精品解析：福建泉州市丰泽区城东中学2025-2026学年上学期八年级2月学情自测数学试卷

2025-2026学年上学期八年级2月学情自测数学试卷 一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在实数，0，，中，无理数的个数是（　　） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若是一个最简分式，则k可以是（ ） A. x B. C. 3 D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在如图所示的网格中，的位置如图所示，点A、P、M、N都在格点上，其中到两边距离相等的点是（ ） A. P B. A C. N D. M 5. 对于1950年至2024年世界人口总量的变化趋势，选用下列哪种统计图描述较为适宜（ ） A 折线统计图 B. 条形统计图 C. 扇形统计图 D. 雷达统计图 6. 请阅读以下关于解答“在中，，求证：”的过程： 证明：假设． 这与“三角形三个内角的和等于”相矛盾． 假设不成立． ． 这种证明方法是（ ） A 综合法 B. 反证法 C. 枚举法 D. 归纳法 7. 的值是(　　) A B. C. D. 8. 如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在的垂线上取两点C、D，使，再作出的垂线，可以证明，得，因此，测得的长，就得出的长，判定的理由是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二．填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若分式 有意义，则m的值不等于________ ． 12. 为非零数，计算的结果为____． 13. 某班在大课间活动中随机抽查了10名学生每分钟跳绳的次数x（单位：次）如下：98，102，105，110，115，115，116，118，126，129．则每分钟跳绳次数在这一组的频数是____． 14. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目，大致意思是：有一竖立着的木杆，在木杆的上端系有绳索，绳索从木杆上端顺着木杆下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牵着绳索头（绳索头与地面接触）退行，在离木杆底部8尺处时，绳索用尽．问绳索长为多少．绳索长为_______尺． 15. 已知等腰的三边长，，，且满足：，求的周长为______． 16. “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图①所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现将，，，，，，，填入如图②所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为_____． 三．解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 如图，，，求证：． 20 先化简，再求值：，其中． 21. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间（单位：）．按照完成时间分成五组：．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽取的学生总数是 人； （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若该校有名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过的学生人数． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作边的垂直平分线，使交于点，交于点； ②过点作边的垂线，交于点；在线段的延长线上截取，使，连接，，． （2）若，四边形的面积为，求，两点之间的距离． 23. 如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地时需经过C地沿折线行驶，开通隧道后，汽车直接沿直线行驶．已知，，，隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？ 24. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图中的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角” （1）的展开式的各项系数和是______． （2）的展开式中含的系数是______． （3）若，求的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点，使得，连接、． （1）A点的坐标为 ，的度数为 ； （2）如图1，若点C在第一象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图2，若点C的坐标为，连接，平分，与交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期八年级2月学情自测数学试卷 一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在实数，0，，中，无理数的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟知无理数有：①含的数字；②开不尽方的数：③人造无限不循环小数，是解题的关键． 【详解】解：， 所以在实数，0，，中，无理数有，共1个． 故选：A． 2. 若是一个最简分式，则k可以是（ ） A. x B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的定义，则分母中含有x，根据最简分式定义，则分子分母没有公因式 ． 【详解】解：根据分式定义，分母应有x，且应为最简分式， A. x，原式为，符合要求，本选项符合题意； B. ，原式为 ，不是分式，不是最简形式，本选项不合题意； C. 3，原式为，不是分式，不是最简形式，本选项不合题意； D. ，原式为，不是最简形式，本选项不合题意； 故选：A 【点睛】本题考查分式的定义，最简分式的定义；理解定义是解题的关键． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用单项式乘以单项式；同底数幂的乘法运算法则；以及幂的乘法运算法则和同底数幂除法运算法则分别计算得出答案. 【详解】A. ，故A错误， B. ，故B错误， C. ，故C正确， D. ，故D错误， 故选：C 【点睛】此题考查了单项式乘以单项式、同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘法运算法则和同底数幂除法运算法则运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键. 4. 在如图所示的网格中，的位置如图所示，点A、P、M、N都在格点上，其中到两边距离相等的点是（ ） A. P B. A C. N D. M 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答． 【详解】解：由图形可知，点M在的角平分线上，点A、P、N不在的角平分线上， 所以点M到两边距离相等， 故选：D． 5. 对于1950年至2024年世界人口总量的变化趋势，选用下列哪种统计图描述较为适宜（ ） A. 折线统计图 B. 条形统计图 C. 扇形统计图 D. 雷达统计图 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了统计图的选择，扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比；折线统计图表示的是事物的变化情况；而条形统计图和直方图能清楚地表示出每个项目的具体数目；直方图能够清楚地表示出每组的具体数目，分组的时候，数据是连续的，据此可得答案． 【详解】解：对于1950年至2024年世界人口总量的变化趋势，应选择折线统计图， 故选：A． 6. 请阅读以下关于解答“在中，，求证：”的过程： 证明：假设． 这与“三角形三个内角的和等于”相矛盾． 假设不成立． ． 这种证明方法是（ ） A. 综合法 B. 反证法 C. 枚举法 D. 归纳法 【答案】B 【解析】 【分析】熟记反证法的步骤，即可得出结论； 【详解】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有 7. 的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：，故选A． 8. 如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在的垂线上取两点C、D，使，再作出的垂线，可以证明，得，因此，测得的长，就得出的长，判定的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定， 根据对顶角相等得，再根据可判定两个三角形全等． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 9. 若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方式的意义解答即可． 【详解】意义解：关于的二次三项式是完全平方式，是完全平方式， ， ， 或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式特征是解题的关键． 10. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质和三角形的面积，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 先将图中标记字母，证明，利用相似三角形得到，则，，接着证明，则，根据比例的性质得到，然后推出面积之比为，代入计算即可． 【详解】解：如图 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为， 故选：C． 二．填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若分式 有意义，则m的值不等于________ ． 【答案】2 【解析】 【分析】由分式 有意义，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵分式 有意义， ∴， 解得：， 故答案为：2 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为0是解本题的关键． 12. 为非零数，计算的结果为____． 【答案】 【解析】 分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可． 【详解】解：． 13. 某班在大课间活动中随机抽查了10名学生每分钟跳绳的次数x（单位：次）如下：98，102，105，110，115，115，116，118，126，129．则每分钟跳绳次数在这一组的频数是____． 【答案】4 【解析】 【详解】解：每分钟跳绳次数在这一组的数据有：，，，． ∴该组的频数是． 14. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目，大致意思是：有一竖立着的木杆，在木杆的上端系有绳索，绳索从木杆上端顺着木杆下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牵着绳索头（绳索头与地面接触）退行，在离木杆底部8尺处时，绳索用尽．问绳索长为多少．绳索长为_______尺． 【答案】 【解析】 【分析】设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程解答即可． 【详解】解：设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 答：绳索长为尺． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟记直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 15. 已知等腰的三边长，，，且满足：，求的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式因式分解，根据平方的非负性，求得的值，根据等腰的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得，， ∵等腰的三边长、、都是正整数， 当时，,不能构成三角形； 当时，的周长为； 综上，的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，三角形三边关系，非负数性质，求得的值是解题的关键． 16. “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图①所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现将，，，，，，，填入如图②所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意列出等式，求出的值，然后再利用转化思想求出的值． 【详解】解：由题意得，，即， ∵， ∴四个三角形的三个顶点上的数字之和减去正方形四个顶点的数字之和为， ∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴，即， ∴． 三．解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】7 【解析】 分析】先化简算术平方根、乘方、立方根，再进行乘法运算，最后进行加减运算，即可计算求值． 【详解】解： ． 【点睛】本题实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定、全等三角形的性质及等腰三角形的判定等．根据题意选用正确的判定三角形全等的方法是解题的关键．由等角对等边得到，利用“”判定，再得出对应相等的两边即可． 详解】证明：， ． ，，， ． ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再将除法转化为乘法，然后约分，最后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： = ， 当时， 原式． 21. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间（单位：）．按照完成时间分成五组：．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽取的学生总数是 人； （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若该校有名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过的学生人数． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（）利用扇形统计图中组的人数及其占比，通过“部分数量对应百分比总数量”的公式，计算出抽取的学生总数； （）先根据总人数减去组的人数，算出组的人数，再根据计算出的组人数 补全条形统计图； （）先统计出不超过的总人数，计算其在抽取样本中的占比，再用：该校总人数乘以这个占比，从而估算出对应学生人数． 【小问1详解】 解：这次调查的样本容量是：， 【小问2详解】 解：组的人数为：， 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校每天完成书面作业不超过的学生人数为人． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作边的垂直平分线，使交于点，交于点； ②过点作边的垂线，交于点；在线段的延长线上截取，使，连接，，． （2）若，四边形的面积为，求，两点之间的距离． 【答案】（1）见解析；见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别以、两点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别在线段上下方各有一个交点，连接这两个交点所得直线即为线段的垂直平分线；以点为圆心，大于点到直线的距离为半径画弧，使弧与直线相交于两点，分别以该两交点为圆心，大于该两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧在直线另一侧交于一点，最后过点与该交点作射线与线段的交点即为点；在线段的延长线上截取，使，连接，，； （2）过点作，交的延长线于点，求解与的长，利用勾股定理求解的长即可，已知，求解和即可，根据作图可知四边形为菱形，进而可证明四边形是平行四边形，可得，根据菱形的面积可求得的长，最后证明四边形是矩形，根据矩形和菱形的性质即可得解． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求作的垂直平分线； 如图，射线即为所求作的垂线；线段即为所求作的线段； 【小问2详解】 解：由作图可知线段，互相垂直平分， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形的面积为，即， ， 过点作，交的延长线于点． ， 四边形是矩形， ，， ， ． 23. 如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地时需经过C地沿折线行驶，开通隧道后，汽车直接沿直线行驶．已知，，，隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？ 【答案】汽车从A地到B地比原来少走千米． 【解析】 【分析】过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根据AC=8，∠A=30°，解直角三角形求出AD、CD的长度，然后在Rt△BCD中，求出BD、BC的长度，用AC+BC-（AD+BD）即可求解． 【详解】解：过C作CD⊥AB于D， 在Rt△ACD中， ∵AC=8，∠A=30°， ∴DC=ACsin30°=4（千米）， AD=ACcos30°=（千米）， 在Rt△BCD中， ∵∠B=45°， ∴BD=CD=4（千米），BC=（千米）， 则AC+BC-（AD+BD）=（千米）． 答：汽车从A地到B地比原来少走千米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是作三角形的高建立直角三角形幷解直角三角形． 24. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图中的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角” （1）的展开式的各项系数和是______． （2）的展开式中含的系数是______． （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目中规律可求出的展开式的各项系数和； （2）首先得到的展开式中是第三项，然后通过比较前几个展开式的各项系数的规律，进而求解即可； （3）根据题意得到，然后由求出，，，进而代入求解即可． 【小问1详解】 ∵的展开式的各项系数和是1； 的展开式的各项系数和是； 的展开式的各项系数和是； 的展开式的各项系数和是； 的展开式的各项系数和是； … 的展开式的各项系数和是， 故答案为：； 【小问2详解】 由题意可得，是在第三项， ∴的展开式的第三项的系数为， 的展开式的第三项的系数为， 的展开式的第三项的系数为， 的展开式的第三项的系数为， … ∴的展开式的第三项的系数为， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵ ∴ ∵ ∴，，， ∴． 【点睛】此题考查了数字变化规律，熟练掌握杨辉三角形的变化规律是解本题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点，使得，连接、． （1）A点的坐标为 ，的度数为 ； （2）如图1，若点C在第一象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图2，若点C的坐标为，连接，平分，与交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），；理由见解析 （3）①；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先求出a，b的值，即可得出点，点B的坐标，可得，进而得出； （2）设与轴交于点，与交于点，先证明，得出，，进而得出，即可得出位置关系； （3）①作轴，轴，由点的坐标得，，先证明，可得点D的坐标； ②延长交于点，先证明，得出，再根据角平分线定义和已知证明，可得，可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴点的坐标为，点， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：；理由如下： 设与轴交于点，与交于点， ∵， ∴． 在和中，，， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：①过点D作轴交轴于点，轴交轴于点， ∵点的坐标为， ∴，， 由（2）知，． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴； ②延长交于点， ∵，，， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质和判定，非负数的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义等，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $