专题12 几何最值问题模型突破（题型专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题12几何最值问题模型突破 内●容●导●航 第部分题型破译微观解剖，精细教学 全典例明引领 写方法透视 自变式演练 题型01几何图形中的单线段最值问题 题型02几何图形中的面积最值问题 题型03几何图形中将军饮马最值问题 题型04几何图形中胡不归最值问题 题型5几何图形中阿氏圆最值问题 题型06几何图形中瓜豆原理最值问题 第二部分题型训练整合应用，模拟实战 题●型●破●译 >题型01几何图形中的单线段最值问题 ◆典例领 【典例01】(2025·河南周口·二模)如图，正方形ABCD的边长为2，动点P为平面内一点，且AP⊥BP, 连接CP,则CP的最小值为，最大值为· 【典例02】(2025河南新乡·三模)如图，四边形ABCD中，BC=CD,且LBAC=LDAC=45°，连接 AC,BD,若AC=4,则四边形ABCD的面积为 BD的最小值为 1/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ⑦方法透视 锏 1. 垂线段最短：定点到定直线距离垂线段最短，用于求点到直线距离类最值。 解读 2. 两点间线段最短：定点间线段最短，常通过对称转化求折线和的最小值（将军饮马）。 3. 圆中直径最长：圆中直径是最长弦，或利用圆外一点到圆上点距离的最值（定点与圆心连线）。 方法 1. 模型识别：根据图形特征识别所属最值模型（垂线段、将军饮马、圆上点）。 技能 2. 对称转化：求折线最小值时作对称点，将折线转化为两点间直线段。 3. 勾股计算：构造直角三角形，用勾股定理求出最值对应的线段长度。 ◆变式演练◆ 【变式01】(2025·河南南阳·二模)如图，在Rt△ABC中，AB=8,BC=6,D是∠ACB平分线上的任意 一点，连接AD.把AD绕点A逆时针旋转9O°得到AE,连接DE,CE,则DE的最小值为，CE的 最小值为 E B 【变式02】(2025河南周口三模)如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一点，将线段AE绕点E顺 时针旋转，得到线段EF(EF在正方形ABCD内)，连接CF,再将线段CF绕点C逆时针旋转90°，得到 线段CG,连接FG,BG·若AB=4,AE=3,则FG的长的最小值为，BG的长的最小值为 D E B 2/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型2几何图研形中的面积最值问题<《 ◆典例引领◆ 【典例01】(2025陕西西安模拟预测)如图，点E为正方形ABCD内部一点，∠AEB=90°，AB=10,点 F为EB边上一点，且AE=BF,连接DF、AF,则△ADF面积的最小值为 D ! B 【典例02】(2025江苏连云港·模拟预测)如图，E是线段AB上一点，ADE和△BCE是位于直线AB同侧 的两个等边三角形，点P,F分别是CD,AB的中点.若AB=4,则下列结论正确的有.一·（填序号） ①PA+PB的最小值为3√5；②PE+PF的最小值为2√3；③△CDE周长的最小值为6；④四边形ABCD面 积的最小值为3√5 D B 《。方法透视 考向 1. 二次函数模型：几何图形面积与某变量成二次函数关系，利用顶点坐标求面积最大值或最小值。 解读 2. 定值与不等式：利用几何定值（如三角形面积一定）结合基本不等式或垂线段最短求最值。 3. 动点轨迹：动点运动过程中，面积随位置变化，先求轨迹再找临界位置求最值。 方法 1. 建立函数：设自变量表示相关线段，写出面积表达式，转化为二次函数求顶点最值。 技能 2. 优先考虑特殊位置：动点面积最值往往在端点或特殊点（中点、垂直点）处取得。 3. 割补转化：不规则图形面积通过割补转化为规则图形，再求最值简化计算。 ◆变式演练◆ 【变式01】(2025湖北武汉·模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点P为边CD上一动点， 连接AP交对角线BD于点E,过点E作EF⊥AP,EF交BC于点F,连接AF交BD于点G,在点P的运动 过程中，△AEG面积的最小值为 3/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 【变式02】(2025安微二模)如图，在Ra4BC中，∠C=90,an∠4BC=,点D是BC边上一点，连 接DA,已知DB=DA=3,点E是射线DA上的一个动点，点F是线段DB上一点，且LDFE=45°，连接 BE. D (1)DC= (2)△BEF的面积最大值为， ,题型03几何图形中将军饮马最值问题 ◆典例引领 【典例01】(2025吉林长春·二模)如图，MN是O0的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的 中点，点P是直径MN上一动点.连接AB、AP、BP,若MN=2√2，AB=√5-1，则△PAB的周长的最小 值是、 B N 【典例02】(2025·广西·模拟预测)如图，在RIAABC中，LABC=90°，AB=4,BC=8,F为AB的中点， E,P分别为BC,AC上一动点，则EF+EP的最小值为· 4/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E 》方法透视 锏 1. 两定点一线：两定点在直线同侧，在直线上找一点使距离和最小，作对称点转化为两点间线段。 解读 2. 两定点两线：两定点在两直线内侧，在两条直线上各找一点使折线和最小，作双对称转化。 3. 差最大问题：两定点在直线同侧，在直线上找一点使距离差最大，直接连线交直线即得。 方法 1.同侧化异侧：求线段和最小时，作定点关于直线的对称点，将同侧转化为异侧。 技能 2. 两点间线段最短：对称后连接两点，与直线交点即为所求点，线段长即为最小值。 3. 差最大直接连：求两线段差最大时，直接连接两定点延长交直线即得所求点。 ◆变式演练 【变式01】(2025四川雅安一模)如图：菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，点E,点F是对角线AC 上的两动点，EF=2,连接BF,DE,则BF+DE的最小值为 E 【变式02】(2026陕西西安.一模)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是CD的中点，P、Q分别是边 AD、BC上的动点，且PQ⊥BE交BE于点F,则BP+QE的最小值为· A O E Q ◆题型04几何图形中胡不利归最值问题《 ◆典例领 【典例01】(2025黑龙江佳木斯一模)如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=8,BC=2,P 5/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为边CD上的一动点，则PB+ pD最小值等于 2 D p A B 【典例02】(2025·河南商丘·二模)如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点E是AD边上的一个动点， 以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG,且CG:CE=1:2,连接DG,BE,BG,则BG+BE的最小值是 E 1 ◇方法透视 考向 1. 模型识别：主要考查形如“PA+k×PB”的最值问题(0<k<1),动点P在直线上运动，这是 解读 胡不归模型的典型特征。 2. 系数转化：核心在于通过构造辅助线（常作一个角使其正弦值等于），将带系数的线段×PB 转化为某条垂线段，实现“折”变“直”。 3. 历史溯源与综合：常以最短时间路径问题为背景引入，并结合特殊三角形、二次函数等知识进 行综合考查。 方法 1. 构造角转化：在动点P所在直线异侧，构造一个角a使得sia=k,过P作该角一边的垂线， 技能 则k×PB转化为垂线段长。 2. 化折为直：将原式转化为“PA+PC”的形式，再根据“垂线段最短”或“两点之间线段最短” 确定最小值位置。 3. 系数大于1处理：若k>1,则需先提取系数转化为啶形式(0<<1)再构造。 ◆变式演练◆ 【变式01】(2025辽宁抚顺一模)如图，在矩形ABCD中，AB=1,AD=4,BM=1,以点A为圆心 AB的长为半径的圆交AD于点E,点P在BE上运动，则PM+DP的最小值为· 4 6/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E D B M 【变式02】(2025辽宁铁岭二模)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=9,点F为边BC上一点，BF=3 ，以点A为圆心，4B长为半径的圆交4D于点么，点P在c上运动，则PF+号PD的最小值为 E D p B C ◆题型05几何图研形中阿氏圆最值问题、 ◆典例领 【典例01】(2025·河南周口一模)如图，在RtaA0B中，∠A0B=90°，AB=10,0B=8,点C在以O 为圆心，3为半径的圆上运动，连接AC、BC,则二AC+BC的最小值为 B 【典例02】(2024海南·三模)如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上， 且线段EF=4,点G为线段EF的中点，连接8G、co、0G,则0G:一：BG+CG的最小值为 B G 。方法透视 7/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 向 1. 模型识别：动点P在圆上运动，求形如“PA+×PB”的最小值(k≠1)，这是阿氏圆典型特 解读 征。 2. 子母相似构造：通过构造子母型相似，将k×PB转化为某条定线段PC,实现系数转化。 3. 两点间线段最短：转化后PA+PC最小值即为AC线段长，当A,P,C共线时取到。 方法 1.我点构造相似：在圆所在直线上找点C,使△PBC∽△4BP,对应边比例等于k。 技能 2. 半径搭桥：利用圆半径与已知边长的比例，确定相似比k,构造出C点位置。 3. 三点共线求最值：转化后PA+PC24AC,当P在AC连线上时取等号。 ◆变式演练· 【变式01】(2025江西吉安一模)如图，Rt△ABC与Rt DCE中，∠ACB=∠CDE=90°，AC=BC=4, CD=DE=2N2,△DCE可以绕点C自由转动，连接4D,DB,则BD+5AD的最小值为 2 B 【变式02】(2024广东校考二模)(1)初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2,AB=4,Q为AB上 一点且AQ=1,证明：PB=2PQ;(2)结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2， 点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；(3)拓展推广：如图3，己知菱形ABCD的边长为4， ∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC-PB的最大值. D 图1 图2 图3 ◆题型06几何图形中瓜豆原理最值问题、 ◆典例领 【典例01】(2025四川达州一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=5√3，点P在线段BC上运动（含 B,C两点)，连接AP,以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ,连接DQ,则线段DQ的最小值 8/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为 【典例02】(2025江苏宿迁·三模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E是对角线AC上的一动点， 连接BE,若以BE为边向右上侧作等边△BEG;点E从点A运动到点C的过程中，连接CG,则线段CG的 最小值是 E 。方法透视 考向 1. 主从动点：主动点P在直线或圆上运动，从动点Q随P按固定变换（旋转、缩放）运动，Q轨 解读 迹与P轨迹相同。 2. 轨迹判断：P在直线上运动，Q轨迹也是直线；P在圆上运动，Q轨迹也是圆，考查轨迹识别。 3. 最值转化：求与Q相关的最值问题，转化为求主动点P轨迹上的最值，简化计算。 方法 1. 找变换关系：分析P到Q的变换方式（旋转角、缩放比），确定2轨迹形状。 技能 2. 定轨迹位置：取P的两个特殊位置，确定Q的对应点，从而确定Q轨迹直线或圆心。 3. 转化为P最值：将Q的最值问题通过变换逆推回P的轨迹上，用已知模型求解。 ◆变式演练 【变式01】(2024四川泸州二模)如图，正方形ABCD的边长为5，以C为圆心，2为半径作⊙C,点P为 ⊙C上的动点，连接BP,并将BP绕点B逆时针旋转90°得到BP',连接CP',在点P运动的过程中，CP'长 度的最大值是」 D 9/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式02】如图，已知正方形ABCD的边长为2，另一边长为√2的正方形EFGH的中心与点A重合，连接 CE,设CE的中点为M,连接DM,当正方形EFGH绕点A旋转时，DM的最小值为，最大值为 题●型●训●练 一、单选题 1.(2025四川遂宁.一模)如图，点E在等边ABC的边BC上，BE=4,射线CD⊥BC,垂足为点C, 点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5.则EP+FP这个最 小值是() A.9 B.10 C.55 D.35 2.(2025四川绵阳一模)如图，矩形ABCD中，AB=4√5，BC=4,AC与BD相交于O,P为CD边上任 意一点，将线段OP绕点O顺时针旋转90°后得到线段0Q，则线段BQ的最小值为() 10/14 专题12 几何最值问题模型突破 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 几何图形中的单线段最值问题 题型02 几何图形中的面积最值问题 题型03 几何图形中将军饮马最值问题 题型04 几何图形中胡不归最值问题 题型05 几何图形中阿氏圆最值问题 题型06 几何图形中瓜豆原理最值问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 几何图形中的单线段最值问题 典例引领 【典例01】（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为______，最大值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，点与圆的位置关系；以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，利用，结合圆的性质可得出点P的轨迹是以为直径的圆，将的最值问题转化为点C到圆上点的距离最值问题，通过点C到圆心的距离与半径的关系即可求解． 【详解】解：如图，以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系， ∵ 根据圆的性质，点P的轨迹是以为直径的圆， ∵正方形的边长为2， ∴，则圆心为，半径为， ∴圆的方程为， ∵， ∴圆心到点C的距离为 ∵， ∴点C在圆外， ∴最小值为， 最大值为， 故答案为：，． 【典例02】（2025·河南新乡·三模）如图，四边形中，，且，连接．若，则四边形的面积为___________，的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了四点共圆的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，三角形三边关系，熟练掌握相关知识的是解题的关键． 由题先证明四点共圆，得到，在的延长线上取，连接，证明，得到，求出；连接，得到，即，得到的最小值为． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ， ， ，平分， ，四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四点共圆， 设的中点为， 为的直径， 如图，在的延长线上取，连接， ，， ， ， ，， ， ， ， ； 如图，连接， ，即， 的最小值为； 故答案为： ． 方法透视 考向解读 1. 垂线段最短：定点到定直线距离垂线段最短，用于求点到直线距离类最值。 2. 两点间线段最短：定点间线段最短，常通过对称转化求折线和的最小值（将军饮马）。 3. 圆中直径最长：圆中直径是最长弦，或利用圆外一点到圆上点距离的最值（定点与圆心连线）。 方法技能 1. 模型识别：根据图形特征识别所属最值模型（垂线段、将军饮马、圆上点）。 2. 对称转化：求折线最小值时作对称点，将折线转化为两点间直线段。 3. 勾股计算：构造直角三角形，用勾股定理求出最值对应的线段长度。 变式演练 【变式01】（2025·河南南阳·二模）如图，在中，，，是平分线上的任意一点，连接．把绕点逆时针旋转得到，连接，，则的最小值为_______，的最小值为_______． 【答案】 【分析】①由等腰直角三角形和勾股定理分析出，即当时，最小，延长，交于点，证出，再利用勾股定理解答即可； ②分析出点的位置，在结合勾股定理解答即可． 【详解】解：①由题意可得：为等腰直角三角形，则，， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小，延长，交于点，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， 又∵在中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； ②∵在中，， ∴当，，三点共线时，，此时最小，过作于点，延长，交于点，如图所示： 由①同理可得：，， ∴在中，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；． 【变式02】（2025·河南周口·三模）如图，在正方形中，是边上的一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段（在正方形内），连接，再将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．若，，则的长的最小值为______，的长的最小值为______． 【答案】 / 2 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由旋转的性质可得，，则，要使的值最小，即要使的值最小，故当，，三点共线时，的值最小；连接，可证明，得到，则线段的长的最小值即为线段的长的最小值，故当，，三点共线时，最短，即此时最短，据此求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∴要使的值最小，即要使的值最小， ∵， 如图1，当，，三点共线时，的值最小． ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴的长的最小值为， ∴的长的最小值为． 如图2，连接， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长的最小值即为线段的长的最小值． ∴当，，三点共线时，最短，即此时最短， 在中，， ∴的长的最小值为． 故答案为：；2． 题型02 几何图形中的面积最值问题 典例引领 【典例01】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点为正方形内部一点，，，点为边上一点，且，连接、，则面积的最小值为______． 【答案】 【分析】如图，连接，证明，可得，则点在以为直径的圆上，因为面积中底边是定值，其高最小时，面积最小，如图，当运动到处时达到最小，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 如图，取中点为圆心，以为直径作圆，过点作交圆于点，交于点， ∴弧为点的运动轨迹，当运动到处时达到最小为：， 此时， ∴面积的最小值为． 故答案为：． 【典例02】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有______．（填序号） ①的最小值为；②的最小值为；③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为．    【答案】②③④ 【分析】①延长交于M，过P作直线，由和是等边三角形，可得四边形是平行四边形，而P为中点，知P为中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，再根据勾股定理求出，即可判断①是否正确；②由，即可得：当共线时，最小，最小值为的长度，求出即可判断②是否正确；③过D作于K，过C作于T，由和是等边三角形，得，有，得到周长，即可判断③是否正确；④设，用m表示，再配方，即可知四边形面积的最小值，从而可判断④是否正确． 【详解】解：①如图，延长交于M，过P作直线，   和是等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形， 为中点， 为中点， 在线段上运动， 在直线l上运动， 由知等边三角形的高为， 到直线l的距离，P到直线的距离都为， 作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小， 此时最小值，故①错误； ②， ， 当共线时，最小，最小值为的长度， 为的中点， ， 为等边三角形的高， 的最小值为，故②正确； 过D作于K，过C作于T，如图，   和是等边三角形， ， ， ，即， ， 周长的最小值为6，故③正确； ④设，则， ，，，， ， 当时，四边形面积的最小值为，故④正确． 故答案为：②③④． 方法透视 考向解读 1. 二次函数模型：几何图形面积与某变量成二次函数关系，利用顶点坐标求面积最大值或最小值。 2. 定值与不等式：利用几何定值（如三角形面积一定）结合基本不等式或垂线段最短求最值。 3. 动点轨迹：动点运动过程中，面积随位置变化，先求轨迹再找临界位置求最值。 方法技能 1. 建立函数：设自变量表示相关线段，写出面积表达式，转化为二次函数求顶点最值。 2. 优先考虑特殊位置：动点面积最值往往在端点或特殊点（中点、垂直点）处取得。 3. 割补转化：不规则图形面积通过割补转化为规则图形，再求最值简化计算。 变式演练 【变式01】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在矩形中，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、求角的正切值、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】由勾股定理得，，由，可知四点共圆，则，如图，作的外接圆 ，过作于，过作于，连接，由，可求，由，可得，则，，设，则，，由勾股定理得，，由，可得，可求，则，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， 如图，作的外接圆 ，过作于，过作于，连接， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴在点P的运动过程中，面积的最小值为， 故答案为：． 【变式02】（2025·安徽·二模）如图，在中，，，点是边上一点，连接，已知，点是射线上的一个动点，点是线段上一点，且，连接． （1） ； （2）的面积最大值为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、y=ax²+bx+c的最值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，设，则，，然后由勾股定理得出，然后解方程即可； （）过点作于，则，证明，所以，即，设，则，得出，，故有，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（）由，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：，， 故， 故答案为：； （）过点作于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵，且对称轴为直线， ∴当时有最大值为， 故答案为：． 题型03 几何图形中将军饮马最值问题 典例引领 【典例01】（2025·吉林长春·二模）如图，是的直径，点是半圆上的三等分点，点是劣弧的中点，点是直径上一动点．连接，若，，则的周长的最小值是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的判定和性质等，作点关于的对称点，连接，交于点，连接、、、、，，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出即可求解， 正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，连接、、、、， 则， ∴，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点， ， ∵点是的中点， ， ， 是的直径，， ， 是等腰直角三角形， ， 的最小值， 周长的最小值， 故答案为：． 【典例02】（2025·广西·模拟预测）如图，在中，，，，F为的中点，E，P分别为，上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题．作点关于的对称点，过点作于点，由对称性质可知，的最小值即为的值，再根据解直角三角形求出故可求解． 【详解】解：如图， 作点关于的对称点，过点作于点，由对称性质可知， 的最小值即为的值， ，，， ∴， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 方法透视 考向解读 1. 两定点一线：两定点在直线同侧，在直线上找一点使距离和最小，作对称点转化为两点间线段。 2. 两定点两线：两定点在两直线内侧，在两条直线上各找一点使折线和最小，作双对称转化。 3. 差最大问题：两定点在直线同侧，在直线上找一点使距离差最大，直接连线交直线即得。 方法技能 1. 同侧化异侧：求线段和最小时，作定点关于直线的对称点，将同侧转化为异侧。 2. 两点间线段最短：对称后连接两点，与直线交点即为所求点，线段长即为最小值。 3. 差最大直接连：求两线段差最大时，直接连接两定点延长交直线即得所求点。 变式演练 【变式01】（2025·四川雅安·一模）如图：菱形的边长为4，，点E，点F是对角线上的两动点，，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接交于点O，作，使得，连接交于点F，可得四边形是平行四边形，因此，根据两点之间线段最短可知，此时最短，再结合已知可得是等边三角形，进而得，在中，根据勾股定理即可求出的值，因此即可求出答案． 【详解】解：连接交于点O，作，使得，连接交于点F， ， 四边形是平行四边形， ， ， 根据两点之间线段最短可知，此时最短， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，， 的最小值为， 故答案为：． 【变式02】（2026·陕西西安·一模）如图，在边长为的正方形中，是的中点，分别是边上的动点，且交于点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过作于点，将正方形沿翻折，得到正方形，连接，过点作交于点，由正方形性质可得，，，则有四边形是矩形，，，四边形是平行四边形，然后证明，，可得，由，要使有最小值，则有最小值，则当三点共线时，为线段的长，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，将正方形沿翻折，得到正方形，连接，过点作交于点， ∴， ∵四边形，四边形是正方形， ∴，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴要使有最小值，则有最小值，则当三点共线时，为线段的长，如图， ∵， ∴， ∴的最小值为． 题型04 几何图形中胡不归最值问题 典例引领 【典例01】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，平行四边形中，，，，为边上的一动点，则最小值等于__________. 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，锐角三角形函数的应用，垂线段最短等知识，根据题意添加合适的辅助线是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，由锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线，且时，有最小值，即最小值为． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴当点，点，点三点共线，且时，有最小值，即最小值为， ∵， ∴， 故答案为：． 【典例02】（2025·河南商丘·二模）如图，矩形中，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，，，则的最小值是_________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等角的余角相等，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，最短距离问题，勾股定理等．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 本题先根据矩形的性质得出，，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，作交于点N，交的延长线于点，作点关于直线的对称点，连接，与交于点，连接，可得，，根据矩形的判定与性质得出，，，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，即可求出，根据两点之间，线段最短得出当点B、G、三点共线时，的值最小，最小值为，结合勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， 作交于点N，交的延长线于点M，作点D关于直线的对称点，连接，与交于点H，连接，如图： 则，， ∵， 又∵，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， 故当点B、G、三点共线时，的值最小，最小值为． 在中，， 故答案为：． 方法透视 考向解读 1. 模型识别：主要考查形如“PA+k×PB”的最值问题（0 < k < 1），动点P在直线上运动，这是胡不归模型的典型特征。 2. 系数转化：核心在于通过构造辅助线（常作一个角使其正弦值等于k），将带系数的线段k×PB转化为某条垂线段，实现“折”变“直”。 3. 历史溯源与综合：常以最短时间路径问题为背景引入，并结合特殊三角形、二次函数等知识进行综合考查。 方法技能 1. 构造角转化：在动点P所在直线异侧，构造一个角使得sin = k，过P作该角一边的垂线，则k×PB转化为垂线段长。 2. 化折为直：将原式转化为“PA + PC”的形式，再根据“垂线段最短”或“两点之间线段最短”确定最小值位置。 3. 系数大于1处理：若k > 1，则需先提取系数转化为形式（0 < < 1）再构造。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，，以点A为圆心、的长为半径的圆交于点E，点P在上运动，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和 性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，最短线段问题等知识，将求的最小值转化为求线段的长是解题关键．在上截取，连接、、，过点K作于点H，则四边形是矩形．由勾股定理得，证明出，得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，在上截取，连接、、，过点K作于点H，则四边形是矩形． ，， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ． ． ，， ． 的最小值为． 故答案为：． 【变式02】（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在矩形中，，点F为边上一点，，以点A为圆心，长为半径的圆交于点E，点P在上运动，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，最短线段问题等知识，将求的最小值转化为求线段的长是解题关键． 在上截取，连接、、，过点K作于点H，则四边形是矩形．由勾股定理得，证明出，得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，在上截取，连接、、，过点K作于点H，则四边形是矩形． ，， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ． ． ，， ． 故的最小值为． 故答案为：． 题型05 几何图形中阿氏圆最值问题 典例引领 【典例01】（2025·河南周口·一模）如图，在中，，，，点在以O为圆心，3为半径的圆上运动，连接、，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查求最值问题，圆的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，在上取一点，使得，先证，将转化为，从而求得的最小值．解题关键是构造出由性质转换等量关系． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，    ∵，，， ∴ ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴最小值为的长度， ∴的最小值等于的长度， 在中，， ∴的最小值． 故答案为：． 【典例02】（2024·海南·三模）如图，正方形的边长为，点为边上一个动点，点在边上，且线段，点为线段的中点，连接、、，则_______；的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线定理、相似三角形的判定与性质、动点轨迹与线段和的最值，确定动点G的运动轨迹是解题关键． （1）借助正方形性质得为直角三角形，利用直角三角形斜边中线定理求出； （2）先确定点的轨迹为圆，再构造相似三角形将转化为，结合“两点之间线段最短”与勾股定理求得的最小值为． 【详解】（1）解：四边形为正方形，， ， 点为线段的中点， ， 故答案为：． （2）解：如图，根据题意可知，点的运动轨迹为以为圆心，长为半径的圆，在上取点，使，连接交于． ，，， ， ， ， ，即， ， 可知当运动到的位置，即、、位于同一条直线上时，取得最小值，最小值为， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 方法透视 考向解读 1. 模型识别：动点P在圆上运动，求形如“PA + k×PB”的最小值（k≠1），这是阿氏圆典型特征。 2. 子母相似构造：通过构造子母型相似，将k×PB转化为某条定线段PC，实现系数转化。 3. 两点间线段最短：转化后PA + PC最小值即为AC线段长，当A, P, C共线时取到。 方法技能 1. 找点构造相似：在圆所在直线上找点C，使△PBC ∽△ABP，对应边比例等于k。 2. 半径搭桥：利用圆半径与已知边长的比例，确定相似比k，构造出C点位置。 3. 三点共线求最值：转化后PA + PC≥AC，当P在AC连线上时取等号。 变式演练 【变式01】（2025·江西吉安·一模）如图，与中， ，，，可以绕点C自由转动，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理及两点之间线段最短的性质，取中点F，连接，证明，得出，则，根据勾股定理求出结论即可． 【详解】解：如下图： ， 点D在以C为圆心为半径的圆上运动， 取中点F，连接， ， ， ， ， ， 当共线时，最小， ， 的最小值为， 故答案为：． 【变式02】（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）10；（3） 【分析】（1）证明△PAQ∽△BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ； （2）在AB上取一点Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC−PB的最大值． 【详解】解：（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ⋅AB=4．∴． 又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ； （2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ． ∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)． ∵PC+PQ≥QC，∴当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小． ∵QC==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值为10． （3）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交⊙A于点P′，过点C作CH垂直AB的延长线于点H．易得AP=2，AB=4，AQ=1． 由（1）得PB=2PQ，∴2PC−PB=2PC−2PQ=2(PC−PQ) ， ∵PC−PQ≤QC，∴当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大． ∵QC= =，∴2PC−PB=2(PC−PQ)≤2．∴2PC−PB的最大值为2． 题型06 几何图形中瓜豆原理最值问题 典例引领 【典例01】（2025·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 . 【答案】// 【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论． 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形，∴，∵都是等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∵，，∴点Q在射线上运动， ∵，∴，∵，∴．据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为． 故答案为：． 【典例02】（2025·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是___________． 【答案】 【分析】以为边作等边，连接．证明，得到，从而，因此是定值，即点G在与成定角的直线上运动．过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长．当点E与点A重合时，过点G作于点M，过点F作于点N，求出，，的面积，得到，根据勾股定理求出，再由三角形的面积求出，即可解答． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接． ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴是定值，即点G在与成定角的直线上运动． 过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长． 如图，当点E与点A重合时， 过点G作于点M，过点F作于点N， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ，， ∴在中， ∵， 又， ∴， ∴， ∴点从点运动到点的过程中，线段的最小值是． 故答案为： 方法透视 考向解读 1. 主从动点：主动点P在直线或圆上运动，从动点Q随P按固定变换（旋转、缩放）运动，Q轨迹与P轨迹相同。 2. 轨迹判断：P在直线上运动，Q轨迹也是直线；P在圆上运动，Q轨迹也是圆，考查轨迹识别。 3. 最值转化：求与Q相关的最值问题，转化为求主动点P轨迹上的最值，简化计算。 方法技能 1. 找变换关系：分析P到Q的变换方式（旋转角、缩放比），确定Q轨迹形状。 2. 定轨迹位置：取P的两个特殊位置，确定Q的对应点，从而确定Q轨迹直线或圆心。 3. 转化为P最值：将Q的最值问题通过变换逆推回P的轨迹上，用已知模型求解。 变式演练 【变式01】（2024·四川泸州·二模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题．连接，证明，得到，点在以为圆心，2为半径的上，当在对角线延长线上时，最大，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值． 【详解】解：连接，∵正方形，∴，，       ∵将绕点逆时针旋转得到，∴，，∴， ∴，∴，∴点在以为圆心，2为半径的上， 如图，当在对角线延长线上时，最大， 在中，，∴， 即长度的最大值为，故答案为：． 【变式02】如图，已知正方形的边长为2，另一边长为的正方形的中心与点重合，连接，设的中点为，连接，当正方形绕点旋转时，的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了正方形的性质、三角形中位线、旋转变换、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．在的延长线上截取，连接，易知是的中位线，即，再由旋转的性质，可知在以点为圆心，半径为1的圆上，当点在线段与的交点处时，最小，即最小；当点在线段的延长线与的交点处时，最大，即最大，然后求解即可． 【详解】解：如图1，在的延长线上截取（即是的中点），连接， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， 由旋转的性质，可知在以点为圆心，半径为1的圆上， 如图2，当点在线段与的交点处时，最小，即最小， 此时，， ∴，即的最小值为； 如图3，当点在线段的延长线与的交点处时，最大，即最大， 此时， ∴，即的最大值为， 综上所述，的最小值为，最大值为． 故答案为：；． 题●型●训●练 一、单选题 1．（2025·四川遂宁·一模）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作E点关于的对称点，连接、 、，当、P、F三点共线，时，此时的值最小，由题意可得，则，根据勾股定理即可求出 的值，即的最小值． 【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P， 连接，则， ∴， 当、P、F三点共线，且时，的值最小， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴的最小值． 故选：C． 2．（2025·四川绵阳·一模）如图，矩形中，，，与相交于为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质. 取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点，设直线交于点，证明，推出，得到点在直线上运动，当在线段上即时，此时线段有最小值，据此即可求解. 【详解】解：如图，取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点， 设直线交于点， ∵点是中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵P为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当在线段上即时，此时线段有最小值， 同理可得四边形是矩形， ∴， 故选：D. 3．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果． 【详解】解：如图， 作射线，作于E，作于F，交y轴于， 抛物线的对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，当点P在时，最小，最大值等于， 在中，，， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取的中点，连接，先判断出点在上运动，当共线时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， 由旋转的性质知：， ∴点在上运动， ∴当共线时，有最小值， 由旋转的性质知：，， ∴,， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 5．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，点E是边上一点，且，点F是边上任一点，把沿翻折，点B的对应点为，连接、，则以下结论正确的是（   ） ①当与相似时，；②的最小值是；③点到距离的最小值是；④取的中点P，连接，则的最大值是． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、勾股定理、圆的基本性质，熟练掌握隐形圆上的点到定点和定直线的距离问题是解答的关键．利用相似三角形的性质可判断①；②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为，利用勾股定理求解即可判断②；过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度，利用三角形的面积公式求得，进而求得可判断③；取的中点，连接、，利用三角形的中位线求得，则点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴， ①当时，则，即， 解得； 当时，则，即， 解得， 综上，当与相似时，或，故①错误； ②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为，故②正确； ③过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度， 由得， ∴， ∴点到距离的最小值为，故③正确； ④取的中点，连接、， ∵点P是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为， 过O作于H，则，又， ∴， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴的最大值是，故④正确， 综上，结论正确的是②③④， 故选：B． 二、填空题 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，，可证是等边三角形，得到，当点四点共线且时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当点四点共线且时，取得最小值， ∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为： ． 7．（2025·江苏无锡·二模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 8．（2025·湖南岳阳·一模）如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时___________． 【答案】 【分析】过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接，当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值．，先求出和的值，再通过勾股定理求出，通过角度的代换，证得，通过即可求解． 【详解】解：如图，过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接， 点是点关于直线的对称点， 直线垂直平分， ，，， ， 当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值． ，， ． ，且，， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ， ， ， ，， 在中，， ， ． 当取最小值时，． 故答案为：． 9．（2025·贵州·模拟预测）如图，在中，，，将边长为1的正方形绕点B旋转一周，连结，点M为的中点，连结，则线段的最大值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理等知识，延长到，使，连接，根据三角形的三边关系确定的取值范围，再根据是的中位线得出，得出的取值范围即可，根据三角形三边关系得出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：延长到，使，连接，如图： ∴点为为的中点， 在中，， ， ∵正方形的边长为， ∴，， ∴， 为等腰直角三角形， ， ，即， ， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ， ， ∴线段的最大值是， 故答案为：． 10．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为__________，最大值为__________． 【答案】 / / 【分析】本题考查圆的定义、三角形的中位线性质、正方形的性质，解答的关键是构造三角形的中位线和得到点P的运动轨迹，属于中考填空题的常考压轴题． 延长至T，使得，连接，根据三角形的中位线性质得到，即只需求的最大值和最小值；根据圆的定义可得点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，，利用正方形的性质和勾股定理求得，进而求得的最小值和最大值即可求解． 【详解】解：延长至T，使得，连接， ∵的中点为E， ∴是的中位线， ∴，即只需求的最大值和最小值； ∵始终保证， ∴点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，， ∵，， ∴， ∴，， ∴的最小值为，的最大值为， ∴的最小值为，的最大值为， 故答案为：，． 三、解答题 11．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 12．问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)13 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）连接，得到当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长．求出的长即可； （2）连接，在上取点D，使，连接，，证明．得到．则．当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长，进一步求出的长即可； （3）延长到点E，使，连接，．证明．得到．．当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长．进一步求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，要使最小，即最小． 当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长． 在中，，，． 的最小值为． （2）如图，连接，在上取点D，使，连接，，． ， ． ． ． ． 当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长， 在中，． 的最小值为． （3）如图，延长到点E，使，连接，． ． ，， ． ， ． ． ． ． 当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长． 在中，． 的最值为13． 13．（1）如图①，在矩形中，，，以为圆心，为半径在矩形内画弧，已知点是该弧上的一动点，点是边上的动点，则的最小值为______． （2）随着社会发展，人们生活品质日益提升，年轻人对高品质生活的追求愈发强烈．“荒野求生”、“生存大挑战”等栏目在网络上火爆，野外探险成为当下很多人想寻求刺激、提升生活品质的热门选择，图②是一片探险区域，其中四边形是探险途中的必经区域，米，米，，，且，点是探险入口，边界上点是探险出口，其中，点方圆米的圆形区域是危险禁区，严禁探险者进入为了保证探险者的安全，在危险区域边界上设有一个可移动监测点，一旦探险者靠近并跨入危险区，便会触发警报，一支探险小队计划进入此区域探险，为确保队员统一行动、节省体力并高效前行，领队需提前确定两个集结点和点，其中点在探险区域内，且满足，，点在边界上，探险路线是，请帮助领队计算的最小值． 【答案】（1）8；（2）最小值为米． 【分析】（1）由矩形的性质得到．作点关于的对称点，连接，则，连接，则，即，根据勾股定理求得，即可解答． （2）连接，过点作，交于点，在上取点，使得米，根据两边对应成比例且夹角相等证得，从而由相似三角形的对应边成比例求得米，即点在以点为圆心，半径为 500 米的圆上运动．作点关于的对称点，连接，则，因此有．连接，交于点，延长，交的延长线于点，过点作于点．通过解直角三角形在中，求得（米），（米），在中，（米），（米），（米），在中，（米），因此在矩形中，米，米，进而求得米，（米），在中，根据勾股定理求得米，即可解答． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，，， 作点关于的对称点，连接， 则， 连接，，， 则， ， 在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：； （2）连接，过点作，交于点，在上取点，使得米， ， ，即， ，， ， ， ， 米， 点在以点为圆心，半径为米的圆上运动， 作点关于的对称点，连接，，则， ， ， 连接，交于点，延长，交的延长线于点，过点作于点， ，， ， 在中，米， 米， 点与关于对称， ， ，， 四边形，四边形，四边形都是矩形， 米， 在中，，又， ， ， 在中，米， 米， ， 米， ， ， ， 在中，米， 米， 在矩形中，米，米， 点与关于对称， 米， 米， 在中，米， ， 即的最小值为米． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $