第三章图形的平移与旋转单元检测（1）2025-2026学年北师大版数学大版八年级下册

第三章图形的平移与旋转单元检测（1）2025-2026学年北师大版数学大版八年级下册 一、单选题 1．未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了70°，小孩的位置也从A点运动到了B点，则的度数为（    ） A．45° B．50° C．55° D．70° 3．如图，将边长为5的正方形沿BC的方向平移至正方形，则图中阴影部分的面积是（    ） A．25 B．30 C．35 D．50 4．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，将边长为3的正方形沿其对角线平移，使A的对应点，满足，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 6．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（    ）    A．2 B． C．3 D．5 8．如图，在三角形ABC中，AB＝6cm，BC＝4cm，AC＝3cm将三角形ABC沿着与AB垂直的方向向上平移3cm，得到三角形FDE．则图中阴影部分的面积为（    ） A．12cm2 B．18cm2 C．24cm2 D．26cm2 9．如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（   ）    A．10 B．20 C．25 D．50 二、填空题 10．在平面直角坐标系中，把点向右平移5个单位得到点，则的值为______． 11．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，下列结论： ①；②；③；④． 其中一定正确的是_______．（请你认为正确结论的序号都填上） 12．如图，在和中，，将绕点顺时针旋转一定角度，当时，的度数是______． 13．如图，将沿所在直线向右平移得到，点C为延长线上一点，交于点E，平分，则_________． 14．如图，已知与关于点成中心对称，且，，，则的长为__________． 15．如图，在中，，，，在直线上，将绕点A按顺时针方向旋转到位置①，可得到点；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点；…，按此规律继续旋转，则______． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)平移，使点的对应点的坐标为． ①请在图中画出平移后的； ②将平移到的过程可描述为：先向左平移_______个单位长度，再_____； (2)请在图中画出关于原点中心对称的，此时与关于某一点中心对称，这一点的坐标为________． 17．如图，在直角中，，将沿AB方向平移至，cm，cm． (1)AC和DF的数量关系为______，位置关系为______； (2)______°； (3)求沿AB方向平移的距离； (4)若cm，求四边形AEFC的周长． 18．如图，在中，，将沿射线方向平移得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F． (1)若，求的度数． (2)若，在平移过程中，当时，求的长． 19．【原题再现】在学习“图形的平移和旋转”时，教材上有这样一道题，如图1，点D在等边三角形的边上，将绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C．小明是这样做的：过点C画的平行线l，在l上截取，连接，则即为旋转后的图形． （1）请你根据小明的思路，①求证：；②求的度数； 【方法应用】 （2）如图2，点D为等边三角形的边下方一点，连接，，，若，，求面积的最小值． 20．在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长． 经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系，即可求得的长为______； 【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地ABC，其中，，小李家位于空地旁的P点，通过测量，，，请直接写出线段的长． 21．综合与探究 问题情境 在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板和重合放置，其中．将绕点顺时针旋转，旋转角为．如图2，当的直角顶点刚好落在边上时，的延长线交于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 数学思考 （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究 （2）老师将继续绕点顺时针旋转到图3位置，作射线交于点．此时“善思小组”的同学认为点是的中点．请判断“善思小组”的观点是否正确，并说明理由． （3）在绕点顺时针旋转的过程中，连接，是否存在某一时刻，使得是一个以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出此时的长；若不存在，请说明理由． 22．【问题】如图甲，在等边内有一点P，且， ，，求的度数和等边的边长． 【探究】解题思路是：将绕点B逆时针旋转，如图乙所示，连接．是 三角形，是 三角形， ； 【拓展】如图丙，在正方形内有一点P，且， ，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第三章图形的平移与旋转单元检测（1）2025-2026学年北师大版数学大版八年级下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D C A B A D A B C 1．D 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合,这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A，不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； B，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； D，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2．C 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答． 【详解】解：∵秋千旋转了70°，小孩的位置也从A点运动到了B点， ∴， ∴ 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了图形的平移，平移前后图形的大小，形状完成相同，利用平移的性质求解即可． 【详解】解：由平移的性质可知，把左边正方形的阴影部分向右平移5个单位长度，与右边阴影部凑成一个完整的正方形， 所以阴影部分的面积． 故选：A 4．B 【分析】过点作，由题意可得：，，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可． 【详解】解：过点作，如下图：    则 由题意可得：，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B 【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质． 5．A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，平移的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．由正方形边长为3，可求，则，由平移可得重叠部分是正方形，设重叠部分正方形的边长为，利用勾股定理求出，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积． 【详解】解：∵正方形的边长为3， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可得重叠部分是正方形， 设重叠部分正方形的边长为，则， 解得：（负值舍去）， ∴重叠部分的正方形的边长为， ∴重叠部分的面积是． 故选：A． 6．D 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 7．A 【分析】利用平移的性质得到，即可得到的长． 【详解】解：∵沿方向平移至处． ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 8．B 【分析】先依据平移的性质得出四边形ABDF是平行四边形，又∠ABD＝90°，可证四边形ABDF是矩形；依据平移的性质得出S△ABC＝S△FDE，那么阴影部分的面积＝矩形ABDF的面积＝6×3＝18cm2． 【详解】解：由平移可得，DF＝AB，DF∥AB， ∴四边形ABDF是平行四边形， 又由平移的方向可得，∠ABD＝90°， ∴四边形ABDF是矩形； 由平移可得，△ABC≌△FDE，BD＝3cm， ∴S△ABC＝S△FDE， ∴阴影部分的面积＝矩形ABDF的面积＝AB•BD＝6×3＝18cm2． 故选：B． 【点睛】本题考查了阴影部分面积的问题，掌握平移的性质、全等性质是解题的关键． 9．C 【分析】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质．掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得出，，， 过点作于点D，如图，    ∴， ∴， ∴． 故选C． 10．3 【分析】本题主要考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的坐标规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，熟知点的坐标平移规律是解题的关键． 根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可得出答案． 【详解】解：∵把点向右平移5个单位得到点， ∴，即： ∴． 故答案为：． 11．④ 【分析】本题主要考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，根据图形性质以及角的运算，线段的运算，平行线的判定，得出①②③是错误的即可． 【详解】解：设与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴在中，， ∴，故④正确； ∵，不一定等于 ∴不一定成立，故①不正确； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴，故③不正确； ∵， ∴， 即， ∴，则②不成立；故②不正确； 综上分析可知：正确的结论有④． 故答案为：④． 12．或 【分析】本题主要考查了旋转变换、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，结合等腰三角形的性质和平行线的性质分别求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论， 当点在点的左侧时，如图①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，如图②， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当时，的度数为或． 13．/80度 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平移的性质，平行线的性质及角平分线的定义．根据平移的性质，得，，由平分，得，再根据角平分线的定义“角平分线分得的两个角相等”，即可得出答案． 【详解】解：是沿射线平移所得， ，， 平分， ， ∵ ∴ 故答案为：． 14． 【分析】本题考查中心对称，勾股定理等知识，利用中心对称的性质得，，，，利用直角三角形30度角的性质求出，，进而可得，再由勾股定理可得结论． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，，，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 15．4050 【分析】本题考查了图形类规律探索，旋转的性质及勾股定理，根据题意，发现将绕点A顺时针旋转，每旋转一次，的长度依次增加，2，，且三次一循环，按此规律即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 由题意知，， ， ， …… 以此类推，每旋转一次，的长度依次增加，2，，且三次一循环， ， ， 故答案为：4050． 16．(1)①见解析；②；向下平移个单位长度 (2)见解析， 【分析】本题主要考查中心变换和平移变换，熟练掌握中心变换和平移变换的定义是解题的关键． （1）①根据平移的性质得出坐标，进而画出图形即可； ②根据平移的性质即可求解； （2）根据中心对称的性质，连接，，的交点就是对称中心． 【详解】（1）解：（1）①如图，即为所求； ②由图形得，将平移到的过程可描述为：先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度． 故答案为：；向下平移个单位长度． （2）解：如图，即为所求： 连接，，的交点为． 故答案为：． 17．(1)AC＝DF，ACDF； (2)90； (3)3cm； (4)18cm 【分析】（1）根据平移的性质得出AC＝DF，ACDF即可； （2）根据平移的性质和平行线的性质解答即可； （3）根据平移的性质可得AD＝BE，然后根据AE＝8cm，DB＝2cm求出AD＝BE的值即可； （4）根据勾股定理求出BC，可得EF的长，然后根据平移的性质得到CF＝AD＝3cm，再根据四边形周长的计算方法解答即可． 【详解】（1）解：∵△ABC沿AB方向平移至△DEF， ∴AC＝DF，ACDF， 故答案为：AC＝DF，ACDF； （2）由平移的性质得出ACDF， ∴∠ACB＝∠DGB＝90°， ∴∠BGF＝180°−90°＝90°， 故答案为：90； （3）由平移得AD＝BE， ∵AE＝8cm，DB＝2cm， ∴AD＝BE＝＝3cm， ∴平移的距离为3cm； （4）∵在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，AB＝AD＋DB＝3＋2＝5cm， ∴BC＝cm， ∴EF＝BC＝3cm， 又∵CF＝AD＝3cm， ∴四边形AEFC的周长＝AC＋AE＋EF＋CF＝4＋8＋3＋3＝18cm， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了勾股定理，平行线的性质和平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 18．(1) (2)或 【分析】本题考查平移的基本性质，平行四边形的性质和判定等相关知识点，掌握平移的性质是解决问题的关键． （1）根据平移的性质得到，，得到四边形是平行四边形，进而求解即可； （2）根据平移的性质得到，设，则，，分点E在点C左侧和点E在点C右侧两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）∵沿射线方向平移，得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）∵沿射线方向平移，得到， ∴， 设，则． ∵． ∴． ∵，当点E在点C左侧时， ∴， 解得，即的长为6． 当点E在点C右侧时，同理可得，， 解得， 综上所述，或12． 19．（1）①见解析；②；（2） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质： （1）①由等边三角形的性质得到，，由平行线的性质得到，据此即可证明；②由全等三角形的性质得到，据此根据角之间的关系求解即可； （2）延长到点，使，可证明，进一步证明是等边三角形，要使的面积最小，即等边三角形的边长最短时面积最小，即当为等边的高线时才会最短，从而可得出结论； 【详解】解：（1）①三角形是等边三角形， ，， ， ， ， ， ②由①得：， ， ； （2）如图，延长到点，使．   是等边三角形， ，． ， ， ． ， ， ∴， ， ∵ ， 是等边三角形． 要使的面积最小，即等边三角形的边长最短时面积最小， 即当为等边的高线时才会最短， 由题意可知等边的高线最短为， ∴ 的面积最小值是． 20．5；【理解应用】，理由见解析；【类比迁移】． 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． 根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； 理解应用：通过旋转易得等腰直角三角形和直角三角形，继而得解； 类比迁移：通过旋转易得等腰直角三角形和直角三角形，继而得解． 【详解】解：由旋转可知：， 是等边三角形， ， ， 是直角三角形， ， 故答案为：5； 理解应用：解：，理由如下： 如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知：， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ∴在中，，即， ； 类比迁移：解：如图，将绕点B顺时针旋转，得到，连接， 由旋转可知：， 是等腰直角三角形， ，， ∴点在线段上， ， 是直角三角形， ， 的长为． 21．（1），见解析；（2）正确，见解析（3）或 【分析】（1）解法1连接，证明即可； 解法2 根据勾股定理，得，得到，利用三角函数求得的长度，比较解答即可． （2）过点E作，交的延长线于点G，则，根据旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，三角形全等的判定和性质，证明即可． （3）当，根据旋转的性质，得，取的中点N，连接，交于点P，利用等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，三角函数的应用解答即可；当，根据旋转的性质，得，取的中点M，连接，交于点Q，则，根据矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】（1）解：解法1：连接， ∵ ∴， ∴． 解法2：根据题意，得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点E作，交的延长线于点G， 则， ∵继续绕点顺时针旋转到如图位置，作射线交于点． ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点． （3）解：当， 根据旋转的性质，得， 取的中点N，连接，交于点P， 则， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得； 当， 根据旋转的性质，得， 取的中点M，连接，交于点Q， 则， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理的应用，三角函数的应用，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 22．[探究]等边，直角，150度；[拓展]135度 【分析】[探究]根据旋转的性质得出，，，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，根据勾股定理的逆定理可求出，即可求解； [拓展]类比[探究]， 将绕点B逆时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可知：， ，，根据勾股定理的逆定理可求出，根据等边对等角求出，即可求解． 【详解】解：[探究]将绕点B逆时针旋转，如图乙所示，连接， 则，，， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， 故答案为：等边，直角，150°； [拓展]将绕点B逆时针旋转，得到，连接， 由旋转的性质可知：， ，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $