精品解析：福建省泉州市丰泽区泉州市东海中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

2024-2025学年度初中数学10月月考卷 一．选择题（共9小题） 1. 在中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义判断即可； 【详解】解：∵-2，，2是有理数，是无理数， 故选： C． 【点睛】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，如开方开不尽的数的方根、π． 2. 9的算术平方根是（ ） A. B. 3 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：9的算术平方根是3， 故选：B． 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方．根据积的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 4. 若，则p、q的值是（ ） A. 2， B. ， C. ，8 D. 2，8 【答案】A 【解析】 【分析】首先把根据多项式乘法法则展开，然后根据多项式的各项系数即可确定p、q的值． 【详解】解：∵， 而， ∴，． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了多项式的乘法法则和多项式各项系数的定义，解题关键就是利用它们确定p、q的值． 5. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，去括号法则，完全平方公式以及平方差公式，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．选项A根据合并同类项法则判断即可；选项B根据去括号法则判断即可；选项C根据完全平方公式判断即可；选项D根据平方差公式判断即可． 【详解】解：A．，故本选项不合题意； B．，故本选项不合题意； C．，故本选项不合题意； D． ，故本选项符合题意； 故选：D 6. 若长方形的面积是，其中一边长是，则它的邻边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由长方形面积公式即可列出式子，计算即得答案． 【详解】解：另一边长为： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是掌握多项式除以单项式的法则． 7. 一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（　　） A. 25 B. 49 C. 64 D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，可求得x，再由平方根的定义即可解答． 【详解】解：由正数的两个平方根互为相反数可得 （2x﹣3）+（5﹣x）＝0， 解得x＝﹣2， 所以5﹣x＝5﹣（﹣2）＝7， 所以a＝72＝49． 故答案为B． 【点睛】本题考查了平方根的性质,理解平方根与算术平方根的区别及联系是解答本题的关键． 8. 定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的个数为（ ） ①； ②； ③若，则； ④． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的定义和乘方意义解题即可． 【详解】解：①∵， ∴，故说法①正确，符合题意； ②设，，则，， ∴，即， ∴， ∴，即，故②正确，符合题意； ③设，则，， ∴， ∴， ∴，解得，故③说法正确，符合题意； ④设，，则，， ∴, ∴ 故说法④正确，符合题意； ∴正确的说法有个， 故选：A． 【点睛】本题以新定义题型为背景，主要考查了学生数的乘方的计算能力，在解答新定义题型的时候，首先一定要把定义理解透彻，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确． 9. 设 ，，．若，则的值是(　　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式得出，，进而根据已知条件得出，进而即可求解． 【详解】，，， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出是解题的关键． 10. 关于x的多项式：，其中n为正整数，各项系数各不相同且均不为0．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为1； ③若多项式，则； ④若多项式，则． 则以上说法正确的个数为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查已知字母的值求代数式的值，解题关键在于对x进行赋值，即对其取，得到不同的多项式进行加减运算进而求得结果． ①根据兄弟多项式的含义，对多项式的三项系数进行互换共有6种情况即可判断；②③④取和，分别代入各式中求出代数式的值即可判断． 【详解】解：①多项式有三项系数，互相交换共有6种不同结果，所以共有6个不同的“兄弟多项式”，故①正确，符合题意； ②若多项式，且，则取时，，即的所有系数之和为，当n为偶数时，系数之和为1，当n为奇数时，系数之和为，故②错误； ③若多项式，，取时，，取时，，两式相加得，解得，故③正确，符合题意； ④若多项式，， 取时，，取时，，两式相减得，解得，故④错误，符合题意； 综上，正确的有2个． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11. 一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，将和相加等于0，列出方程，解出b，再将b代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数a，将算出后，求立方根即可． 【详解】∵和是正数a的平方根， ∴， 解得 ， 将b代入， ∴正数 ， ∴， ∴的立方根为：， 故填：2． 【点睛】本题考查正数平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是知道一个正数的两个平方根互为相反数． 12. 已知的整数部分是，的小数部分是，则 ______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，再求出，的值，进而可得出结论． 【详解】解：， ， 的整数部分是， ； ， ， ， 的小数部分是， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键． 13. 已知2a=5，2b=10．2c=50，那么a、b、c之间满足的等量关系是________． 【答案】a+b=c 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到a、b、c之间的关系； 【详解】解：∵2a=5，2b=10， ∴， 又∵=50=， ∴a+b=c． 故答案为：a+b=c． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法（同底数幂相乘，底数不变，指数相加），掌握各知识的运算法则是解题的关键． 14. 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为____． 【答案】 【解析】 【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果． 【详解】根据题意得：展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数：， 系数和：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律． 15. 已知多项式是完全平方式，则m的值为_____________． 【答案】或1##1或 【解析】 【分析】完全平方式有两个，是和，根据以上得出，求出即可． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得：或1． 故答案为：或1． 【点睛】本题考查了对完全平方式的理解和掌握，注意：完全平方式有两个，是和． 16. 一个四位正整数m，若它的千位数字与十位数字的和等于百位数字和个位数字的和，则称这个四位数是“间和数”．将m的首位数字放在末尾得到一个新数记为，再将的首位数字放在末尾得到，以此类推得到，记，则的值为______．已知s、t均为“间和数”，其中，（，，，，，且均为整数）若，则s的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题目规律对进行计算即可；由题得、进而即可求解； 【详解】解： ． ∵ ∴ ∴； ∵， ∴ ∴； ∴ ∵s、t均为“间和数” ∴，， ∴，， ∵，，，，，且均为整数 且s取最大值， 当时，则， ∴， 则，不符合题意， 当时，则， ∴， 则符合题意， ∴ ； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查整式的数字规律，正确理解题意是解题的关键． 三．解答题（共9小题） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的的乘法，积的乘方，幂的乘方，进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的的乘法，积的乘方，幂的乘方运算法则是解题的关键． 18. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）利用合并同类项法则计算即可； （2）先去括号，利用单项式乘多项式展开，再合并同类项． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，10． 【解析】 【分析】根据整式的四则混合运算法则即可化简，再将代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： ． 将代入得：． 【点睛】本题考查整式的四则混合运算，代数式求值．掌握整式的四则混合运算法则是解题关键． 20. 已知|x|＝，y是11的平方根，且>，求x+y的值． 【答案】或 【解析】 【分析】根据绝对值的化简，得到x=或x= -；y是11的平方根，得到y=或y= -，比较大小后，计算和值． 【详解】∵|x|＝，y是11的平方根， ∴x=或x= -； y=或y= -， ∵>， ∴x=，y= -或x= -，y= -， ∴x+y=或x+y=． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，平方根的定义即如果一个数的平方等于a，称这个数为a的平方根，其中a是非负数；实数的大小比较，正确理解平方根的定义，灵活进行大小比较是解题的关键． 21. 小红家有一块L形的菜地，要把L形的菜地按如图所示分成两块面积相等的梯形，种上不同的蔬菜.这两个梯形的上底都是a m，下底都是b m，高都是(b－a) m． (1)求小红家这块L形菜地的面积.（用含a、b的代数式表示） (2)若a2+b2=15,ab=5,求小红家这块L形菜地的面积. 【答案】（1）b2-a2； (2)5. 【解析】 【分析】（1）根据梯形的面积公式列出代数式，然后根据整式的乘法公式进行计算； （2）只需把字母的值代入（1），计算即可. 【详解】解：（1）小红家的菜地面积共有：2×（a+b）（b-a）=b2-a2； （2）∵a2+b2=15,ab=5, ∴(a+b) ²= a2+b2+2ab=15+10=25 (a-b) ²= a2+b2-2ab=15-10=5 ∴a+b=5, b-a=, ∴b2-a2 =( a+b)( b-a) =5. 【点睛】本题考查了平方差公式，熟练运用梯形的面积公式以及平方差公式是解题的关键. 22. 仔细观察下列等式： 第一个： 第二个： 第三个： 第四个： …… （1）请你写出第六个等式：________； （2）请写出第n个等式：________（用含字母n的等式表示）； （3）运用上述规律，计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是数字的变化类题型，根据题中所给出的式子找出规律是解答此题的关键． （1）根据题目中的式子，可以发现数字的变化特点，从而写出第6个等式 （2）根据题目中等式的变化规律，可以写出第n个等式 （3）根据所求式子的特点和（2）中的结果，可以求得所求式子的值． 【小问1详解】 解：第一个： 第二个： 第三个： 第四个： 第五个： ∴第六个：， 故答案为： 【小问2详解】 解：第一个：，即 第二个：，即 第三个：，即 第四个：，即 ∴第个等式应该是 【小问3详解】 解： ． 23. 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. （1）的商是______，余式是______. （2）利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值. （3）已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. 【答案】（1），． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据多项式除以多项式的法则计算． （2）根据多项式除以多项式的法则计算． （2）通过面积关系求长方形的边长． 【小问1详解】 解：用竖式计算如下， 的商是，余式是． ∴答案为：，． 【小问2详解】 多项式能被整除，则 ∴a+4-（-2）=0，-b-（-2）=0． ∴a=-6，b=2． ∴ab=（-6）2=36． 【小问3详解】 长方形A的周长为：2（x+2+x-2）=4x． 长方形B的周长为：2（x-2+a+x+2+6）=4x+2a+12． ∵长方形B的周长是A周长的2倍． ∴4x+2a+12=8x． ∴a=2x-6． ∴长方形B的面积为：（x+2+6）（x-2+2x-6）=（x+8）（3x-8） =3x2+16x-64． ∴长方形C的面积为：3x2+16x-140． ∴长方形C另一边长为：（3x2+16x-140）÷（x+10）=3x-14． ∴长方形C的另一边长为：3x-14． 【点睛】本题考查多项式除以多项式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键． 24. 阅读理解： 若x满足，求的值． 解：设，，则，， 所以 解决问题 （1）若x满足，求的值； （2）若x满足，求的值； （3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2，长方形EFGD的面积是5，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． 【答案】（1）120；（2）2019；（3）21． 【解析】 【分析】（1）根据举例，利用换元法进行解答即可； （2）设，则，，可得，代入c−d=2可求得cd，即可求得结果； （3）根据已知可得，，可表示出构成阴影部分的四个图形的边长，进而表示出这四个图形的面积，由长方形EFGD的面积是5，得到，设，，从而得到ab=5，，根据举例求出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：（1）设，， 则，， ∴ （2）设， 则，， ∴， 即 解得：，即； （3）正方形ABCD边长为x，AE=1，CG=2， ∴，， ∵NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，长方形EFGD的面积是5， ∴，， ∴ S长方形DEFG=，S正方形MEDQ=，S正方形NGDH=，S长方形PQDH=， 设，，则，， ∴阴影部分的面积= S长方形DEFG+ S正方形MEDQ+ S正方形NGDH+ S长方形PQDH ∵，即， 解得：， ∴，即阴影部分的面积为21． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式． 25. 为了比较两个实数的大小，常用的方法是判定这两个数的差的符号，我们称这种方法为“作差比较法”．要比较两个代数式的大小，同样可以采用类似的方法，因此，可以利用不等式比较大小．如果要证明，只需要证明；同样的，要证明，只需要证明． 例如： 小明对于命题：任意的实数a和b，总有，当并且只有时，等号成立，给出了如下证明： 证明：∵， ∴，当并且只有时，等号成立． （1）请仿照小明 的证明方法，证明如下命题： 若a，b，x，，且，则． （2）若，，且， 求的最大值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，不等式的性质，掌握作差法，以及完全平方公式，是解题的关键． （1）利用作差法进行比较即可； （2）设，利用已知条件，得到，，，推出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 设， ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∴ ． ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度初中数学10月月考卷 一．选择题（共9小题） 1. 在中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2 2. 9的算术平方根是（ ） A. B. 3 C. 9 D. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则p、q的值是（ ） A. 2， B. ， C. ，8 D. 2，8 5. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C D. 6. 若长方形的面积是，其中一边长是，则它的邻边长是（ ） A. B. C. D. 7. 一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（　　） A. 25 B. 49 C. 64 D. 81 8. 定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的个数为（ ） ①； ②； ③若，则； ④． A 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 设 ，，．若，则值是(　　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 关于x的多项式：，其中n为正整数，各项系数各不相同且均不为0．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为1； ③若多项式，则； ④若多项式，则． 则以上说法正确的个数为（ ）． A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共6小题） 11. 一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为_______． 12. 已知整数部分是，的小数部分是，则 ______ ． 13. 已知2a=5，2b=10．2c=50，那么a、b、c之间满足的等量关系是________． 14. 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为____． 15. 已知多项式是完全平方式，则m的值为_____________． 16. 一个四位正整数m，若它的千位数字与十位数字的和等于百位数字和个位数字的和，则称这个四位数是“间和数”．将m的首位数字放在末尾得到一个新数记为，再将的首位数字放在末尾得到，以此类推得到，记，则的值为______．已知s、t均为“间和数”，其中，（，，，，，且均为整数）若，则s的最大值为______． 三．解答题（共9小题） 17. 计算：． 18. 化简： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知|x|＝，y是11的平方根，且>，求x+y的值． 21. 小红家有一块L形的菜地，要把L形的菜地按如图所示分成两块面积相等的梯形，种上不同的蔬菜.这两个梯形的上底都是a m，下底都是b m，高都是(b－a) m． (1)求小红家这块L形菜地的面积.（用含a、b的代数式表示） (2)若a2+b2=15,ab=5,求小红家这块L形菜地的面积. 22. 仔细观察下列等式： 第一个： 第二个： 第三个： 第四个： …… （1）请你写出第六个等式：________； （2）请写出第n个等式：________（用含字母n的等式表示）； （3）运用上述规律，计算：． 23. 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. （1）的商是______，余式是______. （2）利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值. （3）已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. 24. 阅读理解： 若x满足，求的值． 解：设，，则，， 所以 解决问题 （1）若x满足，求的值； （2）若x满足，求的值； （3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2，长方形EFGD的面积是5，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． 25. 为了比较两个实数的大小，常用的方法是判定这两个数的差的符号，我们称这种方法为“作差比较法”．要比较两个代数式的大小，同样可以采用类似的方法，因此，可以利用不等式比较大小．如果要证明，只需要证明；同样的，要证明，只需要证明． 例如： 小明对于命题：任意的实数a和b，总有，当并且只有时，等号成立，给出了如下证明： 证明：∵， ∴，当并且只有时，等号成立． （1）请仿照小明 的证明方法，证明如下命题： 若a，b，x，，且，则． （2）若，，且， 求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$