算、切线的判定与性质证明、圆中线段长度 / 面积计算为选择填空必考内容，圆的综合证明与计算为解答题压轴必考； 难度平稳：基础题侧重圆的基本性质应用，中档题侧重单一知识点综合，难题侧重圆与相似、三角函数、动点问题的结合，不设置偏题、怪题，重点考查逻辑推理与数形结合能力； 命题趋势：贴近教材核心模型，部分题目结合生活实际背景（如圆形建筑、机械零件等），动点型、存在型探究题难度略有提升，整体强调几何模型构建与综合知识迁移能力。 题型一 圆的基本性质应用（角度、弧的判定与计算） 【典例01】如图，在中，弦，于E，于H． (1)求证：． (2)若的半径为5，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键． （1）由题意易得，进而问题可求证； （2）连接，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 即， ∴． （2）解：连接， ∵，， ∴． ∴， 同理可得， ∴． 【变式01】（2025·湖北·模拟预测）如图，是的直径，点、在上，，，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了半径相等，平行线的性质及三角形内角和定理．根据三角形内角和定理可求得的度数，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式02】如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质． 连接，由已知可得，从而可得，根据三角形的内角和定理，结合等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：连接， ∵、是的弦，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 【变式03】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，是半的直径，点在半圆周上，连接，，垂足为， ，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质； 连接，作于F，设，则，利用勾股定理求出，可得，然后证明，可得，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵ ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴， 作于F， ∵， ∴，， ∵， ∴ ∵ ， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式04】已知的直径为10，现内有两条弦，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】首先证明出是等边三角形，得到，然后证明出，得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵的直径为10，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 点C的位置有两种情况，如左图时，； 如右图时，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆的基础知识，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式05】（2025·江西新余·一模）如图，是的直径，为的弦，于点E，连接并延长到点M，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据圆周角定理，得，结合，可以证明，于是即可得证； （2）根据，，，得，，根据，解答即可． 【详解】（1）证明：根据圆周角定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理，余弦函数的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 题型二 垂径定理的综合应用 【典例01】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，是的直径，过点作交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，直径所对的圆周角是直角，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识点是关键； （1）由直径所对的圆周角是直角及平行线的性质得，由垂径定理即可证明； （2）由三角形中位线定理即可求解． 【详解】（1）证明：因为是的直径， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． （2）解：由（1）得， 所以点是的中点， 因为点是的中点， 所以是的中位线， 因为，所以， 因为，所以， 所以． 【变式01】（2026·广西贵港·一模）如图，的直径垂直于弦，垂足是，已知，则的长为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键，根据圆周角定理，得到，由垂径定理得到，由此得到是等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵所对圆周角为，所对圆心角为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 故选：B ． 【变式02】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）河道里的水轮截面如图，圆轮被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，则轮子的直径为（   ） A．34m B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．先表示，求得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 由条件可知， 由题意得：， 在中，， ∴， ∴， 即轮子的直径为． 故选：A． 【变式03】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的轴截面示意图，过最高点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩轴截面所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理，矩形的性质与判定，连接交于点，设圆心为点O，连接，证明四边形是矩形，四边形是矩形，得到，由垂径定理可得，设灯罩截面所在圆的半径为，则，由勾股定理可得，，据此即可求出答案． 【详解】解：连接交于点，设圆心为点O，连接， ∵都垂直于．， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵直线经过圆心， ∴， 设灯罩截面所在圆的半径为，则 在中，由勾股定理可得， 即， 解得 即灯罩截面所在圆的半径为， 故选：B． 【变式04】（25-26九年级上·河南周口·月考）如图， 在中，是直径，是弦，且于点 E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理． （1）根据垂径定理得出，根据圆周角定理，即可得出答案； （2）设半径为r， 则，根据垂径定理得，即，然后求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，是直径， ， ∴； （2）解：设半径为r， 则， ∵，是直径， ∴， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即半径为5． 【变式05】（2025·河南郑州·一模）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，，米，． (1)求的长． (2)一艘船要经过该桥洞，矩形是该船水面以上部分的截面简化示意图，宽为10米，高为2米．受天气影响，若该船随水面上升1米，请判断该船能否通过该桥洞，并说明理由． 【答案】(1)米 (2)该船能通过该桥洞，见解析 【分析】（1）由垂径定理可知，易得米，，于是，（米），再由可得答案； （2）如图（1），延长交于点F，交半圆O于点H，则米，米，由（1）易得米，则米， 【详解】（1）解：如图（1），过点O作于点E，则，． 连接，则米， ，当箱子随水面上升1米，点H到线段的距离为2米，求出当木箱刚好通过该桥洞时，的长度，若该长度小于2，则此木箱能通过该桥洞，否则不能． ， （米）， （米）； （2）解：该船能通过该桥洞．理由如下： 如图（1），延长交于点F，交半圆O于点H，则米，米， 由（1）易得米， 米， 若该船随水面上升1米，则点H到线段的距离为2米， 若该船刚好能通过该桥洞，情形如图（2），过点O作于点G， 延长交半圆O于点H，连接， 则米，米． 在中，由勾股定理得（米）． 米． ， 该船能通过该桥洞． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、特殊角的三角函数值、含30度角的直角三角形性质、矩形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 题型三 切线的判定与证明 【典例01】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的直径，点C在上，连接．以为边作菱形，交于点F，，垂足为G．若， (1)求证：是的切线； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）菱形的性质，得到，根据，得到，即可得证； （2）垂径定理结合勾股定理求出，的长，再根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径，，垂足为G， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴， ∴． 【变式01】（2026·山西长治·一模）如图，已知是的直径，点、在上，点在外，，． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角这一性质，得到直角三角形，再根据三角形内角和定理求出的度数． （2）先通过同弧所对的圆周角相等得到，再结合已知条件，推出的度数，最后证明，从而判定是的切线． 【详解】（1）解：∵是的直径， ， 又， ． （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ∴是的切线． 【变式02】（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，是的直径，点在圆上，．过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)24 【分析】（1）连接，，由垂径定理的推论得到，由直径得到，推出，得到，即可证明是的切线； （2）作，由垂径定理得到，利用勾股定理求出，得到四边形是矩形，根据矩形性质可得长． 【详解】（1）解：连接，，如图所示： ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，作交于点F， ∵， ∴ 在中，由勾股定理得： ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 【变式03】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，是的直径，是的切线，为切点，连接，过点作交于点，连接和，交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，且，求切线的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查切线的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及垂径定理，锐角三角函数，掌握切线的判定和性质，垂径定理以及锐角三角函数的定义是解题的关键． （）根据等腰三角形的性质，平行线的性质以及全等三角形的判定和性质可证出，进而得出，由切线的性质得出 ，进而得出即可； （）利用锐角三角函数的定义以及垂径定理进行计算即可； 【详解】（1）证明：连接，    ∵是的直径 ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴垂直平分， ∴，   ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，由（）可知垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，． 【变式04】（2026·山东·一模）如图，是⊙的直径，是的中点，连接并延长到点，使，是的中点，连接并延长交延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若交于点，连接，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先通过弧中点的性质结合垂径定理的推论得到，再利用三角形中位线定理证明，进而推出，结合切线的判定定理完成证明； （2）先根据已知半径求出的长度，通过全等三角形得到的长度，再用勾股定理求出的长度，最后利用直径所对圆周角为直角的性质，结合三角形等面积法求出的长度． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵是的直径，点是的中点， ∴，， 根据垂径定理得， 在中，，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，即， 又∵是的半径 ，∴是的切线； （2）解：∵， ∴，， ∵是⊙的切线，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形，由勾股定理得， ∵是的直径， ∴，即， 由三角形面积公式得， ∴． 【变式05】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，已知是的外接圆，．分别是的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，可得，即得过圆心，证明，得，得到，即得，即可求证； （）过点作于点，连接，由锐角三角函数得，设，则，利用勾股定理可得，得到，即得，即得到，解得，即得，又由等腰三角形的性质可得，即可得，设的半径为，则，在中利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）证明：如图①，连接， ，为的中点， ， 过圆心， 为的中点， ， 又∵， ， ， ∴， ， ∵为的半径， 为的切线； （2）解：如图②，过点作于点，连接， ， 设，则， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， 设的半径为，则， 在中，， 解得， 的半径为． 【点睛】本题考查了圆的对称性，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 题型四 切线的性质与计算 【典例01】（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，在中，，是斜边上的一点，以为直径的与边相切于点． (1)求证：平分； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用圆的相关性质结合相似三角形的判定与性质解决问题． （1）连接，利用切线的性质得，结合证，得，再由得，从而证； （2）连接，由直径所对的圆周角是直角得，结合和平分证，利用相似三角形的对应边成比例求出的长，进而求出的半径． 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ，即平分． （2）解：连接， 是的直径， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 【变式01】在中，为直径，为上一点． (1)如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小； (2)如图②，为弧上一点，且经过的中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图所示，连接，由切线的性质得，根据圆周角定理得，在中，由直角三角形两锐角互余即可求解； （2）如图所示，连接，则，根据垂径定理可得即，由直角三角形两锐角互余得到，由三角形外角的性质得到，则，根据同弧或等弧所对圆周角相等得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵过点作的切线，与的延长线相交于点， ∴，即， ∵所对的圆周角为，所对的圆心角为， ∴， 在中，； （2）解：如图所示，连接，则， ∴， ∵经过的中点， ∴，即， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形两锐角互余，等边对等角，三角形外角的性质等知识的综合，掌握切线的性质，圆周角定理，垂径定理的知识是解题的关键． 【变式02】已知是的直径，是的切线，． (1)如图①，若，求直径的长； (2)如图②，点是上一点，若，与相交于点，过点作弦，与相交于点，求和直径的长． 【答案】(1) (2)，； 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．； （1）由题意得；推出即可求解； （2）连接，同理可得；根据，推出，即；进而得，设半径为，则，根据，即可求解； 【详解】（1）解：∵是的切线， ∴，即； ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵，； ∴， ∴； ∵， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴； 设半径为，则， ∵， ∴，解得：， ∴； 【变式03】如图，已知内接于⊙，是⊙的直径，点E在上，过E作⊙的切线，交的延长线于点F，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、垂径定理和相似三角形的判定与性质． （1）连接交于G点，如图，先根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，则可判断，再证明，从而得到结论； （2）先证明，则，利用相似三角形的性质求出，然后利用为的中位线，从而得到． 【详解】（1）证明：如图，连接，交于点G， ∵与相切于点E， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴平分． （2）解：∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即． ∵经过圆心， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 【变式04】（2025·天津滨海新·一模）已知，为的直径，弦，连接，，． (1)如图①，求和的度数； (2)如图②，过点D作的切线，与的延长线交于点G，的半径为4，求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查垂径定理，切线的性质，特殊角的三角函数值的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）在中，为直径，，则，，由三角形外角的性质得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）连接，可得，，在中，，由此即可求解． 【详解】（1）解：在中，为直径，， ∴， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图②，连接， 由（1）得，， 为的切线， ， ， 为的直径， 在中，， ， 在中，， ， ． 【变式05】（25-26九年级下·江苏无锡·月考）已知△中，，为的弦，直线与相切于点． (1)如图1，连接，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图2，若，，垂足为，与相交于点，，求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据切线性质得出于点，即，根据平行线的性质得出，求出，根据垂径定理得出，，求出，得出，根据圆周角定理得出； （2）连接，求出，根据含度角的直角三角形的性质得出，设，则，根据勾股定理得出，即可得出，求出x的值即可． 【详解】（1）解：如图1所示， ∵为的切线，且为直径， ∴于点，即， ∵， ∴， ∴， 即于点， ∵于点，且为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， 由（1）可知，且， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴由勾股定理， 即， 解得，负值舍去， 即线段的长为． 题型五 圆中线段长度的计算 【典例01】（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径的长为（   ）. A． B． C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 连接，，根据在同圆中直径所对的圆周角是可得，根据圆周角定理可得，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，如图： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 故选：A． 【变式01】（2026·山东临沂·模拟预测）如图，为等腰三角形且，，圆O为的外接圆，圆上有一点D，连接，交于点E，点E恰好为边上靠近C的三等分点，已知，则圆O的半径为（   ）（提示： ，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点O作于点F，证明，求出的长，由垂径定理可得的长，证明是等边三角形得到，再求出，则可根据锐角三角函数求出的长． 【详解】解：连接，过点O作于点F， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点E恰好为边上靠近C的三等分点， ∴， 设，则 解得：或（舍去）， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴圆O的半径为， 故选：B， 【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等边三角形的性质与判定等，根据已知条件联想所学知识，并作出辅助线，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质以及垂径定理求出长度． 【变式02】如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）由已知条件得出，证出，得出，证出是等边三角形，即可得出结果； （2）由垂径定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：弦垂直平分半径． ，， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：的半径为， 垂直平分半径， ，， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， 弦的长为． 【变式03】如图，是的直径，弦于点E，点P在上，弦与交于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）根据等边对等角得，由同弧所对的圆周角相等得，利用内错角相等两直线平行即可判定； （2）连接，根据垂径定理可得和，利用勾股定理可求得，即可求得的长度． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 是直径，， 为的中点， ，， ，， ， ． 【点睛】本题考查了等边对等角、同弧所对的圆周角相等、平行线的判定、垂径定理和勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 【变式04】如图，是斜边上的高，以为圆心，为半径作圆，与交于点，连接． (1)求证：平分； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据等角的余角相等性质，证明即可； （2）根据，，求得，继而得到，过点D作于点M，根据三角函数，求解即可． 【详解】（1）证明：是斜边上的高， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，， ， ， 过点D作于点M， 平分； ，， ， ， ， ， ， ． 【变式05】（2024·安徽·模拟预测）如图，为的直径，弦交于点E，F为上一点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，，． (1)求证：； (2)若，，F为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用垂径定理得到，则，利用圆内接四边形的性质得到，利用平角的定义得到，再利用等量代换即可证明； （2）连接、，利用垂径定理得到，，进而证出是等边三角形，则，再利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出的长，利用圆周角定理求出，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接、， ∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆内接四边形、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、含30度角的直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 题型六 弧长与扇形面积的计算（扇形、弓形、不规则图形） 【典例01】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，内接于，过点A作平行于交的延长线于点B，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用圆周角定理得到，再利用三角形的内角和定理得到,进而得到，从而得出结论； （2）根据勾股定理得到，进而求出的长，再利用圆周角定理求出，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：如图，连接， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， 的长是． 【变式01】如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接．已知，； (1)求证：与相切； (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，特殊角的三角函数，求扇形的面积，解题的关键是：熟练掌握相关定理． （1）连接，由，，得到，，由，得到，进而得到，即可求证； （2）作，根据特殊角三角函数求出，，根据即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵ ，， ∴ ，， ∵ 点，点在上， ∴ ，， ∴ ， ∴ 与相切． （2）解：如图2，过点作于， ∵ ，， ∴ ， ∵ ，， ∴，即， ∴ ， ∴ ，， ∴ ． 【变式02】（2025·江西抚州·一模）如图，是的直径，为圆上两点，，垂足为点，连接并延长到点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，解直角三角形，弧长公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用圆周角定理得到，得出，即可得到结论； （2）连结，得到，求出， 求出的长． 【详解】（1）证明：，， ， ， 是的直径， 是的切线； （2）解：连结， 是的直径， 垂直平分CD ， ， ， ， ， 的长． 【变式03】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，点是斜边上一点，以为直径的经过点，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由，得到，由角平分线定义得到，因此，推出，得到半径，即可证明问题； （2）连接，，由，得到，由直角三角形的性质求出长，由锐角的余弦求出长，得到圆的半径长，由，推出阴影的面积＝扇形的面积，由扇形面积公式即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，扇形面积的计算，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理，角平分线定义． 【变式04】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，由根据“等边对等角”得，已知，即可得，根据“同位角相等，两直线平行”得，根据，可得即可证明结论； （2）如图，过点作，垂足为点，根据垂径定理，则得，再根据等边对等角以及三角形的外角的性质可得，解直角三角形可得，，进而得到；再证明四边形是矩形，以及；易得，则，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 以为直径的交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）解：如图，过点作，垂足为点， 在中，， ， ， ， ，， ， ，，， ∴，，， 四边形是矩形， ， ， ， ． 【点睛】对于涉及切线的问题常常连接圆心和切点以及求不规则阴影部分的面积需要通过作辅助线转化为规则图形的面积的和差成为解题的关键． 【变式05】（2025·贵州遵义·一模）如图，是半的直径，，连接，沿翻折弧，恰好经过圆心O． (1)________； (2)若，求的半径r； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据圆心角，弧，平角的定义解答即可； （2）过O作于H，根据直角三角形的性质，勾股定理解答即可； （3）利用分割法求面积，得阴影面积扇形的面积减去弓形面积． 本题考查了圆的性质，扇形的面积，弓形面积，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：120． （2）解：中，，， ∴， 过O作于H， 则，， 在中，，即， 解得， ． （3）解：半圆的面积， 扇形的面积， 的面积． 弦与弧围成的弓形面积， 弦与弧围成的弓形面积， 弓形面积弓形面积， ∴阴影面积扇形的面积减去弓形面积． 题型七 圆与三角形、四边形的综合证明与计算 【典例01】如图，是三角形的外接圆，是的直径，于点． (1)求证：； (2)若长为8，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握垂径定理：“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”是解题关键． （1）根据垂径定理和圆周角定理进行判断即可； （2）设的半径为，根据垂径定理得出点为的中点，在中，利用勾股定理列式计算，即可求出结果． 【详解】（1）证明： ， ， ； （2）解：连接，如图，设的半径为，则， ， ， 在中，， 解得， 即的半径长为5． 【变式01】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，已知是的外接圆，．点分别是的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先根据点分别是的中点，得出，再证明，再结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形为平行四边形，即可作答． （2）结合点是的中点，得，，结合圆周角定理得，等量代换得．因为，所以，得，代入数值得，最后根据勾股定理得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵点分别是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接，如图， ∵点是的中点， ∴，， ∵ ∴， ∴． ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式02】（2026·安徽安庆·模拟预测）是的内接三角形，，E是上的一点，延长交的延长线于点D，连接，已知． (1)如图1，连接，证明：； (2)如图2，连接和，若四边形是菱形，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可知，根据等边对等角得到，即，根据等角对等边得到； （2）延长交于点F，连接，根据菱形的性质求出，可知是等边三角形，即，根据得到，根据垂径定理的推论可知，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）证明：和都是所对的圆周角， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长交于点F，连接． 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 【变式03】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，内接于，平分交于D点，交于点E，连接． (1)写出一个与相等的角______． (2)若平分交于点F，求证：． (3)在（2）的条件下，连接，若．且，求的长． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)1 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义以及圆周角定理解答即可； （2）结合三角形外角的性质可得，即可求证； （3）由（2）的结论以及垂径定理可得，再证明，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：或 （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式04】（2024·广东·三模）如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点F，G，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，求出，然后由直径得到是的切线； （2）连接，首先得出，然后由得到，然后结合菱形的性质证明即可； （3）连接交于点H，首先根据菱形的性质得到，，，然后利用勾股定理求出，然后利用代数求出，得到，进而等量代换求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 又∵为的直径， ∴是的切线； （2）证明：如图1，连接， ∵，是的直径， ∴，， ∴，即． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴，； （3）解：如图2，连接交于点H， ∵四边形是菱形，， ∴，，， 在中， ∵， ∴，解得， ∴． ∵， ∴，解得． 在中，． 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了圆与四边形综合题，圆周角定理，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式05】（2026·福建厦门·一模）如图，点D是外接圆上的一点，于G，连接．过点B作直线交于E，交于F．若点F是的中点． (1)求证：； (2)当时，求的半径； (3)若，连接．请你探究与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见详解 【分析】（1）根据弧中点得到，根据平行线夹弧得到，即可得证； （2）作于点M，连接， 则，根据，得到，根据，得到，得到，得到，得到，得到，即可； （3）作于点M，连接，设，则，根据，，得到，，得到，由勾股定理得到，得到，得到，得到，得到，根据，即得． 【详解】（1）证明：∵点F是弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：作于点M，连接，如图， ∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径； （3）解：．理由如下： 同（2），作于点M，连接， 由（2）知，，，， ∴， 设，则 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握平行弦性质，垂径定理，勾股定理解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形性质，含30°的直角三角形性质，是解决问题的关键． 题型八 圆的动点、探究型问题 【典例01】如图，半径为7的上有一动点B，点A为半径上一点，且最大为10，以为边向外作正方形，连接． (1)请直接写出的长． (2)过点A作，且，连接，在点B的运动过程中，的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出的长． (3)当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写的长． (4)请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的长度不变， (3)或 (4)的最大值为12，最小值为2 【分析】（1）连接，根据题意可得当A，O，B共线时，，即可求解； （2）证明，即可解答； （3）分两种情况：当点B在F上方时，当点B在F下方时，即可解答； （4）作，且，连接，证明，即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵，仅当A，O，B共线时，， 又∵最大为10，， ∴； （2）解：的长度不变，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：根据题意得：，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， 当点B在F上方时，， 当点B在F下方时， ， ∴综上所述，的长为或； （4）解：作，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为，最小值为． ∴的最大值为12，最小值为2． 【点睛】本题综合考查了圆、正方形、勾股定理、全等三角形等相关知识，要求学生理解并掌握圆的性质、正方形的性质、勾股定理的内容及公式、全等三角形的判定与性质等，并能通过作辅助线构造全等三角形，能进行线段之间的转化和运算等，理解三角形的三边关系，并能用于解决求有一端点为动点的线段的最值问题，该题综合性较强，对学生的分析推理与计算的能力都有一定的要求，蕴含了分类讨论和数形结合的思想． 【变式01】（2026·陕西西安·一模）【问题探究】 （）如图①，在四边形中，，对角线相交于点，若的面积为，则的面积为______； （）如图②，半圆的直径，点是半圆上的一个动点，求面积的最大值； 【问题解决】 （）如图③，某公园有一个三角形的演艺广场，其中米，，．在演艺广场的三个角各装有一个旋转射灯，点和点处的射灯发出的光线夹角始终等于，且光线在的内部运动．点处的射灯发出的光线与交于点，且光线始终与光线平行．请探究四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）；（）；（）平方米 【分析】（）根据平行线的性质即可求解； （）当时，点到的距离最大，此时面积最大，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出即可求解； （）过点作交的延长线于点，可得四边形为平行四边形，进而得到，即得到，又由，米，可得点在上运动，连接，过点作于，的延长线交于点，过点作于点，则，，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可得米，米，即得到，再根据三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：（）∵， ∴点和点到的距离相等， ∴， 故答案为：； （）如图，当时，点到的距离最大，此时面积最大， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即面积的最大值为； （）解：存在，理由如下： 如图③，过点作交的延长线于点， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵米，，， ∴米， ∴点在上运动， 连接，过点作于，的延长线交于点，过点作于点，则，， ∵，，， ∴米，米， ∴米， ∴米， ∴（平方米）， ∴四边形面积的最大值为平方米． 【点睛】本题考查了平行线的性质，圆的性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，点和圆的位置关系，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式02】在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点D出发沿边向点A以每秒的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题： (1)如图①，t为何值时，的面积等于； (2)如图②，若以点P为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在t值，使得经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，若以Q为圆心，为半径作，当与相切时． ①求t的值． ②如图④，若点E是此时上一动点，F是的中点，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】(1)4或5秒 (2)存在， (3)①4；② 【分析】（1）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题． （2）连接，根据切线长定理可得，利用勾股定理构建方程即可解决问题． （3）①设与相切于点，连接，则，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．②由①得：，，连接，取的中点M，连接，作于N，则，，根据，可得，，再求出，根据，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵的面积等于， ∴， 整理得：， 解得， 即或5秒时，的面积为20． （2）解：如图，连接， 经过点， ， ∵， ， ， 解得或（舍去）， 当时，⊙P经过点． （3）解：①如图，设与相切于点，连接，则， ， ∵为半径，且， ∴，，， ， ， ， ， 时，与相切．     ②由①得：，， 如图，连接，取的中点M，连接，作于N，则，， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴,，, ∴, ∴， ∴, ∴， 即线段的最大值为。 故答案为： 【点睛】本题属于圆综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，切线的判定与性质，切线长定理，三角形中位线定理，以及三角形三条边的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考压轴题． 【变式03】（2025·河南·一模）如图1，在正方形中，点在上（不与点，重合），点在边上，，连接，交于点． (1)如图，连接与交于点，连接交于点． 求证：； 当时，求的值； (2)如图，若是的中点，以点为圆心，为半径作，是上的一个动点，连接交于点，求的最大值． 【答案】(1)见解析； ； (2)． 【分析】（）证明，得到，再证明，得，证明出 即可； 作于，利用，得出，，设为单位，，，利用表示出，再由列出方程，解得，即，在中，由勾股定理得，则，由四边形是正方形得，证明，求出，然后代入求值即可； （）过点作，交的延长线于，连接，延长交于点，分析出当点与相切时，满足题意，设为单位，求出，再计算解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解：作于，如图， 由（）知：， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴，， 由（）得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 设为单位，则，设，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 由（）得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作，交的延长线于，连接，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵为定值， ∴当最大时，的值最大，即的值最大， ∴当与距离最大时，即当点与相切时，满足题意， ∴， ∵， ∴共线， 设为单位， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （限时训练：40分钟） 1．（2026·重庆·模拟预测）如图，在中，是直径，点和点是弧的三等分点，连接，过作的切线交的延长线于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形内角和定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，结合是直径，点和点是弧的三等分点，得，又因为切线的性质得，再运用三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是直径，点和点是弧的三等分点， ∴， ∵过作的切线交的延长线于点， ∴， 则， 故选：A． 2．（2025·陕西西安·一模）如图，点均在上，的半径为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长的计算及圆周角定理、圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质求出的度数，利用圆周角定理求出的度数，再由弧长公式计算即可． 【详解】如图，连接和， ∵点均在上， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：B． 3．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．，若，，求的半径． 【答案】的半径为． 【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理等；连接，设，可得 ，由线段和差得 ，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ， ， ， ， 为直径，， ， 在中， ， ， 解得：（舍去），， 故的半径为． 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图， 是的切线，为切点，是的直径，是上的一点，，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，先证出，得出，进而即可得证； （2）根据等腰三角形三线合一和直径所对的圆周角为直角，利用证出得出，再由勾股定理即可得出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ，，， ， ， ， 又点在上， 是的切线； （2）解：， ， 又，， ，， ， ， 是的直径，是上的一点， ， 又， ． ∴ ∴在中，． 5．（2026·四川雅安·二模）如图是的外接圆，，延长至点，连接，使得，交于． (1)求证：与相切； (2)若，．求的半径和的长度． 【答案】(1)见详解 (2)； 【分析】本题考查了圆的切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质等知识点． （1）连接，通过圆周角定理，平行线的性质，得到，继而得证结论． （2）作于点，设的半径为，根据勾股定理可得，利用三角形不同边上的高计算面积相等，得到，继而根据勾股定理得到及的长． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 又， ， ， 是的切线； （2）解: 如图，作于点， 设的半径为，则， ， 在中，， , 解得， ， ， ， ， ， 在中，， ． 6．（2025·内蒙古通辽·模拟预测）如图，点为斜边上的一点，以为半径的与切于点，与交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求阴影部分的面积(结果保留)． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、扇形面积、等腰三角形的性质． （1）连接，利用切线的性质得到垂直于，结合直角三角形垂直于，证得平行于，再利用等腰三角形等边对等角的性质，通过等量代换证得，从而证明平分C． （2）连接、，先根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形，证得为等边三角形，得到，再利用圆周角定理得到，结合角平分线的性质得到，证得平行于，利用等底等高的三角形面积相等，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，最后根据扇形面积公式计算得到结果． 【详解】（1）解：如图，连接． ∵是的切线，为切点， ∴． 又∵是直角三角形，，即， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即平分； （2）解：如图，连接，，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴． ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为． 7．（25-26九年级下·河北衡水·开学考试）某条隧道的截面图如图所示，其外轮廓可看作是以点O为圆心的圆弧．已知该隧道宽（弦）为，隧道最高点到地面的距离为． (1)请在图中画出（无需尺规）隧道的最高点C（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求隧道外轮廓所在圆O的半径长； (3)现施工队计划在入口处的内壁（优弧）上设置警示灯带来提高行车安全，求所需警示灯带（即优弧）的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）作线段的垂直平分线交优弧于点C即可； （2）在中，根据勾股定理构建关于的方程求解即可； （3）先求出圆心角的度数，然后根据弧长公式求解即可； 【详解】（1）解：如图，点C即为所求， ； （2）解：连接，设线段的垂直平分线与相交于D， 根据题意，得点O在线段的垂直平分线上，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即隧道外轮廓所在圆O的半径长为； （3）解：在中，， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∴所需警示灯带（即优弧）的长为． 8．（2026·陕西·一模）如图，在中，，点在边上，以为直径作，交的延长线于点，连接，若切于点． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了已知正切求边长，等腰三角形的性质与判定，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键． ()连接，根据切线的性质得到，得到，根据，得到，证明，根据等腰三角形的判定定理证明结论； ()根据正切的定义求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：连接， ∵切于点， ∴，，即， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解∵中，，， ∴，则， 设， 在中，，即， ∴． 9．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，过点A作交的延长线于点E，，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形相似的性质和判定，全等三角形的性质与判定等知识，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键． （1）根据平行线的性质和圆内接四边形的性质可得：，可得结论； （2）根据证明，证明，列比例式可得的长，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．如图1，O为菱形对角线上一点，以点O为圆心，为半径的圆与菱形相邻两边的交点分别为点E、F． (1)若的半径为3，，则劣弧的长为_________；（结果保留或根式） (2)如图2，若与相切于点M．求证：与相切； (3)在（2）的基础上，若，，求的半径． 【答案】(1) (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查切线的性质和判定，求弧长，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）证明为等边三角形，进而得到，再利用弧长公式进行计算即可； （2）连接，作于点，切线的性质得到，角平分线的性质，得到，即可得证； （3）设的半径为，则，在中利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：； （2）证明：连接，作于点， ∵与相切于点M， ∴， ∵菱形， ∴平分， ∵，， ∴， ∴是的半径， 又∵， ∴与相切； （3）解：设的半径为，则， ∴， ∵， ∴， ∴，解得； ∴设的半径为3． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆的证明与计算 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（8大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 圆的基本性质应用（角度、弧的判定与计算） 题型二 垂径定理的综合应用 题型三 切线的判定与证明 题型四 切线的性质与计算 题型五 圆中线段长度的计算 题型六 弧长与扇形面积的计算（扇形、弓形、不规则图形） 题型七 圆与三角形、四边形的综合证明与计算 题型八 圆的动点、探究型问题 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 圆的证明与计算是中考数学几何板块的核心必考内容，分值约 12～20 分，题型覆盖选择题、填空题、解答题，其中解答题为压轴高频题型，以中档题、难题为主，侧重考查圆的基本性质与三角形、四边形、相似形、三角函数的综合运用，是拉开分数差距的关键板块。 基础知识必备：掌握圆的有关概念（圆心、半径、弦、弧、圆周角、圆心角、切线等）；熟练运用圆的基本性质（垂径定理、圆周角定理及推论、圆心角与弧弦的关系、切线的判定与性质等）；能结合全等三角形、相似三角形的判定与性质进行几何证明；会利用勾股定理、三角函数求解圆中的线段长度、角度、面积等计算问题；掌握圆与三角形、四边形的综合构图与解题思路，形成规范的几何证明书写和逻辑推理习惯。 2026中考预测： 题型稳定：圆周角与圆心角的角度计算、切线的判定与性质证明、圆中线段长度 / 面积计算为选择填空必考内容，圆的综合证明与计算为解答题压轴必考； 难度平稳：基础题侧重圆的基本性质应用，中档题侧重单一知识点综合，难题侧重圆与相似、三角函数、动点问题的结合，不设置偏题、怪题，重点考查逻辑推理与数形结合能力； 命题趋势：贴近教材核心模型，部分题目结合生活实际背景（如圆形建筑、机械零件等），动点型、存在型探究题难度略有提升，整体强调几何模型构建与综合知识迁移能力。 题型一 圆的基本性质应用（角度、弧的判定与计算） 【典例01】如图，在中，弦，于E，于H． (1)求证：． (2)若的半径为5，，，求的长． 【变式01】（2025·湖北·模拟预测）如图，是的直径，点、在上，，，的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式02】如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式03】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，是半的直径，点在半圆周上，连接，，垂足为， ，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式04】已知的直径为10，现内有两条弦，，则的度数为 ． 【变式05】（2025·江西新余·一模）如图，是的直径，为的弦，于点E，连接并延长到点M，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型二 垂径定理的综合应用 【典例01】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，是的直径，过点作交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式01】（2026·广西贵港·一模）如图，的直径垂直于弦，垂足是，已知，则的长为（   ） A． B．4 C． D．3 【变式02】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）河道里的水轮截面如图，圆轮被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，则轮子的直径为（   ） A．34m B． C． D． 【变式03】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的轴截面示意图，过最高点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩轴截面所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式04】（25-26九年级上·河南周口·月考）如图， 在中，是直径，是弦，且于点 E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式05】（2025·河南郑州·一模）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，，米，． (1)求的长． (2)一艘船要经过该桥洞，矩形是该船水面以上部分的截面简化示意图，宽为10米，高为2米．受天气影响，若该船随水面上升1米，请判断该船能否通过该桥洞，并说明理由． 题型三 切线的判定与证明 【典例01】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的直径，点C在上，连接．以为边作菱形，交于点F，，垂足为G．若， (1)求证：是的切线； (2)求线段的长． 【变式01】（2026·山西长治·一模）如图，已知是的直径，点、在上，点在外，，． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【变式02】（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，是的直径，点在圆上，．过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【变式03】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，是的直径，是的切线，为切点，连接，过点作交于点，连接和，交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，且，求切线的长． 【变式04】（2026·山东·一模）如图，是⊙的直径，是的中点，连接并延长到点，使，是的中点，连接并延长交延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若交于点，连接，且，求的长． 【变式05】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，已知是的外接圆，．分别是的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 题型四 切线的性质与计算 【典例01】（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，在中，，是斜边上的一点，以为直径的与边相切于点． (1)求证：平分； (2)若，，求半径的长． 【变式01】在中，为直径，为上一点． (1)如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小； (2)如图②，为弧上一点，且经过的中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，求的大小． 【变式02】已知是的直径，是的切线，． (1)如图①，若，求直径的长； (2)如图②，点是上一点，若，与相交于点，过点作弦，与相交于点，求和直径的长． 【变式03】如图，已知内接于⊙，是⊙的直径，点E在上，过E作⊙的切线，交的延长线于点F，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【变式04】（2025·天津滨海新·一模）已知，为的直径，弦，连接，，． (1)如图①，求和的度数； (2)如图②，过点D作的切线，与的延长线交于点G，的半径为4，求线段的长． 【变式05】（25-26九年级下·江苏无锡·月考）已知△中，，为的弦，直线与相切于点． (1)如图1，连接，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图2，若，，垂足为，与相交于点，，求线段的长． 题型五 圆中线段长度的计算 【典例01】（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径的长为（   ）. A． B． C．6 D．7 【变式01】（2026·山东临沂·模拟预测）如图，为等腰三角形且，，圆O为的外接圆，圆上有一点D，连接，交于点E，点E恰好为边上靠近C的三等分点，已知，则圆O的半径为（   ）（提示： ，） A． B． C． D． 【变式02】如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 【变式03】如图，是的直径，弦于点E，点P在上，弦与交于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【变式04】如图，是斜边上的高，以为圆心，为半径作圆，与交于点，连接． (1)求证：平分； (2)如果，，求的长． 【变式05】（2024·安徽·模拟预测）如图，为的直径，弦交于点E，F为上一点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，，． (1)求证：； (2)若，，F为的中点，求的长． 题型六 弧长与扇形面积的计算（扇形、弓形、不规则图形） 【典例01】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，内接于，过点A作平行于交的延长线于点B，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【变式01】如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接．已知，； (1)求证：与相切； (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 【变式02】（2025·江西抚州·一模）如图，是的直径，为圆上两点，，垂足为点，连接并延长到点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【变式03】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，点是斜边上一点，以为直径的经过点，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【变式04】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【变式05】（2025·贵州遵义·一模）如图，是半的直径，，连接，沿翻折弧，恰好经过圆心O． (1)________； (2)若，求的半径r； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 题型七 圆与三角形、四边形的综合证明与计算 【典例01】如图，是三角形的外接圆，是的直径，于点． (1)求证：； (2)若长为8，，求的半径长． 【变式01】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，已知是的外接圆，．点分别是的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的半径． 【变式02】（2026·安徽安庆·模拟预测）是的内接三角形，，E是上的一点，延长交的延长线于点D，连接，已知． (1)如图1，连接，证明：； (2)如图2，连接和，若四边形是菱形，求的度数． 【变式03】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，内接于，平分交于D点，交于点E，连接． (1)写出一个与相等的角______． (2)若平分交于点F，求证：． (3)在（2）的条件下，连接，若．且，求的长． 【变式04】（2024·广东·三模）如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点F，G，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求． 【变式05】（2026·福建厦门·一模）如图，点D是外接圆上的一点，于G，连接．过点B作直线交于E，交于F．若点F是的中点． (1)求证：； (2)当时，求的半径； (3)若，连接．请你探究与之间的数量关系，并证明． 题型八 圆的动点、探究型问题 【典例01】如图，半径为7的上有一动点B，点A为半径上一点，且最大为10，以为边向外作正方形，连接． (1)请直接写出的长． (2)过点A作，且，连接，在点B的运动过程中，的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出的长． (3)当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写的长． (4)请直接写出的最大值和最小值． 【变式01】（2026·陕西西安·一模）【问题探究】 （）如图①，在四边形中，，对角线相交于点，若的面积为，则的面积为______； （）如图②，半圆的直径，点是半圆上的一个动点，求面积的最大值； 【问题解决】 （）如图③，某公园有一个三角形的演艺广场，其中米，，．在演艺广场的三个角各装有一个旋转射灯，点和点处的射灯发出的光线夹角始终等于，且光线在的内部运动．点处的射灯发出的光线与交于点，且光线始终与光线平行．请探究四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【变式02】在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点D出发沿边向点A以每秒的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题： (1)如图①，t为何值时，的面积等于； (2)如图②，若以点P为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在t值，使得经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，若以Q为圆心，为半径作，当与相切时． ①求t的值． ②如图④，若点E是此时上一动点，F是的中点，连接，则线段的最大值为 ． 【变式03】（2025·河南·一模）如图1，在正方形中，点在上（不与点，重合），点在边上，，连接，交于点． (1)如图，连接与交于点，连接交于点． 求证：； 当时，求的值； (2) 如图，若是的中点，以点为圆心，为半径作，是上的一个动点，连接交于点，求的最大值． （限时训练：40分钟） 1．（2026·重庆·模拟预测）如图，在中，是直径，点和点是弧的三等分点，连接，过作的切线交的延长线于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·一模）如图，点均在上，的半径为，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．，若，，求的半径． 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图， 是的切线，为切点，是的直径，是上的一点，，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 5．（2026·四川雅安·二模）如图是的外接圆，，延长至点，连接，使得，交于． (1)求证：与相切； (2)若，．求的半径和的长度． 6．（2025·内蒙古通辽·模拟预测）如图，点为斜边上的一点，以为半径的与切于点，与交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求阴影部分的面积(结果保留)． 7．（25-26九年级下·河北衡水·开学考试）某条隧道的截面图如图所示，其外轮廓可看作是以点O为圆心的圆弧．已知该隧道宽（弦）为，隧道最高点到地面的距离为． (1)请在图中画出（无需尺规）隧道的最高点C（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求隧道外轮廓所在圆O的半径长； (3)现施工队计划在入口处的内壁（优弧）上设置警示灯带来提高行车安全，求所需警示灯带（即优弧）的长． 8．（2026·陕西·一模）如图，在中，，点在边上，以为直径作，交的延长线于点，连接，若切于点． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 9．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，过点A作交的延长线于点E，，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 10．如图1，O为菱形对角线上一点，以点O为圆心，为半径的圆与菱形相邻两边的交点分别为点E、F． (1)若的半径为3，，则劣弧的长为_________；（结果保留或根式） (2)如图2，若与相切于点M．求证：与相切； (3)在（2）的基础上，若，，求的半径． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $