2026年中考数学第二轮专题复习之填空题复习 5 一次方程(组)及其应用 (题型特点、答题要点、避坑指南、真题练习)

2026 年中考第二轮复习 填空题专题 5. 一次方程(组)及其应用 本课题聚焦中考一次方程（组）及其应用板块填空题，结合近三年真题考情与 2026 年命题趋势，立足第二轮复习 “夯实基础、强化应用” 的核心目标，梳理题型特点、答题要点与避坑事项，助力学生高效攻克该板块填空题，扎实拿下基础与中档得分点。 一、题型特点 1. 考点全面，基础主导：核心覆盖一元一次方程的定义与解法、二元一次方程组的求解、方程（组）的解的应用、参数求值，以及行程、购物、工程、古代数学问题等实际应用，基础题占比超 75%，是必拿分题型； 2. 形式灵活，关联紧密：题型包括概念填空、解的代入求值、参数计算、实际应用建模、跨知识点综合（结合一次函数、不等式），部分题目融入生活场景或古代数学典籍背景，侧重考查知识迁移与建模能力； 3. 答案唯一，细节关键：无选项提示，需精准运算或推理，答案多为具体数值、方程（组）形式或参数值，对运算规范性、等量关系提炼的准确性要求极高，易因符号、单位或审题失误丢分。 二、答题要点 1. 吃透概念，规范求解：牢记一元一次方程（含参数）“未知数次数为 1 且一次项系数不为 0”、二元一次方程（组）“含两个未知数且未知数次数均为 1” 的定义；解方程组优先用加减消元法（系数成倍数）或代入消元法（某未知数系数为 1），步骤清晰不跳步。 2. 巧用解的性质，快速求值：已知方程（组）的解，直接代入方程可快速求参数或代数式值；遇到 “换元类” 方程，利用整体代换思想简化计算。 3. 建模优先，精准转化：实际应用题先审题提炼关键信息，明确核心等量关系 —— 行程问题抓 “路程 = 速度 × 时间”，购物问题抓 “总价 = 单价 × 数量”，工程问题抓 “工作量 = 效率 × 时间”，古代数学问题直译题干数量关系，将实际问题转化为方程（组）。 4. 结合性质，高效破题：与一次函数结合的题目，利用 “方程组的解是函数交点坐标” 的性质；含参数的方程（组）需根据 “解的个数”“解的符号” 等条件，通过系数关系列不等式或方程求解。 三、避坑指南 1. 规避概念误区：忽略一元一次方程中 “一次项系数不为 0” 的条件（如方程 ，需满足且）；二元一次方程组求解时，消元后符号出错，如加减消元时未统一系数符号。 2. 防止运算失误：去分母时漏乘常数项；移项时忘记变号；单位不统一（如速度单位千米 / 小时与时间单位秒混用）。 3. 警惕建模错误：实际应用题中混淆 “多”“少”“倍” 等关键词；行程追及问题忽略 “先行路程”，工程问题未明确 “工作总量为 1” 的设定。 4. 注意答案规范：参数求值需验证是否符合方程定义（如一次项系数不为 0）；实际应用答案需贴合生活实际（如人数、件数为正整数）；方程（组）形式需化为标准形式，不含多余括号或系数。 本课题填空题核心是 “抓概念、准建模、细运算”，复习中需强化方程（组）的规范求解训练，提升实际问题的等量关系提炼能力，通过针对性练习熟练掌握解题技巧，减少细节失误，确保基础题型不失分、应用题型稳得分，为中考筑牢一次方程（组）板块得分基础。 四、真题练习 1.（24-25·江苏模拟）若关于的方程是一元一次方程，则的值为______1______ ． 【答案】 【解析】 根据一元一次方程的定义，求解即可． 【解答】 解：关于的方程是一元一次方程， 且， 解得：， 故答案为：． 2.（24-25·湖南模拟）已知是关于，的二元一次方程，则____________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程可得且，再解即可． 【解答】 解：根据题意可得：且， 解得：， 故答案为：． 3.（24-25·江苏模拟）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_________3____． 【答案】 【解析】 此题考查了换元法解一元一次方程，以及一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．根据题中方程的解确定出即可． 【解答】 解：的解为， ， 解得：， 故答案为：3  4.（23-24·湖南中考）若是关于的方程的解，则关于的不等式的最小整数解为____2_______． 【答案】 【解析】 把代入方程，即可求得的值，然后把的值代入求解即可． 【解答】 解：把代入方程得：， 解得：． 则 解得：． 所以，最小整数解为 故答案为2 5.（24-25·广东模拟）已知是方程的解，则代数式的值为  1 ． 【答案】 【解析】 把与的值代入方程计算得到的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【解答】 解：把代入得：， 则原式 ． 故答案为：． 6.（24-25·山东中考）已知是方程的解，则______2______． 【答案】 【解析】 本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把代入，解得，即可作答． 【解答】 解：是方程的解， 把代入，得， ， ， 故答案为： 7.（23-24四川中考）若关于的方程的解为，则______4__________． 【答案】 【解析】 本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于的方程是解题关键．把代入关于的方程，得到关于的方程，解方程即可求解． 【解答】 解：关于的方程的解为， ， 解得：， 故答案为：4 8.（22-23·山东模拟）若，将原方程组化为的形式为________． 【答案】 【解析】 把原式化为：和，然后进行整理，得到二元一次方程组． 【解答】 解：原式可化为：和， 整理得，． 9.（2022-2023·甘肃中考）已知，，则的值为____1____． 【答案】 【解析】 用方程减去，即可得出＝，进而得出＝． 【解答】 ①，②， ②-①得＝， 解得＝． 10.（24-25·广东中考）如果实数满足方程组，则__________0__________． 【答案】 【解析】 先利用加减消元法求出和，再代入求值． 【解答】 解：， ，得， 解得， 将代入，得， 解得， 因此， 故答案为：0 11.（24-25·广东模拟）方程组的解为 ． 【答案】 【解析】 利用加减消元法求解或代入消元法求解都比较简便． 【解答】 解：， ①+②，得， ③． ①-③，得， ． ②-①，得， ． 原方程组的解为． 故答案为：． 12.（24-25·四川中考）公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力为时，动力臂是_____0.5______． 【答案】 【解析】 本题考查了一元一次方程的应用，设动力臂是，根据“阻力阻力臂动力动力臂”列出方程，然后解方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【解答】 解：设动力臂是， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 13.（24-25·河北中考）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为的纸条，则____99________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设叠部分的长度为，则，，根据重叠后的总长度为为等量关系列出关于的一元一次方程，求解即可得出答案． 【解答】 解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ，， ， 故答案为： 14.（24-25·陕西模拟）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多．已知小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘，小康采摘的时长是____1.2________小时． 【答案】 【解析】 此题主要考查了一元一次方程的应用，根据采摘的质量得出等式是解题关键．利用小康采摘的草莓比小悦多得出等式求出答案． 【解答】 解：设两小组采摘了小时， 依题意：， 解得：， 因此，两小组采摘了小时． 故答案为：． 15.（24-25·四川中考）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是、、、，则______58________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设，那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）且为这四个值分别是、、、；再说明，然后分四种情况解答即可． 【解答】 解：设，那么去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为； 已知这五个和只有四个不同的值， 不妨设， 那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）． 这四个值分别是、、、， ，即， ， ，即； 当时，即； ，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ，解得：，符合题意； 当时，即； ，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ，解得：，不是整数，不符合题意； 综上，，即． 故答案为：58  16.（24-25·四川中考）任意给一个数，按下列程序进行计算．若输出的结果是，则的值为______3________． 【答案】 【解析】 本题考查了程序框图的计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据程序框图的运算法则建立一元方程求解即可． 【解答】 解：由题意得：， 解得：， 故答案为：3 17.（22-23·黑龙江中考）某商品的进价为每件元，若按标价打八折售出后，每件可获利元，则该商品的标价为每件_____15_______元． 【答案】 【解析】 设该商品的标价为每件元，根据八折出售可获利元，可得出方程：，再解答即可． 【解答】 解：设该商品的标价为每件元， 由题意得：， 解得： 所以该商品的标价为每件元． 故答案为：15 18.（24-25·贵州模拟）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长，当所挂物体的质量为时，弹簧长．当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为____15_________， 【答案】 【解析】 本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、由自变量求函数值的知识点，解答时求出函数的解析式是关键．设与的函数关系式为，由待定系数法求出解析式，并把代入解析式求出对应的值即可． 【解答】 解：设与的函数关系式为， 由题意，得， 解得：， 故与之间的关系式为：， 当时，． 故答案为：． 19.（23-24·陕西中考）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分个梨，多个梨；每人分个梨，恰好分完．”设梨有个，则可列方程为_____________． 【答案】 【解析】 本题考查一元一次方程的实际应用，令方程两边均等于孩子的人数即可． 【解答】 解：设梨有个， 由题意可得：， 故答案为：．   20.（24-25·广西模拟）某中学学生军训，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走千米．一列火车以每小时千米的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过秒．如果队伍长米，那么火车长______265__________米 【答案】 【解析】 根据“火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过秒”列方程求解． 【解答】 解：设火车长米， 则：， 解得：， 故答案为：． 21.（24-25·江西模拟）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余辆车，若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程_______________． 【答案】 【解析】 本题考查根据实际问题列一元一次方程，考查学生归纳推理的能力，属于初中基础题． 根据题意以人数为等量关系列出方程即可． 【解答】 解：由题意，设有辆车，每三人乘一车，最终剩余辆车，所以有人， 若每人共乘一车，余个人无车可乘，所以有人， 所以方程为， 故答案为：．  22.（24-25·宁夏模拟）用图象法解二元一次方程组时，小英所画图象如图所示，则方程组的解为________． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由图象可知，直线与的图象交于点， 所以二元一次方程组的解是. 故答案为：. 23.（24-25·四川模拟）关于的方程组的解满足，则________． 【答案】 【解析】 本题考查了含参数的二元一次方程组的解法，熟练掌握以上知识点是解题的关键利用加减消元法即可求出方程组的解，然后代入求参即可. 【解答】 解： ① ，得： 代入 ②得： 解得： 解得： 故答案为： 24.（24-25·江西模拟）如图，直线与直线交于点，则关于，的二元一次方程组的解为    ． 【答案】 【解析】 利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题． 【解答】 解：直线与直线交于点，关于，的二元一次方程组的解为； 故答案为：． 25.（24-25·江苏模拟）如图，一个弹簧不挂重物时长10，挂上重物后，在弹性以内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比，弹簧总长（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数图象如图所示，则图中的值是____22__________． 【答案】 【解析】 本题考查一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，正确应用函数与方程的关系是解题关键． 设一次函数的解析式：，用待定系数法求出解析式，再把代入计算即可． 【解答】 解：设一次函数的解析式：， 把，代入， 得， 解得， ， 把代入， 得， 故答案为：．  26.（24-25·宁夏期末）如图是某市出租车的所付车费与乘车里程之间的关系图象，分别由线段，和射线组成．如果小明同学乘坐出租车付车费元，那么张老师乘坐出租车里程是．他应该付的车费是 ____27_______元． 【答案】 【解析】 本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的一次函数解析式是解题的关键．先求出的解析式为，得出，再利用待定系数法求出段的函数解析式，再把代入求解即可． 【解答】 解：设的解析式为 则把代入 得 解得 当时，则 的解析式为 设段的函数解析式为， 把，代入得：， 解得， 段的函数解析式为， 当时，． 张老师应该付的车费是元． 故答案为：27 27.（24-25·江苏模拟）《九章算术》第八卷方程第十问题：“今有甲、乙二人持钱不知其数,甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.甲、乙持钱各几何？” 题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱,如果甲得到乙所有的一半，那么甲共有钱文，如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱文.甲、乙各带了多少钱？ 设甲原有文钱，乙原有文钱，可列方程组为：___________________________. 【答案】 【解析】 设甲原有文钱，乙原有文钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半，乙的钱+甲所有钱的，据此列方程组可得． 【解答】 解：设甲原有文钱，乙原有文钱， 根据题意得：， 故答案为 28.（25-26期末）我国古代对于利用二元一次方程组解决实际问题早有研究，《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉，下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子．有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆能打多少斗谷子？设上等稻子每捆能打斗谷子，下等稻子每捆能打斗谷子，根据题意可列方程组为____________． 【答案】 【解析】 找见关键的文字部分，列出相关的等量关系，组成二元一次方程组即可． 【解答】 解：上等稻子三捆，打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的数量 又下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子数量 所以列方程组为： 故答案为： 29.（24-25·山东中考）已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的最大整数值为____________． 【答案】 【解析】 ，得，根据得出关于的不等式，求得最大整数解即可求解． 【解答】 解：， ，得， ， ， ． 的最大整数值为 故答案为：． 30.（24-25·山东模拟）如图，四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点，使它到四个顶点的距离之和最小，则点的坐标为______________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了线段最短，一次函数的实际应用．连接、，交于点，由两点之间线段最短，可得出的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长，到四个顶点的距离之最小的点就是点，分别求出和的解析式，并求出其交点坐标即可得出答案． 【解答】 解：连接、，交于点，如图所示， 两点之间线段最短， 的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长， 到四个顶点的距离之和最小的点就是点， 设所在直线的解析式为， 点在直线上， ， 解得： 所在直线的解析式为 设所在直线的解析式为 点，在直线上， 解得： 所在直线的解析式为 联立两直线 解得：， 点的坐标为：． 故答案为：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 填空题专题 5. 一次方程(组)及其应用 本课题聚焦中考一次方程（组）及其应用板块填空题，结合近三年真题考情与 2026 年命题趋势，立足第二轮复习 “夯实基础、强化应用” 的核心目标，梳理题型特点、答题要点与避坑事项，助力学生高效攻克该板块填空题，扎实拿下基础与中档得分点。 一、题型特点 1. 考点全面，基础主导：核心覆盖一元一次方程的定义与解法、二元一次方程组的求解、方程（组）的解的应用、参数求值，以及行程、购物、工程、古代数学问题等实际应用，基础题占比超 75%，是必拿分题型； 2. 形式灵活，关联紧密：题型包括概念填空、解的代入求值、参数计算、实际应用建模、跨知识点综合（结合一次函数、不等式），部分题目融入生活场景或古代数学典籍背景，侧重考查知识迁移与建模能力； 3. 答案唯一，细节关键：无选项提示，需精准运算或推理，答案多为具体数值、方程（组）形式或参数值，对运算规范性、等量关系提炼的准确性要求极高，易因符号、单位或审题失误丢分。 二、答题要点 1. 吃透概念，规范求解：牢记一元一次方程（含参数）“未知数次数为 1 且一次项系数不为 0”、二元一次方程（组）“含两个未知数且未知数次数均为 1” 的定义；解方程组优先用加减消元法（系数成倍数）或代入消元法（某未知数系数为 1），步骤清晰不跳步。 2. 巧用解的性质，快速求值：已知方程（组）的解，直接代入方程可快速求参数或代数式值；遇到 “换元类” 方程，利用整体代换思想简化计算。 3. 建模优先，精准转化：实际应用题先审题提炼关键信息，明确核心等量关系 —— 行程问题抓 “路程 = 速度 × 时间”，购物问题抓 “总价 = 单价 × 数量”，工程问题抓 “工作量 = 效率 × 时间”，古代数学问题直译题干数量关系，将实际问题转化为方程（组）。 4. 结合性质，高效破题：与一次函数结合的题目，利用 “方程组的解是函数交点坐标” 的性质；含参数的方程（组）需根据 “解的个数”“解的符号” 等条件，通过系数关系列不等式或方程求解。 三、避坑指南 1. 规避概念误区：忽略一元一次方程中 “一次项系数不为 0” 的条件（如方程 ，需满足且）；二元一次方程组求解时，消元后符号出错，如加减消元时未统一系数符号。 2. 防止运算失误：去分母时漏乘常数项；移项时忘记变号；单位不统一（如速度单位千米 / 小时与时间单位秒混用）。 3. 警惕建模错误：实际应用题中混淆 “多”“少”“倍” 等关键词；行程追及问题忽略 “先行路程”，工程问题未明确 “工作总量为 1” 的设定。 4. 注意答案规范：参数求值需验证是否符合方程定义（如一次项系数不为 0）；实际应用答案需贴合生活实际（如人数、件数为正整数）；方程（组）形式需化为标准形式，不含多余括号或系数。 本课题填空题核心是 “抓概念、准建模、细运算”，复习中需强化方程（组）的规范求解训练，提升实际问题的等量关系提炼能力，通过针对性练习熟练掌握解题技巧，减少细节失误，确保基础题型不失分、应用题型稳得分，为中考筑牢一次方程（组）板块得分基础。 四、真题练习 1.（24-25·江苏模拟）若关于的方程是一元一次方程，则的值为______1______ ． 【答案】 【解析】 根据一元一次方程的定义，求解即可． 【解答】 解：关于的方程是一元一次方程， 且， 解得：， 故答案为：． 2.（24-25·湖南模拟）已知是关于，的二元一次方程，则____________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程可得且，再解即可． 【解答】 解：根据题意可得：且， 解得：， 故答案为：． 3.（24-25·江苏模拟）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_________3____． 【答案】 【解析】 此题考查了换元法解一元一次方程，以及一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．根据题中方程的解确定出即可． 【解答】 解：的解为， ， 解得：， 故答案为：3  4.（23-24·湖南中考）若是关于的方程的解，则关于的不等式的最小整数解为____2_______． 【答案】 【解析】 把代入方程，即可求得的值，然后把的值代入求解即可． 【解答】 解：把代入方程得：， 解得：． 则 解得：． 所以，最小整数解为 故答案为2 5.（24-25·广东模拟）已知是方程的解，则代数式的值为  1 ． 【答案】 【解析】 把与的值代入方程计算得到的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【解答】 解：把代入得：， 则原式 ． 故答案为：． 6.（24-25·山东中考）已知是方程的解，则______2______． 【答案】 【解析】 本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把代入，解得，即可作答． 【解答】 解：是方程的解， 把代入，得， ， ， 故答案为： 7.（23-24四川中考）若关于的方程的解为，则______4__________． 【答案】 【解析】 本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于的方程是解题关键．把代入关于的方程，得到关于的方程，解方程即可求解． 【解答】 解：关于的方程的解为， ， 解得：， 故答案为：4 8.（22-23·山东模拟）若，将原方程组化为的形式为________． 【答案】 【解析】 把原式化为：和，然后进行整理，得到二元一次方程组． 【解答】 解：原式可化为：和， 整理得，． 9.（2022-2023·甘肃中考）已知，，则的值为____1____． 【答案】 【解析】 用方程减去，即可得出＝，进而得出＝． 【解答】 ①，②， ②-①得＝， 解得＝． 10.（24-25·广东中考）如果实数满足方程组，则__________0__________． 【答案】 【解析】 先利用加减消元法求出和，再代入求值． 【解答】 解：， ，得， 解得， 将代入，得， 解得， 因此， 故答案为：0 11.（24-25·广东模拟）方程组的解为 ． 【答案】 【解析】 利用加减消元法求解或代入消元法求解都比较简便． 【解答】 解：， ①+②，得， ③． ①-③，得， ． ②-①，得， ． 原方程组的解为． 故答案为：． 12.（24-25·四川中考）公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力为时，动力臂是_____0.5______． 【答案】 【解析】 本题考查了一元一次方程的应用，设动力臂是，根据“阻力阻力臂动力动力臂”列出方程，然后解方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【解答】 解：设动力臂是， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 13.（24-25·河北中考）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为的纸条，则____99________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设叠部分的长度为，则，，根据重叠后的总长度为为等量关系列出关于的一元一次方程，求解即可得出答案． 【解答】 解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ，， ， 故答案为： 14.（24-25·陕西模拟）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多．已知小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘，小康采摘的时长是____1.2________小时． 【答案】 【解析】 此题主要考查了一元一次方程的应用，根据采摘的质量得出等式是解题关键．利用小康采摘的草莓比小悦多得出等式求出答案． 【解答】 解：设两小组采摘了小时， 依题意：， 解得：， 因此，两小组采摘了小时． 故答案为：． 15.（24-25·四川中考）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是、、、，则______58________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设，那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）且为这四个值分别是、、、；再说明，然后分四种情况解答即可． 【解答】 解：设，那么去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为； 已知这五个和只有四个不同的值， 不妨设， 那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）． 这四个值分别是、、、， ，即， ， ，即； 当时，即； ，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ，解得：，符合题意； 当时，即； ，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ，解得：，不是整数，不符合题意； 综上，，即． 故答案为：58  16.（24-25·四川中考）任意给一个数，按下列程序进行计算．若输出的结果是，则的值为______3________． 【答案】 【解析】 本题考查了程序框图的计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据程序框图的运算法则建立一元方程求解即可． 【解答】 解：由题意得：， 解得：， 故答案为：3 17.（22-23·黑龙江中考）某商品的进价为每件元，若按标价打八折售出后，每件可获利元，则该商品的标价为每件_____15_______元． 【答案】 【解析】 设该商品的标价为每件元，根据八折出售可获利元，可得出方程：，再解答即可． 【解答】 解：设该商品的标价为每件元， 由题意得：， 解得： 所以该商品的标价为每件元． 故答案为：15 18.（24-25·贵州模拟）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长，当所挂物体的质量为时，弹簧长．当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为____15_________， 【答案】 【解析】 本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、由自变量求函数值的知识点，解答时求出函数的解析式是关键．设与的函数关系式为，由待定系数法求出解析式，并把代入解析式求出对应的值即可． 【解答】 解：设与的函数关系式为， 由题意，得， 解得：， 故与之间的关系式为：， 当时，． 故答案为：． 19.（23-24·陕西中考）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分个梨，多个梨；每人分个梨，恰好分完．”设梨有个，则可列方程为_____________． 【答案】 【解析】 本题考查一元一次方程的实际应用，令方程两边均等于孩子的人数即可． 【解答】 解：设梨有个， 由题意可得：， 故答案为：．   20.（24-25·广西模拟）某中学学生军训，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走千米．一列火车以每小时千米的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过秒．如果队伍长米，那么火车长______265__________米 【答案】 【解析】 根据“火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过秒”列方程求解． 【解答】 解：设火车长米， 则：， 解得：， 故答案为：． 21.（24-25·江西模拟）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余辆车，若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程_______________． 【答案】 【解析】 本题考查根据实际问题列一元一次方程，考查学生归纳推理的能力，属于初中基础题． 根据题意以人数为等量关系列出方程即可． 【解答】 解：由题意，设有辆车，每三人乘一车，最终剩余辆车，所以有人， 若每人共乘一车，余个人无车可乘，所以有人， 所以方程为， 故答案为：．  22.（24-25·宁夏模拟）用图象法解二元一次方程组时，小英所画图象如图所示，则方程组的解为________． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由图象可知，直线与的图象交于点， 所以二元一次方程组的解是. 故答案为：. 23.（24-25·四川模拟）关于的方程组的解满足，则________． 【答案】 【解析】 本题考查了含参数的二元一次方程组的解法，熟练掌握以上知识点是解题的关键利用加减消元法即可求出方程组的解，然后代入求参即可. 【解答】 解： ① ，得： 代入 ②得： 解得： 解得： 故答案为： 24.（24-25·江西模拟）如图，直线与直线交于点，则关于，的二元一次方程组的解为    ． 【答案】 【解析】 利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题． 【解答】 解：直线与直线交于点，关于，的二元一次方程组的解为； 故答案为：． 25.（24-25·江苏模拟）如图，一个弹簧不挂重物时长10，挂上重物后，在弹性以内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比，弹簧总长（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数图象如图所示，则图中的值是____22__________． 【答案】 【解析】 本题考查一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，正确应用函数与方程的关系是解题关键． 设一次函数的解析式：，用待定系数法求出解析式，再把代入计算即可． 【解答】 解：设一次函数的解析式：， 把，代入， 得， 解得， ， 把代入， 得， 故答案为：．  26.（24-25·宁夏期末）如图是某市出租车的所付车费与乘车里程之间的关系图象，分别由线段，和射线组成．如果小明同学乘坐出租车付车费元，那么张老师乘坐出租车里程是．他应该付的车费是 ____27_______元． 【答案】 【解析】 本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的一次函数解析式是解题的关键．先求出的解析式为，得出，再利用待定系数法求出段的函数解析式，再把代入求解即可． 【解答】 解：设的解析式为 则把代入 得 解得 当时，则 的解析式为 设段的函数解析式为， 把，代入得：， 解得， 段的函数解析式为， 当时，． 张老师应该付的车费是元． 故答案为：27 27.（24-25·江苏模拟）《九章算术》第八卷方程第十问题：“今有甲、乙二人持钱不知其数,甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.甲、乙持钱各几何？” 题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱,如果甲得到乙所有的一半，那么甲共有钱文，如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱文.甲、乙各带了多少钱？ 设甲原有文钱，乙原有文钱，可列方程组为：___________________________. 【答案】 【解析】 设甲原有文钱，乙原有文钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半，乙的钱+甲所有钱的，据此列方程组可得． 【解答】 解：设甲原有文钱，乙原有文钱， 根据题意得：， 故答案为 28.（25-26期末）我国古代对于利用二元一次方程组解决实际问题早有研究，《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉，下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子．有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆能打多少斗谷子？设上等稻子每捆能打斗谷子，下等稻子每捆能打斗谷子，根据题意可列方程组为____________． 【答案】 【解析】 找见关键的文字部分，列出相关的等量关系，组成二元一次方程组即可． 【解答】 解：上等稻子三捆，打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的数量 又下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子数量 所以列方程组为： 故答案为： 29.（24-25·山东中考）已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的最大整数值为____________． 【答案】 【解析】 ，得，根据得出关于的不等式，求得最大整数解即可求解． 【解答】 解：， ，得， ， ， ． 的最大整数值为 故答案为：． 30.（24-25·山东模拟）如图，四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点，使它到四个顶点的距离之和最小，则点的坐标为______________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了线段最短，一次函数的实际应用．连接、，交于点，由两点之间线段最短，可得出的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长，到四个顶点的距离之最小的点就是点，分别求出和的解析式，并求出其交点坐标即可得出答案． 【解答】 解：连接、，交于点，如图所示， 两点之间线段最短， 的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长， 到四个顶点的距离之和最小的点就是点， 设所在直线的解析式为， 点在直线上， ， 解得： 所在直线的解析式为 设所在直线的解析式为 点，在直线上， 解得： 所在直线的解析式为 联立两直线 解得：， 点的坐标为：． 故答案为：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $