浙江台州市书生中学2025-2026学年高二下学期数学周五

**基本信息** 高二数学周测试卷，涵盖集合、概率、统计、函数等知识，通过“光盘行动”调查、新能源汽车保有量等现实情境，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力，基础与综合应用并重。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合运算、充分必要条件、二项式定理|基础概念辨析，如第3题条件判断| |多选题|3题|不等式性质、概率独立性、杨辉三角|文化传承与逻辑推理，如第11题杨辉三角结论判断| |填空题|3题|排列组合（不相邻）、二次函数恒成立、最值|空间想象与运算能力，如第12题排队不相邻问题| |解答题|5题|独立性检验、回归分析、概率分布、函数证明|现实情境应用，如第15题“光盘行动”统计、16题新能源汽车数据回归，体现数据意识与模型观念|

高二第五次周练 一、单选题 1．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．集合的子集个数是（    ） A．8 B．16 C．32 D．无数个 3．对于实数、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D．14 5．下列结论中正确的是（    ） A．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若，则 D．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案种数可能有16个 6．某文艺演出共有六个节目，其中节目甲须被安排在前两个节目演出，节目乙、丙必须前后出 场，则这六个节目不同的安排方法共有（   ） A．68种 B．72种 C．84种 D．96种 7．小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（   ） A．4天 B．8天 C．10天 D．16天 8．已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 二、多选题 9．如果，那么下面不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 10．设A，B，C为随机事件，假设，则下列说法正确的是（   ） A．若，则A与B相互独立 B．若A与C互斥，则 C．若A与C互斥，则 D．若，则 11．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律.如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中，从左到右第8个数字是120 B．第20行所有数字中，从左到右数第11个数字最大 C．第9行所有数字之和为2046 D．从第2行到第行，每一行从左到右的第3个数字 之和为 三、填空题 12．甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有_____．（用数字作答） 13．已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 14．已知实数满足，则的最小值为__________. 四、解答题 15．某市为了在全市营造“浪费可耻、节约为荣”的氛围，施行“光盘行动”有关政策，为进一步了解此项政策对市民的影响程度，市政府在全市随机抽取了100名市民进行调查，其中男士与女士的人数之比为3：2,男士中有10人表示政策无效，女士中有25人表示政策有效． (1)请完成2×2列联表，并根据小概率值（）的独立性检验，分析政策是否有效与性别是否有关联？ 政策有效 政策无效 总计 男士 10 女士 25 合计 100 (2)从被调查的市民中，采取分层抽样方法抽取10名市民，再从这10名市民中任意抽取4名；对政策的有效性进行调研分析，设随机变量X表示抽取到的4名市民中女士的人数，求X的分布列及数学期望． 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 16．某市近6年的新能源汽车保有量数据如下表 年份代号x 1 2 3 4 5 6 保有量y（万辆） 1 1.8 2.7 4 5.9 9.2 (1)从这6年中任意选取2年，在已知至少有1年的新能源汽车保有量大于3万辆的前提下，求这2年的新能源汽车保有量全都大于3万辆的概率； (2)用函数模型对变量x，y的关系进行拟合，根据表中数据求出y关于x的回归方程（参数d的估计值精确到0.01）． 参考数据：，，，； 设，， 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 17．已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式； (3)当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 18. 某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 19．已知函数. (1)若，求的最小值； (2)当时，证明：对任意，都有. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C C C A B CD AD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】借助补集与交集定义计算即可得. 【详解】由，，则， 又，故. 2．A 【详解】由，得，即， 解得，所以， 所以集合的子集个数是. 3．B 【详解】当，时，满足，但，所以”推不出“，充分性不成立， 因为，所以，又因为，所以，即 “能推出“”，必要性成立， 综上“”是“”的必要不充分条件. 4．C 【详解】因为的二项展开式中，通项公式是， 所以展开式中的常数项为与中项的乘积、与中项的乘积、与中项的乘积之和. 因为的展开式中不含项， 所以展开式中的常数项为. 5．C 【分析】利用相关系数、正态分布、条件概率及组合数知识逐一分析各选项. 【详解】在A选项中，样本相关系数的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度才越强， 相关系数为负时仅表示负相关，数值越小（负得越多）绝对值越大、相关程度越强，A错误 在B选项中，正态分布的对称轴为，由得： ，根据正态分布的对称性可知： ，所以， 所以，B错误， 在C选项中，根据条件概率公式可得： ，C正确， 在D选项中，正确答案至少选1个，总种数为，D错误. 6．C 【分析】根据题意，节目甲被安排在前两个节目演出，可分节目甲被安排在第一个节目演出和节目甲安排在第二个节目演出，两种情况分类讨论，结合节目乙、丙前后出场，利用排列数公式，即可求解. 【详解】节目甲被安排在前两个节目演出，可分两种情况讨论： ①节目甲被安排在第一个节目演出， 因为节目乙、丙必须前后出场，可以把节目乙、丙当成一个整体， 则此时共有四个元素全排列，有种安排方法， 因为节目乙、丙须考虑两者的顺序，有2种情况，则有种安排方法； ②节目甲安排在第二个节目演出， 因为节目乙、丙必须前后出场，可以把节目乙、丙当成一个整体， 则节目乙、丙前后出场的位置有3个，且须考虑两者的顺序，有2种情况， 将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法， 则此时有种安排方法， 由分类计数原理得，共有种安排方法． 7．A 【详解】记为事件“小明戴帽子”，记为事件“小明戴墨镜”， ，， ， 所以，，（天）. 8．B 【分析】根据已知等式，二次运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正实数，，满足， 所以 ， 因为，是正实数， 所以，当且仅当时取等号， 即当时，， 又因为是正实数， 所以， 所以，当时取等号， 又因为， 当且仅当时取等号， 即，当时取等号， 所以， 因此当，时，的最小值为. 故选：B 9．CD 【分析】举反例可排除AB，根据二次函数的性质可判断C，利用基本不等式可判断D. 【详解】不妨令，，，可排除A与B； 对于C，因为函数在上单调递减，且，所以，C正确； 对于D，，由基本不等式“”，得,D正确. 10．AD 【分析】根据和事件的概率公式，求出积事件的概率，进而根据独立事件乘法公式，判断事件是否独立，判断选项A的正误，根据互斥事件的性质，求出互斥事件和事件的概率，判断选项B的正误；根据条件概率的定义，以及互斥事件的性质，判断选项C的正误；根据对立事件的性质，以及全概率公式，求出条件概率，判断选项D的正误； 【详解】对于A，因为， 所以，所以A与B相互独立，故A正确； 对于B，因为A与C互斥，则，所以，故B错误； 对于C，因为，若此时A与互斥，则，此时不存在，所以C错误； 对于D，因为，，所以， 又根据全概率公式，得， 所以，所以，故D正确. 11．ABD 【详解】第10行中，从左到右第8个数字是，所以A正确； 可知第20行第个数字为，可知最大，即第11个数字最大，所以B正确； 第9行所有数字之和为，所以C错误； 从第2行到第行，每一行从左到右的第3个数字之和为， 因为，所以，所以D正确； 12．36 【分析】利用甲乙不相邻问题，去掉甲乙不相邻且乙丙相邻的情况即可. 【详解】5人中甲乙不相邻的排列数为种，其中甲乙不相邻，且乙丙相邻的排列数为， 所以所求不同的排法种数为. 13． 【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解． 【详解】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 14．4 【分析】先利用换元法化简已知条件，求得，再利用基本不等式求得的最小值. 【详解】令， 所以，两边平方并化简得， 同理， 由题知，则， 故，得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4. 故答案为： 15．(1),故无的把握认为政策是否有效与性别存在关联； (2)分布列见详解；. 【分析】（1）可根据抽取样本总数及性别比例求出表格剩余信息，再进行独立性检验； （2）确定的可能取值，结合超几何分布分布列求法求的分布，再由期望公式求结论. 【详解】（1）抽取样本总数是100人，男女的比例是，因此男士共60人，女士共40人，可推出表中剩余信息. 政策有效 政策无效 总计 男士 50 10 60 女士 25 15 40 合计 75 25 100 零假设：政策是否有效与性别没有关联. 因为， 所以没有的把握认为政策是否有效与性别存在关联. （2）从被调查的市民中，利用分层抽样抽取10名市民，则男士抽取（人），女士抽取4人. 现要再从这10人中任意抽取4人，则随机变量的可能取值为. 所以的分布列为： . 16．(1) (2) 【分析】（1）先确定保有量大于3万辆的年份数量，用对立事件求至少1年大于3万辆的概率，再结合2年都大于3万辆的概率，通过条件概率公式计算结果； （2）将非线性回归模型取对数转化为线性回归模型，利用给定数据计算斜率和截距，再还原得到原模型的参数. 【详解】（1）保有量大于3万辆的年份有第4，5，6年，共3年， 保有量不大于3万辆的年份有第1，2，3年，共3年， 设至少有1年保有量大于3万辆为事件，2年保有量全都大于3万辆为事件， 事件的对立事件为2年都不大于3万辆，总选法有， 两年都不大于3万辆的选法为，所以， 两年都大于3万辆的选法为，所以， 则. （2）已知模型，两边取对数得， 令，则，即转化为线性回归方程， 其中，由题意得， 则， ， 因为，所以， 则. 18．(1) (2) 0 1 2 3 . (3)数学期望为8，方差为7. 【分析】（1）根据全概率公式进行计算； （2）由题可知的可能取值为0，1，2，3，再分别求出对应概率得到分布列并计算期望； （3）由题意得，，利用正态分布得到，再结合二项分布求解． 【详解】（1）设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，知， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为； （2）的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 随机变量服从超几何分布，且，，，所以； （3）由题意得，， ， ，，， 所以的数学期望为8，方差为7． 17．(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为当，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，转化为，结合含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，转化为函数在上的最小值大于在上的最大值，结合二次函数与一次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，不等式，即为， 由方程，可得， 可得方程有两个不同的实数根，分别为， 即不等式为，解得， 即不等式的解集为. （2）由不等式，即为， 整理得， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为 ①当时，不等式即为，因为，解得； ②当时，不等式即为， （i）若，即，解得或； （ii）若，即，不等式化为，解得； （iii）若，即，解得或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当，不等式的解集为. （3）当时，对，，不等式恒成立， 等价于求解函数在上的最小值大于在上的最大值， 当时，函数的图像开口向上，对称轴为， 所以， 因为函数在区间上为单调递减函数， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 19．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据二次函数开口及对称轴即可确定最小值； （2）由题意利用单调性得到，结合即可证明． 【详解】（1）若，则，， 开口向上，对称轴为， ， 故的最小值为； （2）函数，对称轴， ，， 故， 当时，， 此时， 又因为，对称轴， 所以在上单调递减， 故； 当时， 此时； 又因为，对称轴， 所以在上单调递增， 故； 综上，当时，对任意，都有． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $