专题12 几何作图与尺规作图专项（高频考点专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题12 几何作图与尺规作图专项 目录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（7大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 作一条线段等于已知线段 题型二 作一个角等于已知角 题型三 作一个角的平分线 题型四 作线段的垂直平分线（作垂线） 题型五 作圆及圆的切线问题 题型六 格点作图问题 题型七无刻度直尺作图 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 几何作图与尺规作图是中考数学几何板块基础必考模块，分值约 5～8 分，以填空题、作图题为主，部分地区会结合几何计算 / 证明以小综合题形式考查，整体以低中档题为主，侧重考查作图规范、几何定理理解与几何直观能力，是中考必须稳拿分的板块。 基础知识必备：掌握 7 大核心作图的尺规操作步骤，理解每一步作图的几何原理；能严格遵循作图工具要求（直尺、圆规、无刻度直尺），规范保留作图痕迹；熟练运用网格的垂直、等距特性完成格点作图；能依托三角形、圆、平行四边形等图形的固有性质，用无刻度直尺找关键点、作辅助线；明确中考作图失分点，会标注关键点、特殊符号（⊥、∠、= 等）。 2026中考预测： 题型稳定：角平分线、线段垂直平分线、格点作图为选择 / 作图题必考内容，无刻度直尺作图为全国中考热点题型，作圆及切线常与圆的性质结合考查； 难度平稳：以基础作图、网格作图为主，无刻度直尺作图侧重基础几何性质应用，不设置偏题、怪题，重点考查作图规范性与痕迹完整性； 命题趋势：网格中的无刻度直尺作图考查频率持续升高，作图题逐渐与简单几何性质应用结合，格点作图从正方形网格向正三角形网格延伸，侧重特殊角、特殊图形的构造。 题型一 作一条线段等于已知线段 【典例01】（2024·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式01】（2025·贵州贵阳·三模）如图，中，，以A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作一条线段等于已知线段， 根据平行四边形的性质得，再根据题意得，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 根据题意，得， ∴． 故选：A． 【变式02】如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 【变式03】（2025·吉林长春·二模）如图，在中，是边上一点．按下列要求作图：①以点为圆心，为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D．四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，根据作图证明四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：由作图可知， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴, 故选项A 、B、 D正确； 无法证明，即不一定成立． 故选：C． 【变式04】（2024·贵州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，线段的长为半径画弧，交于点D，连接．若，则的长为______． 【答案】5 【分析】本题考查了尺规作图，根据作一条线段等于已知线段的作法可得出，即可求解． 【详解】解∶由作图可知∶ ， ∵， ∴， 故答案为∶5． 【变式05】（2025·山西·中考真题）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段．    【问题解决】 问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________．   问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接．   求证：线段是线段的双关联线段． 证明：延长交于点F． 是等边三角形， ． ， （依据）． ， ， ； …    任务： (1)问题1中的________，问题2中的依据是________________； (2)补全问题2的证明过程； (3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段． （要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 【答案】(1)，等角的补角相等； (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）设的交点为O，利用矩形的性质及已知可证明是等边三角形，由等边三角形的性质及矩形性质即可求解．利用等角的补角相等即可完成问题2的依据． （2）利用三角形外角的性质及等边三角形的性质即可，从而问题完成； （3）作一个等边三角形即可完成． 【详解】（1）解：设的交点为O，如图； ∵四边形是矩形， ∴； ∵对角线与互为双关联线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴；    故答案为：； 问题2中的依据是：等角的补角相等；                       故答案为：等角的补角相等； （2）解：是的外角，   ． 是的外角，            ．          ， ．                即线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是． ， 线段与线段是双关联线段． （3）解：答案不唯一，例如： 作法一：   作法二：   如图，线段即为所求． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图等知识，掌握这些知识是解题的关键． 题型二 作一个角等于已知角 【典例01】（2025·吉林长春·一模）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由作图可得，，，，从而利用即可证明，从而得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得，，，， ∴， ∴判定的依据是， 故选：A． 【变式01】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，P是边的中点．按下列步骤尺规作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧、分别交、于点D、E；②以点P为圆心，的长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心，的长为半径画弧，交前一条弧于点G；④作直线，交线段于点Q．则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由中点定义可得，由作图过程可得，可得，从而证明． 【详解】解：∵中，P是边的中点， ∴． 由作图过程可得，， ∵， ∴， ， 故选：D． 【变式02】（2024·山东德州·中考真题）已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定和性质，据此判断即可． 【详解】解：A、由作图知，是的平分线，且， ∴，， ∴， ∴，故本选项不符合题意； B、由作图知，是的平分线，且， ∴，，不能说明与相等， ∴与不平行，故本选项符合题意； C、由作图知，， ∴四边形是菱形， ∴，故本选项不符合题意； D、由作图知，， ∴，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式03】（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 【变式04】（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于P即可． 【详解】解：如图，点即为所求； 理由如下： 由作图可知：是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求． 【变式05】（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． 题型三 作一个角的平分线 【典例01】（2026·湖北·模拟预测）如图，在中，已知，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图，平行四边形的性质．由作法得：平分，再结合平行四边形的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：由作法得：平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【变式01】（2026·湖南衡阳·一模）如图，四边形中，，，．下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于两点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧；两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为_____． 【答案】4 【详解】解：由作图可知，平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式02】（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了角平分线的作法和角平分线的性质，解直角三角形等知识点．由作图可知，平分，求得，，解直角三角形即可求解． 【详解】解：作于点，则点D到的距离为的长， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式03】（2025·陕西汉中·一模）如图，在中，，点在边上，连接，过点在右侧作射线．请你用尺规作图法在射线上作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】本题考查相似三角形的尺规作图，涉及知识点：相似三角形的判定（两角对应相等）、尺规作角．解题方法是利用 “两角对应相等的三角形相似”，通过尺规作角使与的角对应相等；解题关键是确定相似三角形的对应角，易错点是作角时的对应关系错误．解题思路：由且，通过尺规作，其与射线的交点即为点． 【详解】解：要使，已知，只需使（两角对应相等，三角形相似）． 通过尺规作，射线与射线的交点，满足． 如图所示， 作图步骤： 1、以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； 2、取为半径，以为圆心画弧，与步骤1的弧交于点； 3、连接并延长交于点； 【变式04】（2025·黑龙江绥化·中考真题）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹） [初步尝试] 如图（1）用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线，使扇形的面积被直线平分． [拓展探究] 如图（2），若扇形的圆心角为，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点为圆心的弧，交于点，交于点，使扇形的面积与扇形的面积比为． 【答案】[初步尝试]见解析；[拓展探究]见解析 【分析】本题主要考查了扇形的面积，基本作图，熟练掌握扇形的面积公式和尺规作图是解题的关键． [初步尝试] 经过圆心的直线平分扇形的面积，作圆心角的角平分线或作扇形弧对应弦的垂直平分线； [拓展探究]根据扇形面积公式，扇形面积之比等于扇形半径的平方之比，从而得到 扇形的面积与扇形半径之比为，只要画出或的中点即可．方法一：作扇形半径的垂直平分线找到中点，然后以为半径作弧交半径于点．方法二：扇形的圆心角为，根据含的直角三角形是斜边的一半，过点作出的垂线，构造直角三角形，取垂线段的长度为半径，以为圆心画弧即可． 【详解】解：[初步尝试] 作法一：如图所示 ①连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧， 两弧交于点，标注出点 ②画直线 ③直线即为所求 作法二：如图所示 ①以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点， ②分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，标注出点. ③画直线，直线即为所求 [拓展探究] 扇形的面积与扇形的面积比为，设扇形的半径为，扇形的半径为 扇形的面积∶扇形的面积 只要画出或的中点即可 作法一： ①作的垂直平分线交于点，标注出点 ②以为圆心长为半径画弧，交于点，标注出点 ③弧即为所求．（同理作的垂直平分线也可得分） 作法二： 过点作出的垂线或者过点作的垂线，取垂线段的长度为半径，以为圆心画弧即可．（依据：含的直角三角形是斜边的一半） 【变式05】（2026·福建漳州·一模）如图，在直角三角形中，． (1)先作的平分线；设它交边于点，再以点为圆心，为半径作（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)图见解析； (2)的面积为． 【分析】（1）以点为圆心，小于长为半径画弧交、，再分别以该弧与、的交点为圆心画弧，连接点与两弧交点并延长交边于点，再以点为圆心，为半径作； （2）由特殊角的三角函数值可得，结合角平分线的定义、等角对等边、解直角三角形的相关计算求出、，即可求出的面积． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：，， ， 是的平分线， ， ，， 的面积为． 【点睛】本题考查的知识点是角平分线的作法、圆的作法、角平分线的定义、等角对等边、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状、解直角三角形的相关计算，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算． 题型四 作线段的垂直平分线（作垂线） 【典例01】（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、垂线的尺规作图，直角三角形锐角互余，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键．由作图可知，然后根据含30度直角三角形的性质可得，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式01】（2025·福建漳州·三模）如图，中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于两点，连接，与交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角和线段垂直平分线的定义，直角三角形的性质等等，由作图方法可得垂直平分，则点O是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，则，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， 点O是的中点． ， ． ． ． 故选：A． 【变式02】（2025·天津·一模）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，连接，交于点H，以点H为圆心，的长为半径作的弧恰好经过点C，以点B为圆心，的长为半径作弧交于点D，连接，若，则（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图，连接，先根据作图过程、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理证明，易得，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，连接．由作图可知，垂直平分线段，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式03】（2025·海南·中考真题）如图，在菱形中，对角线、相交于点．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，尺规作图作角平分线，角平分线的性质定理． 作交于I，根据菱形的性质可知，由作图可知平分，即，进而根据三角形面积公式计算即可． 【详解】如图，作交于I， ∵菱形， ∴，即， 由作图可知平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式04】（2025·河南·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)作图见详解 (2)证明过程见详解 【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）运用尺规作直径的垂直平分线即可； （2）根据平行四边形的性质结合题意得到，，即，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证． 【详解】（1）解：如图所示， ∵是直径， ∴运用尺规作直径的垂直平分线交于点， ∴点即为所求点的位置； （2）证明：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形． 【变式05】（2025·福建·中考真题）如图，矩形中，． (1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求（1）中所作的正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据正方形的性质，结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，四边形就是所求作的正方形． 由作图可知，，， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； （2）由（1）知：，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ． ， ． 又， ， ，即， ． 在中，， ， ∴正方形EFGH的边长为． 【点睛】本题考查尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 题型五 作圆及圆的切线问题 【典例01】（2025·青海西宁·一模）如图，在 中， ，垂足为D． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的外接圆 ，作直径，连接； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握三角形的外心为三角形三边中垂线的交点，是解题的关键： （1）根据三角形的外心为三角形三边中垂线的交点，作的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心，再以为圆心，的长为半径画圆，延长交于点，连接，即可； （2）根据圆周角定理得到，即可得证； 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式01】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 【答案】见解析 【分析】本题考查了过圆外一点作圆的切线．以为直径作圆，与在上方的交点即为所求点P． 【详解】解：如图，点P即为所作． 【变式02】（2026·陕西西安·一模）如图，已知，点P在边上，请用尺规作图法，求作，使圆心O在边上，且与边相切于点P．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定． 过点P作的垂线，交于点O，以点O为圆心，以的长为半径作圆即可． 【详解】解：如图，即为所求作的圆． 由作法可知， 是的半径，且， ∴是的切线， ∴即为所求作的圆． 【变式03】如图，在中，，，，D是的中点． (1)求作：使圆心O在上，且经过B、D两点，与交于点E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)连接，在（1）的条件下，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的性质，线段垂直平分线的尺规作图，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）点O一定在线段的垂直平分线上，而圆心O在上，则点O为的中点，据此作线段的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画弧交于点E即可； （2）由（1）可知，为的直径，则；由勾股定理可得的长，证明，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接， 由（1）可知，为的直径， ∴； ∵在中，，，， ∴； ∵D是的中点， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【变式04】（2025·广东深圳·二模）已知直线与相切于点D． (1)如图1，是的直径，延长与直线交于点A，过点B作，垂足为C，交于点F，连接．若，在不增加新的点的前提下，请提出一个问题：______，并进行解答或证明．（使用部分条件，且求解正解酌情给分；使用全部条件，且求解正确得满分） (2)如图2，点P是圆上一点，请用尺规在直线上求作一点Q，使得与相切（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)13 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）问题：求的半径；利用相似三角形的判定和性质构建方程求解； （2）连接，，作的角平分线交直线l于点Q，作直线即可． 【详解】（1）解：提出问题：圆O的半径是多少? 解：连接， ∵直线与圆相切于点O， ∴， ∵，，， ∴根据勾股定理可得， ∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴， 设半径为则，， ∴， 解得； （2）解：如图，直线即为所求． 【变式05】如图，已知矩形． (1)用无刻度的直尺和圆规在图1中求作，使与边、分别相切于点、；（保留作图痕迹） (2)用无刻度的直尺和圆规在图2中求作，使经过、两点且与边相切于点；（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了作图，作圆，作垂直平分线，矩形的性质，切线的性质等知识，作出垂直平分线是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于点P，以点P为圆心，为半径画圆即可． （2）按照要求作图即可． 【详解】（1）解：即为所求， ∵四边形是矩形， ∴ 由作图得出且为的半径， ∴都是的切线 故与边、分别相切于点、； （2）解：①作线段的垂直平分线分别交于点E，交于点； ②作线段的垂直平分线交于点Q； ③以Q为圆心，长为半径作， 如下：即为所求． ∵经过、两点， ∴点在的垂直平分线上， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 则点为切点，故在圆上， ∴是圆的弦， ∴作出弦的垂直平分线，与上述的垂直平分线交于一点即为点（圆心是两条不重合的弦的垂直平分线的交点） 题型六 格点作图问题 【典例01】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）实践操作：如图是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1． (1)请在图中画出等腰，使得点在格点上，，且； (2)在（1）的条件下，仅用无刻度直尺作出边上的高，并保留作图痕迹． 【答案】(1)见详解 (2)见解析 【分析】此题考查了勾股定理与网格、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据网格的特点和勾股定理即可作图； （2）根据矩形的性质和等腰三角形三线合一进行作图即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求， 证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图，即为所求， ∵点H是矩形的对角线的交点， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， 即边上的高为； 【变式01】（2025·江西南昌·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画，使点C在格点上，且； (2)如图②中以线段为边画，； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，正切的定义，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形． （1）取格点，连接，，使为等腰直角三角形，此时，故为所求； （2）取格点，连接交格线于，连接，是等腰直角三角形，可得，，得出，，所以，故即为所求． 【详解】（1）解：如图：取格点，连接，，即为所求； （2）解：如图：取格点，连接交格线于，连接，即为所求． 【变式02】（2025·安徽合肥·三模）如图网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均在格点上，利用无刻度的直尺，按要求画图（不要求写出画法，保留作图痕迹．） (1)画出关于对称的； (2)在边上找一点D，在边上找一点E，使得，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点图形中的轴对称作图和相似三角形的无刻度直尺作图，解题的关键是利用正方形格点的坐标或边长特征确定对称点位置，以及结合网格等分线段和构造平行线实现相似比要求． （1）通过观察格点中的位置，利用对称点到的格点距离相等的特征，在另一侧找到B的对称点，连接、完成轴对称作图； （2）先根据网格确定的格点长度，按的相似比在上找到点D，使，则，再利用格点中与平行的连线与交于点E，于是满足． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）如图，点D、E即为所求． 【变式03】（2025·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的3个4格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条． (1)如图1，是格点，先将点绕点逆时针旋转，画对应点，再画直线交于点，使直线平分矩形的面积． (2)如图2，先画点关于直线的对称点，再画射线交于点，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查作图-旋转变换，轴对称变换，平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）旋转变换的性质作出点的对应点即可，连接交网格线于点，作直线交于点即可； （2）取格点，连接交于点，取格点，网格线的中点，连接交于点，作直线交于点，直线即为所求． 【详解】（1）解：如图，点，直线即为所求． （2）解：如图，点，直线即为所求． 【变式04】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）作，边上的高为，，，则； （2）取格点和，使，，连接交边于点，利用相似三角形的判定和性质求得；作，证明，求得，，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：点如图所示： 作，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了格点作图，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式05】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画的中线； (2)在（1）的基础上，在线段上画点E， 使； (3)在图（2）中，E 为格点，在线段上画点F， 使； (4)在（2）的基础上，在线段上画点G， 使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）找到以为对角线的矩形，连接另一条对角线，利用矩形对角线互相平分即可找到的中点； （2）连接，可证为边中线，则与的交点为三角形的重心，利用重心的性质可知此点即为所求点； （3）连接，可证明四边形为平行四边形，所以，则与交点即为点； （4）因为，所以，若使，即使，即使，利用平行线分线段成比例定理作图即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点，连接即为所求； ∵四边形为矩形， ∴为的中点， 连接即为△ABC的中线； （2）解：如图，连接与交于点，点即为所求； 为中点， ∴为边中线， 则与的交点为三角形的重心， 根据重心性质可知， ∴点即为所求； （3）解：如图，连接交于，即为所求； ， ∴四边形为平行四边形， ∴， 则与交点即为点， 故即为所求； （4）解：如图，连接，与交于点，点即为所求； ∵， ∴四边形为平行四边形， ， ， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点即为所求． 【点睛】本题考查方格纸作图，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，重心的性质，平行线分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 题型七 无刻度直尺作图 【典例01】（2025·江苏南京·三模）如图，已知线段和直线．利用无刻度的直尺和圆规分别在直线作符合要求的点（保留作图痕迹，给出必要的文字说明）． (1)； (2)的度数最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，尺规作图等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）在下方作等边三角形，以点C为圆心，的长为半径画圆，交直线l于点P和点，由等边三角形的性质可得，由圆周角定理可得； （2）如图所示，延长交直线l于点C，以为直径作圆，过点A作交以为直径的圆于D，以C为圆心，的长为半径画弧，交直线l于点P，则点P即为所求；可证明当过点A和点B的圆与直线l相切时，的度数最大，此时可证明，则可证明，可证明，则，则． 【详解】（1）解：如图所示，点P和点即为所求； （2）解：如图所示，点P即为所求； 【变式01】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在矩形中，，，把矩形折叠，使得点B与边上的点P重合，为折痕，点M，N分别在边，上． (1)请用尺规在图中作出过点M，D，P的；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若直线与过M，D，P三点的相切，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连结，作的垂直平分线，与交于点O，再以点O为圆心，为半径画圆即可； （2）过O作交于E 、交于F ，连接 ，根据切线性质，正方形性质及翻折，可得，从而求解． 【详解】（1）解：在矩形中，由， 则的外接圆是以斜边为直径的圆，作图如下图1： ①分别以A，B为圆心，大于的长度为半径，上下画弧，两弧上下各交于一点，连接这两个点，与交于点O， ②以点O为圆心，为半径画圆， 则圆O即为所作图形． （2）解：过作交于、交于，连接，如图（2）所示： 则四边形是矩形， 是的切线， ， 四边形是矩形，， ， ， 由题意，把矩形折叠，为折痕， 垂直平分， ， 在和中 ， ，， ， ， 的半径为． 【点睛】本题考查正方形性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直线与圆相切的性质、折叠性质、圆的尺规作图，熟练掌握以上知识是解题关键． 【变式02】（2025·安徽芜湖·三模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，为格点（网格线的交点）三角形． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)用无刻度直尺在边上作一点，使（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查作图平移变换、作图轴对称变换，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）在的右侧作，且，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 （3）如图，在的右侧作，且，连接交于点， 此时为等腰直角三角形， ， 即， 则点即为所求． 【变式03】（2026·重庆·模拟预测）在学习完菱形的性质后，小懂同学发现：若作菱形中一组对角的平分线与另一条对角线相交，则两个交点与另外两个顶点所组成的四边形也是菱形．他的证明思路如下，请根据他的思路完成以下作图与填空： 第一步：尺规作图．请用圆规和直尺，在所给图中作的角平分线交对角线于点E；作的角平分线交对角线于点F；连接、（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：证明猜想如图，四边形是菱形，对角线、交于点O．平分，平分．求证：四边形是菱形． 证明：在菱形中，，，， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ，， _____________， （内错角相等，两直线平行）， 在和中，， ， _____________， 又， 四边形是平行四边形， ，且E、F均在上， ， 即， 四边形是菱形（④_____________）． 【答案】作图见解析；①；②；③；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图（角平分线），熟练掌握菱形的判定与性质及全等三角形的判定与性质是关键．根据题意作图即可；由菱形的性质知，得到，结合角平分线可推得①，再证明，得出②，再证明四边形是平行四边形，结合，即可证明四边形是菱形，得到④． 【详解】解：如图所示，就是所求作的图形； 证明：在菱形中，，，， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ，， ， （内错角相等，两直线平行）， 在和中，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，且E、F均在上， ， 即， 四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：①；②；③；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【变式04】（2025·广东深圳·中考真题）如图1，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点， ①求__________； ②求的半径； (3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 【答案】(1)见解析 (2)①30°；② (3)见解析 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，斜边上的中线得到，即可得证； （2）①根据菱形的性质，得到，等角对等边得到，三角形的外角得到，切线得到，再根据角的和差关系进行求解即可；②解直角三角形，进行求解即可； （3）利用尺规作图作，即可． 【详解】（1）解：， 四边形为平行四边形， 又，且为中点 ， 平行四边形为菱形． （2）①四边形为菱形． ， ， 又， ， ， 切于， ， ； ； ②设半径为， ， ， ，， ； 解得：； （3）由题意，作图如下： 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，斜边上的中线，切线的性质，解直角三角形，尺规作平行线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【变式05】（2025·江苏·一模）用直尺和圆规作出下列图形． (1)如图②，点是正方形内一定点，请在图中作出两条直线，其中有一条直线必须经过点，使它们将正方形的面积四等分； (2)如图③，在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，请过点作一条直线将四边形的面积平分，并简要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接相交于点，作直线分别交于两点，过点作用的垂线分别交于、两点，则直线将正方形的面积四等分．可应用得出结论． （2）把原图补充成菱形，应用菱形的性质求解． 【详解】（1）解：如图②，连接相交于点，作直线分别交于两点，过点作用的垂线分别交于、两点，则直线将正方形的面积四等分． 理由如下： ∵点是正方形对角线的交点， ∴点是正方形的对称中心． ∴． 在和中， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 设点O到正方形一边的距离为． ∴ ∴． ∴直线将正方形面积四等分． （2）如图③，在上截取，作直线，直线即为所求作： 延长至点E，使，延长至点F，使，连接． ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴平行四边形为菱形． 连接交于点，则． ∴，即点、重合． ∴点是菱形对角线的交点． ∵在上截取， ∴． 设点到菱形一边的距离为，连接， ∴． ∴当时，直线将四边形的面积分成相等的两部分． 【点睛】本题考查了正方形性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形的面积，基本尺规作图等知识点的应用，作垂线(尺规作图)、根据正方形的性质求面积、根据菱形的性质与判定求面积． （限时训练：30分钟） 1．（2025·四川内江·中考真题）按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得 ∴四边形是菱形，则， 又∵， ∴ 故选：D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图-角平分线，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．由作图可得平分，由得，再由点为的中点得，进而即可得解． 【详解】解：由作图知，平分， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 3．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 4．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线；③以点B为圆心，以为半径画弧交直线于点G；④连接交于点P．则______． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、三角函数及线段垂直平分线的性质．如图，由题意易得，，，则有，进而问题可求解． 【详解】解：如图所示： 由题意得垂直平分，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 5．（2026·上海闵行·一模）在中，，结合尺规作图痕迹所提供的信息可求出的长是___________． 【答案】6 【分析】本题考查角平分线和垂线的尺规作图，含的直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据作图痕迹可知，平分，，因为，则，利用含的直角三角形的性质即可求． 【详解】解：根据作图痕迹可知，平分，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 6．（2026·陕西西安·一模）如图，点A在外，求作的一条直径，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】要作出的直径使，需利用线段垂直平分线的性质，延长交于两点，作线段的垂直平分线即可． 【详解】如图所示 7．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. （1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可. （2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求. （2）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵平分， ∴， ∵直线，即， ∴， ∴． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与折叠，尺规作图—作角平分线和线段，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）以为圆心，为半径画弧，交于点，作的角平分线，交于点，即为所求； （2）折叠的性质，得到，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵由折叠可得， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点均在格点上． (1)将线段向左移动一个单位长度，再向上移动一个单位长度，得到线段，点的对应点为，点的对应点为，画出四边形，并直接写出四边形的周长； (2)在（1）的条件下，在线段上画点，连接，使．（仅用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹．） 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查作图-平移变换、勾股定理，熟练掌握平移的性质、勾股定理是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可；结合勾股定理计算即可． （2）取格点,连接交于点，则点为的中点；作格点,使，连接,交于点，则垂直平分，则点E即为所求． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求． 由勾股定理得，， ∴四边形的周长为； （2）解：如图，取格点,连接交于点，则点为的中点；作格点,使，连接,交于点，则垂直平分，连接， 则点E即为所求． 10．（2026·广西柳州·一模）如图，已知矩形， (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的平分线，交边于点． ②过作，垂足为； (2)求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和作垂线的方法作图即可； （2）先根据平行线加角平分线得，再根据有三个角是直角的四边形是矩形证明其为矩形，再由矩形证明正方形． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）证明：∵平分， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 11．（2025·河南·模拟预测）如图，内接于，是的直径，D是上的一点，平分，与相交于点E． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点C作的切线，交延长线于点F； (2)当的半径为5，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长，以点为圆心，取合适长度画弧与及延长线交于两点，再分别以此两点为圆心，取大于的一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接这点与点O，延长交这条直线于点F，由此作图即可； （2）由角平分线定义和圆周角定理可证得，再由为的切线可得，根据圆周角定理可知，由此证得，在和中分别解直角三角形求出的长，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线为所求； （2）平分， ， ， ， ， ， ， 为的切线， ， ， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 则的长为． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，角平分线定义，圆周角定理，解直角三角形，切线的性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 12．（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，、是线段与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，过点作的垂线； (2)在图②中，在上找一点，连结，使； (3)在图③中，在上找一点，连结，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，格点作图题，利用斜边的中线等于斜边的一半，，解题关键是斜边的中线等于斜边的一半． （1）取格点E，连结即可； （2）取格点E，连接交于点M，连接，点M即为所求（斜边的中线等于斜边的一半）； （3）取格点F，H，连接交于点N，连接，点N即为所求（斜边的中线等于斜边的一半）． 【详解】（1）解：如图所示： 直线即为所求； （2）如图所示： ，为中点， ∴， 点M即为所求； （3）如图所示： ，为中点， ∴， ∴点N即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 几何作图与尺规作图专项 目录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（7大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 作一条线段等于已知线段 题型二 作一个角等于已知角 题型三 作一个角的平分线 题型四 作线段的垂直平分线（作垂线） 题型五 作圆及圆的切线问题 题型六 格点作图问题 题型七无刻度直尺作图 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 几何作图与尺规作图是中考数学几何板块基础必考模块，分值约 5～8 分，以填空题、作图题为主，部分地区会结合几何计算 / 证明以小综合题形式考查，整体以低中档题为主，侧重考查作图规范、几何定理理解与几何直观能力，是中考必须稳拿分的板块。 基础知识必备：掌握 7 大核心作图的尺规操作步骤，理解每一步作图的几何原理；能严格遵循作图工具要求（直尺、圆规、无刻度直尺），规范保留作图痕迹；熟练运用网格的垂直、等距特性完成格点作图；能依托三角形、圆、平行四边形等图形的固有性质，用无刻度直尺找关键点、作辅助线；明确中考作图失分点，会标注关键点、特殊符号（⊥、∠、= 等）。 2026中考预测： 题型稳定：角平分线、线段垂直平分线、格点作图为选择 / 作图题必考内容，无刻度直尺作图为全国中考热点题型，作圆及切线常与圆的性质结合考查； 难度平稳：以基础作图、网格作图为主，无刻度直尺作图侧重基础几何性质应用，不设置偏题、怪题，重点考查作图规范性与痕迹完整性； 命题趋势：网格中的无刻度直尺作图考查频率持续升高，作图题逐渐与简单几何性质应用结合，格点作图从正方形网格向正三角形网格延伸，侧重特殊角、特殊图形的构造。 题型一 作一条线段等于已知线段 【典例01】（2024·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【变式01】（2025·贵州贵阳·三模）如图，中，，以A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式02】如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·吉林长春·二模）如图，在中，是边上一点．按下列要求作图：①以点为圆心，为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D．四边形是平行四边形 【变式04】（2024·贵州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，线段的长为半径画弧，交于点D，连接．若，则的长为______． 【变式05】（2025·山西·中考真题）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段．   【问题解决】 问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________．    问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接．   求证：线段是线段的双关联线段． 证明：延长交于点F． 是等边三角形， ． ， （依据）． ， ， ； …    任务： (1)问题1中的________，问题2中的依据是________________； (2)补全问题2的证明过程； (3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段． （要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 题型二 作一个角等于已知角 【典例01】（2025·吉林长春·一模）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式01】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，P是边的中点．按下列步骤尺规作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧、分别交、于点D、E；②以点P为圆心，的长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心，的长为半径画弧，交前一条弧于点G；④作直线，交线段于点Q．则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【变式02】（2024·山东德州·中考真题）已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 【变式04】（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式05】（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 题型三 作一个角的平分线 【典例01】（2026·湖北·模拟预测）如图，在中，已知，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式01】（2026·湖南衡阳·一模）如图，四边形中，，，．下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于两点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧；两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为_____． 【变式02】（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为_____． 【变式03】（2025·陕西汉中·一模）如图，在中，，点在边上，连接，过点在右侧作射线．请你用尺规作图法在射线上作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式04】（2025·黑龙江绥化·中考真题）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹） [初步尝试] 如图（1）用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线，使扇形的面积被直线平分． [拓展探究] 如图（2），若扇形的圆心角为，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点为圆心的弧，交于点，交于点，使扇形的面积与扇形的面积比为． 【变式05】（2026·福建漳州·一模）如图，在直角三角形中，． (1)先作的平分线；设它交边于点，再以点为圆心，为半径作（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的面积． 题型四 作线段的垂直平分线（作垂线） 【典例01】（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式01】（2025·福建漳州·三模）如图，中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于两点，连接，与交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·天津·一模）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，连接，交于点H，以点H为圆心，的长为半径作的弧恰好经过点C，以点B为圆心，的长为半径作弧交于点D，连接，若，则（　　）． A． B． C． D． 【变式03】（2025·海南·中考真题）如图，在菱形中，对角线、相交于点．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则_______． 【变式04】（2025·河南·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【变式05】（2025·福建·中考真题）如图，矩形中，． (1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求（1）中所作的正方形的边长． 题型五 作圆及圆的切线问题 【典例01】（2025·青海西宁·一模）如图，在 中， ，垂足为D． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的外接圆 ，作直径，连接； (2)证明：． 【变式01】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 【变式02】（2026·陕西西安·一模）如图，已知，点P在边上，请用尺规作图法，求作，使圆心O在边上，且与边相切于点P．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式03】如图，在中，，，，D是的中点． (1)求作：使圆心O在上，且经过B、D两点，与交于点E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)连接，在（1）的条件下，求的长度． 【变式04】（2025·广东深圳·二模）已知直线与相切于点D． (1)如图1，是的直径，延长与直线交于点A，过点B作，垂足为C，交于点F，连接．若，在不增加新的点的前提下，请提出一个问题：______，并进行解答或证明．（使用部分条件，且求解正解酌情给分；使用全部条件，且求解正确得满分） (2)如图2，点P是圆上一点，请用尺规在直线上求作一点Q，使得与相切（不写作法，保留作图痕迹）． 【变式05】如图，已知矩形． (1)用无刻度的直尺和圆规在图1中求作，使与边、分别相切于点、；（保留作图痕迹） (2)用无刻度的直尺和圆规在图2中求作，使经过、两点且与边相切于点；（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 题型六 格点作图问题 【典例01】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）实践操作：如图是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1． (1)请在图中画出等腰，使得点在格点上，，且； (2)在（1）的条件下，仅用无刻度直尺作出边上的高，并保留作图痕迹． 【变式01】（2025·江西南昌·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画，使点C在格点上，且； (2)如图②中以线段为边画，； 【变式02】（2025·安徽合肥·三模）如图网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均在格点上，利用无刻度的直尺，按要求画图（不要求写出画法，保留作图痕迹．） (1)画出关于对称的； (2)在边上找一点D，在边上找一点E，使得，且相似比为． 【变式03】（2025·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的3个4格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条． (1)如图1，是格点，先将点绕点逆时针旋转，画对应点，再画直线交于点，使直线平分矩形的面积． (2)如图2，先画点关于直线的对称点，再画射线交于点，使． 【变式04】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 【变式05】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画的中线； (2)在（1）的基础上，在线段上画点E， 使； (3)在图（2）中，E 为格点，在线段上画点F， 使； (4)在（2）的基础上，在线段上画点G， 使． 题型七 无刻度直尺作图 【典例01】（2025·江苏南京·三模）如图，已知线段和直线．利用无刻度的直尺和圆规分别在直线作符合要求的点（保留作图痕迹，给出必要的文字说明）． (1)； (2)的度数最大． 【变式01】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在矩形中，，，把矩形折叠，使得点B与边上的点P重合，为折痕，点M，N分别在边，上． (1)请用尺规在图中作出过点M，D，P的；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若直线与过M，D，P三点的相切，求的半径． 【变式02】（2025·安徽芜湖·三模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，为格点（网格线的交点）三角形． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)用无刻度直尺在边上作一点，使（保留作图痕迹）． 【变式03】（2026·重庆·模拟预测）在学习完菱形的性质后，小懂同学发现：若作菱形中一组对角的平分线与另一条对角线相交，则两个交点与另外两个顶点所组成的四边形也是菱形．他的证明思路如下，请根据他的思路完成以下作图与填空： 第一步：尺规作图．请用圆规和直尺，在所给图中作的角平分线交对角线于点E；作的角平分线交对角线于点F；连接、（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：证明猜想如图，四边形是菱形，对角线、交于点O．平分，平分．求证：四边形是菱形． 证明：在菱形中，，，， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ，， _____________， （内错角相等，两直线平行）， 在和中，， ， _____________， 又， 四边形是平行四边形， ，且E、F均在上， ， 即， 四边形是菱形（④_____________）． 【变式04】（2025·广东深圳·中考真题）如图1，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点， ①求__________； ②求的半径； (3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 【变式05】（2025·江苏·一模）用直尺和圆规作出下列图形． (1)如图②，点是正方形内一定点，请在图中作出两条直线，其中有一条直线必须经过点，使它们将正方形的面积四等分； (2)如图③，在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，请过点作一条直线将四边形的面积平分，并简要说明理由． （限时训练：30分钟） 1．（2025·四川内江·中考真题）按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 3．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 4．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线；③以点B为圆心，以为半径画弧交直线于点G；④连接交于点P．则______． 5．（2026·上海闵行·一模）在中，，结合尺规作图痕迹所提供的信息可求出的长是___________． 6．（2026·陕西西安·一模）如图，点A在外，求作的一条直径，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 7．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 8．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的长． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点均在格点上． (1)将线段向左移动一个单位长度，再向上移动一个单位长度，得到线段，点的对应点为，点的对应点为，画出四边形，并直接写出四边形的周长； (2)在（1）的条件下，在线段上画点，连接，使．（仅用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹．） 10．（2026·广西柳州·一模）如图，已知矩形， (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的平分线，交边于点． ②过作，垂足为； (2)求证：四边形是正方形． 11．（2025·河南·模拟预测）如图，内接于，是的直径，D是上的一点，平分，与相交于点E． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点C作的切线，交延长线于点F； (2)当的半径为5，时，求的长． 12．（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，、是线段与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，过点作的垂线； (2)在图②中，在上找一点，连结，使； (3)在图③中，在上找一点，连结，使． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $