第一章 整式的乘法（3大考点+10大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版七年级下册

第一章 整式的乘法 教学目标 1. 理解幂的三大运算性质（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方），能用文字与符号表述法则，熟练进行幂运算。 2. 掌握单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式的运算法则，规范运算步骤，确保符号正确、不漏乘。 3. 理解平方差、完全平方公式的推导与结构，能正用、逆用公式简化运算，体会数形结合思想。 教学重难点 1.重点 （1）幂的三大运算性质的理解与熟练应用，以及整式乘法（单项式、多项式乘法）的法则掌握与规范运算。 （2）平方差公式、完全平方公式的结构识别、正用与逆用，能灵活运用公式简化计算并解决简单问题。 2.难点 （1）区分幂的不同运算性质，避免混淆；多项式相乘时防止漏乘、符号错误，规范运算过程。 （2）准确识别乘法公式结构，灵活正用、逆用及变形应用，理解公式几何意义并用于简化复杂运算。 知识点01 幂的运算 一、同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 二、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 三、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 知识点02 整式的乘法 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 要点诠释： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 知识点03 乘法公式 平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 题型01 幂的基本运算 【典例1】（2026·湖北武汉·模拟预测）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A： ，正确，符合题意； 选项B：，运算错误，不符合题意； 选项C： ，运算错误，不符合题意； 选项D：与不是同类项，无法合并，运算错误，不符合题意． 【变式1】（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得. 【变式2】（2025八年级上·广西崇左·专题练习）_______． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·河南新乡·期末）________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算和指数法则，处理时需注意负号的影响和同底数幂相乘的法则． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型02 利用幂的运算比较大小 【典例2】（25-26七年级上·上海·月考）比较大小：_____ 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，有理数比较大小.要比较和的大小，思路是根据幂的乘方运算法则将两者转化为相同指数的幂，通过比较底数判断大小. 【详解】解：∵和的指数分别是65和52， 65和52的最大公因数是13， ∴， ， ∵， ∴， 即. 故答案为. 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）比较的大小：_________（用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查比较幂的大小，逆用幂的乘方法则，化为指数相同的三个数，比较底数的大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·月考）若，比较a、b、c的大小（　　） A．abc B．bac C．cab D．cba 【答案】B 【分析】本题考查幂的大小比较，将a、b、c转化为同指数，比较底数的大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴bac， 故选B． 【变式3】（22-23七年级下·贵州铜仁·期中）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料一的结论解答本题； （2）根据材料二的结论解答本题． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵， ∴； （2）∵， ， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查幂的乘方，有理数大小比较，解题的关键是明确有理数大小的比较方法及幂的乘方运算法则． 题型03 利用幂的运算简便计算 【典例3】（24-25八年级上·全国·期末）用简便方法计算：__． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算法则的逆用，灵活运用积的乘方运算法则的逆用进行计算即可． 直接运用积的乘方运算法则的逆用计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·四川宜宾·月考）简便运算：______ 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再根据积的乘方的逆运算把原式进一步变形为，据此计算求解即可． 【详解】解； ， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方逆用、有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据积的乘方逆用可将式子变形为，再计算有理数的乘方与乘法即可得； （2）先根据积的乘方逆用可将式子变形为，再计算有理数的乘方与乘法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式3】（25-26七年级上·江苏·假期作业）（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先逆用幂的乘方运算法则，再逆用积的乘方运算法则进行计算； （2）先将变形，再综合运用幂的乘方与积的乘方运算法则的逆用进行计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型04 整式乘法的计算与化简 【典例4】（25-26八年级上·河南周口·期末）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，解题的关键是熟练运用法则展开并合并同类项． 根据多项式乘多项式法则将展开，再合并同类项，对比选项确定答案． 【详解】解： 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·四川眉山·期中）若，，则的值等于________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式和代数式求值，准确的计算是解决本题的关键． 此题考查多项式乘以多项式运算，先展开表达式，然后利用已知条件代入求值即可． 【详解】解：由题意得， ， 当，时， ． 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·四川眉山·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据多项式乘多项式、单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法运算及整式的加减运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，之后合并同类项化简． （1）需要运用多项式乘法的分配律，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再合并同类项； （2）可以通过多项式乘法展开后合并同类项； （3）先计算多项式乘法，再去括号，最后合并同类项，注意去括号时符号的变化； （4）运用多项式乘法的分配律，将和分别与后面的三项式相乘，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型05 乘法公式变形求值 【典例5】（25-26八年级上·湖南·期末）若是一个完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，根据完全平方公式，对比原式确定的值． 【详解】解：∵是完全平方式，且，， ∴根据完全平方公式，可得， ∴． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题可通过平方差公式对原式变形后结合已知条件求解，也可用含的式子表示，代入原式化简计算． 【详解】解：解法一： ∵ ∴． 解法二： ∵ ∴ ∴． 【变式2】（24-25七年级下·江苏徐州·月考）已知，，则______． 【答案】/ 【分析】完全平方公式，则． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·陕西西安·期末）若，且． (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1)3 (2)10 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，多项式乘多项式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则得，又因为，故，即可作答． （2）把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∵ ∴ ． 题型06 利用整式的乘法求值 【典例6】（25-26八年级上·山西朔州·月考）已知，，则的值为（    ） A．0 B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，代数式求值，将表达式展开后，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：A． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）已知，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，多项式乘以多项式，解题关键是利用多项式乘以多项式正确计算． 先利用多项式乘以多项式展开，再合并同类项，然后整体代入求值． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 故答案为： 【变式2】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）先化简，再求值． ，其中，． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，根据整式的混合运算法则计算，再代入即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式3】（2026七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； （2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 题型07 巧用幂的运算逆向运算 【典例7】（25-26六年级下·全国·课后作业）若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；将转化为，再利用积的乘方公式变形，代入已知条件即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级下·云南曲靖·开学考试）已知，，则 ________． 【答案】12 【分析】逆用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·河北保定·期末）已知． (1)求代数式的值． (2)求的值． 【答案】(1)10 (2)500 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用． （1）根据进行计算； （2）将变形为即可求解． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 【变式3】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）若（且，m，n是正有理数数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂相乘， （1）逆用幂的乘方将原式整理为，再根据指数相等求出答案； （2）逆用同底数幂相乘法则得，再提出公因式，并根据指数相等得出答案； （3）逆用幂的乘方整理，再代入计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，， ∴， ∴． 题型08 整式乘法中不含某项问题 【典例8】（24-25八年级上·河南周口·期中）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式化简，再利用的展开式中不含有这一项，得出其他项的系数为零，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含有这一项， ∴， ∴． 故答案为： 【变式2】（25-26七年级上·重庆·期末）已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．原式利用多项式乘以多项式法则和整式加减运算法则计算，再根据值与x的取值无关，求出、的值，进而得到代数式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 的值与x的取值无关， ，， ，， ， 当时，A的值为， 故答案为：3． 【变式3】（25-26八年级上·广东广州·期中）若关于x的代数式计算后不含x的一次项． (1)当时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查多项式乘法运算以及根据特定条件求解参数的值，解题的关键在于正确运用多项式乘多项式法则． （1）将代入原式运用多项式乘多项式法则展开即可解出； （2）运用多项式乘多项式法则展开，根据条件确地系数为，求出参数即可． 【详解】（1）解：当时， 则原式为 ． （2）解：原式 ∵化简后不含x的一次项, ∴， 解得：． 题型09 整式乘法中的规律性问题 【典例9】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（   ） A．512 B．1024 C．2048 D．4096 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，多项式乘法中的规律性问题，解题关键是从式子中找出其中的变化规律． 根据题意可以得出规律：展开式中所有项的系数为，则展开式中所有项的系数和是，以此求解． 【详解】解：由题可知， 展开式中所有项的系数为1； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； … 得出规律：展开式中所有项的系数为， ∴展开式中所有项的系数和为：， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）观察下面的运算规律： ，，，……若一个两位数个位为，其十位数字为（为正整数），则_________ 【答案】 【分析】本题考查了数的运算规律的探究，观察给出的算式得到一般规律是解决本题的关键；观察给出的运算规律，发现个位数为的两位数的平方等于十位数字与的乘积乘以再加． 【详解】解：∵，，， ∴对于任意个位为的两位数，其十位数字为，则其数为，其平方为，可表示为； 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·四川广元·期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．若，则_______． 【答案】2 【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，从给出的等式中，找到相应的规律是解题的关键：分别令和，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】 （1）如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d．（1）用含a的代数式表示 ； ． 【拓展探究】 （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （3）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），请求出所有可能的m值． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）18或12 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出所框月历中四个数的关系是解题的关键． （1）根据所给“Z型框”的特征，用含a的代数式分别表示出b和d即可； （2）根据题意，用a分别表示出其余字母，再据此进行计算即可； （3）根据及a，b为正整数且a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），求出a和b的值，据此得出m的值即可． 【详解】解：（1）由题意得：； 故答案为：，； （2），理由如下： ∵， ∴； （3）因为，a，b为正整数且a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31）， 所以或或或． 又因为， 所以或12， 即所有可能的m值为18或12． 题型10 乘法公式的几何背景 【典例10】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析两个图形中阴影部分的面积，利用“面积相等”建立等式，从而推导出公式． 【详解】解：图①中，图②中， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·河南三门峡·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得．则由图3可以解释的等式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法的几何意义、数形结合思想以及面积法的应用．解题的关键是通过 “整体面积法” 和 “分割求和法” 计算同一图形的面积，从而建立等式关系．先计算图 3 大长方形的整体面积，再将其分割为小正方形和小长方形并求面积和，最后根据面积相等得到对应的多项式乘法等式． 【详解】解：方法一：图 3 是一个大长方形，其长为，宽为， 因此整体面积为： 方法二：将图 3 分割为各小图形，面积分别为： 边长为 的正方形：2 个，面积和为 边长为 的正方形：1 个，面积和为 长为 、宽为 的长方形：3个，面积和为 总面积为： 两种方法计算的面积相等，因此图 3 可以解释的等式为 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是____． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是____，对应的高是___（注意观察图①），所以平行四边形的面积是______． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式：___，这就是平方差公式． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景及图形面积的计算，解题的关键是通过计算两种不同图形的面积，建立等式，从而推导出平方差公式． （1）用大正方形面积减去小正方形面积，得到图①阴影部分的面积； （2）观察图形，确定图②中平行四边形的底边长和高，再用底乘高计算其面积； （3）根据两个图形中阴影部分面积相等，列出等式，推导出平方差公式． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解：底边长为；对应的高为； 故答案为：；；． （3） 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·广东东莞·期末）【教材原题】 （1）通过第章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 如图①可以得到的公式为_____； 如图②可以得到的公式为_____； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，、和之间的等量关系为_____； 【结论应用】 （3）①若，则_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （4）如图④，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影部分的面积为_____． 【答案】（1），；（2）；（3），；（4） 【分析】本题考查了代数式求值、完全平方公式与图形面积等知识点，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）直接根据图形列出等式即可解答； （2）根据（1）的结论作差即可解答； （3）①由，得，即可求解，②令，则，根据题意可知，代入，即可求解； （4）由，两边平方再化简，可得，根据图形可知阴影部分的面积为两个正方形面积的一半，即，代入，即可求解． 【详解】（1）解：由①可得， 由②可得， 故答案为：，； （2），， ， 即， 故答案为：； （3）解：①， ， 故答案为：； ②令， 则， ， ； 由（2）可知， 则． （4）解：根据题意可知， ， ， 根据图形可知阴影部分的面积为两个正方形面积的一半，故阴影部分的面积为， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东湛江·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数比较大小，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据题意，将指数化为相同，底数越大，值越大，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴． 故选：D ． 2．（22-23七年级下·山东青岛·月考）若，则p、q的值是（   ） A．3，10 B．10，3 C．， D．3， 【答案】C 【详解】解：∵ ∴， 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，同时满足与，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平方差公式得到，再代入求解即可得到答案． 【详解】解：， ∵，， ∴． 4．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原运算错误； B、，原运算错误； C、，原运算错误； D、，原运算正确. 5．（21-22八年级上·河北邢台·月考）从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式，分别表示出图形的面积，再结合变化过程分析即可解题． 【详解】解：由图知，图的面积为， 图的面积为， 结合图1到图2的变化过程可以发现， 故选：B． 6．（25-26八年级上·河南信阳·期末）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误，解题思路是通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行：； 的系数行：； 对于含项的系数是从左向右第个数，即． 故选：A． 二、填空题 7．（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式的运算，根据单项式乘多项式的运算法则展开计算即可． 【详解】 ． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）用简便方法计算的结果是__ ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的简便运算，熟记平方差公式是解题的关键． 先整理，再运用平方差公式进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 9．（25-26八年级上·山东烟台·期末）已知，，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则是解答本题的关键． 利用指数运算法则，由，得，，再将表示为，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为． 10．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）计算：_______． 【答案】1 【分析】将2024变形为，2026变形为，再利用平方差公式展开化简计算即可得到结果． 【详解】解： ． 11．（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知，，则M与N的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算．利用作差法，再根据整式的混合运算法则运算即可作出判断． 【详解】∵ ， ∴， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）将边长分别为的两个正方形纸片按如图所示方式摆放，其中点在同一条直线上，点在边上，连接，记阴影部分面积为，若，则的值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示阴影部分的面积是正确解答的关键． 先根据，计算出的值，再用含m，n的式子表示出，即可求解． 【详解】解： ， ， 由题意知，，， ， ， ， ∴ 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26八年级上·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． （1）先运用单项式乘多项式法则与完全平方公式计算，再合并同类项化简． （2）先运用多项式乘多项式法则与平方差公式展开各项，再去括号合并同类项化简 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算和代数式求值，涉及整体代入思想，掌握多项式乘法展开后合并同类项的化简技巧，以及通过整体代入简化计算是解题的关键． （1）先展开多项式乘法，合并同类项后，发现化简结果与已知条件表达式完全一致，直接整体代入求值； （2）先展开两个多项式乘法，合并同类项化简表达式，再代入的具体值计算． 【详解】（1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）解： ． 当，时， 原式． 15．（25-26七年级下·四川达州·开学考试）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据积的乘方公式和幂的乘方逆运算求解即可； （2）根据积的乘方公式的逆用求解即可． 【详解】解：（1）， ； （2）， ， ， ， 解得． 16．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，和谐广场有一块长为米、宽米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） (1)用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中的应用，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）根据绿化的总面积等于大长方形面积减去小正方形面积，即可求解； （2）把，代入（1）所求结果中，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意， ， 绿化的总面积为平方米． （2）解：当，时，平方米， 绿化的总面积为平方米． 17．（25-26八年级下·云南曲靖·开学考试）定义：对于两个正数，如果，那么记．例如：因为，所以． （1）填空： ①_____； ②_____． （2）观察下列等式： ，发现 一般地，对于任意正数，猜想（a，_____），并证明你的猜想． 【初步应用】 （3）如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）2，4；（2），证明见解析；（3）． 【分析】（1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）设，，则，根据新定义可知，即可得出答案； （3）根据（2）所求可得，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴；； （2）解：猜想，证明如下： 设，， 则， 根据新定义可知， 即； （3）解：∵，，， ∴， ∵大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 18．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）【阅读与思考】 “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（n为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． … 【初步感知】 （1）按以上规则，展开式共有________项，第三项（字母部分为）的系数是________； 【拓展推广】 （2）利用杨辉三角，写出的展开式________； 【迁移应用】 （3）我们在对的推演过程中，是将中的“b”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式． 【答案】（1）5，6；（2）；（3） 【分析】本题考查了杨辉三角与二项式展开式的规律应用． （1）根据前面二项式展开式的项数规律以及杨辉三角的系数规律来求解； （2）依据杨辉三角的规律，先得出其对应的一行数，再得出的展开式； （3）通过替换的方法即可得到的展开式． 【详解】解：（1）观察已知的二项式展开式： 有2项，有3项，有4项， ∴的展开式共有项， ∴的展开式共有项， 由杨辉三角可知，对应的杨辉三角的一行数为1，4，6，4，1， ∴第三项的系数是6， 故答案为：5，6； （2）根据杨辉三角的规律，对应的杨辉三角的一行数为1，5，10，10，5，1， ∴的展开式为， 故答案为：； （3）由题意知， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章整式的乘法 内容概览 教学目标，教学重难点 知识点1幂的运算 知识点2整式的乘法 知识清单 知识点3乘法公式 题型！幂的基本运算 题型2利用幂的运算比较大小 题型3利用厚的运算简便计算 整式的乘法 题型4整式乘法的计算与化简 题型5乘法公式变形球值 题型精讲 题型6利用整式的乘法求值 题型7巧用幂的运算逆向运算 题型8整式乘法中不含某项问题 题型9整式乘法中的规律性问题 题型I0乘法公式的几何背景 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解幂的三大运算性质（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方），能用文字与符号表 述法则，熟练进行幂运算。 2.掌握单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式的运算法则，规范运算步 教学目标 骤，确保符号正确、不漏乘。 3.理解平方差、完全平方公式的推导与结构，能正用、逆用公式简化运算，体会数形 结合思想。 1.重点 教学重难点 (1)幂的三大运算性质的理解与熟练应用，以及整式乘法（单项式、多项式乘法）的 法则掌握与规范运算。 1/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)平方差公式、完全平方公式的结构识别、正用与逆用，能灵活运用公式简化计算 并解决简单问题。 2.难点 (1)区分幂的不同运算性质，避免混淆；多项式相乘时防止漏乘、符号错误，规范运 算过程。 (2)准确识别乘法公式结构，灵活正用、逆用及变形应用，理解公式几何意义并用于 简化复杂运算。 知识清单 知识点01幂的运算 一、同底数幂的乘法性质 a"·a”=am+”(其中m,n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加 要点诠释：(1)同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式。 (2)三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即am·a”·aP=am+m+p（m,n,p都是正整数). (3)逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指 数之和等于原来的幂的指数。即am+"=a”·a”（m,n都是正整数). 二、幂的乘方法则 (a")”=am(其中m,n都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘 要点诠释：(1)公式的推广：(a")")P=am吧(a≠0，m,n,p均为正整数) (2)逆用公式：a"=(a）”=(a")”,根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解 决问题. 三、积的乘方法则 (ab)”=a”·b”(其中n是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：(1)公式的推广：(abc)”=a”·b”·c”(n为正整数)， (2)逆用公式：a"b”=(ab)”逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更 0 简便.如： ×210 x2=1 知识点02整式的乘法 单项式乘单项式 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它 们的指数作为积的一个因式. 要点诠释： (1)单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用， (2)单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘 法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加” 进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式 (3)运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成： (4)三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则， 单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加： 即m(a+b+c)=ma+mb+mc 要点诠释：(1)单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项 式的问题 (2)单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同： (3)计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. (4)对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果 多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即 (a+b(m+n=am+an+bm+bn 要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之 积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘： (x+a(x+b)=x2+(a+b)x+ab 知识点03乘法公式 平方差公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 要点诠释：在这里，ab既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式， 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又 有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： (1)位置变化：如(a+b)(-b+a)利用加法交换律可以转化为公式的标准型 (2)系数变化：如(3x+5y)3x-5y) 3/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)指数变化：如(m3+n2)(m3-n2) (4)符号变化：如(-a-b)(a-b) (5)增项变化：如(m+n+p)(m-n+p) (6)增因式变化：如(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4) 完全平方公式 完全平方公式：（a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或 减)这两数之积的2倍.以下是常见的变形： a2+b2=(a+b)2-2ab=a-b)2+2ab (a+b)2=(a-b12+4ab 题型精讲 题型01幂的基本运算 【典例1】(2026湖北武汉·模拟预测)下列运算中，正确的是() A.a2.a=as B.(a2'=a C.(2a3=6a D.a2+a=a 【变式1】(25-26九年级下陕西榆林开学考试)计算(-a2b)的结果为() A.ab B.-ab C.-ab4 D.-ab 【变式2】(2025八年级上广西崇左专题练习)x(-3x2}= 【变式3】(25-26七年级上河南新乡·期末)a-(-a)(-a)(-a)’(-a2= 题型02利用幂的运算比较大小 【典例2】(25-26七年级上·上海月考)比较大小：25 32 【变式1】(23-24七年级下·全国课后作业)比较25,3“，43的大小： (用“<”连接) 【变式2】(24-25七年级下陕西西安月考)若a=35,b=4“,c=533,比较a、b、c的大小() A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a 【变式3】(22-23七年级下·贵州铜仁·期中)阅读下面的材料： 材料一：比较32和4山的大小. 材料二：比较28和8的大小 4/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解：因为4=(22”=22，且3>2，所以32>22， 解：因为82=(2}'=2，且8>6，所以2>2“，即 即32>41. 28>82. 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来 确定两个幂的大小. 确定两个幂的大小. 解决下列问题： (1)比较34,433,522的大小； (2)比较8131,271,961的大小. 题型03利用幂的运算简便计算 202 【典例3】(24-25八年级上·全国·期末)用简便方法计算： ×52025= 2023 【变式1】(24-25八年级上·四川宜宾·月考)简便运算： 5 【变式2】(25-26八年级上全国·课后作业)用简便方法计算： o号 (2)0.252025×-42024） 【变式3】(25-26七年级上·江苏假期作业)(24-25七年级下·全国·课后作业)用简便方法计算： a*兮 (2)0.125)°×28. 题型04整式乘法的计算与化简 【典例4】(25-26八年级上·河南周口·期末)计算x-3)(x+4)的结果是() A.x2+x-12 B.x2-x-12 C.x2+7x+12 D.x2-7x+12 【变式1】(25-26八年级上·四川眉山期中)若m-n=4,mn=-3,则(m+4)(n-4)的值等于 【变式2】(23-24八年级上四川眉山期末)化简：(a+3b)(2a-b)-2(a-b). 【变式3】(24-25七年级下·全国·课后作业)计算： (1)2x-5y)(3x-y）: (②x-yx2+xy+y2）； (32x+y川x-y-2(y2-xy): (4(a-1(3a2-2a+4. 5/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型05乘法公式变形求值 【典例5】(25-26八年级上湖南期末)若x2+x+16是一个完全平方式，则m的值为() A.±8 B.±4 C.8 D.4 【变式1】(25-26八年级上河南新乡.期末)已知m-n=1,则m2-n2-2n的值为() A.1 B.-1 C.0 D.2 【变式2】(24-25七年级下江苏徐州月考)已知(a+b)=4，(a-b)=2,则ab= 【变式3】(25-26七年级上陕西西安期末)若x+y=4,且(x+1)(y+1)=8. (1)求Ψ的值； (2)求x2+y2的值； 题型06利用整式的乘法求值 【典例6】(25-26八年级上·山西朔州月考)已知m+n=3,mn=2,则(m-1(n-1)的值为() A.0 B.2 C.-2 D.6 【变式1】(2026七年级下，全国专题练习)已知a2+a=3,则(2a-4)(a+3)的值是 【变式2】(25-26八年级上湖北恩施期末)先化简，再求值. -x-2到-5xx-,其中，=子 【变式3】(2026七年级下·全国专题练习)先化简，再求值： (1)x2(3-x)+xx2-2x+1,其中x=-3; (2)(x-2y)(x+4y)-(2x-y(x+y),其中x=-2,y=3. 题型07巧用幂的运算逆向运算 【典例7】（25-26六年级下，全国课后作业)若5”=a,4“=b,则20”=（) A.5a B.4b C.ab D.5ab 【变式1】(25-26八年级下，云南曲靖·开学考试)已知a"=2,=3,则a2m+"= 【变式2】(25-26八年级上河北保定·期末)已知3=2,3=5. (1)求代数式3+"的值 (2)求9·27'的值， 【变式3】(25-26八年级上河南驻马店·期中)若a"=a”(a>0且a≠1，m,n是正有理数数)，则m=n.利 用该结论解决下面的问题： (I)如果8=2，求x的值： (2)如果2+2+21=24，求x的值； (3)若x=5,y=4-25m,用含x的代数式表示y. 题型08整式乘法中不含某项问题 6/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例8(24-25八年级上河南周口期中)要使(-x)x2-mx+2x的展开式中不含x2的项，则m的值是() A.0 B.2 C.-2 D.±2 【变式1】(24-25七年级下·安微准北期中)如果x2-ax+x(x-2)的展开式中不含有x这一项，那么a的 值为 【变式2】(25-26七年级上·重庆期末)已知A=2x2+ax-b,B=-x+1,C=2x3+3x2+5.若A·B+C的值与 x的取值无关，则当x=-2时，A的值为 【变式3】(25-26八年级上：广东广州期中)若关于x的代数式(3x+a)(x-2)计算后不含x的一次项. (1)当a=1时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值. 题型09整式乘法中的规律性间题 【典例9】(24-25七年级下·江苏无锡期中)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数 展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”.则(a+b)°展开式中所有项的系 数和是() (a+b)°=1 (a+b)'=a+b 1 (a+b)2=a2+2ab+b2 1 2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 13 31 (a+b)4=a+4a3b+4ab3+6a2b2+b4 1 4641 (a+b)5=a5+5ab+10ab2+10a2b3+5ab4+b 1510105 A.512 B.1024 C.2048 D.4096 【变式1】(25-26八年级上·江西赣州期末)观察下面的运算规律： 15×15=225=1x2×100+25,25×25=625=2×3×100+25,35×35=1225=3×4×100+25,.若一个两 位数个位为5，其十位数字为n(n为正整数)，则(10n+5)2= 【变式2】(25-26八年级上·四川广元期末)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角” 就是一例.如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给 出了(a+b)“(n为正整数)的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.若 (2x-1)2025=0,x2025+a2x2024+…+a2024x2+a2025x+a2026,则a1+a2+…+a2024+a2025= 1 11 (a+b)1=a+b 121 (a+b)2=a2+2ab+b2 1331 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 14641 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 7/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】(25-26八年级上湖北荆州期末)综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在 规律呢？ 【初步探究】 (1)如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a,b,c,d.（1) 用含a的代数式表示b=-;d=-· 【拓展探究】 (2)探究ad-bc的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由. 【迁移运用】 (3)受月历中日期排列启发，小明研究形如(x+a)(x+b)的多项式，其中a,b是正整数且 ab=32,a+b=m.若a,b可表示某月中两个日期的编号(1~31)，请求出所有可能的m值. 日 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 图1 图2 题型10乘法公式的几何背景 【典例10】(25-26八年级上·山东临沂·期末)如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置， 你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是() b b 图① 图② A.a2-b2=(a-b)(a+b) B.a2+2ab+b2=(a+b)2 C.a2-2ab+b2=(a-b)2 D.a2-ab=a(a-b) 【变式1】(25-26八年级上河南三门峡·期末)数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别 为、b的两个正方形纸片和长为b、宽为a的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2 可得a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.则由图3可以解释的等式是 8/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 【变式2】(24-25七年级下.全国·课后作业)模型观念如图①所示，从边长为a的大正方形纸板中挖去一个 边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）. 6 a ① ② (1)图①中阴影部分的面积是 (2)图②中拼成的平行四边形的底边长是，对应的高是（注意观察图①），所以平行四边形的面积 是 (3)因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式：，这就是平方差公式. 【变式3】(25-26八年级上·广东东莞期末)【教材原题】 (1)通过第16章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数 学等式. 如图①可以得到的公式为； 如图②可以得到的公式为； 【探索发现】 (2)现有长与宽分别为、b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件， (a+b)2、(a-b)和4ab之间的等量关系为： 【结论应用】 (3)①若x+y=10,x2+y2=40,则xy= ②当(x-300)(200-x=2025时，求(2x-500)的值： 【拓展提升】 (4)如图④，若大正方形的边长为x,小正方形的边长为，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影 部分的面积为 9/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 b头 a a 图① 图② 图③ 图④ 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级上广东湛江期末)已知a=25,b=34,c=433,则a、b、c的大小关系是() A.axbxc B.bxaxc C.cxaxb D.b>c>a 2.(22-23七年级下山东青岛月考)若(x-5(x+2)=x2+px+9,则p、q的值是() A.3,10 B.10,3 C.-3,-10 D.3,-10 3.(25-26八年级下.全国·课后作业)己知m,n同时满足2m+n=3与2m-n=1,则4m2-n2的值是() A.1 B.2 C.3 D.4 4.(25-26九年级下陕西西安开学考试)下列运算中，正确的是（) A.（-xy2=-xy2 B.x21-x2）=1-x1 C.(x+2(x-3)=x2-x-5 D.3x2.4x=12x 5.(21-22八年级上河北邢台月考)从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（) b b a-b a-b a 图1 图2 A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.(a+b)(a-b)=a2-b2 C.(a+b)'=a2+2ab+b2 D.a2+2ab+b2=(a+b)2 6.(25-26八年级上河南信阳·期末)我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三 角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角， 计算(a+b)°的展开式中，含项的系数是() 10/13