专题05 相似三角形之母子模型（几何模型讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题05 相似三角形之母子模型 “母子型”（共边共角）与手拉手模型是初中几何相似核心模型，均以 AA 相似为判定核心。“母子型” 模型两三角形共一条公共边、一个公共角，且另一组对应角相等，直接匹配 AA 判定。解题关键是识别共边共角或共顶点等腰特征，快速锁定角相等条件，再套用对应边比例。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 7 模型运用 8 16 相似模型中的“母子型”模型（共边共角模型）源于平面几何相似三角形的判定逻辑，是对高频图形结构的归纳总结，核心依托AA、SAS等相似判定定理，为解决比例线段、角度关系问题提供高效思路。“母子型”模型以“共边共角”为核心特征，呈现大三角形包含小三角形的结构，两个三角形共享一个公共角且一条边相互包含，常见于三角形内部作射线、等腰三角形底角关联等场景，通过公共角加另一组对应角相等的AA判定，可快速证明相似，进而推导线段比例或长度，是基础且高频的相似模型，通过精准捕捉图形特征，简化相似判定流程，降低解题难度。 （2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．    【答案】 【分析】连接，过E作于F，设，，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可． 【详解】解：连接，过E作于F，设，，    ∵，为中点， ∴，又， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，则，又， ∴， ∴，， ∴， 则； ∵是的一条角平分线， ∴，又， ∴， ∴ ∴，则， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键． （2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，点D在边上，，，，则的值为 ；点E在的延长线上，连接，若，则的长为 ． 【答案】 4 / 【分析】作，垂足分别为，易得四边形为矩形，得到，证明为等腰直角三角形，得到，三线合一得到，，证明，得到，设，，求出的长，正切的定义求出，勾股定理求出的值，进而求出的值，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：作，垂足分别为，则四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴设，，则：，， ∴， ∴， ∴在中，，由勾股定理，得：， ∴（负值舍去）， ∴，， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或； 故答案为：4，． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键． （2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． (1)求，，的值； (2)若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值； (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，根据平行四边形的性质，分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况，分别利用中点坐标公式列方程组求解即可； （3）设点，则，，利用相似三角形的性质得，进而解方程得，则，利用待定系数法求得直线的表达式为，联立方程组得，根据题意，方程有且只有一个实数根，利用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入中，得，则， 将代入中，得，则， ∴， 将代入中，得，则； （2）解：设，由（1）知， 若，，，为顶点的四边形为平行四边形，分以下情况： 当为对角线时，则，解得， ∴，则； 当为对角线时，则，解得， ∴，则； 当为对角线时，依题意，这种情况不存在， 综上所述，满足条件的点的坐标为或，； （3）解：如图，设点，则，， 若，则，即， ∴，即， 解得， ∵，∴，则， 设直线的表达式为， 则，解得，∴直线的表达式为， 联立方程组，得， ∵有且只有一点， ∴方程有且只有一个实数根， ∴，解得； 由题意，不存在， 故满足条件的k值为． 相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） 核心结论：两个三角形共用一条边、共享一个角，且第三个角相等（或夹角的对边成比例），则两三角形相似（AA/SAS 判定），对应边成比例、面积比为相似比的平方。 一、模型核心定义 “母子型” 因大三角形包含小三角形（形似 “母亲” 含 “孩子”）得名，又称 “共边共角模型”。关键特征：两个三角形有一个公共角（∠A=∠A），且有一条公共边（如△ABC 与△ACD 共用边 AC），小三角形的第三个顶点在大三角形的边上，最终通过角相等或边成比例证明相似。 二、模型核心三要素 共角：两个三角形共享一个公共角（记为∠A），是相似的基础角条件。 共边：共享一条以公共角为顶点的边（如 AC 既是△ABC 的边，也是△ACD 的边）。 第三角相等或边成比例：要么有一组对应角相等（∠ACD=∠B），要么公共角的两条邻边成比例（AB/AC=AC/AD）。 三、常见模型分类 图1 图2 图3 图4 1.“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2.双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3.“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例1（2023·四川成都·中考真题）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则 ．    【答案】 【分析】过点作于，证明，得出，根据，得，设，，则，则，在中，，在中，，则，解方程求得，则，，勾股定理求得，根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于，    ∵平分交于点， ∴, ∴ ∴ ∵折叠， ∴， ∴, 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵，，则， ∴ ∴，， ∵ 设，，则，则， ∵ ∴ 在中， 在中， ∴ 即 解得： ∴， 则 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 例2（2023·四川眉山·中考真题）如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）连接，利用角平分线的性质和等边对等角，证明，即可解答； （2）根据，可得，求出的长，再利用勾股定理得的长，即可得到的长，最后证明，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接，   ， ， 平分， ， ， ， , , 是的切线； （2）解：设，则， ，解得， ， ， 根据勾股定理可得，, ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ．    【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线的定义，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正弦的概念，熟练运用上述性质是解题的关键． （2023·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C作的切线交延长线于点D，于点E，交于点F．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】（1）连接，利用圆周角定理及半径相等求得，根据切线的性质求得，推出，再证明，据此即可证明结论成立； （2）先求得，，设，证明，利用相似三角形的性质得到，解之即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， 由（1）得， 又， ∴， ∴，即， 整理得，解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正弦函数的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （2024·四川雅安·中考真题）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求证：； (3)若于D，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）首先由直径得到，然后利用等边对等角得到，等量代换得到，进而证明即可； （2）利用得到，求出，然后利用直角三角形两锐角互余得到，进而求解即可； （3）设，证明出，得到，然后表示出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设，在中，， ∴，∴ ∵ ∴∴ ∴， ∵，， ∴，∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即，整理得， 解得，（舍去），故． 【点睛】此题考查了直径的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 1．如图，是的外接圆，是的直径，点E在的延长线上，连接，． (1)求证：是的切线． (2)过点C作，垂足为D，若的面积是的面积的3倍，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等，熟知切线的判定定理，相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）连接，由等边对等角得到，则，由直径所对的圆周角是直角得到，则可导角证明，据此可证明结论； （2）证明，得到，则，设，则，，证明，得到，则，据此可求出，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， 又， ， ， 的面积是的面积的3倍， ， ， 设， ，， ， ，， ， ， ， ∴， 在中，． 2．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 【答案】[问题初探]：黄金比为；[问题再探]：作图见解析；[知识迁移]证明见解析；[延伸拓展] 证明见解析 【分析】[问题初探]代入数据，再解一元二次方程即可； [问题再探] 以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点； [知识迁移]根据点为线段的黄金分割点，得到，再由正方形的性质得到，则，再由夹角均为直角即可证明； [延伸拓展]先证明，，则，那么，即可证明． 【详解】[问题初探] 解：设，，则． ， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∴黄金比为； [问题再探] 解：如图，点即为的黄金分割点： [知识迁移] 证明：∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，，， ∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴； [延伸拓展] 证明：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴点是的黄金分割点． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正多边形的内角问题，勾股定理，正方形和矩形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 3．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积； (3)连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，切线的判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，得到，由此可证明是的切线； （2）根据线段之间的关系证明，解直角三角形可得，则可求出，再根据列式计算即可； （3）由直径所对的圆周角是直角得到，解得到，设，由勾股定理可得；证明，进而证明，得到，则，，进而可求出，再根据余弦的定义可得答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是的直径， ∴， 在中，， 设， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 4．（2025·四川德阳·中考真题）在中直径与弦交于点，，连接，过点作的切线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点． (1)若，求的度数； (2)连接，，再连接并延长交于点， 证明：； 若，求的直径． 【答案】(1)； (2)见解析；． 【分析】（）先由切线的性质可得，则，又，所以，最后通过三角形外角性质即可求解； （）由，则，因为，故有，则，得到，通过等腰三角形的性质可证明，再根据全等三角形的性质可得，从而求证； 连接，证明，则有，所以，由知，故有，即，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵是直径，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； 连接， ∵是直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由知，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 5．如图，正方形中，点在边上，点是的中点，连接，．    (1)求证：； (2)将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上，连接．当点在边上运动时（点不与，重合），判断的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，已知，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)等腰直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的基本性质以及“斜中半定理”等推出，即可证得结论； （2）由旋转的性质得，从而利用等腰三角形的性质推出，再结合正方形对角线的性质推出，即可证得结论； （3）结合已知信息推出，从而利用相似三角形的性质以及勾股定理进行计算求解即可． 【详解】（1）证：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，即：， 在与中， ∴， ∴； （2）解：为等腰直角三角形，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3）解：如图所示，延长交于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴．    【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等，理解并熟练运用基本图形的证明方法和性质，掌握勾股定理等相关计算方式是解题关键． 6．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)，． 【分析】（1）延长交于点F，连接，根据等边对等角可得，，，，继而可得是的角平分线，根据等边三角形“三线合一”的性质可得，由平行线的性质可得，继而根据切线判定定理即可求证结论； （2）连接，先求得，利用圆周角定理结合勾股定理求得直径的长，利用垂径定理结合勾股定理得到，代入数据计算求得，利用勾股定理可求得的长，证明，利用相似三角形的性质计算即可求得． 【详解】（1）证明：延长交于点F，连接， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是的角平分线， ∵， ∴，且平分线段， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， 设， ∴， ∴， 解得，即， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 7．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究 如图2，若，求证：； (2)尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由，，利用两个三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性质即可得证； （2）设，由（1）中相似，代值求解得到，从而根据与的相似比为求解即可得到答案； （3）过点作的平行线交的延长线于点，如图1所示，设，过点作于点，如图2所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点为中点， ∴设， 由（1）知， ∴， ∴， ∴与的相似比为， ∴， ∵ ∴； （3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点， ∴设， ∵， ∴，， 在中，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图2所示： ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴，，， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 8．（2025·四川南充·中考真题）矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长．            【答案】（）详见解析；（）；（） 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解； （3）过点作于，交于点，证明，可得，设，，根据勾股定理得到关于x的方程，可得到，．，，． 设，则，．在中，根据勾股定理求出，即可求解． 即的长为5． 【详解】（1）证明：连接，    由折叠可得，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，    当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． （3）解：过点作于，交于点，    ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 设，，∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，解得． ∴，．，，． 设，则，． 在中，， ∴．解得，， 即的长为5． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似三角形之母子模型 “母子型”（共边共角）与手拉手模型是初中几何相似核心模型，均以 AA 相似为判定核心。“母子型” 模型两三角形共一条公共边、一个公共角，且另一组对应角相等，直接匹配 AA 判定。解题关键是识别共边共角或共顶点等腰特征，快速锁定角相等条件，再套用对应边比例。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 3 模型运用 4 6 相似模型中的“母子型”模型（共边共角模型）源于平面几何相似三角形的判定逻辑，是对高频图形结构的归纳总结，核心依托AA、SAS等相似判定定理，为解决比例线段、角度关系问题提供高效思路。“母子型”模型以“共边共角”为核心特征，呈现大三角形包含小三角形的结构，两个三角形共享一个公共角且一条边相互包含，常见于三角形内部作射线、等腰三角形底角关联等场景，通过公共角加另一组对应角相等的AA判定，可快速证明相似，进而推导线段比例或长度，是基础且高频的相似模型，通过精准捕捉图形特征，简化相似判定流程，降低解题难度。 （2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．    （2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，点D在边上，，，，则的值为 ；点E在的延长线上，连接，若，则的长为 ． （2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． (1)求，，的值； (2)若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值； (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） 核心结论：两个三角形共用一条边、共享一个角，且第三个角相等（或夹角的对边成比例），则两三角形相似（AA/SAS 判定），对应边成比例、面积比为相似比的平方。 一、模型核心定义 “母子型” 因大三角形包含小三角形（形似 “母亲” 含 “孩子”）得名，又称 “共边共角模型”。关键特征：两个三角形有一个公共角（∠A=∠A），且有一条公共边（如△ABC 与△ACD 共用边 AC），小三角形的第三个顶点在大三角形的边上，最终通过角相等或边成比例证明相似。 二、模型核心三要素 共角：两个三角形共享一个公共角（记为∠A），是相似的基础角条件。 共边：共享一条以公共角为顶点的边（如 AC 既是△ABC 的边，也是△ACD 的边）。 第三角相等或边成比例：要么有一组对应角相等（∠ACD=∠B），要么公共角的两条邻边成比例（AB/AC=AC/AD）。 三、常见模型分类 图1 图2 图3 图4 1.“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2.双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3.“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例1（2023·四川成都·中考真题）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则 ．    例2（2023·四川眉山·中考真题）如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． （2023·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C作的切线交延长线于点D，于点E，交于点F．    (1)求证：； (2)若，，求的长． （2024·四川雅安·中考真题）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求证：； (3)若于D，，，求的长． 1．如图，是的外接圆，是的直径，点E在的延长线上，连接，． (1)求证：是的切线． (2)过点C作，垂足为D，若的面积是的面积的3倍，，求的长． 2．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 3．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积； (3)连接，若，求的值． 4．（2025·四川德阳·中考真题）在中直径与弦交于点，，连接，过点作的切线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点． (1)若，求的度数； (2)连接，，再连接并延长交于点， 证明：； 若，求的直径． 5．如图，正方形中，点在边上，点是的中点，连接，．    (1)求证：； (2)将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上，连接．当点在边上运动时（点不与，重合），判断的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，已知，当时，求的长． 6．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求和的长． 7．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究 如图2，若，求证：； (2)尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 8．（2025·四川南充·中考真题）矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长．            1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $