专题3.1 不等式及其基本性质（3大考点+5大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版七年级下册

专题3.1 不等式及其基本性质 教学目标 1. 理解不等式、不等式的解、解集等概念，会用不等号表示简单数量关系，能在数轴上表示不等式的解集。 2. 掌握不等式的三条基本性质，能区分与等式性质的异同，正确运用性质对不等式进行变形。 3. 能根据实际问题列出简单不等式，体会建模思想，培养符号意识与逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）理解不等式的基本性质，能准确运用性质进行不等式的变形，为后续解不等式奠定基础。 （2）掌握不等式解集的意义，会正确在数轴上表示解集，建立数与形的联系。 2.难点 （1）理解不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号方向必须改变，避免与等式性质混淆。 （2）准确区分“不等式的解”与“解集”，能结合题意确定范围，并规范在数轴上表示空心、实心点。 知识点01 不等式的概念 不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 【即学即练1】1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的定义，熟记不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义，用不等号（如 ）连接的式子是不等式，逐一判断每个式子即可． 【详解】解：①，使用 ，是不等式； ②，使用 ，是不等式； ③，使用，是等式，不是不等式； ④，使用，是不等式； ⑤没有不等号，不是不等式； ⑥，使用，是不等式． ∴ 不等式有①②④⑥，共个． 故选：C． 2．某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义． 由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧车道标牌上速度，即可得出车速的范围． 【详解】解：王师傅驾驶的车辆是货车， 王师傅应走右侧两车道， 车速的范围是． 故选：C． 3．“大于的倍”用不等式表示为：__________． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式．根据“a大于b的2倍”进行列出不等式，即可作答． 【详解】解：依题意，“大于的倍”用不等式表示为：， 故答案为：． 知识点02 不等式的基本性质 不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 【即学即练2】4．若，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，原变形错误，不符合题意； B、∵，∴，原变形错误，不符合题意； C、∵，∴，正确，符合题意； D、∵，∴，原变形错误，不符合题意． 故选：C． 5．若，则下列式子中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，逐一判断各选项的正误，找出错误选项即可． 【详解】解：A选项：根据不等式性质1，两边同时减2，得，故本选项正确； B选项：根据不等式性质1，两边同时加2，得，故本选项正确； C选项：根据不等式性质3，两边同时乘，不等号方向改变，得，故本选项错误． D选项：根据不等式性质2，两边同时除以2，不等号方向不变，得，故本选项正确． 综上，错误的是C选项． 6．用“>”或“<”填空： (1)由，可得__________． (2)由，可得__________． 【答案】(1)> (2)< 【分析】（1）根据不等式的性质：不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； （2）根据不等式的性质：先对不等式两边同时乘以，不等号方向改变，再在两边同时加上同一个数，不等号方向不变． 【详解】（1）解：已知，两边同时乘以（负数），不等号方向改变， ∴． （2）解：已知， 两边同时乘以，不等号方向改变，得； 两边同时加上，不等号方向不变，得． 故答案为：（1）（2）． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是牢记“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”这一核心规则，并能正确应用． 知识点02 不等式的解与解集 不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 【即学即练2】7．已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的运算法则是解本题的关键． 将代入各个不等式，即可得到答案． 【详解】解：对于选项A：，不成立； 对于选项B：，不成立； 对于选项C：，不成立； 对于选项D：，成立． 故选：D． 8．关于不等式的解和解集，下列说法正确的是（　　） A．是的解 B．是的解集 C．是的解集 D．是的解集 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解集，解一元一次不等式和不等式的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据不等式的解集，解一元一次不等式和不等式的性质的知识，逐项判断，进行作答，即可求解； 【详解】解：A、是的解集，所以不是此不等式的解，选项A错误； B、是的解集，选项B错误； C、是的解集， 选项C错误； D、是的解集，选项D正确，符合题意； 故选：D； 9．在数轴上所表示的关于的不等式的解集如图所示，则该解集为_________． 【答案】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，数轴的某一段上面，实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，向右，向左． 【详解】解：由图可知，该解集为：． 故答案为： 题型01 不等式的定义 【典例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的定义，含有不等号的表达式是不等式．选项A含有“”，因此是不等式；其他选项不符合定义． 本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的概念是解题的关键． 【详解】解：A、表达式中含有，是不等式，符合题意； B、是代数表达式，无不等号，不符合题意； C、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意； D、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意； 故选：A． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查的是不等式的定义，即用不等号（，，，，）表示不等关系的式子叫做不等式，理解不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：∵不等式需含有不等号， ∴①；②；④；⑥，是用不等号连接的式子，故是不等式． 而③是等式；⑤；⑦，是代数式，这三个都不是不等式． ∴共有个不等式. 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列各式：①；②；③；④；⑤．其中属于不等式的有______个． 【答案】3 【分析】依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．本题考查了不等式的定义，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意，③；④；⑤都是不等式， ∴不等式的有3个， 故答案为：3． 【变式3】（23-24八年级下·陕西西安·期中）对于下列结论：①为正数，则；②为自然数，则；③不大于5，则；正确的有_____．（填所有正确的序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查了不等式的定义，根据正数大于0，自然数是非负整数，不大于即小于或等于，逐项判断即可得解． 【详解】解：①为正数，则，故①说法正确，符合题意； ②为自然数，则，故②说法错误，不符合题意； ③不大于5，则，故③说法正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③， 故答案为：①③． 题型02 列不等式 【典例2】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）为了保证学生能正常学习，学校的噪音一般不得超过50分贝．设学校的噪音为（分贝），则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式，根据“不得超过”的含义，噪音x应不超过50分贝，即． 【详解】解：∵ 噪音不得超过50分贝， ∴ ， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 【答案】C 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据已知信息找出不等关系是解题的关键； 根据各选项的表述列出不等式，与选项中所表示的进行比较． 【详解】解：A、 a不是负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意； B、x不大于3表示， 但选项为， 错误，不符合题意； C、x与4的和是负数表示， 与选项一致， 正确，符合题意； D、x与3的差是非负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·广西梧州·期中）用适当的式子表示与的和是负数：______． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式，根据题意，“和是负数”表示和小于零，列出不等式即可． 【详解】a与b的和是负数，即它们的和小于零， 所以表示为． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数：________________． (2)a与b的积小于7：________________． (3)a，b两数的平方和大于10：_____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列不等式，关键是根据题意正确找出不等关系． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 【详解】（1）解：的4倍与3的差是正数，即差大于0，因此不等式为． 故答案为：． （2）解：与的积小于7，即乘积小于7，因此不等式为． 故答案为：． （3）解：与的平方和大于10，即平方和大于10，因此不等式为． 故答案为：． 题型03 不等式的基本性质 【典例3】（25-26八年级下·浙江金华·开学考试）若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式两边加、减、乘（或除以）同一个数（或式子）时不等号方向的变化规律，进而判断出各式是否成立． 【详解】解：， 不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，可得，故不成立； ， 不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，可得，故不成立； ， 不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，故不成立； ， 不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，故一定成立． 故选：． 【变式1】（25-26七年级下·重庆·开学考试）下列式子的变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A、，两边同时加得，变形正确． B、等式中，分母不为，两边同乘得，变形正确． C、∵， ∴， ∵， ∴，变形正确． D、当时，，此时 ∴不能推出，变形错误． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，用“”或“”填空： （1）__________； （2）__________； （3）__________． 【答案】 【分析】依据不等式的基本性质，对每个小题逐一分析判断即可． 【详解】解：（1）根据不等式的基本性质2，不等式两边同时乘同一个正数，不等号的方向不变， 因为，所以． （2）根据不等式的基本性质2，不等式两边同时乘同一个正数2，不等号的方向不变， 因为，所以，即． （3）根据不等式的基本性质2，不等式两边同时乘同一个正数，不等号的方向不变， 因为，所以． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则________．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟悉不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，是解题的关键．将原不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，直接得到比较结果． 【详解】解：由，两边同时乘，得， 故答案为：． 题型04 不等式的解与解集 【典例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）由，得，则的值可能是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，不等式两边同时乘以后，不等号方向由“” 变为“”，说明是负数，因此只需判断选项中哪个数是负数即可． 【详解】解：已知，两边同乘后得到，不等号方向改变，说明． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是掌握“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”这一性质，从而判断出的符号． 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）已知，则x的值不可能是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值得到，再根据各选项的值即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 各个选项中只有不在这个范围内， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，由方程解出关于的表达式，再根据的取值范围，结合不等式的性质确定的取值范围即可． 【详解】解：由，得． 因为，所以，因此，即． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，若将“”变形为“”，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握“在不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变”是解答本题的关键． 根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵将“”变形为“”，需要在不等号两边同时乘以， ∵不等号由“”变成“”， ∴， 故答案为：． 题型05 利用不等式的基本性质解不等式 【典例5】（22-23七年级下·安徽合肥·期末）下列说法正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果那么 【答案】D 【分析】不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，由此即可判定． 【详解】解：A．如果，那么，故A不符合题意； B．如果，那么，故B不符合题意； C．如果，那么，故C不符合题意； D．如果，那么，正确，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）运用不等式的性质，将下列不等式化为或的形式． （1）由，得______； （2）由，得______． 【答案】 【分析】主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质，即可求解； （1）根据不等式的性质1，即可求解； （2）根据不等式的性质2，即可求解． 【详解】解：（1）由，得， 故答案为：． （2）由，得， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·广东河源·月考）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”或“”或“”的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质两边都加上即可求解； （2）把不等式化为：，再进一步利用不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）将下列不等式化成“”或“”的形式，并说明是如何变形得到的． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 (4)，见解析 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）利用不等式的性质进行求解即可； （2）利用不等式的性质进行求解即可； （1）利用不等式的性质进行求解即可； （2）利用不等式的性质进行求解即可． 【详解】（1）解： ， 则不等式的两边同时加上，不等号方向不变，得到， （2）解： ， 则不等式的两边同时加上2，不等号方向不变，得到，不等式的两边同时乘，不等号方向改变，得到； （3）解： ， 不等式的两边同时乘，不等号方向改变，得到； （4）解： ， 则不等式的两边同时减去，不等号方向不变，得到，不等式的两边同时乘2，不等号方向不变，得到． 一、单选题 1．（22-23八年级下·贵州毕节·期末）2023年5月6日是我国二十四节气中的立夏．据天气预报报道，赫章当天最高气温，最低气温，则当天赫章的气温的变化范围是（    ） A． B． C．，且 D． 【答案】D 【分析】本题考查列不等式．当天气温的最高温度为，最低温度为，因此气温的变化范围应介于这两个温度之间，包括端点．据此即可列出不等式． 【详解】解：根据题意，得当天赫章的气温的变化范围是． 故选：D 2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）若，且，则a的值可能是（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质，当两边同时乘以一个负数时，不等式方向改变，即可求解． 【详解】解：∵，且，∴． 选项 A、C、D均非负数，只有选项 B（）为负数， 故选 B． 3．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式的两边同时加上（减去）同一个数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个正数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个负数，不等式的方向改变． 【详解】解：∵， ∴，，，； 故只有选项C变形正确，符合题意． 4．（25-26八年级下·全国·周测）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式，检查每个式子即可． 【详解】解：∵① 使用“”，是不等式； ② 使用“”，是不等式； ③ 使用“”，是等式，不是不等式； ④ 没有不等号，不是不等式； ⑤ 使用“”，是不等式； ∴不等式有①②⑤共个； 故选：C． 5．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的大小估算，不等式的性质，熟记常用的完全平方数是关键． 先估算出的取值范围，再利用不等式的性质求出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 不等式两边同时减2，得， ∴． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题列出不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． “a与1的差”表示为，“小于”用<表示，“b的2025倍”表示为． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则6a________6b，_______，_______（c≠0）．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 ＞ ＞ ＞ 【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质，当不等式两边同时乘以或除以同一个正数时，不等号的方向不变． 【详解】解：，且， ； ，且， ； ， ， 又 故答案为：>；>；>． 8．（25-26七年级上·安徽·假期作业）已知，请用“”或“”填空： （1）________； （2）________； （3） ________； （4）________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）运用不等式的性质1进行作答即可； （2）运用不等式的性质2进行作答即可； （3）运用不等式的性质3进行作答即可； （4）运用不等式的性质3进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 故答案为：；；； 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空： （1）ac________ab． （2）ab________cb． （3）________． （4）________． 【答案】 ＜ ＞ ＜ ＜ 【分析】（1）（2）根据各点在数轴上的位置得出的符号以及大小关系，根据不等式的性质，进而可得出结论； （3）（4）根据各点在数轴上的位置得出的符号以及大小关系，根据不等式的性质，进而可得出结论． 【详解】解：（1）由图可知，，．根据不等式的性质3，得； 故答案为：． （2）由图可知，，．根据不等式的性质3，得； 故答案为：． （3）由图可知，．根据不等式的性质1，得． ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （4）由图可知，．根据不等式的性质1，得． 故答案为：． 10．（25-26八年级下·全国·周测）假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据题干信息找出不等关系是解题的关键； 根据交通标志上的限速信息确定车速的取值范围即可． 【详解】解：由题可知，车在中间车道， 根据图片中的车速范围可知： 故答案为： ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，请比较下列各组数的大小，并说明理由． (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是关键． （1）根据不等式的基本性质，将不等式两边同除以3，再同减去2即可； （2）根据不等式的基本性质，将不等式两边同乘以，得到，再两边加上3即可． 【详解】（1）解：； 理由：， ， ； （2）解：． 理由：， ， ． 12．（25-26七年级下·全国·周测）将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式的变形，掌握移项、合并同类项的步骤，以及系数化为时，若系数为负数，不等号方向要改变是解题的关键． （1）通过移项合并同类项，将不等式化为形式，再系数化为； （2）先移项合并同类项，再系数化为； （3）移项合并同类项后，系数化为． 【详解】（1）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （2）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （3）解：两边同时减去，得， 两边同时减去，得， 两边同时除以，得． 13．（2026八年级下·全国·专题练习）下面的推导过程中竟然推出了的错误结果，请你指出问题究竟出在哪里． 已知：． 两边都乘2，得． 两边都减去，得，即． 两边都除以，得． 【答案】见解析 【分析】注意不等式两边同时乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变． 【详解】解：∵， ∴，即是负数． 在不等式两边同时除以时， 因为除以的是一个负数，根据不等式的性质，不等号的方向应该改变，即，而不是． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）长方形的面积为，正方形的面积为，根据“长方形的面积小于正方形的面积”即可列出不等式； （2）客车到站乘客上下车后，车上有乘客人，“车内仍有空余座位”意味着车上乘客数少于40人，即可列出不等式． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变 (2)见解析 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟记不等式的性质是解本题的关键． （1）由题意，不等式两边乘以负数，不等号方向要发生改变，由此可进行判断； （2）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第一步开始出现错误；错误的原因是：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：一，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． （2）解：∵， ∴． ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.1 不等式及其基本性质 内容概览 教学目标，教学重难点 知识点】不等式的概念 知识点2不等式的基本性质 知识清单 知识点3不等式的解与解集 不等式及其基本 题型1不等式的定义 性质 题型2列不等式 题型了不等式的基本性质 题型精讲 题型4不等式的解与解集 题型5利用不等式的基本性质解不等式 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解不等式、不等式的解、解集等概念，会用不等号表示简单数量关系，能在数轴 上表示不等式的解集。 2.掌握不等式的三条基本性质，能区分与等式性质的异同，正确运用性质对不等式进 教学目标 行变形。 3.能根据实际问题列出简单不等式，体会建模思想，培养符号意识与逻辑推理能力。 1.重点 (1)理解不等式的基本性质，能准确运用性质进行不等式的变形，为后续解不等式奠 定基础。 (2)掌握不等式解集的意义，会正确在数轴上表示解集，建立数与形的联系。 教学重难点 2.难点 (1)理解不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号方向必须改变，避免与等式 性质混淆。 (2)准确区分“不等式的解”与“解集”，能结合题意确定范围，并规范在数轴上表 示空心、实心点。 1/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识清单 知识点01不等式的概念 不等式的定义 (1)不等式的概念：用“>”或“<”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的 式子也是不等式 (2)凡是用不等号连接的式子都叫做不等式.常用的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”.另外， 不等式中可含未知数，也可不含未知数 【即学即练1】1.下列式子：①1>0；②2x+7y<0;③x=8;④x≠y;⑤x+y;⑥x+3≤7.其中是 不等式的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示.每个标牌上左侧数字代表该 车道车型的最高通行车速（单位：km/h),右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：km/h).王 师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为vkm/h,则车速v的范围是() 小客车道 客货车道 客货车道 20 90 100 80 100 60 A.90≤v≤100 B.80≤v≤100 C.60≤v≤100 D.60≤v≤80 3.“a大于b的2倍”用不等式表示为： 知识点02不等式的基本性质 不等式的性质 (1)不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a>b,那么a±m>b土m; ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a>b,且m>0,那么am>bm或a>b mm ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a>b,且m<0,那么am<bm或a<b mm (2)不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号； ②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变， 【规律方法】 2/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以)同一个负数时，一定要改变不等号 的方向：当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论， 2.不等式的传递性：若a>b,b>c,则a>c. 【即学即练2】4.若a<b,则下列式子中正确的是() A.a-2>b-2B.3a>3b C.-2a>-2b D. a、b 7>7 5.若x<y,则下列式子中错误的是() A.x-2<y-2B.x+2<y+2 C.-2x<-2y D. 22 6.用>”或“<”填空： (1)由a<b,可得-2a -2b. (2)由a>b,可得-2-a -2-b. 知识点02不等式的解与解集 不等式的解集 (1)不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. (2)不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集 (3)解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式， (4)不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示.不等式 的每一个解都在它的解集的范围内. 【即学即练2】7.已知x=2.5是某不等式的一个解，这个不等式可以是() A.x>3 B.x<1 C.x<2 D.x>2 8.关于不等式的解和解集，下列说法正确的是() A.x=-3是x+3<-2的解 B.x>4是x+3>6的解集 1 C.x=。是6x≥3的解集 2 D.x<-5是-3x>15的解集 9.在数轴上所表示的关于x的不等式的解集如图所示，则该解集为 -1012345 题型精讲 3/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型01不等式的定义 【典例1】(25-26八年级下·全国·课后作业)下列各式中，是不等式的是() A.3x>0 B.4x2-2x+5 C.-1+1=0 D.5x-2=1 【变式1】(25-26八年级下·全国周测)下列式子：①-2≤0；②3x+2y>0;③b=2;④；⑤x+2y: ⑥x+5≤6；⑦2m-3.其中是不等式的有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【变式2】(24-25七年级下全国课后作业)有下列各式：①a+3:②2，③3x<5,④y≤0，⑥m￥1.其 中属于不等式的有个. 【变式3】(23-24八年级下·陕西西安期中)对于下列结论：①x为正数，则x>0;②x为自然数，则x>1 ;③x不大于5，则x≤5；正确的有·（填所有正确的序号） 题型02列不等式 【典例2】(25-26八年级上浙江嘉兴期末)为了保证学生能正常学习，学校的噪音一般不得超过50分贝.设 学校的噪音为x(分贝)，则x应满足() A.x>50 B.x≥50 C.x<50 D.x≤50 【变式1】(25-26八年级下·全国·课后作业)下列按要求列出的不等式中，正确的是() A.a不是负数，即a>0 B.x不大于3，即x<3 C.x与4的和是负数，即x+4<0 D.x与3的差是非负数，即x-3>0 【变式2】(24-25七年级下·广西梧州·期中)用适当的式子表示a与b的和是负数： 【变式3】(25-26七年级下·全国课后作业)用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数： 2)a与b的积小于7： (3)a,b两数的平方和大于10： 题型03不等式的基本性质 【典例3】(25-26八年级下浙江金华.开学考试)若a<b,则下列各式中一定成立的是() A.a+3>b+3B.a-2>b-2 C.-a<-b D.2a<2b 【变式1】(25-26七年级下.重庆·开学考试)下列式子的变形错误的是() A.若a=b，,则2a+b=2b+a B.若g=,则a=b mm C.若m>n,则m>n D.若x<y,则a2x<a2y x2+1x2+1 【变式2】(25-26八年级下.全国课后作业)已知a>b,用“<”或“>”填空： (1)0.4a 0.4b: (2)2b 2a; 4/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3号 6 【变式3】2425七年级下全国课后作业)若<八，则3m -n.(填“>“<”或=”) 26 题型04不等式的解与解集 【典例4】(25-26八年级下·全国课后作业)由2<7，得2x>7x,则x的值可能是() A.2 B.1 C.0 D.-1 【变式1】(25-26七年级上河南郑州期末)已知x≤π，则x的值不可能是() A.-4 B.-3.14 D.0 【变式2】(25-26八年级上浙江杭州期末)已知x-2y=2,且x>1,则y的取值范围是 【变式3】(24-25七年级下·全国课后作业)根据不等式的基本性质，若将6>b变形为“6<b”,则a的 Q 取值范围为 题型O5利用不等式的基本性质解不等式 【典例5】(22-23七年级下·安微合肥·期末)下列说法正确的是() A如限>1，那么<月 B.如果-x>2,那么x<2 2 1 C.如果2x<-2,那么x>-1 D.如果-2x<0那么x>0 【变式1】(24-25七年级下·全国课后作业)运用不等式的性质，将下列不等式化为x>a或x<a的形式. (1)由x-3<2,得 (2)由2x>-8,得 【变式2】(24-25八年级下·广东河源·月考)根据不等式的性质，把下列不等式化成“x>a”或“x<a”或 “x之a”或“x≤a”的形式 (1)x-1<5: ②}4124. 【变式3】(24-25七年级下·全国课后作业)将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式，并说明是如何变 形得到的. 1 (2)-x-2<7; ③-1x>-1: 2 1 ④x>2-6 5/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 强化训练 一、单选题 1.(22-23八年级下，贵州毕节·期末)2023年5月6日是我国二十四节气中的立夏.据天气预报报道，赫章 当天最高气温25C,最低气温15℃，则当天赫章的气温C)的变化范围是() A.t≥25 B.t≤15 C.t≠15，且1≠25 D.15≤t≤25 2.(25-26八年级上·浙江杭州月考)若x>y,且ax<ay,则a的值可能是() A.0 B.-1.5 C.2 D.刀 3.(25-26八年级下.甘肃兰州开学考试)若a<b,则下列不等式变形正确的是() A.a+1<b-1 B.-a<-b C.-1+a<-1+b 4.(25-26八年级下.全国·周测)下列式子：①2>0；②4x+2y≤1；③x-3=0;④y-7x-4;⑤ m-2.5>3y.其中不等式有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(25-26八年级上·福建泉州期末)若m=√24-2，则m的取值范围是(). A.1<m<2 B.2<m<3 C.3<m<4 D.4<m<5 二、填空题 6.(25-26八年级上·浙江宁波期中)“α与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为 7.(25-26七年级下.全国课后作业)若a>b,则6a 66.g ao b2(c0).(填 “>“<”或“=”) 8.(25-26七年级上·安微假期作业)已知a<b,请用“>”或“<”填空： (1)a-2 b-2; (2)3a 3b; (3)a÷(-8 b÷(-8): (④号 b 2 9.(24-25七年级下·全国·课后作业)己知实数α，b,c在数轴上的位置如图所示，用“>”或“<”填空： 0 → (1)ac ab. (2)ab cb. (3)a-c b+c. 6/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (4)a-b c-b. 10.(25-26八年级下·全国周测)假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道.如图，车速为mkm/h,则 m的取值范围为 小客车道小型车道 大型车道 0080 0070 8060 三、解答题 11.(24-25七年级下·全国课后作业)已知x>y,请比较下列各组数的大小，并说明理由. 0写2与号-2： 3 (2)3-2x与3-2y. 12.（25-26七年级下·全国·周测)将下列不等式化成“x>ax≥a”或“x<a”的形式. (1)7x<5x+2. 2+1≥4. (⑧号x+2<3-3, 2 13.(2026八年级下·全国.专题练习)下面的推导过程中竟然推出了0>2的错误结果，请你指出问题究竟出 在哪里 己知：m>n. 两边都乘2，得2m>2n. 两边都减去2m,得0>2n-2m,即0>2(n-m. 两边都除以(n-m,得0>2. 14.(25-26七年级下·全国·课后作业)用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为a-2的长方形的面积小于边长为a+1的正方形的面积， (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍 有空余座位 15.(25-26七年级下·全国课后作业)先阅读下面的解题过程，然后解题， 已知a>b,试比较-2026a+1与-2026b+1的大小. 解：：a>b, .-2026a>-2026b.第一步 7/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故-2026a+1>-2026b+1.第二步 ()上述解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 (2)请写出正确的解题过程. 8/8