6.3正方形的性质与判定同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）数学八年级下册

6.3 正方形的性质与判定 同步训练 一、单选题 1．下列叙述错误的是（    ） A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 2．如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 3．如图所示，已知正方形边长为，连接平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的两边，分别在x轴，y轴上．点在边上，以C为中心，把顺时针旋转，则旋转后点D的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 5．如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 7．在正方形中，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，连接，并延长至点，使，连接，则的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则______． 9．如图，是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转得到．若四边形的面积为，，则的长为__________． 10．如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为______． 11．青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法．如图，四边形均为正方形．若正方形的面积分别为45、9，则________． 12．如图，正方形的边长为8，点，分别为，上一点，，与交于点，点为的中点，点为线段靠近的四等分点，则______． 三、解答题 13．如图，在中，，D是边的中点，，，，垂足分别为E，F．求证：四边形是正方形． 14．如图，正方形纸片的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，． (1)求的长； (2)求的面积． 15．如图①，已知正方形和正方形，点在的延长线上，点在边上． (1)求证：； (2)现将正方形绕点按顺时针方向旋转，当正方形旋转至图②的位置时，分别交，于点，．求证：． 16．【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）请直接判断：______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题： （2）如图②，在正方形中，点E、F、G分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 《6.3 正方形的性质与判定 同步训练 2025-2026学年鲁教版数学八年级下册》参考答案 1．D 【详解】解：A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故A正确； B．有一组邻边相等的矩形是正方形，故B正确； C．有一个角是直角的菱形是正方形，故C正确； D．对角线相等且互相垂直的四边形，如果对角线不互相平分，就不是平行四边形，更不可能是正方形，故D错误． 2．C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，则，，先由勾股定理求出，根据正方形性质得，，，证明，进而依据“”判定，则，进而依据“”判定，则，，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，如图所示： ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴，和都是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理及角平分线的性质，关键是灵活应用知识点解题；过点作于点，设，根据，列方程求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴即：是等腰直角三角形， ∵正方形边长为， ∴， ∴， 设， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 4．B 【分析】根据顺时针旋转的特征画出图形，然后根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴当顺时针旋转时，旋转后的与重合， ∴， ∴点共线， ∴ ∴． 5．A 【分析】利用正方形和等边三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ． 6．B 【分析】连接，由正方形的性质可得，，结合三角形的面积公式计算出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】用等面积法计算三角形的高是解题关键． 7．A 【分析】本题考查的知识点是正方形的性质、旋转性质、等边对等角、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握旋转性质． 利用旋转性质、等边对等角表示出，结合正方形性质得出，再利用等边对等角、三角形内角和定理得到，进而得到、． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 由旋转性质可知，，， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：． 8．/22.5度 【分析】利用正方形的性质得到，，从而证得是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形性质求得，最后利用角平分线的定义即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵平分， ∴． 9． 【分析】利用旋转性质可得是等腰直角三角形，然后将四边形面积转化为正方形面积求出正方形边长，再通过勾股定理依次求出和等腰直角三角形的斜边． 【详解】解： 由绕点顺时针旋转所得， ，， ，是等腰直角三角形， 四边形的面积为， ， ，即正方形的面积为， ，解得， ， ， ． 10． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，即得，得到，进而即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和四边形是两个相同的正方形，恰好落在正方形的对角线上， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．3 【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积分别为45、9， ∴，，，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 12． 【分析】根据正方形的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得，取的中点，连接，根据勾股定理得到，求得，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 取的中点，连接， ， ， ， ， ∵点为的中点，点为线段靠近的四等分点， ， ∴是的中位线， ． 13．详见解析 【分析】由题意易得四边形是矩形，然后通过证明得，进而问题可求解． 【详解】证明：，， ，． 又， 四边形是矩形． 是边的中点， ． ， ． 又， ， ， 四边形是正方形． 14．(1) (2) 【分析】（1）由图形折叠可得，，因为正方形的边长为3，，求出，，在直角中，运用勾股定理求出，再求出，即可作答． （2）直接利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解： 由图形折叠可得，， 正方形的边长为3，， ，，， 在中，， ， 解得， ． （2）解：∵， ∴， ∴的面积． 15．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据正方形的性质，利用即可得证； （2）证明，得到，推出，即可． 【详解】（1）证明：在正方形和正方形中， ，，． 在和中， ． （2）证明：， ， ． 又，， ， ． ， ， ． 16．（1）；（2），证明见解析 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： 如图，过点作，交于点，交于点， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $