5.1.2 第2课时 导数的几何意义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦导数的几何意义及导函数概念，通过课前自主落实基础，课堂梯度进阶式教学，结合微点助解与思维建模，构建从概念理解到切线方程求解的完整学习支架。 其亮点在于以题型分类（图象变化判断、切线问题求解等）和思维建模（如求切线方程步骤）为核心，培养学生数学思维与逻辑推理能力，实例丰富（如过点切线问题变式）助学生用数学语言表达问题，既提升学生解题能力，也为教师提供结构化分层教学资源。

导数的几何意义 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.会求简单函数的导函数. 2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的_______，也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是_______，相应地，切线方程为_________________. 斜率 f'(x0) y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) 2.导数值的大小与函数变化的快慢关系 (1)若f'(x0)=0，则函数在x=x0处切线斜率k=0； (2)若f'(x0)>0，则函数在x=x0处切线斜率k>0，函数在x=x0附近单调递增且f'(x0)越大，说明函数图象变化得越快； (3)若f'(x0)<0，则函数在x=x0处切线斜率k<0，函数在x=x0附近单调递减且|f'(x0)|越大，说明函数图象变化得越快. |微|点|助|解| (1)由导数定义切线具有一般性，初中学过的圆的切线不具有一般性，切线与曲线的交点不一定只有1个. (2)切线的斜率k只与横坐标x0有关，与Δx无关. (3) f'(x0)的正负决定增减，|f'(x0)|的大小决定快慢. 3.导函数 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'= _____________________. |微|点|助|解|　函数f(x)在x=x0处导数f'(x0)与导函数f'(x)之间的区别与联系 区别 (1)f'(x0)是函数f(x)在x=x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量. (2)f'(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的，即如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f'(x)，从而构成了一个新的函数——导函数f'(x) 联系 函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是导函数f'(x)在x=x0处的函数值，也是求函数在x=x0处的导数的方法之一 1.已知y=f(x)的图象如图所示，则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是 (　　) A.f'(xA)>f'(xB) B.f'(xA)<f'(xB) C.f'(xA)=f'(xB) D.不能确定 √ 基础落实训练 解析：由导数的几何意义，f'(xA)，f'(xB)分别是曲线在点A，B处切线的斜率，由题图可知f'(xA)<f'(xB). 2.如图，直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线，则f'(4)= (　　) A. B.3 C.4 D.5 解析：由于kl==，∴f'(4)=. √ 3.已知函数y=f(x)，若f'(x0)>0，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处切线的 倾斜角的范围是____________.  解析：由于f'(x0)>0，说明y=f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率大于0，故倾斜角为锐角. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　利用导数的几何意义判断函数的图象变化 [例1]　若函数y=f(x)的导函数在区间[a，b]内单调递增，则函数y=f(x)在区间[a，b]内的图象可能是 (　　) √ 解析：函数y=f(x)的导函数y=f'(x)在[a，b]内单调递增，由导数的几何意义可知，曲线y=f(x)在区间[a，b]内各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合. 　|思|维|建|模| (1)曲线f(x)在x=x0附近的变化情况可通过在x=x0处的切线刻画.f'(x0)>0说明曲线在x=x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x=x0附近曲线是上升的；f'(x0)<0说明在x=x0附近曲线是下降的. (2)曲线在某点处的切线斜率反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢. 针对训练 1.已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系正确的是 (　　) A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2) B.0<f'(2)<f(3)-f(2)<f'(3) C.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2) D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3) √ 解析： kAB==f(3)-f(2)，f'(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，f'(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，根据图象可知0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2). 题型(二)　利用导数的几何意义求解切线问题 题点1　求切线方程 [例2]　已知曲线y=x3+，求曲线在点P(2，4)处的切线方程. 解：∵P(2，4)在曲线y=x3+上， ∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为 k= = =4. ∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0. 　　[变式拓展] 1.本例条件不变，求曲线过点P(2，4)的切线方程. 解：设曲线y=x3+与过点P(2，4)的切线相切于点A， 则切线的斜率为k= =， ∴切线方程为y-=(x-x0)，即y=x-+. ∵点P(2，4)在切线上，∴4=2-+，即-3+4=0. ∴+-4+4=0，∴(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0，∴(x0+1)(x0-2)2=0， 解得x0=-1或x0=2.故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. 2.本例条件不变，求满足斜率为1的曲线的切线方程. 解：设切点为(x0，y0)，由变式拓展1可知切线的斜率为k=， 即=1，x0=±1，∴切点为或(-1，1)， ∴切线方程为y-=x-1或y-1=x+1，即3x-3y+2=0或x-y+2=0. |思|维|建|模| 求曲线切线方程的两种情形 (1)如果所给点P(x0，y0)是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)，即得切线的斜率k=f'(x0)，再根据点斜式得出切线方程. (2)如果所给点P不是切点，应先设出切点M(x0，y0)，再求切线方程.要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上. 题点2　求切点坐标或参数 [例3]　(1)已知曲线f(x)=x3+ax在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则实数a=(　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 √ 解析： f'(1)=== [(Δx)2+3Δx+3+a]=3+a.又曲线f(x)在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，∴f'(1)·=(3+a)·=-1，解得a=1. (2)已知f(x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标 为___________.  解析：设切点坐标为(x0，y0)，则Δy=[2(x0+Δx)2+1]-(2+1)=4x0· Δx+2(Δx)2，∴=4x0+2Δx，∴f'(x0)==4x0. 又∵切线的斜率为k=tan 45°=1，∴4x0=1，即x0=. ∴y0=2×+1=，∴切点坐标为. |思|维|建|模| 求切点坐标的步骤 (1)设出切点坐标； (2)利用导数或斜率公式求出斜率； (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标. 针对训练 2.直线l：y=x+a(a≠0)和曲线C：y=x3-x2+1相切，则a的值为________， 切点坐标为____________.  解析：设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)， 因为y'==3x2-2x， 则y'=3-2x0=1，解得x0=1或x0=-.当x0=1时，y0=-+1=1. 又因为(x0，y0)在直线y=x+a上， 将x0=1，y0=1代入得a=0，与已知条件矛盾，舍去. 当x0=-时，y0=-+1=， 则切点坐标为，将代入直线y=x+a中得a=. 3.求函数f(x)=x2+1过点P(1，0)的切线方程. 解：设切点为Q(a，a2+1)，==2a+Δx， =(2a+Δx)=2a. 所以所求切线的斜率为2a.因此=2a，解得a=1±， 所求的切线方程为(2+2)x-y-(2+2)=0或(2-2)x-y-(2-2)=0. 题型(三)　导函数 [例4]　函数f(x)=2-的导函数f'(x)=(　　) A.2- B.- C.2+ D. √ 解析：由导函数的定义得f'(x)== ==.故选D. |思|维|建|模| 　　求解f'(x)时，结合导数的定义，首先计算Δy=f(x+Δx)-f(x)，再求解，最后得到f'(x)=. 针对训练 4.已知函数f(x)=x2-x，求： (1)f'(x)； 解：∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=Δx2+2xΔx-Δx，∴=Δx+2x-，∴f'(x)==2x-. (2)f(x)在x=1处的导数. 解：f'(1)=2×1-=. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.函数f(x)在x=x0处导数f'(x0)的几何意义是 (　　) A.在点x=x0处的斜率 B.在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角正切值 C.点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率 D.曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)) 处的切线的斜率 √ 解析： f'(x0)的几何意义是在切点(x0，f(x0))处的切线斜率.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若曲线y=h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x+y+1=0，则 (　　) A.h'(a)=0 B.h'(a)<0 C.h'(a)>0 D.h'(a)不确定 √ 解析：由2x+y+1=0，得y=-2x-1.由导数的几何意义知，h'(a)=-2<0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知函数f(x)满足f'(x1)>0，f'(x2)<0，则在x=x1和x=x2附近符合条件的f(x)的图象大致是 (　　) 解析：由f'(x1)>0，f'(x2)<0可知，f(x)的图象在x=x1处切线的斜率为正，在x=x2处切线的斜率为负. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.函数y=(x-1)2的导数是 (　　) A.-2 B.(x-1)2 C.2(x-1) D.2(1-x) √ 解析： y'== = =2x-2=2(x-1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设=a，则下列不等式正确的是(　　) A.a<f'(2)<f'(4) B.f'(2)<a<f'(4) C.f'(4)<f'(2)<a D.f'(2)<f'(4)<a √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题图可知，在[2，4]上，函数增长的越来越快，故函数图象的切线斜率越来越大，而(2，f(2))，(4，f(4))两点连线的斜率为，其大小在点(2，f(2))处的切线斜率f'(2)与点(4，f(4))处的切线斜率f'(4)之间，所以f'(2)<a<f'(4). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.若曲线y=x+上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是(　　) A.(-∞，-1) B.(-1，1) C.(-∞，1) D.(1，+∞) √ 解析： y=x+上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率k=y'= ==1-<1.即k<1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(5分)已知函数y=f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x-y-2=0平行，则y'|x=2=______.  3 解析：因为直线3x-y-2=0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y'=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)过正弦曲线y=sin x上点的切线与y=sin x的图象的交点个数为_______个.  无数 解析：由题意，y=f(x)=sin x，则f'==. 当Δx→0时，cos Δx→1，则f'=0，曲线y=sin x的切线方程为y=1， 且与y=sin x的图象有无数个交点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知函数y=ax2+b在点(1，3)处的切线斜率为2，则=_______.  2 解析：∵f'(1)=2，又== (aΔx+2a)=2a，∴2a=2，∴a=1. 又f(1)=a+b=3，∴b=2，∴=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)函数y=在x=1处的导数为______.  - 解析：作出函数y=的图象如图.由导数的几何意义可知，函数y=在x=1处的导数即为半圆在点P(1，)处的切线的斜率.所以kl= -=-=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)若点P是抛物线y=2x2+1上任意一点，则点P到直线y=x-2的最 小距离为__________.  解析：由题意知，当点P到直线y=x-2的距离最小时，点P为抛物线y=2x2+1的一条切线的切点，且该切线平行于直线y=x-2.设y=f(x)= 2x2+1.由导数的几何意义知y'=f'(x)==4x=1，解得x=，∴P，故点P到直线y=x-2的最小距离d==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)，Q(2，-1)，且在点Q处与直线y=x-3相切，求实数a，b，c的值. 解：∵曲线y=ax2+bx+c过点P(1，1)，∴a+b+c=1.① ∵y'== ==(2ax+b+aΔx)=2ax+b， ∴y'|x=2=4a+b，∴4a+b=1.② 又曲线过Q(2，-1)点，∴4a+2b+c=-1，③ 联立①②③解得a=3，b=-11，c=9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)试求过点P(3，5)且与曲线y=x2相切的直线方程. 解：设所求切线的切点为A(x0，y0)， 则f'(x0)===2x0. ∵点A在曲线y=x2上，∴y0=， 又∵A是切点，∴过点A的切线的斜率k=2x0， ∵所求切线过P(3，5)和A(x0，y0)两点， ∴其斜率为=.∴2x0=，解得x0=1或x0=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 从而切点A的坐标为(1，1)或(5，25). 当切点为(1，1)时，切线的斜率为k1=2x0=2. 当切点为(5，25)时，切线的斜率为k2=2x0=10. ∴所求的切线有两条，方程分别为y-1=2(x-1)和y-25=10(x-5)， 即y=2x-1和y=10x-25. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知曲线y=x2+1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线?若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：∵==2x+Δx，∴y'==(2x+Δx)=2x.设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为k=y'=2x0，由点斜式可得所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0).又∵切线过点(1，a)，且y0=+1， ∴a-(+1)=2x0(1-x0)，即-2x0+a-1=0.∵切线有两条，∴Δ=(-2)2-4(a-1)>0，解得a<2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(-∞，2). 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $