2.3一元二次方程根与系数的关系题型突破2025-2026学年浙教版八年级数学下册（七大题型）

2.3一元二次方程根与系数的关系题型突破2025-2026学年 浙教版八年级下册（七大题型） 题型一：不解方程求两根之和与两根之积 1.已知方程x2+2x+1＝0的两个实数根分别是m，n，则m+n的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．﹣1 D．2 2.已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 4.若关于x一元二次方程的根为，，则下面成立的是（ ） A. B. C. D. 5．若a，b是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 题型二：已知方程的一根求另一个根 1.关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为x1＝2，则另一个解x2为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2 2.关于x的一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（　　） A．3 B．－2 C．－3 D．－4 3.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是﹣6，则另一个根是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 4.已知是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，则方程的另外一根为（　　） A． B． C． D． 5.已知关于x的一元二次方程ax2+2ax+k+2＝0有两个实数根． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）当a＝1时，求实数k的取值范围． 题型三：已知两根求一元二次方程 1．写出一个以﹣2、3为两根的一元二次方程　 　 ． 2．请写出一个根为3，另一个根满足﹣2＜x＜2的一元二次方程　 　 ． 3.解某个一元二次方程时，甲看错了方程的常数项，因而得出的两根为8和2；乙看错了方程的一次项的系数，因而得出两根为﹣9或﹣1，那么正确的方程为（　　） A．x2﹣10x+9＝0 B．x2+10x+9＝0 C．x2﹣10x﹣9＝0 D．x2+10x﹣9＝0 题型四：利用根与系数的关系求代数式的值 1.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣6x+3＝0的两个实数根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D．2 2.已知x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则x22+2x2﹣x1的值为（　　） A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1 3.若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实根，则m2+4m+2n的值是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 4.如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么______． 5.已知、是方程的两个实数根，则代数式的值是________． 6．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求的值． 题型五：已知代数式的值求参数 1.关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（　　） A．m＝﹣2 B．m＝3 C．m＝3或m＝﹣2 D．m＝﹣3或m＝2 2．关于的方程的两个实数根，，满足，那么的取值可以是（   ） A． B． C． D． 3.已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b＝0的两实数根，且x1+x2＝﹣2，x1•x2＝1，则ba的值是（　　） A． B． C．4 D．﹣1 4.关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0的两实根x1，x2满足，则m的值为（　　） A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣5 D．5 5.若、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为______． 6．已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 题型六：判别式和根与系数的关系综合问题 1.关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两个实根，且x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，求m的值． 2.已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 3.已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值． 4.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实根． （1）求m的取值范围． （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝2x1•x2，求m的值． 5.已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0 （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值． 题型七：根与系数的关系与几何问题 1.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣3＝0的两个根为a，b． (1)若a，b分别为矩形的两条对角线的长，求m的值； (2)若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为4，求m的值． 2.已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值． 3.已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个实数根． （1）若AB的长为6，求m的值； （2）m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出此时菱形的边长． 【答案】 2.3一元二次方程根与系数的关系题型突破2025-2026学年 浙教版八年级下册（七大题型） 题型一：不解方程求两根之和与两根之积 1.已知方程x2+2x+1＝0的两个实数根分别是m，n，则m+n的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．﹣1 D．2 【答案】A． 2.已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 3.已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 【答案】B 4.若关于x一元二次方程的根为，，则下面成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 5．若a，b是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 题型二：已知方程的一根求另一个根 1.关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为x1＝2，则另一个解x2为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2 【答案】B 2.关于x的一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（　　） A．3 B．－2 C．－3 D．－4 【答案】A 3.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是﹣6，则另一个根是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【答案】D 4.已知是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，则方程的另外一根为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 5.已知关于x的一元二次方程ax2+2ax+k+2＝0有两个实数根． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）当a＝1时，求实数k的取值范围． 【答案】（1）x2＝﹣4； （2）k≤﹣1． 【详解】（1）设方程的另一个根为x2， 则， ∴x2＝﹣4； （2）当a＝1时，方程为x2+2x+k+2＝0， 由题意可得：4﹣4（k+2）≥0， 解得k≤﹣1． 题型三：已知两根求一元二次方程 1．写出一个以﹣2、3为两根的一元二次方程　 　 ． 【答案】x2﹣x﹣6＝0． 2．请写出一个根为3，另一个根满足﹣2＜x＜2的一元二次方程　 　 ． 【答案】x2﹣4x+3＝0． 3.解某个一元二次方程时，甲看错了方程的常数项，因而得出的两根为8和2；乙看错了方程的一次项的系数，因而得出两根为﹣9或﹣1，那么正确的方程为（　　） A．x2﹣10x+9＝0 B．x2+10x+9＝0 C．x2﹣10x﹣9＝0 D．x2+10x﹣9＝0 【答案】A 题型四：利用根与系数的关系求代数式的值 1.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣6x+3＝0的两个实数根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D．2 【答案】A 2.已知x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则x22+2x2﹣x1的值为（　　） A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1 【答案】A 3.若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实根，则m2+4m+2n的值是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 【答案】B 4.如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么______． 【答案】 5.已知、是方程的两个实数根，则代数式的值是________． 【答案】3 6．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：当时，原方程为， ∵原方程的两实数根分别为和， ∴， ∴． 题型五：已知代数式的值求参数 1.关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（　　） A．m＝﹣2 B．m＝3 C．m＝3或m＝﹣2 D．m＝﹣3或m＝2 【答案】A． 2．关于的方程的两个实数根，，满足，那么的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3.已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b＝0的两实数根，且x1+x2＝﹣2，x1•x2＝1，则ba的值是（　　） A． B． C．4 D．﹣1 【答案】A． 4.关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0的两实根x1，x2满足，则m的值为（　　） A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣5 D．5 【答案】C． 5.若、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为______． 【答案】 6．已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当时，原方程为， ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴无论为何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根． ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∵， ∴． 题型六：判别式和根与系数的关系综合问题 1.关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两个实根，且x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，求m的值． 【答案】（1）证明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×2m ＝m2+8m+16﹣8m ＝m2+16＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意得x1+x2＝﹣（m+4），x1x2＝2m， ∵x1+x2+x1x2＝m2﹣4m， ∴﹣（m+4）+2m＝m2﹣4m， 解得m＝1或4， 即m的值为1或4． 2.已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根， ∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0， 解得k≤， 即k的取值范围是k≤； （2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x1＝﹣3，x1x2＝k﹣2， ∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1， ∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1， ∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1， 解得k＝3， 即k的值是3． 3.已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值． 【答案】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×（m2﹣9）＝4m2﹣4m2+36＝36＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根． （2）解：x2﹣2mx+m2﹣9＝0，即（x﹣m+3）（x﹣m﹣3）＝0， 解得：x1＝m+3，x2＝m﹣3． ∵x1+x2＝6， ∴2m＝6， 解得：m＝3． 4.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实根． （1）求m的取值范围． （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝2x1•x2，求m的值． 【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（m+1）＝16﹣4m﹣4＞0， 解得：m＜3． （2）∵该方程的两个实数根为x1、x2， ∴x1+x2＝4，x1•x2＝m+1． ∵x1+x2＝2x1•x2， ∴2（m+1）＝4， 解得：m＝1． 5.已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0 （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值． 【答案】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k+9＞0， 解得：k＞﹣， 即k的取值范围是k＞﹣； （2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1•x2＝k2﹣2， ∵方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11， [﹣（2k+1）]2﹣2（k2﹣2）＝11， 解得：k＝﹣3或1， ∵关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个不相等的实数根， 必须k＞﹣， ∴k＝﹣3舍去， 所以k＝1． 题型七：根与系数的关系与几何问题 1.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣3＝0的两个根为a，b． (1)若a，b分别为矩形的两条对角线的长，求m的值； (2)若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为4，求m的值． 【答案】（1）∵a，b分别为矩形的两条对角线的长 ∴a＝b ∴Δ＝(﹣6)2－4(m-3)＝0 m＝12 （2）根据根与系数关系 得：a·b＝m-3 ∵S菱形＝a·b＝4 ∴(m-3)＝4 ∴m＝11 2.已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值． 【答案】解：（1）由题意可知：Δ＝[﹣（m+5）]2﹣4（3m+6）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0， ∴不论实数m取何值，即方程总有实数根； （2）设方程的两个根为a，b， 则：a+b＝m+5，ab＝3m+6， 由题意可得：a2+b2＝25， ∴（a+b）2﹣2ab＝25， ∴（m+5）2﹣2（3m+6）＝25， 解得：m＝2或m＝﹣6， 当m＝﹣6时，a+b＝﹣6+5＝﹣1＜0，不合题意，舍去． ∴m＝2． 3.已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个实数根． （1）若AB的长为6，求m的值； （2）m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出此时菱形的边长． 【答案】解：（1）∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，AB的长为6， ∴把x＝6代入x2﹣8x+m＝0， 得：62﹣8×6+m＝0， 解得：m＝12； （2）由条件可知方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣8）2﹣4m＝0， ∴m＝16， 此时方程为x2﹣8x+16＝0， ∴x1＝x2＝4， ∴AB＝AD＝4，即菱形的边长为4； 答：m＝16，平行四边形ABCD是菱形，菱形的边长是4． 学科网（北京）股份有限公司 $