第二章 实数（4大考点+10大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版七年级下册

第二章 实数 教学目标 1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，能求非负数的平方根和立方根。 2. 理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，会对实数进行分类，能比较实数的大小。 3. 掌握实数的运算法则和运算律，能进行简单的实数加、减、乘、除、乘方及开方混合运算，体会数系扩充的意义。 教学重难点 1.重点 （1）平方根、算术平方根、立方根的概念与求法，无理数和实数的概念，以及实数的分类与大小比较。 （2）实数的运算，包括运用运算法则和运算律进行简单的实数混合运算，理解实数运算与有理数运算的联系。 2.难点 （1）区分平方根与算术平方根，理解实数与数轴上的点一一对应，建立对无理数的直观认识。 （2）准确进行含根号的实数化简与混合运算，合理运用运算律简化计算，理解运算中的符号与顺序问题。 知识点01 算术平方根 1．算术平方根 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根． 注意：①非负数的算术平方根表示为，读作“根号”，叫做被开方数． ② 规定：的算术平方根是0. 知识点02 平方根 2．平方根 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根． 注意：①正数的平方根记作 ，读作“正、负根号”． ②一个正数有两个平方根，且互为相反数；的平方根是；负数没有平方根. 知识点03 立方根 3．立方根 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根或三次方根． 一个数的立方根用符号表示为． 注意：正数的立方根为正数；负数的立方根为负数；的立方根为． 知识点04 实数 实数有关概念 无理数：无限不循环小数统称为无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点一一对应． 题型01 直接求平方根、立方根 【典例1】（25-26八年级上·山西太原·期末）27的立方根是（   ） A．3 B．9 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 若一个数的立方等于，即，则是的立方根，，且正数的立方根是正数， ∴ 的立方根是． 【变式1】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，需根据相关定义逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根， ∴4的平方根是，选项A错误； ∵负数没有平方根，0只有一个平方根， ∴选项C错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴1的立方根是1，选项B错误， 任何实数都有一个立方根，选项D正确； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）196的平方根是__________；169的算术平方根是__________；的立方根是_________． 【答案】 ±14 13 【分析】本题考查算术平方根，平方根，立方根，理解各自的概念正确化简各数是解题关键． 【详解】解：196的平方根是，169的算术平方根是13，的立方根是， 故答案为：；13；． 【变式3】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则的立方根为________． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根的性质及立方根的计算，根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列方程求解x，再求a，进而计算的立方根． 【详解】解：由题意知，一个正数的两个平方根互为相反数， ∴，即，解得， 则一个平方根为， ∴， ∴，8的立方根为2， 故答案为：2． 题型02 利用平方根、立方根解方程 【典例2】（23-24九年级上·广东茂名·月考）关于x的方程，则 (  ) A． B． C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的应用，解题的关键是掌握平方根的求法，注意一个正数的平方根有两个． 【详解】解：∵， ∴， 故选B． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）方程：的根是_________． 【答案】， 【分析】本题考查了利用平方根的定义方程，熟练掌平方根的定义是解题的关键． 利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解： ∴，； 故答案为：，． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）求下列方程中x的值：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．先通过移项将常数项移到等号右边，得到的表达式，再利用平方根的定义求出的值，进而求出． 【详解】解： 当时，； 当时，， 所以x的值为或． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·期中）求下列各方程中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟知二者的定义是解题的关键； （1）先将原方程变形为，再利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：由可得：， ∴， ∴； （2）解：由可得：， ∴． 题型03 由平方根、立方根求值 【典例3】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的综合运用，先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案．熟记平方根、立方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， 分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； 的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）已知的平方根是的立方根是，则______． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方根定义、立方根定义定义等知识，根据题意，求出值代入即可，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：的平方根是的立方根是， ，，解得，， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 题型04 实数的运算 【典例4】（25-26八年级上·山西长治·期末）计算：____． 【答案】2 【分析】本题考查了实数的混合运算，先判断绝对值内的符号，再去绝对值，最后进行加法运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级下·湖南衡阳·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】先计算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁盘锦·开学考试）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用乘法分配律简便运算即可； （2）先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，再进行加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2) ． 【答案】(1)0 (2)7 【分析】本题考查有理数的运算，实数的混合运算： （1）根据有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）先进行开方和乘方运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 题型05 无理数的估算 【典例5】（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列实数中，大于3且小于4的无理数是（    ） A． B．3.5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟知有理数和无理数的定义．本题需先明确无理数的定义，再逐一判断各选项是否满足“大于3且小于4”的条件． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数， 又∵，，满足大于3且小于4的无理数要求， ∵3.5是有限小数，属于有理数，不符合无理数条件， ∵，不满足小于4的条件， ∵是负数，小于3，不满足大于3的条件， ∴符合要求的是选项A， 故选：A 【变式1】（25-26九年级下·北京大兴·开学考试）已知，其中为正整数，则的值为______． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的取值范围，结合已知条件即可求出正整数的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵，为正整数， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）若为正整数，且满足，的值是_________． 【答案】 【分析】本题考查了无理数大小的估算，找到相邻的整数是关键．通过比较完全平方数，确定在哪两个相邻的整数之间即可． 【详解】解：，且， ， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为83的正方形的边长是，且， 设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ， 又，． 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为______； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握此知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）估算出即可得解； （2）设，其中，通过数形结合，可画出正方形的面积示意图，由图形可得，结合，得出，当时，假设忽略不计，得，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分的值为； （2）解：设，其中， 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ， 由图形可得：， ∵， ∴， 当时，假设忽略不计，得， 解得：， ∴． 题型06 算术平方根的双重非负性 【典例6】（25-26七年级下·全国·单元测试）已知，那么的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，每个非负数都为0是解题的关键． 根据非负数的性质，平方根和绝对值都非负，它们的和为零则每个部分均为零． 【详解】解：∵ 且 ，且 ， ∴ 且 ， 由得， ∴， 代入得，即， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）若，则的平方根是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，平方根的概念，整体思想，解题的关键是掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0． 根据绝对值和平方的非负性列出方程组，根据整体思想求出的值，再根据平方根的概念解答即可． 【详解】解：， ①－②，得， 的平方根是． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）若实数x，y满足：，则的值为___． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值，利用非负数的性质，绝对值和算术平方根均为非负数，它们的和为零时，每个部分必须为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，且 ， ∴，， 解得，， 因此， 故答案为：2 【变式3】（2025八年级上·北京·专题练习）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是非负数的性质，算术平方根的非负性的应用，由非负数的性质可得，，，再进一步求值即可. 【详解】解：∵， ∴，，， 解得：，，， ∴. 题型07 实数的大小比较 【典例7】（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较实数的大小，先化简各数，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数为； 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】两个负数，绝对值大的其值反而小，先计算两数的绝对值，再比较绝对值的大小，进而判断原数的大小关系． 【详解】解：根据绝对值的定义，可得，， 因为，即， 所以． 【变式2】（24-25八年级下·广东汕尾·月考）比较：________（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】利用分母相同的正分数比较大小的规则，通过比较分子的大小来判断两个分数的大小关系，先确定的取值范围，进而得到分子的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵两个正分数分母相同，分子大的分数值大， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·浙江温州·期中）在数轴上表示下列各数（无理数近似表示），并用“”连接． 0，，， ________________________． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查了数轴，实数的大小比较，熟练掌握如何把实数表示在数轴上是解题的关键． 先把各数表示在数轴上，然后把各数按照从左到右的顺序排列，并用小于号连接起来即可． 【详解】解：各数表示在数轴上为， 根据数轴可知． 故答案为：． 题型08 求整数部分和小数部分 【典例8】（25-26八年级上·上海宝山·期末）若的整数部分和小数部分分别是和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是估算无理数的大小，解题关键是利用不等式的性质确定出的范围． 先由确定 的整数部分和小数部分，再计算． 【详解】解：， ， ， ， 即， 则整数部分，小数部分， ． 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知，且m为整数，则m的值为____． 【答案】4 【分析】本题主要考查无理数的估算，先估算出，即可求出整数的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，且为整数， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）单项式的系数是__________；的小数部分为__________． 【答案】 / 【分析】本题考查单项式的系数，无理数的估算与小数部分求解，确定无理数的整数部分是解题关键． 单项式的系数指数字因子，无理数的小数部分等于其减去整数部分，据此进行求解． 【详解】解：对于单项式，可写为，故系数为； 对于，∵， ∴，的整数部分为， 则的整数部分为，小数部分为． 故答案为：；． 【变式3】（24-25七年级下·陕西安康·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是可以用来表示的小数部分．请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) 1 (2) 【分析】（1）由，即可得出a的值．再根据，即可求出b的值，最后计算即可； （2）由，且，其中x是整数，且，即可求出x和y的值，再计算出，最后利用相反数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，的小数部分为a， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵的整数部分为b， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 题型09 实数与数轴综合运算 【典例9】（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）如图，数轴上点N表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可得点N表示的数大于3且小于4，再根据无理数的估算方法求出四个选项中的数的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，点N表示的数大于3且小于4， ∵， ∴， ∴点N表示的数可能是． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁大连·月考）如图中数轴上标有字母的各点与实数对应的是___．（填“A”或“B”或“C”或“D”） 【答案】A 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键． 先估算出的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴实数对应的是点， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在数轴上，B，C两点关于点A对称，A，B两点所对应的实数分别是和1．求点C所对应的实数． 【答案】点C所对应的实数是 【分析】本题主要考查了实数的运算，数轴上两点间的距离，对称的性质，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 由，两点所对应的实数可求出的长度，再根据，两点关于点对称，可得到，设点所对应的实数是，根据两点间的距离公式列方程，求解即可得到答案． 【详解】解：，两点所对应的实数分别是，1， ． 又，两点关于点对称， ． 设点所对应的实数是， 则， 解得． 故点所对应的实数是． 【变式3】（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，一只瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为．设点表示的数为． (1)实数的值为______； (2)数轴上还有，两点分别表示实数和，且与互为相反数．求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题综合考查数轴上点的移动规律、绝对值与算术平方根的非负性、相反数的定义及算术平方根的计算．解题关键是利用“非负数和为0则各非负数均为0”求出和，再逐步完成后续计算． （1）利用数轴上点向右移动时数值的变化规律（原数加移动单位长度）来确定的值； （2）先依据绝对值与算术平方根的非负性及相反数的性质求出和，再代入计算并求其算术平方根． 【详解】（1）解：因为瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为， 所以点表示的数为， 故答案为：； （2）解：因为与互为相反数， 所以， 即， 解得． 所以， 故的算术平方根为2． 题型10 实数运算的应用 【典例10】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知装裱后长方形的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，． (1)如果，求的长． (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的应用，求三角形的面积， 根据三角形的面积公式求出，进而得出答案． 【详解】（1）解：在中，，且， ∴， 则，， 解得； （2）解：在中，，且， ∴， 则，， 解得． 【变式3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 一、单选题 1．（25-26八年级上·吉林长春·月考）的平方根是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据平方根的定义，正数的平方根有两个，它们互为相反数． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：B． 2．（25-26八年级上·上海·期末）下列选项正确的是（   ） A．的平方根是 B． C．有理数除以无理数的商一定是无理数 D． 【答案】D 【分析】本题需根据平方根、算术平方根、立方根的定义，以及实数的除法运算，解题关键在于需熟练掌握相关定义．根据知识点逐一判断即可． 【详解】解：A、，4的平方根是，原说法错误，不符合题意； B、，原说法错误，不符合题意； C、，即有理数除以无理数的商不一定是无理数，原说法错误，不符合题意； D、，原说法正确，符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·安徽六安·期末）数轴上表示1，的点分别为A，B，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上两点间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数，即可解答． 【详解】解：∵数轴上表示1，的点分别为A，B， ∴线段的长为． 4．（25-26八年级上·河南郑州·期末）实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，通过确定与被开方数相邻的完全平方数，得到无理数的范围，再结合不等式性质求出的范围，进而确定整数的值. 【详解】解：∵ ∴ 即不等式两边同时加3，得，即 ∵在整数与之间 ∴ 故选：A. 5．（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）下列判断不正确的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．6是的算术平方根 C．是25的算术平方根 D．19的算术平方根是 【答案】C 【详解】解：A、∵，， ∴9的算术平方根是3，A判断正确； B、∵，，， ∴6是的算术平方根，B判断正确； C、∵，不符合算术平方根为非负数的要求， ∴不是25的算术平方根，C判断不正确； D、∵，， ∴19的算术平方根是，D判断正确． 6．（25-26七年级上·山东威海·期末）若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】A 【分析】先估算和的取值范围，确定符合条件的正整数的最小值与的取值，再计算的最小值． 【详解】解：∵，，且， ∴， 又∵为正整数且， ∴的最小值为3， ∵，，且， ∴， 又∵为正整数且， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题 7．（25-26八年级上·福建泉州·期末）比较大小：______3（填，，） 【答案】 【分析】本题考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键． 由得到，即可比较大小． 【详解】解：∵， ∴，即． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·河南周口·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是______． 【答案】25 【分析】本题主要考查了根据一个数的平方根求这个数，平方根的概念，一个正数的两个平方根互为相反数，则，解方程求出x的值，再根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴这个正数是， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·北京·开学考试）若与互为相反数，则的值是________． 【答案】 5 【分析】根据非负数的性质结合相反数的定义求出a、b的值，再代入代数式计算即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴． 10．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图，在数轴上表示实数的点可能是______点． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴．熟练掌握无理数的大小估算，实数与数轴是解题的关键． 由题意知，，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴表示实数的点可能是点， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数m的值为______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，估计无理数的取值范围，解题的关键是掌握以上运算法则． 先解二元一次方程组，求出用m表示的x和y，再计算并代入不等式，解出m的取值范围，最后根据m为整数确定其值． 【详解】解：解方程组， ，得， 即， 解得， 代入第二个方程， 即， 解得， 所以， 由，得， 即， ∵，， 即，， ∴，， ∴， 由于m为整数， 所以． 故答案为：1． 12．（25-26七年级下·全国·周测）已知，．请根据已知条件填空： （1）_________； （2）若，则_________． 【答案】 24.77 0.006137 【分析】（1）利用算术平方根的性质：被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点就向右移动一位； （2）利用立方根的性质：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，其立方根的小数点就向左（或向右）移动一位． 【详解】解：（1）已知 ∵， ∴． （2）已知． ∵， ∴． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的小数点移动规律，解题关键是掌握：算术平方根：被开方数小数点每移动两位，结果小数点移动一位；立方根：被开方数小数点每移动三位，结果小数点移动一位． 三、解答题 13．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先计算绝对值，再算加减即可； （）先算乘方、开方，再算除法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解:． ． 14．（24-25七年级下·吉林·期中）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求、的值； (2)直接写出的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根、一元一次方程，熟练掌握立方根、算术平方根、平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义即可求解； （2）根据平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是3， ，， 解得：，． （2）解：， ， 的平方根是． 15．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为______； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)的算术平方根是3． 【分析】（1）根据A点表示的数及平移的方向与距离，列出算式求出B点表示的数； （2）先根据绝对值、算术平方根的非负性，求出c、d，再代入，求出的算术平方根． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B， ∴点B表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵与互为相反数， ∴，， ∴，， ∴的算术平方根是， 即的算术平方根是3． 【点睛】本题考查了绝对值非负性，求一个数的算术平方根，利用算术平方根的非负性解题，实数与数轴，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 16．（25-26八年级上·河南郑州·期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根、无理数的估算，代数式求值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平方根和立方根的定义得出，，计算即可得出，估算出，则，即可解答； （2）先求出的值，再由平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是2， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴的平方根为． 17．（25-26七年级下·全国·周测）观察表格并回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … (1)__________，__________． (2)①已知，则__________； ②已知，若，则__________（用含m的代数式表示b）． (3)试比较与a的大小． 【答案】(1)0.1  10 (2)①31.6  ②10000m (3)当或1时，；当时，；当时，． 【分析】本题考查了算术平方根的性质与规律，掌握算术平方根的定义、被开方数与算术平方根的缩放关系，以及分情况讨论数的大小是解题的关键． （1）根据表格中与​的对应关系，利用算术平方根的定义，直接求出和的值； （2）①将变形为​，利用算术平方根的乘积性质，结合已知进行计算； ②观察​与​的数值倍数关系，根据算术平方根的缩放规律，推出被开方数与的关系； （3）分或三种情况，结合表格中的数据实例，比较与的大小． 【详解】（1）解：∵​，且， ∴； ∵，且， ∴． （2）解：①​， ∵， ∴． ②∵， ∴． （3）解：当或1时，； 当时，； 当时，． 18．（25-26八年级上·河北保定·月考）先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知两个连续的正整数的平方的倒数之和加上1的算术平方根等于1加上较小的正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律可得答案； （3）根据（1）（2）的规律把所求式子裂项计算，再根据新定义可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：①； ②； ③； ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章实数 内容概览 教学目标，教学重难点 知识点】算术平方根 知识点2平方根 知识清单 知识点3立方根 知识点4实数 题型1直接求平方根、立方根 题型2利用求平方根、立方根解方程 实数 题型3由平方根、 立方根求值 题型4实数的运算 题型5无理数的估算 题型精讲 题型6算术平方根的双重非负性 题型7实数的大小比较 题型8求整数部分和小数部分 题型9实数与数轴综合运算 题型]0实数运算的应用 强化训川练 教学目标、教学重难点 1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，能 求非负数的平方根和立方根。 2.理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，会对实数进行分类， 教学目标 能比较实数的大小。 3.掌握实数的运算法则和运算律，能进行简单的实数加、减、乘、除、乘方及开方混 合运算，体会数系扩充的意义。 1.重点 教学重难点 (1)平方根、算术平方根、立方根的概念与求法，无理数和实数的概念，以及实数的 1/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 分类与大小比较。 (2)实数的运算，包括运用运算法则和运算律进行简单的实数混合运算，理解实数运 算与有理数运算的联系。 2.难点 (1)区分平方根与算术平方根，理解实数与数轴上的点一一对应，建立对无理数的直 观认识。 (2)准确进行含根号的实数化简与混合运算，合理运用运算律简化计算，理解运算中 的符号与顺序问题。 知识清单 知识点01算术平方根 1.算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。 注意：①非负数a的算术平方根表示为√a,读作“根号a”,a叫做被开方数. ②规定：0的算术平方根是0. 知识点02平方根 2.平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x=a,那么这个数x叫做a的平方根。 注意：①正数a的平方根记作±√a,读作“正、负根号a”. ②一个正数有两个平方根，且互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根. 知识点03立方根 3.立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根， 一个数a的立方根用符号表示为Va. 注意：正数的立方根为正数；负数的立方根为负数；0的立方根为0. 知识点04实数 实数有关概念 无理数：无限不循环小数统称为无理数 实数：有理数和无理数统称为实数 实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.即实数和数轴 2/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 上的点一一对应. 题型精讲 题型01直接求平方根、立方根 【典例1】(25-26八年级上山西太原·期末)27的立方根是() A.3 B.9 C.±3 D.3√5 【变式1】(25-26八年级上·河南洛阳·期末)下列说法正确的是() A.4的平方根是2 B.1的立方根是-1 C.任何一个实数都有两个平方根 D.任何一个实数都有一个立方根 【变式2】(25-26八年级上·陕西宝鸡·期末)196的平方根是 ;169的算术平方根是 -125的立方根是 【变式3】(25-26八年级上江苏宿迁·期末)一个正数a的两个不同的平方根分别是x+5和4x-10,则 a-28的立方根为 题型02利用平方根、立方根解方程 【典例2】(23-24九年级上：广东茂名·月考)关于x的方程x2=36,则x=() A.±12 B.±6 C.6 D.12 【变式1】(25-26八年级上·上海·月考)方程：2x2=10的根是 【变式2】(25-26八年级上·上海月考)求下列方程中x的值：(x+1)2+8=72. 【变式3】(25-26八年级上江苏南京·期中)求下列各方程中x的值： (1)81x2-49=0; (2)(x+1)=-64 题型03由平方根、立方根求值 【典例3】(24-25八年级下·山东聊城期末)已知x是5的算术平方根，则x2-13的立方根是（) A.-8 B.-3 C.-2 D.2 【变式1】(24-25七年级下·安微合肥期末)一个正数的平方根分别是2a-5和2a+1,，b-30的立方根是-3 ,则√a+b的算术平方根为 【变式2】(23-24八年级上·贵州贵阳·期中)已知5x-1的平方根是±3，y-3的立方根是-2，则x+y= 【变式3】(24-25七年级下陕西安康·期末)已知a+3的立方根是2,3a+b-1的算术平方根是4. (1)求a,b的值； (2)求a+2b的平方根。 题型04实数的运算 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例4】(25-26八年级上山西长治期末)计算：V3-2+√5= 【变式1】(25-26八年级下湖南衡阳开学考试)计算：（-1)226+V25+2-V5+-8. 【变式2】(24-25七年级下·辽宁盘锦·开学考试)计算 0-m-4+ (2)V25+-8+2-5. 【变式3】(25-26七年级上·浙江杭州期末)计算： (1)1--3+(-4； aa+-目 题型05无理数的估算 【典例5】(25-26八年级上广东深圳期末)下列实数中，大于3且小于4的无理数是() A.刀 B.3.5 C.30 D.-√10 【变式1】(25-26九年级下·北京大兴开学考试)己知n<1+√5<n+1,其中n为正整数，则的值为 【变式2】(25-26九年级上·重庆铜梁期末)若m为正整数，且满足m<√23<m+1,m的值是 【变式3】(25-26八年级上·江苏连云港·期中)小李同学探索√83的近似值的过程如下： :面积为83的正方形的边长是√⑧3，且9<√⑧3<10， :设V83=9+x,其中0<x<1: 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 9>x 81 9x SE方形=81+9x+9x+x2=81+18x+x2, 9x 又：SE方形=83，.81+18x+x2=83, 当0<x<1时，假设忽略x2不计，得81+18x≈83，解得x≈011，即√83≈9.11 (1)填空：√52的整数部分的值为： (2)类比上述方法，探究√52的近似值.（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过 程) 题型06算术平方根的双重非负性 【典例6】(25-26七年级下·全国.单元测试)已知V3-x+2x-y=0,那么x+y的值为() 4/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.6 B.7 C.8 D.9 【变式1】(2025九年级全国.专题练习)若(3x+2y-19)2+2x+y-11=0,则x+y的平方根是() A.8 B.±8 C.±22 D.2 【变式2】(25-26七年级上浙江绍兴期末)若实数x,y满足：|x-3+√y+1=0,则x+y的值为· 【变式3】(2025八年级上·北京专题练习)若√a+3+b-2+(c+1)2=0,求a-b+c的值. 题型07实数的大小比较 【典例7】(25-26八年级上河南南阳·期末)下列四个数中，最小的数是() A.5 B.0 C.-1 D.8 【变式1】(25-26八年级上陕西西安期中)比较大小：-√6 -3,（填“>”“<”或“=”) 【变式2】(2425八年级下广东汕尾月考)比较：5-」 (填“>“=”或“<”). 【变式3】(25-26七年级上·浙江温州期中)在数轴上表示下列各数（无理数近似表示），并用<”连接， 0元，4分 54321012345→ < 题型08求整数部分和小数部分 【典例8】(25-26八年级上·上海宝山期末)若4-√5的整数部分和小数部分分别是x和y,则x-y=() A.5 B.-V3 C.1+3 D.2-√3 【变式1】(25-26八年级上广东梅州月考)已知m<√19<m+1,且m为整数，则m的值为· 【变式2】2526七年级上浙江杭州期末)单项式少的系数是 ;√13+3的小数部分为 【变式3】(24-25七年级下·陕西安康·期中)我们知道√2是无理数，其整数部分是1，于是可以用√2-1来 表示√2的小数部分.请解答： (I)如果√7的小数部分为a,√1的整数部分为b,求a+b-√7的值： (2)已知x+y=10+√3，其中x是整数，且0<y<1,求x-y的相反数. 题型09实数与数轴综合运算 【典例9】(25-26九年级下，广西南宁·开学考试)如图，数轴上点N表示的数可能是() 上上 -10123456 A.5 B.5 C.V10 D.17 【变式1】(24-25七年级下辽宁大连月考)如图中数轴上标有字母的各点与实数-√3对应的是·（填“A” 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 或“B”或“C或D”) 4BC.2 2-10123 【变式2】(25-26七年级下·全国课后作业)如图，在数轴上，B,C两点关于点A对称，A,B两点所对应 的实数分别是-√5和1.求点C所对应的实数. A 0 【变式3】(25-26八年级上·安徽宿州·月考)如图，一只瓢虫从点M沿数轴向右爬了2个单位长度到达点 N,点M表示的数m为-√3.设点N表示的数为n. 2话112→ (1)实数n的值为： (2)数轴上还有P,Q两点分别表示实数P和q,且2p+4与g-3互为相反数.求m2+p+g的算术平方根. 题型10实数运算的应用 【典例10】(25-26八年级上·陕西渭南期中)《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示， 图中画纸是长为58v√2cm,宽为30√3cm的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了√8cm,宽不变， 则装裱后整个长方形画卷的总面积为cm2. 【变式1】(24-25七年级下·广东深圳期中)如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2 的杯子中，一共需要个图2这样的杯子.（单位：Cm)(温馨提示：'=πr2.h) 2a 图1 图2 【变式2】(25-26八年级上·全国课后作业)如图，在ABC中，AC=BC,∠C=90°. 6/9 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)如果S△4Bc=1,求AC的长. (2)如果S△4Bc=3,求AC的长. 【变式3】(25-26七年级上浙江金华·期中)如图，长方形ABCD内两个相邻正方形的面积分别为6和9. 6 B C (1)大正方形与小正方形的边长分别为； (2)求阴影部分的面积： (3)求长方形ABCD的周长. 强化训练 一、单选题 1.(25.26八年级上吉林长春月考)的平方根是（） A,月 B.± C.2 D.±2 2 2.(25-26八年级上·上海期末)下列选项正确的是（) A.√16的平方根是±4 B.V-2y=-2 C.有理数除以无理数的商一定是无理数D.-125=-5 3.(25-26七年级上安徽六安期末)数轴上表示1，√2的点分别为A,B,则线段AB的长为() AB 0 12 A.1-2 B.√2-1 C.V2-2 D.2-V2 4.(25-26八年级上河南郑州期末)实数3+√10在两个相邻的整数m与m+1之间，则整数m是() A.6 B.7 C.8 D.9 5.(25-26八年级下·山东青岛开学考试)下列判断不正确的是() A.9的算术平方根是3 B.6是(6)的算术平方根 C.-5是25的算术平方根 D.19的算术平方根是√19 6.(25-26七年级上山东威海期末)若a,b均为正整数，且a>√7，b<4,则a+b的最小值是() A.4 B.2 C.5 D.3 二、填空题 7.(25-26八年级上福建泉州期末)比较大小：V103(填<，>，=) 7/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.(25-26八年级上河南周口期末)一个正数的两个平方根分别是2x-1和3-x，则这个正数是 9.(24-25八年级下·北京·开学考试)若a-b+D与√a+2b-7互为相反数，则2a+b的值是 10.(25-26八年级上江苏淮安·月考)如图，在数轴上表示实数√⑧的点可能是 点. P M N 0 12345→ 2x+y-2的解满足V2<x+y<5, x-y=1-3m 11.(25-26八年级上山东潍坊·期末)关于x,y的二元一次方程组 则整数m的值为 12.(25-26七年级下·全国周测)已知V6.137≈2.477,6.137≈1.831.请根据己知条件填空： (1)√613.7≈ (2)若≈0.1831，则x= 三、解答题 13.(25-26七年级上·浙江丽水·期末)计算： (1)3-(-2)+-4: (2)(-1)2-12÷V9 14.(24-25七年级下·吉林期中)已知6a-10的立方根是-4，b-1的算术平方根是3. (1)求a、b的值； (2)直接写出a+b的平方根. 15.(25-26八年级上·河南周口月考)如图，已知点A表示的数为-√7，点A向右平移2个单位长度到达 点B. 4 小 3-2-10123> (I)点B表示的数为 (2)在数轴上还有C,D两点分别表示实数c和d,且有c-5与√2d+6互为相反数，求3c+2d的算术平方 根. 16.(25-26八年级上河南郑州期中)已知2a-1的平方根是3,3a+b-9的立方根是2，c是√19的整数 部分 (1)求a、b、c的值； (2)求a+2b+c的平方根. 17.（25-26七年级下·全国·周测)观察表格并回答问题： 4. 0.0001 0.01 100 10000 4。 a 0.01 100 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)x=」 (2)①已知√10≈3.16，则√1000≈ ②已知m=8.973,若6=897.3，则b= (用含m的代数式表示b). (3)试比较√a与a的大小 18.(25-26八年级上·河北保定·月考)先观察下列等式，再回答问题 @- V22+31+ 11,11,1 ②，1+于 -=1-; 22+16 ,,11 京+家1+33+2 (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想，1+ 11 4+5 (②)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式： (3)对任何实数a,用a表示不超过a的最大整数，如4=4，V3=1,计算 1,1 的值， 9/9