专题3：复数专项训练-2026年高考数学二轮复习

2026年高考冲刺模拟真题二轮复习专练 【专题3：复数】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：复数的四则运算】 【练方法】 知识梳理 复数形式：（），为实部，为虚部， 四则运算法则： 加减： 乘法： 除法：（分母实数化，乘共轭复数） 共轭复数：，满足 解题方法 1.加减：直接合并实部与虚部 2.乘法：按多项式乘法展开，将替换为后合并同类项 3.除法：分子分母同乘分母的共轭复数，将分母化为实数，再分离实部虚部 4.混合运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号内 高考注意事项 运算时务必注意，避免符号错误 除法运算必须先分母实数化，不能直接拆分 结果要写成的标准形式，实部在前，虚部在后 注意区分复数的实部、虚部（虚部是实数，不是） 名师点睛 口诀：“加减实虚合并，乘开换，除法同乘共轭化实数” 共轭复数是除法运算的核心工具，利用实现分母实数化 高考中复数运算多为选择题，计算要细心，避免低级错误 （2026·福建莆田·二模）已知复数，则（   ）经典例题1例题 A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】根据复数模的计算公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 【多选题】（2026·山西运城·一模）已知复数，且（），则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的加减法运算将已知等式化简，根据复数相等则虚部、实部分别相等列方程组求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，即， 所以，解得. （25-26高二下·湖南长沙·开学考试）若复数满足，则的虚部为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若复数满足， 则， 故复数的虚部为. （2026·广东汕头·模拟预测）已知，则的值为（   ）小试牛刀2 A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简复数，再求． 【详解】， ， ，故B正确． 故选：B． （2026·福建泉州·一模）若复数满足，则（    ）小试牛刀3 A． B． C．0或 D．0或 【答案】C 【详解】设复数，则， 所以， 所以，解得或， 所以或. 【题型2：复数的几何意义】 【练方法】 知识梳理 复数的几何表示：复数与复平面内的点一一对应，也与向量一一对应 复数的模：，表示点到原点的距离，也表示向量的长度 共轭复数的几何意义：与关于实轴对称 复数加减法的几何意义：对应向量的加减运算（平行四边形法则/三角形法则） 解题方法 1.复数转点：将转化为复平面内的点 2.求模：直接代入公式计算 3.几何运算：将复数加减转化为向量加减，用平行四边形法则分析 4.距离问题：表示复平面内两点之间的距离 高考注意事项 复平面的横轴是实轴，纵轴是虚轴，注意与平面直角坐标系的区别 复数的模是实数，计算时要开平方，结果非负 是两点间距离公式，可用于判断轨迹、位置关系 共轭复数的几何对称性是高频考点，要熟练掌握 名师点睛 口诀：“复数即点即向量，模是距离，共轭对称实轴上” 复数的几何意义是连接代数与几何的桥梁，可将复数问题转化为平面几何问题 模长计算是核心，是常用变形，可简化运算 （2026·安徽合肥·模拟预测）已知在复平面内对应的点为，则复数（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合复数的运算法则，即可求解. 【详解】由复数在复平面内对应的点为，可得， 所以. （2026·湖北随州·二模）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合向量的线性运算，利用复数的线性运算求解即可. 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以 ， 所以向量对应的复数为． （2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（    ）小试牛刀1 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】设，由，得， 即，得， 所以在复平面内对应的点为位于第四象限. （2026·山东东营·一模）在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据复数与复平面内向量的关系，结合三角函数关系计算即可得；法二：借助复数的三角形式及其乘法的几何意义计算即可得. 【详解】法一：复数对应的向量为，则， 向量与轴正半轴夹角为， 设该向量绕原点沿顺时针方向旋转后所得向量坐标为， 则，， 即所得向量坐标为，故旋转后的向量对应的复数为； 法二：复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转后的向量对应的复数为： . （2026·广东广州·模拟预测）在复平面内，所对应的点在（    ）小试牛刀3 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的乘除法运算进行计算，进而确定结果. 【详解】， 显然其对应的点在第四象限． 【题型3：复数的三角表示】 【练方法】 知识梳理 三角形式：，其中是模，是辐角（） 三角形式的运算： 乘法：（模相乘，辐角相加） 除法：（模相除，辐角相减） 乘方：（棣莫弗公式） 三角形式与代数形式的转化：， 解题方法 1.代数转三角：先求模，再求辐角（由结合点所在象限确定） 2.三角转代数：展开 3.乘除/乘方运算：优先用三角形式，按“模运算+辐角运算”分步计算 4.结果化简：若需要，再转化为代数形式 高考注意事项 辐角需满足，注意象限判断，避免角度错误 三角形式的运算规则是“模运算单独算，辐角加减/乘n”，不要混淆 棣莫弗公式是复数乘方的核心工具，适用于 高考中三角表示多为选填题，注意运算后转化为标准形式 名师点睛 口诀：“模是长度，角是方向，乘除模乘除，角加减；乘方模乘方，角乘n” 三角形式的优势在于简化乘除、乘方运算，适合处理复数的高次幂问题 辐角的确定要结合点的象限，避免只看而忽略符号 （2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ）经典例题1例题 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为复数， 所以， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 又，， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. （2026·重庆·一模）任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将化为三角形式，再根据棣莫弗定理化简求值，即得答案. 【详解】 ， 故选：C （25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知复数（为虚数单位），则等于（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘方运算，以及复数加法法则计算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. （2026·福建龙岩·一模）已知复数，则的模为（    ）小试牛刀2 A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】由复数模计算公式可得答案. 【详解】由题意，则. 故选：D 【多选题】（2026·山东滨州·一模）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀3 A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】AC 【分析】对于A：根据题意可得，即可得虚部；对于B：根据题意可得，结合复数的几何意义分析判断；对于C：根据题意结合诱导公式分析判断；对于D：由题意可得，结合面积公式分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以的虚部为，故A正确； 对于选项B：因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B错误； 对于选项C：因为，则， 可得，即，故C正确； 对于选项D：因为，， 则在复平面内分别对应点， 可得，， 则面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故D错误. 【题型4：复数对应的轨迹问题及最值问题】 【练方法】 知识梳理 常见轨迹： ：以为圆心，为半径的圆 ：线段的垂直平分线 （）：椭圆 （）：双曲线 最值问题： 几何法：利用模长的几何意义（距离）求最值 代数法：设，转化为平面直角坐标系下的函数最值 解题方法 1.轨迹识别：将复数方程转化为模长形式，对照常见轨迹判断 2.几何分析：画出轨迹图形，结合平面几何知识分析性质 3.最值求解： 圆上点到定点的最值：（为定点到圆心的距离） 其他轨迹：转化为函数，用代数方法求最值 4.代数转化：设，将复数方程转化为直角坐标方程，再分析轨迹与最值 高考注意事项 复数轨迹问题本质是平面解析几何问题，要熟练掌握常见曲线的定义 注意模长的非负性，避免出现这类无意义的方程 最值问题要结合图形分析，优先用几何法，简化计算 高考中此类问题多为中档题，需注意轨迹的完整性（如是否包含边界） 名师点睛 口诀：“复数模长即距离，轨迹对照几何图，最值看圆心定点” 几何法是解决复数轨迹与最值的最优方法，避免复杂代数运算 若轨迹不熟悉，可设转化为直角坐标方程，用解析几何知识解决 （2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若复数满足，则的最大值为（    ）经典例题1例题 A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】C 【分析】复数对应的点的轨迹为为圆心，半径的圆，设为坐标原点，求得，可求的最大值. 【详解】设，由，可得， 所以复数对应的点的轨迹为为圆心，半径的圆， 设为坐标原点，可得，所以的最大值为. 故选：C. （2026·四川成都·二模）若，，则的最大值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ， 其中，当时，最大值为. （2026·河南·模拟预测）若复数满足，则的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数模的几何意义，数形结合计算求解. 【详解】复数满足， 表示复数在复平面内的轨迹是以原点为圆心、半径为的单位圆， 表示复数到点的距离， 即求解单位圆上的点到的距离取值范围， 因为到点的距离为， 所以的最大值为，的最小值为， 故的取值范围是. （2026·广东·模拟预测）已知，，若，则的最小值为__________.小试牛刀2 【答案】 【分析】根据复数的几何意义将问题转化为平面向量问题，再结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】将复数转至复平面上进行研究，则复数对应的向量为，复数对应的向量为， 若复数，则其所对应的向量，故复数在复平面上对应的点在直线上. 直线的斜率，所以直线的方程为，即， 因为,所以的最小值为原点到该直线的距离. 故答案为：. （2026·湖北荆州·一模）已知，（i为虚数单位），则函数的最大值为______.小试牛刀3 【答案】/ 【分析】先根据复数的运算法则求出的值，再将函数化简，最后根据三角函数的性质求出最大值即可. 【详解】因为，整理得， 所以，解得：，， 所以， 利用辅助角公式化简得， 又因为余弦函数的值域是， 所以当时，取得最大值， 即. 故答案为：. 【题型5：复数的抽象复杂运算】 【练方法】 知识梳理 常见抽象运算：复数的幂次周期性（）、共轭运算、模长运算、复数方程等 核心性质： 的周期性： ，， ，， 解题方法 1.周期性运算：将指数除以4，取余数判断的值 2.共轭运算：利用共轭性质，将运算转化为实部虚部的运算 3.模长运算：利用，将模长平方转化为复数乘法 4.复数方程：设，代入方程后分离实部虚部，列方程组求解 高考注意事项 的周期性是高频考点，要熟练掌握的循环规律 共轭运算与模长运算要注意性质的适用范围，避免错误变形 复数方程求解时，要保证实部虚部分离正确，方程组求解要细心 抽象运算题多为选择题，可代入特殊值验证结果 名师点睛 口诀：“的幂次看余4，共轭模长用性质，方程设成，实虚分离列方程” 抽象运算的核心是利用复数的性质简化计算，避免直接展开 若运算复杂，可先取模或取共轭，缩小计算范围 （2026·陕西西安·一模）如果复数满足（实数），那么复数在复平面上对应的点的轨迹是（   ）经典例题1例题 A．焦距为的椭圆 B．焦距为的椭圆 C．焦距为的椭圆 D．焦距为的椭圆 【答案】A 【分析】设复数的代数形式，求出的表达式，再根据复数的模的性质和椭圆的定义确定轨迹即可. 【详解】令 . 因为，所以. 又， 所以. 设 ，则，， 所以，. 代入得，，即， 也即， 因为，所以，所以该曲线表示焦点在轴上的椭圆，其中，， 所以，则，焦距. 所以复数在复平面上对应的点的轨迹是焦距为的椭圆. 故选：A. 【多选题】（2026·新疆·模拟预测）（多选）已知复数z满足，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D．的最大值为2 【答案】ABD 【详解】设复数（a，），由可得，. 选项A： ，正确； 选项B：，正确； 选项C： ，只有当时才等于1，不是恒成立，错误； 选项D： ， 因为，当时，的最大值为，正确. 【多选题】（2026·浙江·模拟预测）设为复数，其中，则下列正确的是（   ）小试牛刀1 A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据复数运算和模长运算判断A错误，C正确；根据复数性质判断B正确；通过举反例判断D错误. 【详解】选项A，计算得：，， 因为，所以的虚部，不可能等于实数，故A错误； 选项B，是复数模的基本性质，对任意复数都成立，故B正确； 选项C，设，则， 若，则虚部，得，故，故C正确； 选项D，，故，由两边约去得，不一定有， 例如满足条件，但，故D错误. 【多选题】（25-26高三上·山东青岛·期末）设复数z满足，则（    ）小试牛刀2 A． B． C．关于z的方程有解 D．若复数w满足，则 【答案】ABD 【分析】设，根据可得，故在双曲线上，由双曲线的性质可判断ABC的正误，根据三角形不等式可判断D的正误. 【详解】设，则， 整理得， 故即， 故在双曲线上，焦点坐标为实半轴长为， 故表示到两个焦点的距离差的绝对值， 故，故A正确； 即为到原点的距离，故大于等于实半轴长，故，故B成立， 对于C，由可得，而， 故，而，故矛盾，故C错误； 对于D，因为即为到原点的距离，由B的分析可得， 而，故D正确； 故选：ABD. 【多选题】（2026·河北沧州·一模）已知为复数，下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C．若，则 D．若是方程的两根，则 【答案】ABD 【分析】设，，应用复数的相关概念及共轭复数的运算判断A、B；取，判断C，由方程复数根的性质、韦达定理判断D. 【详解】A，设，， ， ， 所以，正确； B，设，则， 由，得，所以，正确； C，若，不妨取，， 此时，但不成立，错误； D，若是方程的两根， 根据韦达定理可知， 则，正确． 故选：ABD 【题型6：一元二次方程对应的根】 【练方法】 知识梳理 实系数一元二次方程（）： 判别式 ：两个不相等的实根 ：两个相等的实根 ：两个共轭虚根 韦达定理：无论根是实根还是虚根，都满足， 复系数一元二次方程：根可能为非共轭虚根，仍可用求根公式（） 解题方法 1.实系数方程： 先算判别式，判断根的类型 时，用求根公式直接写出共轭虚根 已知虚根，可利用共轭虚根的性质（和与积）求方程参数 2.复系数方程： 直接用求根公式，注意复数开方运算 利用韦达定理，设根为，列方程组求解参数 3.韦达定理应用：已知根的关系，求参数或构造方程 高考注意事项 实系数方程的虚根是共轭的，这是核心性质，可用于简化计算 韦达定理对实根、虚根均成立，不要遗漏 复系数方程的根不一定共轭，不能用共轭性质求解 高考中此类问题多为填空题或解答题，注意根的书写规范 名师点睛 口诀：“实系数方程看判别式，虚根共轭成对出，韦达定理通用于实虚根” 共轭虚根的性质是解决实系数方程虚根问题的关键 若已知一个虚根，可直接写出其共轭虚根，再用韦达定理求方程 （2026·广东茂名·一模）已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则__________.经典例题1例题 【答案】 【分析】由题可知，方程的两根应为虚根，可设方程的两复根为，，根据条件可得边长之间关系式，进而得解. 【详解】根据题意设方程的两虚根为，，为实数， 方程的两根在复平面上对应的点分别为和，轴， 又是等边三角形，高为2，则， 解得，则； 则. 故答案为． （2026·山东·模拟）设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（    ）小试牛刀1 A．0 B． C． D．1 【答案】D 【分析】由实系数一元二次方程的虚数根成对出现，它们互为共轭复数的性质，设，则，然后由是实数，得出的关系，再计算后可得． 【详解】因为是实系数一元二次方程的两个根，且是虚数，则也是虚数，且是的共轭复数，设，则， 则 ， 又是实数，所以，又，所以，， ， 由于，， 所以， 所以． 故选：D． 真题模拟检测 一、单选题 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 3．（2025·江苏南通·一模）在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义得到方程组，然后相加，结合同角三角函数关系式和两角差的余弦公式计算即可. 【详解】， ，，， 故选：C． 4．（2026·河北沧州·一模）已知复数，其中，则在复平面内所对应点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【分析】求出对应的坐标，消去，即可得到点的轨迹. 【详解】设对应点的坐标为，则， 消去得，则点的轨迹为圆． 故选：B． 5．（2026·新疆·二模）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数的虚部为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解. 【详解】根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量， 根据向量减法坐标运算可得向量， 从而向量对应的复数为，虚部为7. 故选：B. 6．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知复数，设复数，则的虚部是（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】求出的共轭复数，再利用复数的运算化简，判断其虚部即可. 【详解】已知，则， 则， 分子分母同乘得：. 由复数的定义可得虚部为. 故选：A 7．（2026·山东济南·一模）已知复数满足，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由已知条件结合复数的四则运算法则可得复数，再求. 【详解】复数满足，则有， 得，所以. 故选：B 8．（2026·山东·模拟预测）若为实数，则虚数的实部为（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】C 【分析】设且，代入计算结合复数概念可得，进而可解. 【详解】设且， 则， 因为为实数，所以， 因为，所以， 故虚数的实部为. 故选：C 9．（2026·宁夏银川·一模）若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】， 因为为纯虚数， 所以，且， 所以. 二、多选题 10．（2025·广东湛江·一模）复数，满足，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意根据韦达定理建立一元二次方程，求得复数，根据模长公式以及复数四则运算，可得答案. 【详解】依题意得，复数，是方程的两个根， 可得， 解得，则，， 所以，故选项A正确； ，故选项B正确； ，故选项C错误； ，故选项D正确． 故选：ABD． 11．（2026·陕西西安·三模）设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分别求出和，即可判断A，求出，即可判断B；求出，并求出它的模，即可判断C；分别求出和，即可判断D. 【详解】因为，，所以， ，所以，故A正确； 因为，故B错误； 因为， 所以，故C正确； 因为，， 所以， ， 所以，故D错误. 故选：AC 12．（2026·吉林白山·一模）已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限 C． D． 【答案】AB 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的概念，复数的几何意义，以及复数模的计算公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由复数z满足，可得， A，复数的虚部为，正确； B，由，得，则复数在复平面内对应的点为位于第三象限，正确； C，由复数模的计算公式，可得，错误； D，因为复数和都是虚数，不能比较大小，错误. 故选：AB 13．（2026·安徽芜湖·一模）（多选）若复数，则下列说法正确的有（    ） A．实部为 B．虚部为 C． D．复数对应的点在第一象限 【答案】AD 【分析】根据复数的概念逐项判断即可. 【详解】由题意可得， 所以的实部为，虚部为，， 复数对应的点为，在第一象限， 故选：AD 三、填空题 14．（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可. 【详解】， 故． 故答案为：. 15．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可. 【详解】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为： 16．（2026·山西晋中·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点为，则__________． 【答案】 【分析】结合，利用周期性即可求解． 【详解】由题意可知，又因为， 所以． 17．（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________. 【答案】3 【分析】根据复数的几何意义分析求解即可. 【详解】由得复数对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆， 因为表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为1， 则的最小值为， 而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为， 则的最小值为， 又因为的最小值与的最小值相同， 所以，，解得. 故答案为：3. 四、解答题 18．（2026·山东菏泽·一模）已知复数，. (1)当时，求； (2)设，记（表示复数z的虚部）.将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，求的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的除法求解即可； （2）利用复数的乘法及三角函数图象的变换求出，再由正弦型三角函数的单调性求解即可. 【详解】（1）当时， 所以. （2）因为，所以 ， 所以， 将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得， 令， 解得， 所以的单调递增区间是 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考冲刺模拟真题二轮复习专练 【专题3：复数】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：复数的四则运算】 【练方法】 知识梳理 复数形式：（），为实部，为虚部， 四则运算法则： 加减： 乘法： 除法：（分母实数化，乘共轭复数） 共轭复数：，满足 解题方法 1.加减：直接合并实部与虚部 2.乘法：按多项式乘法展开，将替换为后合并同类项 3.除法：分子分母同乘分母的共轭复数，将分母化为实数，再分离实部虚部 4.混合运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号内 高考注意事项 运算时务必注意，避免符号错误 除法运算必须先分母实数化，不能直接拆分 结果要写成的标准形式，实部在前，虚部在后 注意区分复数的实部、虚部（虚部是实数，不是） 名师点睛 口诀：“加减实虚合并，乘开换，除法同乘共轭化实数” 共轭复数是除法运算的核心工具，利用实现分母实数化 高考中复数运算多为选择题，计算要细心，避免低级错误 （2026·福建莆田·二模）已知复数，则（   ）经典例题1例题 A． B．3 C． D．5 【多选题】（2026·山西运城·一模）已知复数，且（），则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二下·湖南长沙·开学考试）若复数满足，则的虚部为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·广东汕头·模拟预测）已知，则的值为（   ）小试牛刀2 A．5 B． C． D． （2026·福建泉州·一模）若复数满足，则（    ）小试牛刀3 A． B． C．0或 D．0或 【题型2：复数的几何意义】 【练方法】 知识梳理 复数的几何表示：复数与复平面内的点一一对应，也与向量一一对应 复数的模：，表示点到原点的距离，也表示向量的长度 共轭复数的几何意义：与关于实轴对称 复数加减法的几何意义：对应向量的加减运算（平行四边形法则/三角形法则） 解题方法 1.复数转点：将转化为复平面内的点 2.求模：直接代入公式计算 3.几何运算：将复数加减转化为向量加减，用平行四边形法则分析 4.距离问题：表示复平面内两点之间的距离 高考注意事项 复平面的横轴是实轴，纵轴是虚轴，注意与平面直角坐标系的区别 复数的模是实数，计算时要开平方，结果非负 是两点间距离公式，可用于判断轨迹、位置关系 共轭复数的几何对称性是高频考点，要熟练掌握 名师点睛 口诀：“复数即点即向量，模是距离，共轭对称实轴上” 复数的几何意义是连接代数与几何的桥梁，可将复数问题转化为平面几何问题 模长计算是核心，是常用变形，可简化运算 （2026·安徽合肥·模拟预测）已知在复平面内对应的点为，则复数（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·湖北随州·二模）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（    ）小试牛刀1 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （2026·山东东营·一模）在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·广东广州·模拟预测）在复平面内，所对应的点在（    ）小试牛刀3 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型3：复数的三角表示】 【练方法】 知识梳理 三角形式：，其中是模，是辐角（） 三角形式的运算： 乘法：（模相乘，辐角相加） 除法：（模相除，辐角相减） 乘方：（棣莫弗公式） 三角形式与代数形式的转化：， 解题方法 1.代数转三角：先求模，再求辐角（由结合点所在象限确定） 2.三角转代数：展开 3.乘除/乘方运算：优先用三角形式，按“模运算+辐角运算”分步计算 4.结果化简：若需要，再转化为代数形式 高考注意事项 辐角需满足，注意象限判断，避免角度错误 三角形式的运算规则是“模运算单独算，辐角加减/乘n”，不要混淆 棣莫弗公式是复数乘方的核心工具，适用于 高考中三角表示多为选填题，注意运算后转化为标准形式 名师点睛 口诀：“模是长度，角是方向，乘除模乘除，角加减；乘方模乘方，角乘n” 三角形式的优势在于简化乘除、乘方运算，适合处理复数的高次幂问题 辐角的确定要结合点的象限，避免只看而忽略符号 （2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ）经典例题1例题 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （2026·重庆·一模）任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知复数（为虚数单位），则等于（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·福建龙岩·一模）已知复数，则的模为（    ）小试牛刀2 A．1 B． C． D．2 【多选题】（2026·山东滨州·一模）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀3 A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【题型4：复数对应的轨迹问题及最值问题】 【练方法】 知识梳理 常见轨迹： ：以为圆心，为半径的圆 ：线段的垂直平分线 （）：椭圆 （）：双曲线 最值问题： 几何法：利用模长的几何意义（距离）求最值 代数法：设，转化为平面直角坐标系下的函数最值 解题方法 1.轨迹识别：将复数方程转化为模长形式，对照常见轨迹判断 2.几何分析：画出轨迹图形，结合平面几何知识分析性质 3.最值求解： 圆上点到定点的最值：（为定点到圆心的距离） 其他轨迹：转化为函数，用代数方法求最值 4.代数转化：设，将复数方程转化为直角坐标方程，再分析轨迹与最值 高考注意事项 复数轨迹问题本质是平面解析几何问题，要熟练掌握常见曲线的定义 注意模长的非负性，避免出现这类无意义的方程 最值问题要结合图形分析，优先用几何法，简化计算 高考中此类问题多为中档题，需注意轨迹的完整性（如是否包含边界） 名师点睛 口诀：“复数模长即距离，轨迹对照几何图，最值看圆心定点” 几何法是解决复数轨迹与最值的最优方法，避免复杂代数运算 若轨迹不熟悉，可设转化为直角坐标方程，用解析几何知识解决 （2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若复数满足，则的最大值为（    ）经典例题1例题 A．1 B．2 C．5 D．6 （2026·四川成都·二模）若，，则的最大值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·河南·模拟预测）若复数满足，则的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·广东·模拟预测）已知，，若，则的最小值为__________.小试牛刀2 （2026·湖北荆州·一模）已知，（i为虚数单位），则函数的最大值为______.小试牛刀3 【题型5：复数的抽象复杂运算】 【练方法】 知识梳理 常见抽象运算：复数的幂次周期性（）、共轭运算、模长运算、复数方程等 核心性质： 的周期性： ，， ，， 解题方法 1.周期性运算：将指数除以4，取余数判断的值 2.共轭运算：利用共轭性质，将运算转化为实部虚部的运算 3.模长运算：利用，将模长平方转化为复数乘法 4.复数方程：设，代入方程后分离实部虚部，列方程组求解 高考注意事项 的周期性是高频考点，要熟练掌握的循环规律 共轭运算与模长运算要注意性质的适用范围，避免错误变形 复数方程求解时，要保证实部虚部分离正确，方程组求解要细心 抽象运算题多为选择题，可代入特殊值验证结果 名师点睛 口诀：“的幂次看余4，共轭模长用性质，方程设成，实虚分离列方程” 抽象运算的核心是利用复数的性质简化计算，避免直接展开 若运算复杂，可先取模或取共轭，缩小计算范围 （2026·陕西西安·一模）如果复数满足（实数），那么复数在复平面上对应的点的轨迹是（   ）经典例题1例题 A．焦距为的椭圆 B．焦距为的椭圆 C．焦距为的椭圆 D．焦距为的椭圆 【多选题】（2026·新疆·模拟预测）（多选）已知复数z满足，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D．的最大值为2 【多选题】（2026·浙江·模拟预测）设为复数，其中，则下列正确的是（   ）小试牛刀1 A． B． C．若，则 D．若，则 【多选题】（25-26高三上·山东青岛·期末）设复数z满足，则（    ）小试牛刀2 A． B． C．关于z的方程有解 D．若复数w满足，则 【多选题】（2026·河北沧州·一模）已知为复数，下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C．若，则 D．若是方程的两根，则 【题型6：一元二次方程对应的根】 【练方法】 知识梳理 实系数一元二次方程（）： 判别式 ：两个不相等的实根 ：两个相等的实根 ：两个共轭虚根 韦达定理：无论根是实根还是虚根，都满足， 复系数一元二次方程：根可能为非共轭虚根，仍可用求根公式（） 解题方法 1.实系数方程： 先算判别式，判断根的类型 时，用求根公式直接写出共轭虚根 已知虚根，可利用共轭虚根的性质（和与积）求方程参数 2.复系数方程： 直接用求根公式，注意复数开方运算 利用韦达定理，设根为，列方程组求解参数 3.韦达定理应用：已知根的关系，求参数或构造方程 高考注意事项 实系数方程的虚根是共轭的，这是核心性质，可用于简化计算 韦达定理对实根、虚根均成立，不要遗漏 复系数方程的根不一定共轭，不能用共轭性质求解 高考中此类问题多为填空题或解答题，注意根的书写规范 名师点睛 口诀：“实系数方程看判别式，虚根共轭成对出，韦达定理通用于实虚根” 共轭虚根的性质是解决实系数方程虚根问题的关键 若已知一个虚根，可直接写出其共轭虚根，再用韦达定理求方程 （2026·广东茂名·一模）已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则__________.经典例题1例题 （2026·山东·模拟）设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（    ）小试牛刀1 A．0 B． C． D．1 真题模拟检测 一、单选题 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 3．（2025·江苏南通·一模）在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北沧州·一模）已知复数，其中，则在复平面内所对应点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 5．（2026·新疆·二模）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数的虚部为（    ） A． B．7 C． D． 6．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知复数，设复数，则的虚部是（    ） A．-1 B．1 C． D． 7．（2026·山东济南·一模）已知复数满足，则（    ） A． B．1 C． D．2 8．（2026·山东·模拟预测）若为实数，则虚数的实部为（   ） A．-2 B． C． D．2 9．（2026·宁夏银川·一模）若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 二、多选题 10．（2025·广东湛江·一模）复数，满足，，则（   ）． A． B． C． D． 11．（2026·陕西西安·三模）设，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·吉林白山·一模）已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限 C． D． 13．（2026·安徽芜湖·一模）（多选）若复数，则下列说法正确的有（    ） A．实部为 B．虚部为 C． D．复数对应的点在第一象限 三、填空题 14．（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 15．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________． 16．（2026·山西晋中·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点为，则__________． 17．（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________. 四、解答题 18．（2026·山东菏泽·一模）已知复数，. (1)当时，求； (2)设，记（表示复数z的虚部）.将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，求的单调递增区间. 1 学科网（北京）股份有限公司 $