第一章 整式的乘法（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材湘教版七年级下册

第一章 整式的乘法·拔尖卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（25-26八年级上·广东江门·月考）若，则的值为（   ）． A． B．1 C．8 D．64 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的运算，幂的乘方，代数式求值，掌握幂运算的运算法则是解题关键． 将 转化为以 2 为底的指数形式，利用已知条件进行计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ． 故选：C． 2．（2025七年级上·河北邯郸·专题练习）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法与阴影面积问题． 求出图中阴影部分的面积，逐一判断即可． 【详解】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：， A．； B．； C．； D．； 故选A． 3．（25-26八年级上·湖北黄冈·月考）已知为正整数，计算发现代数式能被某些正整数整除，这些正整数中最大的是（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式化简代数式是解题关键． 利用平方差公式化简代数式，观察化简后的式子，判断其中恒定存在的正整数因数，即可判断出结果． 【详解】， 又∵n为正整数， ∴和为连续整数，其中必有一个数为偶数，即必为偶数，恒有因数2， ∴恒能被整除， 当时，原式，不能被36整除，故这些正整数中最大的是24， 故选：C． 4．（25-26八年级上·河北唐山·期中）计算，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方的应用等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 将左边三个同底数幂相加合并，再运用同底数幂相乘的运算法则化简，右边幂的乘方化为同底数形式，然后再比较指数即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 5．（25-26七年级上·上海·期中）如果成立，则（    ） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方与符号的性质，解题关键是根据幂的运算规则分析的符号与的符号关系，从而确定n的奇偶性． 根据指数运算法则，将左边化简后，等式成立的条件仅与n的奇偶性有关，需n为偶数． 【详解】∵ = = ， 又∵ = ， ∴ = ． 假设 ，则两边除以 ，得 ， ∴ n 是偶数． 因此，n是偶数． 故选D． 6．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（   ） A．－4 B．4 C．－5 D．5 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式和整式加减，恒等式的问题．先根据中二次项系数为4，得出，然后列出代数式，进行化简，得出，即可求出结果．掌握求和符号的定义，是解题的关键． 【详解】解： ∵中二次项系数为4， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：C 7．（24-25八年级下·广东惠州·开学考试）如果二次三项式是完全平方式，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式的概念及一元一次方程的求解，解题的关键是根据完全平方式的结构特征，建立关于k的方程并求解． 根据完全平方式的结构，可知二次三项式中中间项系数的一半的平方等于常数项；据此列出关于k的方程，求解方程并排除无解情况，得到k的值． 【详解】∵二次三项式是完全平方式， 又∵完全平方式的形式为 ∴中间项系数的一半的平方等于常数项，即． 两边开平方得：． 当时， 两边同乘2得： 化简得：，此方程无解． 当时，即 两边同乘2得： 移项得： 合并同类项得： 解得：． 故选：D． 8．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，准确识图，熟练掌握正方形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，则，再分别求出，，，进而得，据此即可得出结论． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ， ，， 又， ， 若要求出的面积，只需知道的长． 故选：D． 9．（25-26九年级上·重庆·期中）对于多项式：用任意两个多项式的积，再与剩余两个多项式的积作差，称之为“积差操作”，例如：下列说法： ①存在一种“积差操作”使得操作后的结果，无论x取何值，都能被3整除； ②不存在任何“积差操作”，使其结果为0； ③所有“积差操作”共有5种不同结果． 其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查多项式的“积差操作”，需要列出所有可能的操作组合，计算结果，并判断各说法的正确性． 【详解】解：； ； ； ； ； 结果中，有不同结果有5种：0、、、、． 说法：存在结果为0的操作，0总是3的倍数，正确．   说法：存在结果为0的操作，错误．   说法：有5种不同结果，正确． 正确个数为2． 故选：C． 10．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）如图1所示，有两张完全相同的大正方形纸片、，从纸片的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片的四个顶点处．图2中已标出裁剪后、纸片尺寸，并且记裁剪后的面积分别为、（图2中阴影部分）． 小海认为：；乐乐认为：． 关于小海和乐乐观点，下列说法正确的是（    ） A．小海正确、乐乐正确； B．小海错误、乐乐正确； C．小海正确、乐乐错误； D．小海错误、乐乐错误． 【答案】A 【分析】本题考查了乘法公式与几何图形，设四个小正方形的边长为x，根据原正方形的边长不变可列方程求出，然后根据割补法分别求出、，最后计算、，即可判断． 【详解】解：设四个小正方形的边长为x， 根据题意，得， 解得， ∴， ， ∴， ， ∴小海正确、乐乐正确， 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）比较大小： ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较幂的大小，熟记幂的乘方运算的逆运算是解决问题的关键． 通过幂的乘方的逆运算，将两个幂化为同指数形式，比较底数大小即可判断． 【详解】解： ，， 根据指数相同时，由底数大小确定幂的大小，可知当时，， 即 ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的运算，方法一：利用多项式乘以多项式法则计算得，则，再代入计算即可；方法二：把代入等式即可求解． 【详解】解：方法一：∵， ∴， ∴， ∴； 方法二：当时，， ， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·广东汕头·月考） ．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题考查了平方差的运用，观察表达式，发现已有因子2可视为，从而与后续因子构成连续平方差公式，化简后加1得到结果． 【详解】解：由于，则原式， 应用平方差公式： ， ， ， ， 因此原式， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，某学校的劳动实践基地由正方形与正方形组成，其中长方形由八年级负责，其面积为．若，则劳动实践基地的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式混合运算的应用，完全平方公式的应用，解题关键是能根据图形得到正确的数量关系并列式计算．设正方形的边长，进而表示出，再根据长方形面积为可得到，根据劳动实践基地的面积列式，利用完全平方公式、提公因式等将式子进行变形，最后将整体代入计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长，则， 长方形面积为． ， 劳动实践基地的面积为： ． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·上海·月考）已知关于x的一次二项式与二次三项式相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为1，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查的是多项式的乘法，二元一次方程组的解法，根据多项式乘法的展开式，结合条件“积中不出现一次项”和“二次项系数为1”列出方程组，求解a和b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：： ． 由积中不出现一次项，得一次项系数； 由二次项系数为1，得二次项系数． 解方程组： ， 解得：， ∴． 故答案为： 16．（24-25九年级下·福建泉州·期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，运算结果可以表示为 （用含a的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，根据题意可得运算结果可以表示为：． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得：， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ∴“2”上边的数是，“20”右边的数表示4，上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·河北·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式展开计算即可； 【详解】（1）； （2） ． 18．（6分）（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则． 请利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先把、都转化为以为底的幂，再根据同底数幂乘法法则计算左边，最后利用已知结论列方程求解． （2）先把转化为以为底的幂，再根据幂的乘方法则计算左边，然后利用已知结论列方程求解． 本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等幂的运算性质，熟练掌握这些运算性质并能灵活运用，将不同底数的幂转化为相同底数的幂是解题的关键． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 19．（8分）（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)计算的值． 【答案】(1) (2)9 (3)999999 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含项，即含项的系数为0求解即可； （2）先计算出的结果，再根据（1）所求代值计算即可； （3）根据（2）所求可得原式，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵的结果中不含项， ∴ ∴； （2）解： ； （3）解：由（2）可得， ∴ ． 20．（8分）（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：． (1)求__________； (2)滨滨说：该运算满足交换律． 江江说：该运算满足结合律 美美说：该运算满足分配律． 他们的说法是否正确？请说明理由． 【答案】(1)7 (2) 滨滨正确，江江正确，美美错误 【分析】本题考查了新定义运算的计算及运算律的验证，解题的关键是根据新运算的定义代入计算并推导运算律． （1）根据新运算定义，将、代入公式计算； （2）分别推导交换律、结合律、分配律的左右两边，比较是否相等以判断说法正误． 【详解】（1）解：由新运算， 当，时， 故答案为：． （2）解：∵ ，， ∴ ，滨滨的说法正确． ∵， ； ， ； ∴ ，江江的说法正确． ∵ ； ； ∵ ， ∴ 分配律不成立，美美的说法错误． 答：滨滨、江江的说法正确，美美的说法错误． 21．（10分）（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列关于自然数的等式： ① ② ③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第五个等式：______________________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式，探索规律，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据前三个找出规律，写出第五个等式； （2）用字母表示变化规律，根据完全平方公式计算，即可证明． 【详解】（1）解：根据前面算式的规律，可得第五个等式为：． 故答案为：； （2）解：第个等式为：， 证明：． ． 22．（10分）（25-26八年级上·山东日照·月考）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． 探索发现： （1）如图①，写出一个我们熟悉的数学公式： ． 解决问题： （2）若满足，求的值． （3）如图②，在长方形中，是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形．若长方形的面积为80，则图中阴影部分的面积和为 ． 【答案】 （1）； （2）130； （3）176 【分析】本题主要考查完全平方公式和几何图形的结合，以及完全平方公式的变形； （1）根据面积公式可知大正方形的面积为，小正方形的面积为，即可求得等式； （2）设，，则，利用代入即可； （3）根据题意得，，，设，，则，，那么，即可． 【详解】解：（1）根据面积公式可知大正方形的面积为，小正方形和长方形的面积和为， 则， 故答案为：； （2）设，， 则， 那么，； （3）根据题意得，，， 设，， ，， ， 图中阴影部分的面积和为176， 故答案为：176． 23．（12分）（24-25七年级下·湖南常德·期中）请阅读以下材料，解决问题，我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即．但是，当数域扩充到复数体系中，如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a、b为实数）的数就叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：；，若两个复数，他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如的共轭复数为．根据材料回答： (1)填空： ①_________；②_________； (2)若是的共轭复数，则_________（请简述过程） (3)已知，则_________．（请简述过程） 【答案】(1)①；② (2)，过程见解析 (3)，过程见解析 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，完全平方公式，整式的混合运算等知识． （1）①根据题干所给新运算可直接进行求解； ②根据完全平方公式以及所给新运算可进行求解，再根据题中所给共轭复数的定义求出a，b的值，最后代入代数式求解即可． （2）再根据题中所给共轭复数可进行求解； （3）先根据题干所给新运算计算，进而得出a、b的值，再计算，最后根据幂的混合运算得出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：①； ② ； 故答案为：①；②； （2）解：， ∵是的共轭复数， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解： ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ……，， ∴， ∴． 故答案为：． 24．（12分）（25-26八年级上·河北廊坊·月考）【探索】 （1）观察图1，图2，请写出之间的等量关系是：________； 根据（1）的结论，若，则的值是_______． 【应用】 （2）如图3．是线段上的一点，以，边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，求的面积． 【拓展】 （3）利用5张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为．若不论的长为何值时，永远为定值，直接写出之间的数量关系． 【答案】（1），12；（2）（3） 【分析】本题考查了单项式乘多项式的应用，整式的加减无关型问题，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）观察图1和图2即可表示出4个小长方形的面积即可得到；然后根据题意得到，将代入求解即可； （2）设由题意得，， ，则，最后根据求解即可； （3）根据长方形的面积得，结合不论的长为何值时，永远为定值，且，得到的值与无关，即，即可作答． 【详解】解：（1）通过观察图1可知图1中4个小长方形的面积为， 通过观察图2可知图2中4个长方形的面积为， ∵图1和图2的面积相等，由此可得； ∵， 根据题意得， ∴， ∴； （2）设， ∵以为边向上分别作等腰 和等腰， ∴ ∴， ， ∴， ∴， ∴； （3）∵长方形的面积为，长方形的面积为， ∴，， ∴， ∵不论的长为何值时，永远为定值，且， ∴的值与无关， ∴， ∴与之间的数量关系为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 整式的乘法·拔尖卷 【新教材湘教版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（25-26八年级上·广东江门·月考）若，则的值为（   ）． A． B．1 C．8 D．64 2．（2025七年级上·河北邯郸·专题练习）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖北黄冈·月考）已知为正整数，计算发现代数式能被某些正整数整除，这些正整数中最大的是（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 4．（25-26八年级上·河北唐山·期中）计算，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·上海·期中）如果成立，则（    ） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 6．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（   ） A．－4 B．4 C．－5 D．5 7．（24-25八年级下·广东惠州·开学考试）如果二次三项式是完全平方式，那么的值是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 9．（25-26九年级上·重庆·期中）对于多项式：用任意两个多项式的积，再与剩余两个多项式的积作差，称之为“积差操作”，例如：下列说法： ①存在一种“积差操作”使得操作后的结果，无论x取何值，都能被3整除； ②不存在任何“积差操作”，使其结果为0； ③所有“积差操作”共有5种不同结果． 其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）如图1所示，有两张完全相同的大正方形纸片、，从纸片的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片的四个顶点处．图2中已标出裁剪后、纸片尺寸，并且记裁剪后的面积分别为、（图2中阴影部分）． 小海认为：；乐乐认为：． 关于小海和乐乐观点，下列说法正确的是（    ） A．小海正确、乐乐正确； B．小海错误、乐乐正确； C．小海正确、乐乐错误； D．小海错误、乐乐错误． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）比较大小： ．（填“”或“”或“”） 12．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，则 ． 13．（25-26八年级上·广东汕头·月考） ．（结果用幂的形式表示） 14．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，某学校的劳动实践基地由正方形与正方形组成，其中长方形由八年级负责，其面积为．若，则劳动实践基地的面积为 ． 15．（25-26七年级上·上海·月考）已知关于x的一次二项式与二次三项式相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为1，则 ． 16．（24-25九年级下·福建泉州·期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，运算结果可以表示为 （用含a的代数式表示）． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·河北·期末）计算： （1） （2） 18．（6分）（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则． 请利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 19．（8分）（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)计算的值． 20．（8分）（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：． (1)求__________； (2)滨滨说：该运算满足交换律． 江江说：该运算满足结合律 美美说：该运算满足分配律． 他们的说法是否正确？请说明理由． 21．（10分）（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列关于自然数的等式： ① ② ③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第五个等式：______________________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 22．（10分）（25-26八年级上·山东日照·月考）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． 探索发现： （1）如图①，写出一个我们熟悉的数学公式： ． 解决问题： （2）若满足，求的值． （3）如图②，在长方形中，是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形．若长方形的面积为80，则图中阴影部分的面积和为 ． 23．（12分）（24-25七年级下·湖南常德·期中）请阅读以下材料，解决问题，我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即．但是，当数域扩充到复数体系中，如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a、b为实数）的数就叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：；，若两个复数，他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如的共轭复数为．根据材料回答： (1)填空： ①_________；②_________； (2)若是的共轭复数，则_________（请简述过程） (3)已知，则_________．（请简述过程） 24．（12分）（25-26八年级上·河北廊坊·月考）【探索】 （1）观察图1，图2，请写出之间的等量关系是：________； 根据（1）的结论，若，则的值是_______． 【应用】 （2）如图3．是线段上的一点，以，边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，求的面积． 【拓展】 （3）利用5张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为．若不论的长为何值时，永远为定值，直接写出之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $