海南省文昌中学2025-2026学年高三下学期第一次月考数学试题

2025—2026学年度第二学期高三第一次月考试题 数 学 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若复数满足，则的虚部为（ ） A． B． C．1 D． 2．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的渐近线方程为，则m的值为（ ） A． B． C． D．2 4．已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A．27 B．28 C．29 D．30 5．有2位老师和3名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（ ） A．48种 B．12种 C．36种 D．24种 6．已知A，B是随机事件，若，，则（ ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的奇函数和偶函数，，则当时，的最大值为（ ） A．2 B． C． D．1 8．有这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离，但实际上，因为纸张本身有厚度，所以我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边 时，便不能继续对折了. 一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折， 则经过两次对折后，长边变为，厚度变为．在理想情况下，对折次数满足关系：．根据以上信息，一张长为100cm，厚度为0.05cm的纸经过对折后的厚度的最大值为（参考数据：）（ ） A．6.4cm B．2.56cm C．12.8cm D．1.28cm 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7位评委给某班的评分分别为82，90，65，68，80，92，80，依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个评分为有效数据，则（ ） A．有效数据的极差是10 B．有效数据的平均数是80 C．有效数据的第80百分位数是86 D．有效数据的方差是50 10．已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．数列是公差为1的等差数列 11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则的最小值为5 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．若，则直线的斜率为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分。） 12．已知平面向量，，若方向相反，则 ． 13．已知，则 ． 14．在正三棱柱中，直线与平面所成角为，且四棱锥的体积为，则该三棱柱的外接球的表面积为 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.（本小题满分13分） 在△ABC中，内角的对边分别为．若． （1）已知，求三角形的三边长； （2）若，为中点，求外接圆半径． 16.（本小题满分15分） 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17.（本小题满分15分） 2026年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后 即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设他们之间通过与否相互独立． （1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； （3）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 18.（本小题满分17分） 已知函数（其中为自然对数的底数）． （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在有唯一零点，求实数的取值范围； （3）若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值． 19.（本小题满分17分） 已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于两点. （1）求的方程； （2）若，求的方程； （3）若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求△OMN面积的最大值. 高三数学 第4页 (共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高三第一次月考答案 数 学 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B B D D B A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 题号 9 10 11 答案 BC ABD AC 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分。） 12． 13． 14． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．解： （1） …………2分 ，解得或， …………4分 又由题意知：，∴，∴满足条件 …………5分 ∴，即为三角形的三边. …………6分 （2）∵， ∴，……7分 ∴，即， ∴或， …………8分 ∵， ∴， …………9分 当时，边最长，与条件矛盾，故舍去； ………10分 当时，则，又， ∴，解得：， ………11分 ∴,∴, 又∵为中点，∴， ………12分 ∴在中，， 设的外接圆半径为， 由正弦定理得，即， ∴的外接圆半径为． ………13分 16．解： （1）因为为等边三角形，为的中点， 所以． …………1分 过作，垂足为， …………2分 因为底面为直角梯形，，，，， 所以，则， 由得，所以 …………3分 因为平面平面， 且平面平面，平面， …………4分 所以平面． …………5分 因为平面，所以． 又，平面，所以平面．…7分 （2）由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，过且平行于直线为轴，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， …………8分 则，， ， ， ， ……10分 设平面的法向量为， 则 ，令，则， ……12分 由（1）可知，轴⊥平面， 不妨取平面的法向量为， ………13分 则， ………14分 故平面与平面夹角的余弦值为． ………15分 17．解： （1）记3人中通过第一轮的人数为， 由题意可知， …………1分 记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件， 则. …………4分 （2）记随机选择小明、小华、小方的事件分别为，通过第二轮的事件记为， 则由题意可知， ……6分 …………8分 则 所以. …………9分 （3）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为， 则， ， ， ………10分 由相互独立可知， ………13分 所以的分布列是 0 1 2 3 则的数学期望是．…15分 18．解： （1）当时，，则， …………1分 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， …………3分 的极小值为，无极大值. …………5分 （2），， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； …………6分 ①当时，在上单调递增， 若在上有唯一零点，则， 即，解得：（舍）； …………7分 ②当时，在上单调递减，在上单调递增； ……8分 当，即时，， 则在上无零点，不合题意； 当，即时，在上有唯一零点，满足题意； 当，即时， 由得：， ………10分 在上有唯一零点，此时需， 即； 综上所述：当或时，在上有唯一零点， 即实数的取值范围为. ………11分 （3）若对恒成立，即对恒成立， 则， 令，则， ………13分 令，则，在上单调递增， ，，，使得， 即， 则当时，；当时，； ………14分 在上单调递减，在上单调递增， ， ，，， ………16分 ，整数的最大值为. ………17分 19．解： （1）因为，所以， …………1分 又因为该椭圆的离心率为， 所以， …………2分 所以椭圆的方程为； …………4分 （2）当直线的斜率为零时，此时方程为，此时， 显然此时，不符合题意， …………5分 故设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ， 因为， 所以设，则有， ……7分 由 ， ……9分 所以直线的方程为，或； ………10分 （3）由（2）可知：， 所以 因此的坐标为，…11分 设故设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ， 因为， 所以设，则有， ………12分 所以的坐标为， 因为的斜率乘积为， 所以，因此的坐标为，……13分 显然边与横轴平行， 因此， 即. ………15分 即时，取等号，即当时取等号， ………16分 所以△OMN面积的最大值. ………17分 高三数学第一次月考题参考答案 第7页 （共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $