5.1.1变化率问题-平均速度、瞬时速度第1课时（2）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

2（2） 问题0：观察左图，你想到了什么？你能提出什么问题？ 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关. 一、是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程； 二、是求曲线的切线； 三、是求函数的最大值与最小值； 四、是求长度、面积、体积和重心等. 章引入 1分钟（读） 1（3） 章引入：微积分数学史：第二次数学危机 刘辉“割圆术”:割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣. 5.1.1变化率问题-第1课时（2课时）P59-P61 平均速度、瞬时速度 陶新军 1（4） 学习目标 核心素养 1.感悟运动变化的观点；感悟极限的思想;了解微积分数学史。 直观想象 2.通过实例分析，探究平均速度。 数学运算 3.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程。 逻辑推理 4.理解平均变化率，瞬时变化率。 数学抽象 1分钟（读） 1（4） 一.新课引入。 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的, “指数爆炸”比“直线上升”快得多, 进一步地, 能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢? 下 面我们就来研究这个问题. 变化率：一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率. 2（6） 二.概念形成：通过实例分析，探究平均速度。 问题1 高台跳水运动员的速度 探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在函数关系 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢? 1（7） 三.概念深化：通过实例分析，探究平均速度。 并思考下列问题： (1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 问题1 高台跳水运动员的速度 探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在函数关系 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢? 1（8） 二.概念形成：通过实例分析，探究平均速度。 问题1 高台跳水运动员的速度 探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在函数关系 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢? 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneous velocity). 4（12） 二.概念形成：经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程． 探究：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能运用这种关系求运 动员在t=1s时的瞬时速度吗？ 当∆t <0时，在时间段[1十∆t, 1]内 当∆t >0时， 在时间段[1, 1十∆t]内 ∆t ∆t 通过观察可得，当∆t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－7. 2（14） 求t=1s时的瞬时速度步骤： 二.概念形成：经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程． 事实上，由 可以发现，当∆t0时， －7 . 数学中，我们把－7叫做“当△t无限趋近于0时， 的极限”，记为 (4)求t=1s时的瞬时速度： (1)在1处时间增量：（1+∆t）∆t (3)[1,1+∆t]平均速度： (2)在1处位移增量：（1+∆t） 思考 (1) 求运动员在t=2 s时的瞬时速度； (2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度? 运动员在t=2 s时的瞬时速度 运动员在t= 时的瞬时速度 二.概念形成：经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程． 4+2（20） 求时刻瞬时速度步骤: 1. 平均速度： 运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为 当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为 2. 瞬时速度： 两者都刻画物体的运动状态，瞬时速度是平均速度的极限值． 二.概念形成：经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程． 1（21） 平均变化率的极限，即瞬时变化率： 三.概念深化：函数的平均变化率与瞬时变化率（教材64页） 3（24） 例1 求问题1中高台跳水运动员在t=1.5 s时的瞬时速度. 课本P61 四.应用探究:1求平均速度或瞬时速度． 在t=1.5 s时的瞬时速度 解： 2（26） 练习1. 火箭发射t s后，其高度(单位: m)为h(t)=0.9t2. 求： (1) 在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度； (2) 发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度. 课本P61 四.应用探究:1求平均速度或瞬时速度． 3+1（30） √ 四.应用探究：2求平均变化率、瞬时变化率 4（34） 练习1．函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝(　　) A．f(x0＋Δx)　　B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) √ 练习2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 √ 四.应用探究：2求平均变化率、瞬时变化率 4（38） 五.总结归纳 知识点： 题型： 方法： 作业：学科网搜：5.1.1变化率问题第1课时（平均速度、瞬时速度） 1（40） 1.平均速度； 2.瞬时速度； 3.平均变化率； 4.瞬时变化率 1.平均速度； 2.瞬时速度； 3.平均变化率； 4.瞬时变化率 1. 平均速度： 运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为 当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为 2. 瞬时速度： 平均变化率的极限，即 叫做瞬时变化率. 3. 平均变化率： 4. 瞬时变化率： 板书设计 函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率:＝． 对于函数y＝f(x)， 设自变量x从x0变化到x0＋Δx，x的变化量为Δx＝(x0＋Δx)－x0； 函数值y从f(x0)变化到f(x0＋Δx),y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0). ＝． 例2 (1)函数y＝从x＝1到x＝2的平均变化率为(　　) A．－1 B．－ C．－2 D．2 (2)求函数y＝f(x)＝在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率和瞬时变化率． 解：因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1＝ ＝＝， ∴平均变化率为＝－ . 函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率为＝． $