浙江台州市书生中学2025-2026学年高二下学期数学周练一

书生中学高二下数学周练一 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列问题属于排列问题的是（ ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地 ②从10个人中选2人去扫地 ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为 中的底数与真数 A．①④ B．①② C．④ D．①③④ 2．在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有（ ） A．510种 B．105种 C．50种 D．3024种 4．在的展开式中，的系数是（ ） A．20 B． C． D． 5．如图所示的几何体由三棱锥与三棱柱组合而成，现用种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．已知， 则（ ） A． B． C． D． 7．设n为满足不等式的最大正整数，则n的值为（ ） A．11 B．10 C．9 D．8 8．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ） A．315 B．640 C．840 D．5040 2、 多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．若，且，则下列结论正确的是（ ） A． B．展开式中二项式系数和为 C．展开式中所有项系数和为 D． 10．有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（ ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法 11．对于二项式，以下判断正确的有（ ） A．存在，展开式中有常数项 B．对任意，展开式中没有常数项 C．对任意，展开式中没有的一次项 D．存在，展开式中有的一次项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为 ． 13．如图，的边上有四个点，边上有三个点 ，则以，为顶点的三角形个数为______． 14．在杨辉三角中，每一个数值是它上面两个数值之和，这个三角形开头几行如图，则第9行从左到右的第1行第3个数是______；若第行从左到右第12个数与第13个数的比值为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 （1）计算； （2）若，求m的值； （3）已知，求n的值． 16.本小题15分 现有本书和位同学，将书全部分给这三位同学． （1）若本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？ （2）若本书都不相同，共有多少种分法？ （3）若本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？ 17.本小题15分已知的展开式中，前三项的系数成等差数列． （1）求n； （2）求展开式中的有理项； （3）求展开式中系数最大的项． 18.（本小题17分） 为营造文明健康，平安和谐的教育环境，助理青少年健康成长，学校制定2025“护苗行动”方案，开展寒假“家访”活动．某班安排语文、数学、外语、物理、化学5名老师到A、B、C、D四个住宅小区进行家访． （1） 每个老师都只安排到一个住宅小区，有多少种不同的方案？ （2） 如果A住宅小区不安排，其余三个小区至少安排一名老师，则这5名老师全部被安排的不同方案有多少？ （3）若每位老师都安排到一个小区，每个社区至少有一位老师，其中语文、外语不去A小区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案有多少种？ 19.本小题17分 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数． （Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数； （Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数； （Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数． 书生中学高二下数学周练一答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A A C C C B D A ACD CD AD 1．【答案】A 【解析】排列的概念：从个元素中取个元素，按照一定顺序排成一列， 由题可知：①④中元素的选取有顺序，②③中元素的选取无顺序， 由此可判断出：①④是排列问题，故选A． 2．【答案】A 【解析】每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理， 共有510种可能的下车方式，故选A． 3．【答案】C 【解析】在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大， 即中间项项的二项式系数最大，即，解得，故选C． 4．【答案】C 【解析】， 的展开式的通项公式为， 令时，的系数是； 令时，的系数是， 所以的展开式中，的系数是，故选C． 5．【答案】C 【解析】先涂三棱锥的三个侧面，有种情况， 然后涂三棱柱的三个侧面，有种情况， 共有种不同的涂法，故选C． 故选C． 6．【答案】B 【解析】令， 则有， 即， 展开式的通项公式为， 所以中含的项为：， 故选B． 7．【答案】D 【解析】设， 则， 又，， ，由，得， ，，，， 的值为，故选D． 8．【答案】A 【解析】有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有种放法， 剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有种放法， 所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同， 则不同的放法种数为种，故选A． 9．【答案】ACD 【解析】对于A，令，可得， 即， 即，① 令，得，即，② 由于的展开式中，所以，③ 所以①-②-③，得， 而， 所以，解得，故A正确； 对于B，由于，则， 所以展开式中二项式系数和为，故B错误； 对于C，由于，则的所有项系数为 ，故C正确； 对于D，由于，则， 等式两边求导得：， 令，则， 故D正确， 故选ACD． 10．【答案】CD 【解析】A中，如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有种不同的排法，A选项错误； B中，如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有种不同的排法种数，B选项错误； C中，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有种不同的排法种数，C选项正确； D中，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的个空中，此时，共有种不同的排法种数，D选项正确， 故选CD． 11．【答案】AD 【解析】对于二项式的展开式的通项公式为，； 而的通项公式为，， 对于二项式，展开式的通项为， 未知数的次数为， 当时，即，当，，是其中一组解， 由于的各项的系数都是正数， 故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误； 当时，即，当，，是其中一组解，由于的各项的系数都是正数， 故展开式中有一次项，且一次项的系数不为0，展开式中有一次项，故D正确，C错误， 故选AD． 12．【答案】 【解析】若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为； 若甲、乙两节目都参加，则演出顺序的种数为， 因此不同的演出顺序的种数为，故答案为． 13．【答案】42 【解析】先从这个点中任取个点，有种情况； 再减去不能构成三角形的情况，即三点共线的情形有种情况， 故所求三角形个数为，故答案为． 14．【答案】， 【解析】依题意， ，，解得． 故答案为，． 15．【答案】（1）；（2）5．（3） 【解析】（1）原式． （2）根据题意，若， 则有， 即，解得 （3）原方程可变形为，即， 即， 化简整理，得，解得或 (舍去)， 故． 16．【答案】（1）种；（2）种；（3）150种． 【解析】1）根据题意，若本书完全相同，将本书排成一排，中间有个空位可用， 在个空位中任选个，插入挡板，有种情况， 即有种不同的分法． （2）根据题意，若本书都不相同，每本书可以分给人中任意1人，都有3种分法， 则5本不同的书有种． （3）根据题意，分2步进行分析： ①将本书分成组， 若分成1、1、3的三组，有种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有种分组方法， 则有种分组方法； ②将分好的三组全排列，对应名学生，有种情况， 则有种分法． 17．【答案】（1）8；（2），，；（3），． 【解析】（1）∵二项展开式的前三项的系数分别是1，，， ∴，解得(舍去)． （2）由， 当时，为有理项． ∵且，∴，4，8符合要求． 故有理项有3项，分别是，，． （3）设第r＋1项的系数为最大，则， 则，，解得． 当时，；当时，， 因此，第3项和第4项的系数最大， 故系数最大的项为，． 18【解析】【分析】（1）每位老师都有4种安排方法，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）先分组，将5人分成人数为2，2，1或3,1,1的三组；再分配， 将分好的三组安排到B,C,D三个小区，计算即可求解； （3）分A小区安排一位老师与两位老师两种情况讨论，按照先分组、再分配的做法计算可得. （1）每位老师都只安排到一个住宅小区， 则每位老师都有4种安排方法， 所以不同的安排方法有4×4×4×4×4=4^5=1024种； （2）先将5人分成人数为(2,2,1)或3,1,1的三组， 再将分好的三组安排到B,C,D三个小区， 则不同的安排方法有((C_5^2 C_3^2 C_1^1)/(A_2^2 )+(C_5^3 C_2^1 C_1^1)/(A_2^2 ))⋅A_3^3=150种； （3）分两种情况， 第一种情况：先从数学、物理、化学老师中选一人去A小区， 再将其余四人分成人数为(2,1,1)的三组安排到B，C，D三个小区， 则不同的安排方法为C_3^1⋅(C_4^2 C_2^1 C_1^1)/(A_2^2 )⋅A_3^3=108种； 第二种情况：先从数学、物理、化学老师中选两人去A小区， 再将其余三人安排到B，C，D三个小区，不同的安排方法为C_3^2 A_3^3=18种， 所以不同的安排方法种数为108+18=126种. 19． 【答案】（1）30种；（2）20种；（3）28种． 1 学科网（北京）股份有限公司 $