第9章 因式分解 新课预习讲义(题型归纳+常考题型+巩固测试)-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

第9章 因式分解 新课预习讲义 （苏科版） 💦 题型归纳 题型1 判断是否是因式分解. 题型2 已知因式分解的结果求参数. 题型3 公因式. 题型4 提公因式法分解因式. 题型5 判断能否用公式法分解因式. 题型6 平方差公式分解因式. 题型7 完全平方公式分解因式. 题型8 综合运用公式法分解因式. 题型9 因式分解在有理数简算中的应用. 题型10 十字相乘法. 题型11 分组分解法. 题型12 因式分解的应用. 题型13巩固测试题（15题）. ☘ 重点知识●梳理 【知识点一、核心定义】 ● 定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解（也叫分解因式）。 关键提醒： （1）结果必须是乘积形式；（2）每个因式都必须是整式；（3）要分解到不能再分解为止。 【知识点二、因式分解方法】 1. 提公因式法 公因式：多项式各项都含有的公共因式 ma+mb+mc=m(a+b+c) 提取原则”， （1）找系数：提取各项系数的最大公约数； （2）看字母：提取各项都含有的相同字母，且取字母的最低次幂； （3）找整体：当多项式中出现整体结构（如(a-b)、(x+y)）时，整体也可作为公因式提取。 2.公式法（先提公因式，再套公式） 适用条件：多项式提公因式后，剩余部分符合平方差公式或完全平方公式的特征 （1）平方差公式（二项式专用） 公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 适用条件：① 多项式只有两项；② 两项符号相反；③ 两项都能写成一个整式的平方形式 （2）完全平方公式（三项式专用） 核心公式： 1. a² + 2ab + b² = (a + b)² 2. a² - 2ab + b² = (a - b)² 适用特征：① 多项式有三项；② 首尾两项是两个整式的平方（符号相同）；③ 中间一项是首尾两项平方根乘积的2倍（符号可正可负）。 【知识点三、因式分解一般步骤】 1.提：先提取多项式各项的公因式（提不彻底会导致后续分解错误）； 2.套：提公因式后，套用平方差公式或完全平方公式继续分解； 3.检查：检查最终结果是“不能再分解为止”，同时确认结果是整式的乘积形式。 【知识点四、常见易错点】 1.公因式提取不彻底； 2.公式符号混淆； 3.分解不彻底； 4.结果不是乘积形式。 【知识点五、常用变形】 ◆ 遇到互为相反数的整体结构时，可用以下变形简化运算： 1. b - a = -(a - b)； 2. (b - a)² = (a - b)² ✏ 常见考点●精讲精练 题型1.判断是否是因式分解 例1．下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义判断，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的变形，需满足结果为整式乘积、所有因式都是整式两个条件． 【详解】解：选项A的变形是整式乘法，结果是和的形式，不符合因式分解定义． 选项C的变形结果是和的形式，不是几个整式的积，不符合定义． 选项D的变形中，是分式，不是整式，不符合定义． 选项B中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义． 变式1．式子__________叫做a、b的平方差，它分解因式是_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式和因式分解，掌握平方差公式的结构是解题的关键． 根据平方差公式和因式分解的定义即可解答． 【详解】解：式子叫做a、b的平方差，它分解因式是． 故答案为：，． 变式2．下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？若是，请检验其是否正确． ①； ②； ③． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：①，从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解； ②是因式分解． 检验： 即从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； ③从左到右的变形不是化成整式的乘积的形式，不是因式分解； 题型2.已知因式分解的结果求参数 例2．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算． 【详解】解：由题意得， ∴， 比较系数，得：，且 ， 解得：，， ∴； 故选：A． 变式1．若，则_____． 【答案】1 【分析】根据因式分解与整式乘法的关系，将化简展开，比较系数即可． 【详解】解：， ． 变式2．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2), (3) 【分析】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键． （1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值； （2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值； （3）把，，代入多项式中，使原式值为零，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，把代入， ∴ ∴； （2）解：把和分别代入， 即 解得： （3）解：∵能使多项式的值0， ∴是多项式的一个因式 又∵当时，， 当时， ∴是的因式 ∴． 题型3.公因式 例3．多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的最大公因式． 根据最大公因式的定义，先确定各项系数的最大公约数，再确定各项都含有的字母的最低次幂，结合选项判断即可． 【详解】解：∵多项式各项系数6、12、的绝对值的最大公约数是3，各项都含有的字母为a、b，a的最低次幂是2，b的最低次幂是1， ∴该多项式的最大公因式可以为， 故选：B 变式1．与的最大公因式是_____. 【答案】 【分析】本题考查的是确定几个单项式的公因式，掌握“确定公因式的方法”是解本题的关键． 先确定公因式的系数：取两个单项式的系数的最大公约数，再取相同因式的最低次幂的积，从而可得答案． 【详解】解：与的最大公因式是， 故答案为：. 变式2．找出的公因式． 【答案】 【分析】本题考查了公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式，熟记公因式的定义是解题关键．根据公因式的定义求解即可得． 【详解】解：将看成一个整体， 所以的公因式为． 题型4.提公因式法分解因式 例4．下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将左边的式子提取公因式得，再通过对比即可求出被遮盖的式子． 【详解】解：， ∴被遮盖的式子为． 变式1．已知实数，满足，，则 _______． 【答案】 【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：， 将，代入，得原式． 变式2．阅读下面因式分解的过程，并回答所提出的问题： (1)上述因式分解的方法是______，共用了_____次； (2)把多项式进行因式分解，结果是_____； (3)依照上述方法因式分解：（为正整数）． 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3) 【分析】（1）根据提公因式法分解因式的过程可得答案； （2）根据因式分解的结果可直接得出答案； （3）仿照已知的计算过程进行因式分解即可． 【详解】（1）解：上述因式分解的方法是提公因式法，共用了2次； （2）解：把多项式进行因式分解， 结果是； （3）解： … ． 题型5.判断能否用公式法分解因式 例5．下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的结构特征，逐个判断多项式是否符合即可得到结果． 【详解】解：①，不是完全平方项，不符合平方差公式结构，不能直接用公式法分解； ②，不符合两个公式的结构，不能直接用公式法分解； ③，不符合两个公式的结构，只能提取公因式，不能直接用公式法分解； ④，符合完全平方公式结构，能直接用公式法分解为； ∴能直接运用公式法分解因式的多项式共1个． 变式1．多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】本题主要考查了公式法分解因式（平方差公式、完全平方公式），熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式的形式，逐一判断每个多项式是否符合公式法分解因式的条件． 【详解】解：①不符合完全平方公式形式，且无法用平方差公式分解，故不能使用公式法． ②可写为，平方和在实数范围内不能分解，故不能使用公式法． ③可写为，符合平方差公式，即，故能用公式法． ④可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． ⑤可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． 综上，能用公式法分解因式的有③、④、⑤． 故答案为：③④⑤． 变式2．观察下列式子因式分解的方法： ① ②（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） ③ (1)在②中，第三步到第四步用到的因式分解的方法是 　 　； (2)模仿以上方法，尝试对进行因式分解； (3)观察以上结果，直接写出因式分解后的结果； (4)根据以上结论，试求的值． 【答案】(1)提公因式法 (2) (3) (4)63 【分析】（1）依据题意，由因式分解的方法有：提公因式法、公式法、分组分解法等，可以判断得解； （2）仿照例子，即可变形得解； （3）依据题意，根据前面所得结果即可得解； （4）依据上述（3）结论，令，则可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，第三步到第四步提取了公因式，故采用的提公因式法． 故答案为：提公因式法． （2）解： （3）解：由（1）、（2）可得，． （4）解：由（3）， 当时，． 令， ． ． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要能读懂题意，学会转化． 题型6.平方差公式分解因式 例6．若多项式可以在有理数范围内运用平方差公式分解因式，则单项式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式的形式为，将每个选项代入多项式，判断是否能转化为两个有理数范围内的平方项的差的形式． 【详解】解：当时，多项式为，此为单项式，无法运用平方差公式分解因式，故A选项不符合题意； 当时，多项式为，是平方和，不能运用平方差公式分解因式，故B选项不符合题意； 当时，多项式为，该式子无法转化为两个平方项的差的形式，不能运用平方差公式分解因式，故C选项不符合题意； 当时，多项式为，符合平方差公式的形式，能在有理数范围内分解因式，故D选项符合题意． 变式1．已知，，则计算的结果为_________． 【答案】6 【分析】利用平方差公式将所求代数式因式分解，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 变式2．先化简，再求值： ，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查根据平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式， 当，时，原式． 题型7.完全平方公式分解因式 例7．分解因式后结果是的多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解和完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，并能正确提取负号．将各选项逐一因式分解，与进行比对，判断是否符合题意． 【详解】解：A、，此选项符合题意； B、，无法分解为，此选项不符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项不符合题意． 故选：A． 变式1．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若且，则面积为_____． 【答案】 【分析】先用配方法对变形配方，从而求得b，c的值，再将其代入，求出a，再由勾股定理的判定定理得出为直角三角形，进而求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ 解得， ∵， ∴， 解得或（舍去） ∵， ∴， ∴是以1和为直角边的直角三角形， ∴的面积为：． 变式2． 阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ， ． (1)已知，求x和y的值． (2)已知的三边长a、b、c满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等边三角形 【分析】（1）先配方，然后由非负数性质求得结果； （2）先配方，然后由非负数性质求得a、、c三者相等的关系，进而由三角形三边关系求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴为等边三角形． 题型8.综合运用公式法分解因式 例8．因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】分解：原式， 故选：D． 变式1．将多项式进行因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 变式2．【材料阅读】我们把多项式及叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常对这个多项式做如下变形：先添加一个适当的项，使这个多项式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解题方法，不仅可以将一个看似不能因式分解的多项式分解，还能求代数式的最值． 【实例分析】 例1：分解因式： 解：原式 例2：求代数式的最小值． 解：原式 当时，有最小值，最小值是． 即代数式的最小值是． 【拓展应用】 (1)分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值； (3)，求的值． 【答案】(1) (2)当时，代数式有最大值，最大值是18 (3) 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式变形求值． （1）仿照例1因式分解即可； （2）仿照例2，将原式化为，根据作答即可； （3）将原式化为，根据平方的非负性求出x、y的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， ， ， ∴， 当时，有最大值，最大值是18， 即当时，代数式有最大值，最大值是18； （3）解：由题意，得， ， ， ， ∵， ， ，， 解得，， ∴， ∴． 题型9.因式分解在有理数简算中的应用 例9．(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用因式分解进行简便运算，提公因式法进行因式分解后，再进行计算即可． 【详解】解：原式； 故选C． 变式1．已知，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了几个非负数之和为零，则它们均为零的问题，还考查了平方差公式的应用．根据绝对值和算术平方根的非负性即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题的关键． （1）由图1，图2分别确定阴影部分面积，得． （2）①根据平方差公式求解；②运用平方差公式写成两数和乘以两数差形式，求解即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积为：， 图2阴影部分的面积为：， ； （2）解：①，， ； ② ． 题型10.十字相乘法 例10．分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次三项式的因式分解，利用十字相乘法分解二次三项式，需找到两个数，使其和为一次项系数、积为常数项，再完成因式分解即可． 【详解】解：∵要分解，需找两个数满足和为，积为， ∴这两个数是和， ∴． 故选：D． 变式1．是多项式__________因式分解后的结果． 【答案】 【详解】解：∵， ∴是多项式因式分解后的结果． 变式2．因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．求分解因式的正确结果． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式还原原式，确定的值，然后再因式分解． 【详解】解：甲分解结果，甲看错，故； 乙分解结果，乙看错，故． 则原式为，分解为． 题型11.分组分解法 例11．把多项式分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分组分解法分解因式，提公因式法分解因式，先分组，再提取公因式即可. 【详解】解： ； 故选A 变式1．因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解－分组分解法、提公因式法，正确找出可提取的公因式是解题关键． 利用分组分解法，将原式重新组合为，再进行因式分解，前两项提公因式a，后两项提公因式，再应用提公因式法分解即可. 【详解】解： 故答案为： 变式2．【课本再现】教科书136页提供了一种因式分解的方法． 【问题解决】 (1)（___________）___________； (2)如果，，是三条边的长，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式、平方差公式计算． （1）将式子分成两组，然后提取公因式进行因式分解即可； （2）先将不等式左边进行因式分解，然后根据三角形的三边关系判断结果小于0． 【详解】（1）解： ； 故答案为：；； （2）解： 由三角形三边关系得，， ，， ，， ， ． 题型12.因式分解的应用 例12．设、、均为正数，若，则、、三个数的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质，对给出的不等式变形因式分解，结合、、均为正数的条件，即可推出三个数的大小关系． 【详解】解：、、均为正数， ，，，， 由，两边同乘正数，得， 展开整理得 因式分解得. ， ，即 由，两边同乘正数，得 展开整理得. 因式分解得， ， ，即； ． 变式1．已知某广场上一个圆形喷水池的面积为，则该圆形喷水池的半径为___________． 【答案】 【分析】对已知的面积表达式因式分解，结合圆的面积公式对比得到半径的平方，结合得到半径． 【详解】解：设该圆形喷水池的半径为r， ， ∵某广场上一个圆形喷水池的面积为， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴该圆形喷水池的半径为． 变式2．若正整数满足，求的值． 【答案】 或 【分析】本题主要考查利用代数变形构造因式分解、结合正整数性质求解不定方程的综合能力，先通过给方程两边乘再加，构造出可因式分解的形式，得到；再结合为正整数的条件，确定为大于1的奇数，接着列出的正奇数因数对，分别代入方程组求解，最后计算对应的的值 【详解】解：， 两边乘以，得 两边加，得 左边因式分解，得 ∵为正整数， ∴为大于1的奇数，且， ∵的正奇数因数对(无序)为 ∴或或 解得或或， ∴或或， 故的值为或． ✍ 巩固测试题 一、单选题 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法运算，从整式的积转化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； B、右边不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、是整式乘法运算，从整式的积转化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； D、将多项式转化为与这两个整式的积，符合因式分解的定义，符合题意； 故选：D． 2．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式，根据平方差公式和完全平方公式以及十字相乘法分解因式并判断即可得到答案． 【详解】解：A、，原式因式分解正确，符合题意； B、，原式因式分解错误，不符合题意； C、，原式因式分解错误，不符合题意； D、，原式因式分解错误，不符合题意； 故选：A． 3．已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，求整式的值；进行因式分解得，整体代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 故选：C． 4．多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将因式分解后的结果展开，对比原式对应项即可求出． 【详解】∵ 多项式可因式分解为，. ． 5．若多项式能在有理数范围内用平方差公式因式分解，则的值可能是（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】平方差公式的形式是，即多项式需能转化为两个整式的平方差形式． 【详解】解：选项A中当时，，符合题意； 选项B中是正数，不能表示为某个整式平方的相反数，无法写成平方差形式，不符合题意； 选项C中，，是无理数，不符合题意； 选项D中是正数，不能表示为某个整式平方的相反数，无法写成平方差形式，不符合题意； 综上，答案选A． 6．下列六个多项式：①，②，③，④，⑤，⑥，在因式分解过程中需要用到完全平方公式的有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的结构特征，逐个判断每个多项式因式分解时是否用到完全平方公式即可解答． 【详解】解：①，符合完全平方公式结构，因式分解用到完全平方公式； ②，仅用到平方差公式，不用到完全平方公式； ③，符合完全平方公式结构，因式分解用到完全平方公式； ④，仅用到平方差公式，不用到完全平方公式； ⑤，符合完全平方公式结构，因式分解用到完全平方公式； ⑥，提公因式后用到完全平方公式，因式分解用到完全平方公式； 综上，用到完全平方公式的共有个，即选项B符合题意． 【点睛】掌握完全平方公式为是解题的关键． 二、填空题 7．在算式：①，②，③中，计算结果与相同的是_________________（填写序号）． 【答案】①② 【分析】本题主要考查了根据平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键； 先分别根据平方差公式计算，再比较结果即可． 【详解】解：①； ②； ③； ， 所以计算结果与相同的是①②． 故答案为：①②． 8．分解因式：_______． 【答案】/ 【分析】本题考查公式法分解因式，观察多项式结构符合完全平方公式的形式，运用完全平方公式分解即可. 【详解】由题意得，根据完全平方公式可得： . 9．因式分解：_________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 10．若多项式因式分解的结果是，则___________． 【答案】13 【分析】此题考查了已知因式分解的结果求参数，代数式求值，将因式分解的结果展开，与原多项式比较系数，求出a和b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：， 根据题意得， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：13． 三、解答题 11．将下列各式因式分解 (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解： （1）利用提公因式法解答即可； （2）先提出公因式，再利用完全平方公式解答即可； （3）利用十字相乘法解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：． 12．已知，，求代数式的值． 【答案】6 【分析】本题考查了因式分解和整体代入求值的知识点，掌握先因式分解再整体代入的方法，可避免解复杂的二元一次方程组，简化计算过程． 先对代数式提取公因式进行因式分解，再将括号内的式子化简，最后利用已知条件和整体代入求值． 【详解】解：原式 ． ，， 原式． 13．二次三项式可分解为两个因式的积，且其中一个因式为．求另一个因式及b的值． 【答案】 另一个因式为 ， 【分析】本题考查了已知因式分解求参数，多项式乘多项式，熟练掌握因式分解的定义和多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．设另一个因式为，则，然后展开右边，通过比较系数即可解答． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 展开右边：， 比较系数得：，， 解得，， ∴另一个因式为，． 14．“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式___________，将还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： (1)请补全横线上的步骤：___________； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法和因式分解，素材的理解，正确理解整体思想是解题的关键． （1）根据完全平方公式因式分解即可； （2）仿照题目素材，令，原式，去括号再因式分解，最后代回即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：令， 则原式 将还原， 得原式． 15．阅读下面的因式分解的过程： ， 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长分别为a，b，c，且满足，证明是等腰三角形． 【答案】(1) (2)0 (3)是等腰三角形． 【分析】（1）分组分解，前两项提取公因式，后两项提取，得到，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可； （2）分组分解，前两项用平方差公式，后两项提取3，得到，提取公因式，代入计算即可； （3）移项整理等式，分组分解后提取公因式，得到，根据三角形边长性质，推出即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， 即， ， ， ， ∵的三边长分别为a，b，c， ∴， 即， ∴， 即， ∴是等腰三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 因式分解 新课预习讲义 （苏科版） 💦 题型归纳 题型1 判断是否是因式分解. 题型2 已知因式分解的结果求参数. 题型3 公因式. 题型4 提公因式法分解因式. 题型5 判断能否用公式法分解因式. 题型6 平方差公式分解因式. 题型7 完全平方公式分解因式. 题型8 综合运用公式法分解因式. 题型9 因式分解在有理数简算中的应用. 题型10 十字相乘法. 题型11 分组分解法. 题型12 因式分解的应用. 题型13巩固测试题（15题）. ☘ 重点知识●梳理 【知识点一、核心定义】 ● 定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解（也叫分解因式）。 关键提醒： （1）结果必须是乘积形式；（2）每个因式都必须是整式；（3）要分解到不能再分解为止。 【知识点二、因式分解方法】 1. 提公因式法 公因式：多项式各项都含有的公共因式 ma+mb+mc=m(a+b+c) 提取原则”， （1）找系数：提取各项系数的最大公约数； （2）看字母：提取各项都含有的相同字母，且取字母的最低次幂； （3）找整体：当多项式中出现整体结构（如(a-b)、(x+y)）时，整体也可作为公因式提取。 2.公式法（先提公因式，再套公式） 适用条件：多项式提公因式后，剩余部分符合平方差公式或完全平方公式的特征 （1）平方差公式（二项式专用） 公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 适用条件：① 多项式只有两项；② 两项符号相反；③ 两项都能写成一个整式的平方形式 （2）完全平方公式（三项式专用） 核心公式： 1. a² + 2ab + b² = (a + b)² 2. a² - 2ab + b² = (a - b)² 适用特征：① 多项式有三项；② 首尾两项是两个整式的平方（符号相同）；③ 中间一项是首尾两项平方根乘积的2倍（符号可正可负）。 【知识点三、因式分解一般步骤】 1.提：先提取多项式各项的公因式（提不彻底会导致后续分解错误）； 2.套：提公因式后，套用平方差公式或完全平方公式继续分解； 3.检查：检查最终结果是“不能再分解为止”，同时确认结果是整式的乘积形式。 【知识点四、常见易错点】 1.公因式提取不彻底； 2.公式符号混淆； 3.分解不彻底； 4.结果不是乘积形式。 【知识点五、常用变形】 ◆ 遇到互为相反数的整体结构时，可用以下变形简化运算： 1. b - a = -(a - b)； 2. (b - a)² = (a - b)² ✏ 常见考点●精讲精练 题型1.判断是否是因式分解 例1．下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 变式1．式子__________叫做a、b的平方差，它分解因式是_______________． 变式2．下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？若是，请检验其是否正确． ①； ②； ③． 题型2.已知因式分解的结果求参数 例2．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 变式1．若，则_____． 变式2．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 题型3.公因式 例3．多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 变式1．与的最大公因式是_____. 变式2．找出的公因式． 题型4.提公因式法分解因式 例4．下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 变式1．已知实数，满足，，则 _______． 变式2．阅读下面因式分解的过程，并回答所提出的问题： (1)上述因式分解的方法是______，共用了_____次； (2)把多项式进行因式分解，结果是_____； (3)依照上述方法因式分解：（为正整数）． 题型5.判断能否用公式法分解因式 例5．下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 变式2．观察下列式子因式分解的方法： ① ②（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） ③ (1)在②中，第三步到第四步用到的因式分解的方法是 　 　； (2)模仿以上方法，尝试对进行因式分解； (3)观察以上结果，直接写出因式分解后的结果； (4)根据以上结论，试求的值． 题型6.平方差公式分解因式 例6．若多项式可以在有理数范围内运用平方差公式分解因式，则单项式可以是（   ） A． B． C． D． 变式1．已知，，则计算的结果为_________． 变式2．先化简，再求值： ，其中，． 题型7.完全平方公式分解因式 例7．分解因式后结果是的多项式是（　　） A． B． C． D． 变式1．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若且，则面积为_____． 变式2． 阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ， ． (1)已知，求x和y的值． (2)已知的三边长a、b、c满足，判断的形状． 题型8.综合运用公式法分解因式 例8．因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 变式1．将多项式进行因式分解：______． 变式2．【材料阅读】我们把多项式及叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常对这个多项式做如下变形：先添加一个适当的项，使这个多项式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解题方法，不仅可以将一个看似不能因式分解的多项式分解，还能求代数式的最值． 【实例分析】 例1：分解因式： 解：原式 例2：求代数式的最小值． 解：原式 当时，有最小值，最小值是． 即代数式的最小值是． 【拓展应用】 (1)分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值； (3)，求的值． 题型9.因式分解在有理数简算中的应用 例9．(    ) A． B． C． D． 变式1．已知，则_______． 变式2．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，求的值． ②计算：． 题型10.十字相乘法 例10．分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．是多项式__________因式分解后的结果． 变式2．因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．求分解因式的正确结果． 题型11.分组分解法 例11．把多项式分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．因式分解：______． 变式2．【课本再现】教科书136页提供了一种因式分解的方法． 【问题解决】 (1)（___________）___________； (2)如果，，是三条边的长，求证：． 题型12.因式分解的应用 例12．设、、均为正数，若，则、、三个数的大小关系是（   ） A． B． C． D． 变式1．已知某广场上一个圆形喷水池的面积为，则该圆形喷水池的半径为___________． 变式2．若正整数满足，求的值． ✍ 巩固测试题 一、单选题 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 3．已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 4．多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 5．若多项式能在有理数范围内用平方差公式因式分解，则的值可能是（   ） A． B．3 C． D．9 6．下列六个多项式：①，②，③，④，⑤，⑥，在因式分解过程中需要用到完全平方公式的有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 7．在算式：①，②，③中，计算结果与相同的是_________________（填写序号）． 8．分解因式：_______． 9．因式分解：_________． 10．若多项式因式分解的结果是，则___________． 三、解答题 11．将下列各式因式分解 (1)； (2)； (3) 12．已知，，求代数式的值． 13．二次三项式可分解为两个因式的积，且其中一个因式为．求另一个因式及b的值． 14．“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式___________，将还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： (1)请补全横线上的步骤：___________； (2)分解因式：． 15．阅读下面的因式分解的过程： ， 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长分别为a，b，c，且满足，证明是等腰三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $