精品解析：福建省多校2026届高三下学期2月开学联考数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】依题意可知，解得. 2. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得：,，所以的元素个数为. 3. 设复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意可得， 则， 所以． 4. 已知等比数列与等差数列，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助等比数列与等差数列性质计算可得、，再计算余弦即可得解. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，则， 设等差数列的公差为， 由，得，则， 所以． 5. 已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，，，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的定义求出，由勾股定理求出焦距，进而求得椭圆的离心率. 【详解】由椭圆的定义知，则. 设焦距为， 由题可知，，即，解得. 所以椭圆的离心率为. 6. 某元宇宙平台举办“星际文明探索”虚拟文化节，参与者通过完成“星球解谜”“文明共建”“跨服协作”等任务获得互动积分（单位：分）．为筛选“核心探索者”（享受专属虚拟道具与后续活动优先资格），平台将所有参与者积分的第80百分位数定为核心资格门槛线．活动结束后，平台从10万参与者中随机抽取100人的积分数据，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．据此，以样本估计总体参与者的积分分布，可知此次“核心探索者”的核心资格门槛线约为（ ） A. 84分 B. 85分 C. 86分 D. 82分 【答案】A 【解析】 【分析】利用百分位数的定义即可求解. 【详解】此次“核心探索者”的核心资格门槛线约为， 因为样本中积分数据在的频率为， 样本中积分数据在的频率为， 所以样本数据的第百分位数在区间内， 所以，解得. 7. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数与在上单调递增， 所以在上单调递增． 因为函数是定义域为的偶函数，且， 所以由，或， 所以原不等式的解集为． 8. 在高为5的正三棱台中，，分别为侧棱，的中点，记平面、平面、平面交于点，则三棱台与三棱锥的体积之差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建系并标出点，分别求平面、平面、平面的法向量，根据线面关系求点的坐标，再结合台体、锥体的体积公式运算求解. 【详解】因为，则， 设的重心分别为， 可知为正三棱台的高，即， 则三棱台的体积. 取的中点，过点与平行的直线与交于点， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，， 可得，，， 因为分别为侧棱，的中点，则， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设，则，， 由题意可得：，解得， 即，则三棱锥的体积； 所以三棱台与三棱锥的体积之差为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 的最小值为 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “，”的否定是“，” D. 函数（且）的图象必过点和 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助基本不等式计算可得A；借助充分条件与必要条件定义判断即可得B；利用全称命题的否定为特称命题可得C；将、代入计算即可得D. 【详解】对A：， 当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对B：由，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误； 对C：“，”的否定是“， ”，故C正确； 对D：，，故D正确． 10. 已知函数，，则（ ） A. 当时， B. 在上的值域为 C. 的单调递减区间为 D. 将的图象向左平移个单位长度，可得的图象 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，，则，A错误． 对于B，由，得，所以，B正确． 对于C，由，．得，，C错误． 对于D，，D正确． 11. 若，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. ， 【答案】CD 【解析】 【分析】举反例判断AB；对于C，先检验时满足题意，当时，由题设可得，设，利用导数分析其单调性，可得，，进而求解判断即可；对于D，由可得或，再结合函数图象求解即可判断. 【详解】对于A，当，时满足，而，故A错误； 对于B，当，时满足，故B错误； 对于C，当时，若，满足，且； 若，由，得， 设，则， 而，设，则， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，又， 则或时，， 所以在和上单调递增， 设函数，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，则，当且仅当时，等号成立． 当时，，当时，， 所以当且时，由，得， 则，即，又在上单调递增，则， 令，则， 所以在上单调递增，则， 所以，即； 综上所述，当时，，故C正确； 对于D，若存在，使得，由C知，若，可得， 当时，等式不成立； 当时，得或，即或， 画出函数与函数的图象，易得两图象有交点，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则______． 【答案】##0.125 【解析】 【详解】． 13. 已知圆的半径为5，且圆心与抛物线的焦点关于的准线对称，直线与相交于两点，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】由抛物线方程确定焦点坐标和准线方程，通过点关于线的对称求得圆心坐标，再结合直线与圆相交弦长公式即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点坐标，准线方程：， 易知点关于的对称点坐标为， 所以圆的方程为， 圆心到直线的距离， 所以 14. 如图，下列有5个圆，每个圆内的上、下、左、右、中五个方位均有1个数字，现从这5个圆中各选一个方位，并记下该方位圆内的数字，要求所得5个数字来自不同的方位（例如第1个圆选了左方位上的数字，后面4个圆均不能在左方位上选数字），且这5个数字之积为0，然后将这5个数字排成一个5位数，则共有______种情况（在排5位数的过程中，若数字相同，但来自不同的圆，也视为不同的情况）． 【答案】2304 【解析】 【详解】因为这5个数字之积为0，并排成一个5位数， 所以第4个圆的上方位被选， 则左方位有种选择，右方位有种选择，下方位有种选择，正中位有种选择， 且0不能在万位上， 先排万位有种，剩下的有， 所以共有种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若，求b. 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合三角形恒等变形即可求解； （2）由余弦定理求边长即可． 【小问1详解】 由和正弦定理，得， 即． 因为．所以． 又因，所以． 【小问2详解】 由余弦定理，因， 可得． 即，解得或（舍去）， 所以． 16. 如图，在三棱锥中，，，，，分别是的中点，为上靠近点的四等分点，为上靠近点的四等分点． （1）证明：四点共面． （2）证明：平面平面． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明来证得四点共面. （2）通过证明平面来证得平面平面． （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值即可． 【小问1详解】 因为分别是的中点，所以. 因为为上靠近点的四等分点，为上靠近点的四等分点, 所以，所以，所以四点共面. 【小问2详解】 因为，所以，所以. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 【小问3详解】 连接，因为，所以， 由（2）知，平面平面，平面平面， 而平面，所以平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴, 以过点且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 易得为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 学校编程社团组织“代码调试挑战”，成员连续完成两段独立的基础代码调试记为完成一次挑战，且两段代码均调试成功才算一次挑战成功．已知成员M在每次挑战中调试第一段代码成功的概率为．若第一段代码调试成功，成员M信心提升，则调试第二段代码成功的概率为；若第一段代码调试未成功，成员M会更谨慎，则调试第二段代码成功的概率为． （1）求成员M在一次挑战中调试第二段代码成功的概率． （2）该社团组织规定每个成员每次挑战成功可获100元奖励，每次挑战只调试成功两段代码中的一段可获50元奖励．若成员M进行2次“代码调试挑战”，每次挑战成功与否相互独立，设成员M获得的奖励总金额为随机变量，求的数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件为 “第一段代码调试成功”，事件为 “第二段代码调试成功”，则，代入数据即可计算； （2）分别求出挑战成功（两段都成功）的概率，只成功一段的概率，两段都失败的概率，设一次挑战的奖励为​，求出，利用求解即可. 【小问1详解】 设事件为 “第一段代码调试成功”，事件为 “第二段代码调试成功”， 已知，则，，， 则， 即. 【小问2详解】 挑战成功（两段都成功）的概率； 第一段成功、第二段失败， 第一段失败、第二段成功， 所以只成功一段的概率， 两段都失败的概率， 设一次挑战的奖励为​，则， 因为两次挑战相互独立，所以. 18. 已知双曲线上的点与坐标原点之间距离的最小值为2，点在上，且． （1）求的标准方程． （2）过点的直线交于异于顶点的，两点，且，，设的左、右顶点分别为，直线与交于点． （ⅰ）证明：点在定直线上． （ⅱ）证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得a值，根据，可得t值，将P点坐标代入方程，可得，即可得答案. （2）（ⅰ）设出直线AB的方程，与双曲线联立，结合韦达定理，可得表达式，求出直线AD和直线BE的方程，消y可得关于x的表达式，化简整理，即可得证 （ⅱ）根据（ⅰ）设出H点坐标，进而可得所需向量坐标，根据向量夹角公式，结合条件，代入计算，即可得证. 【小问1详解】 因为双曲线上的点与坐标原点之间距离的最小值为2，所以， 因为点在上，且， 所以，解得，即， 将点P坐标代入双曲线可得，解得 所以的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）证明：由题意，设直线AB的方程为， 联立，得， 则， 又，则， 所以，， 联立，得， 则， 所以 ， 所以点在定直线上. （ⅱ）证明：设，则，， 所以， ， 因为在直线上，所以， 因为为的根，不妨令， 则，所以， 则， 所以， 所以 ， 则， 所以，即 19. 已知函数（且）． （1）当，时，求曲线在处的切线方程． （2）当，时，记，为数列的前项和，证明：． （3）当，时，函数有两个零点．证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先求函数 的导函数 ，计算 和 的值，再利用点斜式方程求出曲线在 处的切线方程. （2）先化简数列 的通项公式，将前100项和 拆分为等比数列求和、等差数列求和及对数裂项相消三部分，最后通过放缩法证明 . （3）先化简函数 ，构造单调函数 转化方程，分析辅助函数 的零点分布，再构造函数 进行不等式放缩，最后通过推导得出 . 【小问1详解】 依题意,, 所以. 所以曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意可知时,, 所以 . 【小问3详解】 当时,. 令,得,则, 即, 令函数,则, 因为在上单调递增,所以,即. 令函数,则, 令,得,得1, 所以的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为, 依题意可得有两个零点,不妨设,则, 令函数,则, 所以在上单调递减. 因为,所以当时,; 当时,. 所以,即, 所以由有两个不相等的正根,且, 得,则, ,则,即, 所以, 因为,所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 设复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. 4 D. 4. 已知等比数列与等差数列，满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，，，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 某元宇宙平台举办“星际文明探索”虚拟文化节，参与者通过完成“星球解谜”“文明共建”“跨服协作”等任务获得互动积分（单位：分）．为筛选“核心探索者”（享受专属虚拟道具与后续活动优先资格），平台将所有参与者积分的第80百分位数定为核心资格门槛线．活动结束后，平台从10万参与者中随机抽取100人的积分数据，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．据此，以样本估计总体参与者的积分分布，可知此次“核心探索者”的核心资格门槛线约为（ ） A. 84分 B. 85分 C. 86分 D. 82分 7. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 在高为5的正三棱台中，，分别为侧棱，的中点，记平面、平面、平面交于点，则三棱台与三棱锥的体积之差为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 的最小值为 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “，”的否定是“，” D. 函数（且）的图象必过点和 10. 已知函数，，则（ ） A. 当时， B. 在上的值域为 C. 的单调递减区间为 D. 将的图象向左平移个单位长度，可得的图象 11. 若，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则______． 13. 已知圆的半径为5，且圆心与抛物线的焦点关于的准线对称，直线与相交于两点，则______． 14. 如图，下列有5个圆，每个圆内的上、下、左、右、中五个方位均有1个数字，现从这5个圆中各选一个方位，并记下该方位圆内的数字，要求所得5个数字来自不同的方位（例如第1个圆选了左方位上的数字，后面4个圆均不能在左方位上选数字），且这5个数字之积为0，然后将这5个数字排成一个5位数，则共有______种情况（在排5位数的过程中，若数字相同，但来自不同的圆，也视为不同的情况）． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若，求b. 16. 如图，在三棱锥中，，，，，分别是的中点，为上靠近点的四等分点，为上靠近点的四等分点． （1）证明：四点共面． （2）证明：平面平面． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 学校编程社团组织“代码调试挑战”，成员连续完成两段独立的基础代码调试记为完成一次挑战，且两段代码均调试成功才算一次挑战成功．已知成员M在每次挑战中调试第一段代码成功的概率为．若第一段代码调试成功，成员M信心提升，则调试第二段代码成功的概率为；若第一段代码调试未成功，成员M会更谨慎，则调试第二段代码成功的概率为． （1）求成员M在一次挑战中调试第二段代码成功的概率． （2）该社团组织规定每个成员每次挑战成功可获100元奖励，每次挑战只调试成功两段代码中的一段可获50元奖励．若成员M进行2次“代码调试挑战”，每次挑战成功与否相互独立，设成员M获得的奖励总金额为随机变量，求的数学期望． 18. 已知双曲线上的点与坐标原点之间距离的最小值为2，点在上，且． （1）求的标准方程． （2）过点的直线交于异于顶点的，两点，且，，设的左、右顶点分别为，直线与交于点． （ⅰ）证明：点在定直线上． （ⅱ）证明：． 19. 已知函数（且）． （1）当，时，求曲线在处的切线方程． （2）当，时，记，为数列的前项和，证明：． （3）当，时，函数有两个零点．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $