专题2：不等式的性质，基本不等式与一元二次不等式专项训练-2026年高考数学二轮复习

2026年高考冲刺模拟真题二轮复习专练 【专题2：不等式的性质，基本不等式与一元二次不等式】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：不等式的性质】 【练方法】 知识梳理 核心性质： 1.对称性： 2.传递性： 3.可加性： 4.可乘性：； 5.同向可加性： 6.同向可乘性： 7.乘方性质： 8.开方性质： 易错点：乘除负数时不等号方向改变；同向可乘要求均为正数 解题方法 1.直接用性质判断：根据已知条件匹配对应性质 2.特殊值法：代入具体数值（如正数、负数、0）验证不等式是否成立 3.作差法：； 4.作商法（正数范围）：（） 高考注意事项 乘除负数时必须改变不等号方向，这是最常见丢分点 同向可乘性要求两个不等式均为“大于0”，否则不成立 特殊值法适合选择题，可快速排除错误选项 注意“”与“”的区别：时后者不成立 名师点睛 口诀：“加减不变号，乘除看符号；正乘正放大，负乘负变号” 不等式性质是所有不等式问题的基础，必须熟练掌握 作差法是判断不等式的通法，尤其适合复杂代数式比较大小 （2026·北京密云·一模）已知，则下列结论中不正确的是（    ）经典例题1例题 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故A错. 对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确 对于C， 已知且，说明，那么，不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故C正确. 对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确. （2026·甘肃·一模）已知，则“”是“”的（    ）经典例题2例题 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，则充分性成立； 若，则满足，但不满足，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 【多选题】（2026·安徽合肥·一模）已知正实数满足，且，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据绝对值的性质，结合已知，，对与1的大小关系进行分析，再根据不等式的性质判断各选项的正误即可. 【详解】若，因为，则，所以， 与矛盾，故不成立，所以，故A正确； 若，因为，则，所以， 与矛盾，故不成立，所以， 取，满足，，此时，故B错误； 因为，，，所以，所以， 又，所以，所以，故C正确； 取，满足，， 所以满足，此时，故D错误. 故选：AC. 【多选题】（2026·山东淄博·一模）已知实数，满足，则下列说法正确的有（    ）小试牛刀2 A． B． C．若，则 D．若，，则 【答案】BC 【详解】若，则满足，但不满足，故A错误； 因为， 所以，故B正确； 因为，，所以，则，故C正确； 因为，，所以，则，故D错误. （2026·福建莆田·二模）已知，，且，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于AB，利用不等式的性质可判断，对于C，使用作差法即可判断，对于D，结合余弦函数的单调性和奇偶性即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，即，故A错误； 对于B，当时，，，此时，故B错误； 对于C，， 因为，所以，，， 所以，即，故C正确； 对于D，函数在上单调递减，所以， 又因为函数为偶函数，所以，故D错误. 【题型2：一元二次不等式的解法】 【练方法】 知识梳理 标准形式：（或）， 核心方法：二次函数图像法（三个二次关系） 判别式 若，方程有两不等实根，则： 时，解集为 时，解集为 若，方程有两相等实根，则： 时，解集为 时，解集为 若，方程无实根，则： 时，解集为 时，解集为 解题方法 1.化标准型：将不等式化为（） 2.求判别式，解方程得根 3.画二次函数草图（开口方向+根的位置） 4.根据图像写出解集：大于0取两边，小于0取中间 5.含等号时，解集包含根（用） 高考注意事项 必须先保证二次项系数，否则图像开口方向易判断错误 注意解集的区间端点是否包含（>对应开区间，对应闭区间） 若，先两边乘，同时改变不等号方向 分式不等式、高次不等式最终都可转化为一元二次不等式求解 名师点睛 口诀：“开口向上看图像，大于取两边，小于取中间” 三个二次关系是核心：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式本质相通 解集要写成区间或集合形式，不能用不等式直接表示 （2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，，则（   ）经典例题1例题 A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为，所以或， 又或， 所以或. （2026·广东汕头·模拟预测）已知集合，若，则为（   ）经典例题2例题 A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】解不等式化简集合，再利用交集、补集的定义求解. 【详解】解不等式，得或，则或， 解不等式，即，得或，则或， 因此或，所以. 故选：A （2026·四川成都·二模）已知集合，．则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得集合， 所以集合， 所以. （2026·宁夏银川·一模）已知集合，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， ，， . （2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）若关于的不等式的解集为，则实数_________．小试牛刀3 【答案】 【详解】由题意知和6是方程的两个实数根， 所以，所以． 【题型3：一元二次不等式恒成立与有解问题】 【练方法】 知识梳理 恒成立问题：对任意，恒成立 且：解集为 时，退化为一次不等式恒成立 有解问题：存在，使成立 等价于函数在上的最大值 区间上恒成立：需结合函数单调性、极值分析 解题方法 恒成立问题 1.先讨论：退化为一次函数，直接判断 2.若： 若解集为：且 若在区间上恒成立：求在上的最小值，令最小值 有解问题 1.求在上的最大值 2.令最大值，解不等式得参数范围 3.或转化为“存在使”，即 高考注意事项 必须先讨论，遗漏会导致漏解 恒成立问题是“对所有”，有解问题是“存在至少一个”，逻辑不同 区间上恒成立不能直接用，需结合区间分析极值 含参数时，要注意参数对开口方向、判别式的影响 名师点睛 口诀：“恒成立看最小值，有解看最大值” 恒成立问题本质是求函数最值，转化为“最值>0”或“最值<0” 高考常结合函数定义域、值域、单调性综合考查，需注意定义域范围 （2026·广东汕头·模拟预测）已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，结合条件，分析求解，即可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则，即， 所以关于b的一元二次不等式有解，且， 所以， 因为，所以，解得或， 当时，不等式为，得，符合题意； 当时，不等式为，得，符合题意， 则t的取值范围是. 故答案为： （2026·湖南常德·一模）已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式恒成立的条件得出关系，然后再利用导数即可求解. 【详解】由题意可知整理得， 又因为，所以要想最大，则有，并且，即，所以， 设函数，令，解得或（舍去）. 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以的最大值为. 故选：B （2026·广东汕头·模拟预测）对于任意的，都有和恒成立，其中a，b为实数．则的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将不等式整理为，结合对勾函数性质构造函数，再结合线性规划求解即可. 【详解】由，不等式两侧同时除以，得， 整理得，设，根据对勾函数的性质可得 当时，取最小值为4， 当时，， 当时，，故， 即，恒有. 设，则，即①， 建立关于的平面直角坐标系如图所示，①表示四条直线围成的一个平行四边形， 联立方程求解顶点坐标可得 ，， ，. 设目标函数为，将 代入，得，即可行域内恒成立， 故. 当时，，代入， 可得的取值分别为，故； 当时，，代入，可得， 综上所述. 故选：A. （2026·河南南阳·模拟预测）已知对，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_____.小试牛刀2 【答案】 【分析】将已知等式变形为，可得出，令，，，分析可知，可得出，即可得出，利用导数和基本不等式求解即可. 【详解】对，有，所以， 所以不等式左右两侧同时除以， 所以， 转化为关于的一元二次不等式，所以， 令，，， ，当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以； 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 因为，故对任意的，则， 故当时，，， 由可得， 故，故，即实数的取值范围是. 故答案为：. （2026·山东枣庄·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围是______．小试牛刀3 【答案】 【分析】先判断的奇偶性，再判断单调性，根据恒成立，则即求恒成立，讨论，两种情况，即可求解. 【详解】根据题意知，，所以可知为奇函数， 而单调递增，单调递减，即单调递增，所以单调递增， 而恒成立，则即恒成立， 所以可得恒成立， 当，恒成立，所以符合条件； 当，恒成立，则需要且， 化简可得，综上所述. 故答案为： 【题型4：基本不等式】 【练方法】 知识梳理 核心公式： 1.基本不等式：若，则，当且仅当时取等号 2.变形：；； 适用条件：一正（）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到） 几何意义：算术平均数几何平均数 解题方法 1.凑定值： 和为定值求积最值： 积为定值求和最值： 2.配凑法：对代数式变形，凑出“和为定值”或“积为定值” 3.常数代换法：如已知，求的最值，用展开 4.验证等号：最后必须验证等号成立条件（）是否满足 高考注意事项 必须满足“一正二定三相等”，缺一不可，否则不能用基本不等式 若为负数，先转化为正数再应用（如，则） 等号取不到时，需用函数单调性求最值 基本不等式是求最值的核心工具，高考高频考点 名师点睛 口诀：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小” 配凑法是关键，常见技巧：加项减项、拆项、常数代换 若等号取不到，要及时切换到函数单调性求解，避免硬套公式 （2026·江苏南京·三模）已知正数，，成等差数列，则的最小值为（    ）经典例题1例题 A． B．2 C．6 D．4 【答案】A 【详解】由题意可知，即，则， 由基本不等式可知，当且仅当时，即时取等号， 则，所以，当且仅当，即时取等号， 综上所述，当时，取得最小值. （2026·湖南怀化·一模）已知，且，则的最小值为__________.经典例题2例题 【答案】 【分析】利用1的代换，再结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】由 ，得 ，即 （）， 则， 当且仅当 ，即，再结合 ， 可解得 ，满足条件，因此的最小值为 . （2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）若，则的最小值为（    ）小试牛刀1 A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时取等号. 目标式最小值为4. 【多选题】（2026·山东烟台·一模）若，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用给定条件结合基本不等式判断A，C；利用构造函数，求导，利用单调性进行判断B，D. 【详解】对于A项，因，，且，则有， 当且仅当时取“=”，A正确； 对于B项，因，，且，则, 得，则B错误； 对于C项，因，，且，则， 得，， 设，， 得，得函数在上单调递增， 得，得， 即，得，故C正确； 对于D项，， 令， 得，得函数在上单调递增， 得，得，即，故D项错误. （2026·湖南·模拟预测）若，且，则的最小值为（   ）小试牛刀3 A．12 B．16 C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合一元二次不等式求解即可解题. 【详解】因为，，所以， 令，所以，解得（舍去）或， 即，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 【题型5：跨知识的基本不等式】 【练方法】 知识梳理 场景：结合函数、数列、解析几何、立体几何、实际问题等，用基本不等式求最值 核心：将其他领域问题转化为“和为定值”或“积为定值”的形式，再用基本不等式 常见类型： 函数最值：如（） 解析几何：如直线与坐标轴围成的三角形面积最值 实际问题：如用料最省、利润最大、效率最高等 解题方法 1.建模：将实际问题或几何问题转化为函数表达式 2.确定变量范围：保证变量为正（满足“一正”） 3.凑定值：对函数变形，凑出“和为定值”或“积为定值” 4.用基本不等式求最值，验证等号成立条件 5.还原为实际问题或几何结论 高考注意事项 建模是关键，要准确提取变量关系，避免模型错误 注意变量的实际意义范围（如长度>0、时间>0） 等号成立条件必须符合实际意义，否则需用单调性求最值 此类问题常作为高考解答题，需完整写出建模、变形、求最值、验证的过程 名师点睛 口诀：“先建模，再凑定，后验证” 跨知识问题本质还是基本不等式，重点考查建模与变形能力 实际问题中，若等号取不到，要说明“当时，最值趋近于” （2026·山东临沂·一模）已知锐角，满足，则的最大值是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和差角公式，结合同角三角关系式，得含的表示，即可根据基本不等式求解最值. 【详解】由得，即， 由于，为锐角，故， 设，则 ， 令，当且仅当时取到等号.故的最大值为. （2026·福建莆田·二模）已知数列是公比为的等比数列，，，，，则下列命题正确的是（   ）经典例题2例题 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等比数列的项的性质判断A；根据时，判断B；根据基本不等式计算求解判断C，根据常数列判断D； 【详解】对于A选项，数列是公比为的等比数列，且，则，所以或，故错误； 对于B选项，若，当时，有，则，故错误； 对于C选项，数列是公比为的等比数列，则，， 又因，所以，所以，故正确； 对于D选项，当等比数列为公比为的非零常数列时，始终满足， 但不一定成立，故错误； （2026·广东汕头·模拟预测）在三角形中，角所对的边分别为．若，且三角形的周长为，则该三角形面积的最大值为_______________．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用余弦定理角化边可得或，当时，利用表示三角形的周长并利用基本不等式求面积的最大值，当时，利用三角形的面积公式结合导数求面积的最大值即可. 【详解】因为， 所以由余弦定理可得， 即，解得或， 又因为， 当时，， 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，解得， 所以该三角形面积，此时； 当时，设，，则， 由三角形的性质可得，解得， 由海伦公式可得， 令， 所以， 令解得（舍去），或， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 所以， 因为， 所以，即； 综上该三角形面积的最大值， 故答案为： （2026·重庆·一模）在中，为边上一点，．当面积最小时，__________．小试牛刀2 【答案】 【分析】先将的面积拆分为和的面积之和，分别表示出两个小三角形的面积，利用正弦定理表示出两个三角形的面积，对面积的表达式利用三角函数的相关公式化简，再借助三角函数的性质求最值，进而得到此时的. 【详解】的面积，由内角和得：， 对和分别用正弦定理，结合得： ， 又，因此：， 展开化简得： ， 代入整理得： 最小等价于二次函数（）最大， 开口向下的二次函数顶点在，即， 因此. （2026·山东济宁·一模）已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（    ）小试牛刀3 A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】求导得的解析式，根据基本不等式，可得的值域及的单调性，根据条件可得与的值域的关系，结合二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由题意，定义域为R， 因为恒成立，所以， 当且仅当，即时取等号， 则的值域为，且在R上单调递增， 由，得， 因为，使得， 所以，即， 令，则，解得或（舍）， 所以，解得， 则实数的最小值为. 真题模拟检测 一、单选题 1．（25-26高一上·福建三明·期末）若关于的不等式的解集为，则（   ） A．5 B．1 C．-1 D．-5 【答案】D 【分析】由一元二次不等式的解集与对应的方程的解的关系结合二次方程根与系数的关系求解即可. 【详解】关于的不等式的解集为， 则是方程的两个根， 根据韦达定理可知，解得， 故选：D. 2．（2026·湖北孝感·一模）已知正实数x，y满足，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据指数运算性质得，然后利用基本不等式的常数代换技巧求解最小值即可. 【详解】因为，所以，所以，即， 所以， 当且仅当时取等． 故选：B 3．（2026·新疆·二模）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题意将原不等式化成不等式组，分别求解再求交集即得. 【详解】由可得, 则可得且, 故不等式的解集为或. 故选：C. 4．（2026·陕西商洛·二模）已知函数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】解出，根据充分条件和必要条件的概念即可求出答案. 【详解】由，即，则， 所以或， 解得， 则“”是“”的充分不必要条件． 5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次不等式和分式不等式的解法，求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 由，即，解得，所以， 故. 6．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 7．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C. 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 8．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据题设条件求得，代入所求式利用基本不等式即可求解. 【详解】由可得，显然，则有， 由，可得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为9. 故选：B. 9．（2026·山东东营·一模）已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布的对称性，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】根据题意，随机变量，且，则有，解得.由，即， 所以，当且仅当，即时取等号. 10．（2026·山东青岛·一模）已知正项等差数列的前项和为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式结合等差中项的性质求出，再结合已知条件，利用基本不等式求的最大值． 【详解】由题意得，解得， 由等差中项的性质可得，解得， ， 由题意知， 根据基本不等式，当且仅当时等号成立， 的最大值为． 11．（2026·山东日照·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性判断A，利用基本不等式判断B，利用作差法即可求解BD. 【详解】由可得 对于A，由于，函数为单调递增函数，故 ，故A错误， 对于B， ，由于 ，故 ， 故，则，故B错误， 对于C，由于故 ，故C错误， 对于D， ，由于得，故. 12．（2026·四川绵阳·模拟预测）若恒成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用导数求出的单调性和零点，令，结合条件，可得在处取得零点，代入可得a，b的关系，根据不等式的性质及二次函数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】当时，恒成立； 当时，令，则， 所以在上单调递增，注意到， 因此在内，，在内，， 因为恒成立，因此. 令，则在内，，在内，， 所以在处取得零点，即，得. 综上，，那么由，得. 对于A：因为，故A错误； 对于B：，，，故B错误； 对于C、D：因为， 则在单调递减，所以.故D正确，C错误. 二、多选题 13．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 【答案】AC 【分析】选项A，由，，，直接利用基本不等式求出的范围，从而得到的最大值；选项B，将所求的的分子转化为，利用基本不等式求解即可；选项C，设，则，由得到从而得到的范围，即可得到的最大值；选项D，将所求的转化为，利用基本不等式求解即可. 【详解】选项A，，，，， ，当且仅当，即时，等号成立； 故ab的最大值为，故选项A正确； 选项B，，， 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为，故选项B错误； 选项C，设，则， ，， ，，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为，故选项C正确； 选项D，，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故选项D错误. 故选：AC. 14．（2026·江西萍乡·一模）已知实数，若，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于选项A，利用对数函数单调性判断的范围；对于选项B，利用幂函数单调性判断与的大小；对于选项C，作差比较与的大小；对于选项D，构造函数判断与的大小，即可得出结果. 【详解】对于选项A，已知，则，故，A正确. 对于选项B，因为，幂函数在上单调递增，又，所以，B错误. 对于选项C，， 因为，，所以，，， 故，即，C正确. 对于选项D，构造函数，，则在上单调递增. 因为，所以，即，整理得，D错误. 故选：AC 三、填空题 15．（2026·陕西·模拟预测）若，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先根据对数的运算性质求出的值，再利用基本不等式求解的最小值. 【详解】由，得，所以，， ，当且仅当，即时取等号. 故答案为： 16．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【分析】分类讨论先去绝对值符号，根据二次函数的对称性，依次讨论对称轴与端点的大小关系，结合最值计算一元二次不等式即可. 【详解】令，即， 由题意可知在R上恒成立， ①若，即时， 要满足题意需， 整理得,解得或（舍去）； ②若，即时， 要满足题意需， 整理得， 解得或，与前提矛盾舍去； ③若，即时， 要满足题意需， 整理得，解得或（，舍去）； 综上所述. 故答案为： 17．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 【答案】 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 18．（2026·河南南阳·模拟预测）若实数满足，则的最小值为__________. 【答案】/1.5 【分析】通过对等式进行变形构造辅助函数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】令 ，则等式变为，即. 设函数 ，则在上单调递增， 此时等式可写为，又， 所以，即. 所以. 令，则. 令，则， 所以单调递增，即单调递增. 令，则，则，当时，， 所以是的唯一解， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故在时取得最小值，此时. 因为的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 19．（2026·广东梅州·一模）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若为边上一点，满足，且，求的面积最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理得，化简得到，求得，进而求得的值； （2）根据题意，得到，得到，结合向量的运算法则和基本不等式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得， 所以， 又因为，可得， 所以， 所以， 因为，所以，可得，所以， 又因为，故. （2）解：因为为边上，满足， 所以，所以，所以， 所以， 即有， 即， 所以，所以，即， 当且仅当时，即时，取等号， 所以， 即的面积最大值为. 20．（2026·山东济宁·一模）在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦定理得到，根据得到方程，求出，根据余弦定理得到，求出； （2）由利用三角形面积公式可得，根据基本不等式解出的最小值，应用取等条件求出三角形面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为的角平分线交BC于点D，所以， 由，得， 则， 即，所以， 在中，由余弦定理得， 即； （2）由， 得， 得， 化简得，即， 所以， 当且仅当时等号成立，取得最小值， 此时，面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考冲刺模拟真题二轮复习专练 【专题2：不等式的性质，基本不等式与一元二次不等式】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：不等式的性质】 【练方法】 知识梳理 核心性质： 1.对称性： 2.传递性： 3.可加性： 4.可乘性：； 5.同向可加性： 6.同向可乘性： 7.乘方性质： 8.开方性质： 易错点：乘除负数时不等号方向改变；同向可乘要求均为正数 解题方法 1.直接用性质判断：根据已知条件匹配对应性质 2.特殊值法：代入具体数值（如正数、负数、0）验证不等式是否成立 3.作差法：； 4.作商法（正数范围）：（） 高考注意事项 乘除负数时必须改变不等号方向，这是最常见丢分点 同向可乘性要求两个不等式均为“大于0”，否则不成立 特殊值法适合选择题，可快速排除错误选项 注意“”与“”的区别：时后者不成立 名师点睛 口诀：“加减不变号，乘除看符号；正乘正放大，负乘负变号” 不等式性质是所有不等式问题的基础，必须熟练掌握 作差法是判断不等式的通法，尤其适合复杂代数式比较大小 （2026·北京密云·一模）已知，则下列结论中不正确的是（    ）经典例题1例题 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （2026·甘肃·一模）已知，则“”是“”的（    ）经典例题2例题 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【多选题】（2026·安徽合肥·一模）已知正实数满足，且，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（2026·山东淄博·一模）已知实数，满足，则下列说法正确的有（    ）小试牛刀2 A． B． C．若，则 D．若，，则 （2026·福建莆田·二模）已知，，且，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：一元二次不等式的解法】 【练方法】 知识梳理 标准形式：（或）， 核心方法：二次函数图像法（三个二次关系） 判别式 若，方程有两不等实根，则： 时，解集为 时，解集为 若，方程有两相等实根，则： 时，解集为 时，解集为 若，方程无实根，则： 时，解集为 时，解集为 解题方法 1.化标准型：将不等式化为（） 2.求判别式，解方程得根 3.画二次函数草图（开口方向+根的位置） 4.根据图像写出解集：大于0取两边，小于0取中间 5.含等号时，解集包含根（用） 高考注意事项 必须先保证二次项系数，否则图像开口方向易判断错误 注意解集的区间端点是否包含（>对应开区间，对应闭区间） 若，先两边乘，同时改变不等号方向 分式不等式、高次不等式最终都可转化为一元二次不等式求解 名师点睛 口诀：“开口向上看图像，大于取两边，小于取中间” 三个二次关系是核心：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式本质相通 解集要写成区间或集合形式，不能用不等式直接表示 （2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，，则（   ）经典例题1例题 A．或 B．或 C．或 D．或 （2026·广东汕头·模拟预测）已知集合，若，则为（   ）经典例题2例题 A． B． C．或 D．或 （2026·四川成都·二模）已知集合，．则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·宁夏银川·一模）已知集合，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）若关于的不等式的解集为，则实数_________．小试牛刀3 【题型3：一元二次不等式恒成立与有解问题】 【练方法】 知识梳理 恒成立问题：对任意，恒成立 且：解集为 时，退化为一次不等式恒成立 有解问题：存在，使成立 等价于函数在上的最大值 区间上恒成立：需结合函数单调性、极值分析 解题方法 恒成立问题 1.先讨论：退化为一次函数，直接判断 2.若： 若解集为：且 若在区间上恒成立：求在上的最小值，令最小值 有解问题 1.求在上的最大值 2.令最大值，解不等式得参数范围 3.或转化为“存在使”，即 高考注意事项 必须先讨论，遗漏会导致漏解 恒成立问题是“对所有”，有解问题是“存在至少一个”，逻辑不同 区间上恒成立不能直接用，需结合区间分析极值 含参数时，要注意参数对开口方向、判别式的影响 名师点睛 口诀：“恒成立看最小值，有解看最大值” 恒成立问题本质是求函数最值，转化为“最值>0”或“最值<0” 高考常结合函数定义域、值域、单调性综合考查，需注意定义域范围 （2026·广东汕头·模拟预测）已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________．经典例题1例题 （2026·湖南常德·一模）已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·广东汕头·模拟预测）对于任意的，都有和恒成立，其中a，b为实数．则的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·河南南阳·模拟预测）已知对，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_____.小试牛刀2 （2026·山东枣庄·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围是______．小试牛刀3 【题型4：基本不等式】 【练方法】 知识梳理 核心公式： 1.基本不等式：若，则，当且仅当时取等号 2.变形：；； 适用条件：一正（）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到） 几何意义：算术平均数几何平均数 解题方法 1.凑定值： 和为定值求积最值： 积为定值求和最值： 2.配凑法：对代数式变形，凑出“和为定值”或“积为定值” 3.常数代换法：如已知，求的最值，用展开 4.验证等号：最后必须验证等号成立条件（）是否满足 高考注意事项 必须满足“一正二定三相等”，缺一不可，否则不能用基本不等式 若为负数，先转化为正数再应用（如，则） 等号取不到时，需用函数单调性求最值 基本不等式是求最值的核心工具，高考高频考点 名师点睛 口诀：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小” 配凑法是关键，常见技巧：加项减项、拆项、常数代换 若等号取不到，要及时切换到函数单调性求解，避免硬套公式 （2026·江苏南京·三模）已知正数，，成等差数列，则的最小值为（    ）经典例题1例题 A． B．2 C．6 D．4 （2026·湖南怀化·一模）已知，且，则的最小值为__________.经典例题2例题 （2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）若，则的最小值为（    ）小试牛刀1 A．2 B． C．4 D． 【多选题】（2026·山东烟台·一模）若，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·湖南·模拟预测）若，且，则的最小值为（   ）小试牛刀3 A．12 B．16 C． D． 【题型5：跨知识的基本不等式】 【练方法】 知识梳理 场景：结合函数、数列、解析几何、立体几何、实际问题等，用基本不等式求最值 核心：将其他领域问题转化为“和为定值”或“积为定值”的形式，再用基本不等式 常见类型： 函数最值：如（） 解析几何：如直线与坐标轴围成的三角形面积最值 实际问题：如用料最省、利润最大、效率最高等 解题方法 1.建模：将实际问题或几何问题转化为函数表达式 2.确定变量范围：保证变量为正（满足“一正”） 3.凑定值：对函数变形，凑出“和为定值”或“积为定值” 4.用基本不等式求最值，验证等号成立条件 5.还原为实际问题或几何结论 高考注意事项 建模是关键，要准确提取变量关系，避免模型错误 注意变量的实际意义范围（如长度>0、时间>0） 等号成立条件必须符合实际意义，否则需用单调性求最值 此类问题常作为高考解答题，需完整写出建模、变形、求最值、验证的过程 名师点睛 口诀：“先建模，再凑定，后验证” 跨知识问题本质还是基本不等式，重点考查建模与变形能力 实际问题中，若等号取不到，要说明“当时，最值趋近于” （2026·山东临沂·一模）已知锐角，满足，则的最大值是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·福建莆田·二模）已知数列是公比为的等比数列，，，，，则下列命题正确的是（   ）经典例题2例题 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （2026·广东汕头·模拟预测）在三角形中，角所对的边分别为．若，且三角形的周长为，则该三角形面积的最大值为_______________．小试牛刀1 （2026·重庆·一模）在中，为边上一点，．当面积最小时，__________．小试牛刀2 （2026·山东济宁·一模）已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（    ）小试牛刀3 A．1 B．2 C． D． 真题模拟检测 一、单选题 1．（25-26高一上·福建三明·期末）若关于的不等式的解集为，则（   ） A．5 B．1 C．-1 D．-5 2．（2026·湖北孝感·一模）已知正实数x，y满足，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 3．（2026·新疆·二模）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D．或 4．（2026·陕西商洛·二模）已知函数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）设集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 9．（2026·山东东营·一模）已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·山东青岛·一模）已知正项等差数列的前项和为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·山东日照·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026·四川绵阳·模拟预测）若恒成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 14．（2026·江西萍乡·一模）已知实数，若，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（2026·陕西·模拟预测）若，则的最小值为__________. 16．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为____________． 17．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 18．（2026·河南南阳·模拟预测）若实数满足，则的最小值为__________ 四、解答题 19．（2026·广东梅州·一模）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若为边上一点，满足，且，求的面积最大值. 20．（2026·山东济宁·一模）在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $