第十章 复数 章末总结课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

章末总结 第十章 复数 高二下学期数学人教B版必修第四册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 单元知识梳理 03 01 02 单元专题归纳 高考命题点分析 单元知识梳理 01 4 单元专题归纳 02 专题 复数与其他知识的综合考查 1 与集合综合考查 例1 若集合,，,是虚数单位,,,则 等于( ) C A. B. C., D. 【解析】因为,,,，, ， 所以, ． 6 例2 (2025·陕西省西安市长安区第一中学期中)设集合 , ,}为虚数单位，则 为( ) C A. B. C. D. 【解析】因为 , 所以集合为 . 因为,所以,即 ， 所以,解得 . 所以集合为,所以为 . 7 例3 已知,,,1,,若,求实数 的值. 【解析】， . 即或 . 当 时， 有解得 ; 当 时， 有解得 . 综上可知或 . 8 2 与充要条件综合考查 例4 (2025·海南省文昌中学段考)设,,是虚数单位，则“”是“复数 为 纯虚数”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】因为 为纯虚数， 所以必有, . 而当时，有或 . 当,时，有 ,反之不成立. 故“”是“复数 为纯虚数”的必要不充分条件. 9 例5 (2025·福建省晋江市平山中学期中)“复数 在复平面内对应的点在第三象 限”是“ ”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】在复平面内对应的点在第三象限，则 ，易 知“”是“ ”的充分不必要条件. 10 3 与三角函数综合考查 例6 设,为复数，且满足,（其中为虚数单位），则 的 值为_____. 【解析】由,可设 , 由，得 , 于是， . 11 例7 已知复数 . （1）求 ; 【解析】 , . （2）若,求 的最大值. 【解析】, 可设 , . 当时，取得最大值，最大值为 . 12 一章一练·学思维知创新 复数中的新定义问题 实数系到复数系的扩充，推动了数学的发展，解决了困扰数学家已久的负实数开平 方问题，作为重要的数系，复数除了课本上讲到的四则运算、三角表示外，还衍生 出了其他新定义问题，让我们一起感受一下复数的魅力！ 例8 (2025·福建省龙岩第一中学月考)新定义 欧拉公式 欧拉是数学史上非常多产的 数学家之一,他发现并证明了欧拉公式 ,从而建立了三角函数和指 数函数的关系.若将其中的 取作 就得到了欧拉恒等式 ,它是令人着迷的 一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来,两个超越数——自然对数的底数 ,圆 周率 ,两个单位——虚数单位 和自然数单位1,以及被称为人类伟大发现之一的0.请 你根据欧拉公式 ,解决以下问题: 13 （1）将复数写成,,为虚数单位 的形式; 【解析】由欧拉公式得，, ， 所以 . （2）求 的最大值. 【解析】由欧拉公式及复数模的求法得， ，所以当时，即 ， 时， 取得最大值，最大值为2. 14 例9 新定义 次单位根 在复数域中，满足 的所有复数 称为 次单位根，其中满足 的次单位根又称为次本原单位根.例如当 时，存在四 个4次单位根,，因为,，因此只有两个4次本原单位根 ． （1）直接写出3次单位根，并指出哪些是3次本原单位根（无需证明）． 【解析】当时，的解为 ， 则3次单位根为1,, ， 由于，, 的1次方以及2次方均不等于1， 故3次本原单位根为, . 15 （2）①若是8次本原单位根，证明： ． 【解析】因为是8次本原单位根，所以, . 因为，且，所以 ， 所以, , ， 则 . 16 ②若是次本原单位根，证明： ． 【解析】因为是次本原单位根，所以, ， 设 ， 因为，所以 ， 又 ， 所以 ， 所以 . 因为，所以，即 ， 则，即 . 17 高考命题点分析 03 命题点1 复数概念及运算 例10 (2025·全国高中数学联赛江西预赛)设复数满足 ，则 的值为___________. 【解析】，即 , 所以 . 19 例11 (2024·全国高中联赛浙江赛区初赛)已知复数满足，则 _ _______． 【解析】设 ， 由，得，所以 ， 由，得，所以 ， 联立得解得或 所以 ． 20 例12 (2025·北京大学强基计划测试)已知在2与 在复平面上对应点所连的线段 上，，求 在复平面上扫过的面积. 【解析】在复平面内，设对应的点为，点在线段上运动，其中 , ， . 设对应的点为，点在以坐标原点为圆心的单位圆上运动， . 设对应的点为，则，所以 ，则 ，即点在以 点为圆心、2为半径的圆上运动. 当点在线段上运动时，点在复平面上扫过的图形为一个矩形 长、宽分别为4 和和两个半圆（半径为2），面积为 . 21 命题点2 方程的复数解 例13 (2025·全国高中数学联赛福建预赛)若,是关于的方程 的两个虚数根，且,则实数 的值为___. 1 【解析】方程可化为 . 依题意 , 方程两虚数根为 . 于是解得 . . . 22 例14 (2022·中国数学奥林匹克希望联盟夏令营)设集合， ， ，其中，，与为实系数方程 的两 根，则 中所有元素之和为_______. 【解析】由根与系数的关系可知，， ， 则 中所有元素之和为 23 命题点3 复数与函数的综合 例15 (2023·全国高中数学联赛浙江赛区初赛)设函数为复数 满足 .若，则 ___. 1 【解析】因为，所以 . 又 ， 所以，即，即 . 24 谢谢观看 高二下学期数学人教B版必修第四册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 25 $