专题1：集合与常用逻辑用语专项训练-2026年高考数学二轮复习

2026年高考冲刺模拟真题二轮复习专练 【专题1：集合与常用逻辑用语】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：集合间的基本关系】 【练方法】 知识梳理 核心概念：子集、真子集、相等集合、空集 核心符号：、、=、 核心结论： 空集是任何集合的子集是任何非空集合的真子集 若集合有个元素则子集个数为真子集个数为非空真子集个数为 解题方法 1.先化简集合：解不等式、求定义域/值域得到集合的最简形式 2.用数轴或Venn图直观表示集合关系 3.若需特别注意的情况 4.验证子集关系：逐一验证中元素是否都属于 高考注意事项 空集是高频易错点讨论子集关系时必须先考虑空集 注意区间端点是否包含（与的区别） 集合元素的互异性：若集合中出现参数需验证元素不重复 选择题中优先用代入法或特殊值法排除错误选项 名师点睛 口诀：“子集先看空端点要分清” 集合关系本质是“元素归属”所有问题都可回归到元素判断 若且则这是证明集合相等的核心方法 （2026·山东泰安·一模）已知集合，则的子集个数为（   ）经典例题1例题 A．2 B．4 C．8 D．16 （2026·湖南永州·一模）设集合，且，则实数的取值集合为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·河北沧州·一模）设全集，集合，若，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·山东烟台·一模）已知集合，，，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知集合，，则的真子集的个数为（    ）小试牛刀3 A．8 B．7 C．4 D．3 【题型2：集合间的基本运算】 【练方法】 知识梳理 核心运算：交集、并集、补集 解题方法 1.化简集合：解不等式、求定义域/值域 2.用数轴或Venn图直观表示运算结果 3.交集：取公共部分并集：取所有部分补集：取全集的剩余部分 4.复杂运算：先算括号内再算括号外遵循运算顺序 高考注意事项 注意全集的范围补集运算必须在全集内进行 区间运算时端点是否包含直接影响结果需仔细核对 若集合是无限集优先用数轴分析避免遗漏边界 选择题中可代入特殊值验证运算结果 名师点睛 口诀：“交取公共并取全部补取剩余” 集合运算本质是“元素筛选”所有运算都可通过元素归属判断 （2026·河北衡水·一模）设集合，，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知集合，，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合是整数，集合，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·安徽宿州·一模）已知集合，则（    ）小试牛刀2 A．[1，2] B．（1，2］ C．［1，3］ D． ．（2026·浙江·模拟预测）已知全集为，集合，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：充分条件与必要条件】 【练方法】 知识梳理 核心定义： 若则是的充分条件是的必要条件 若则是的充要条件 集合视角： 是的充分条件（是对应集合是对应集合） 是的必要条件 是的充要条件 解题方法 1.明确和的具体内容化简命题 2.用逻辑箭头判断：或 3.转化为集合关系：分别求、对应的集合用子集关系判断 4.特殊值法：举反例判断不充分/不必要 高考注意事项 区分“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”四种情况 注意命题的方向性：“是的充分条件”与“是的必要条件”等价 集合视角是最直观的方法尤其适合不等式、函数定义域等问题 避免混淆“充分”与“必要”可记口诀：“小推大充分必要”（小集合推大集合充分；大集合推小集合必要） 名师点睛 口诀：“小推大充分；大推小必要；等号充要” 充分条件是“有它就行”必要条件是“没它不行” 高考常结合不等式、函数、立体几何等知识考查本质还是集合包含关系 （2026·四川绵阳·模拟预测）若且，则“”是“为等差数列”的（    ）经典例题1例题 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 （2026·广东汕头·模拟预测）“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（   ）经典例题2例题 A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 （2026·山西运城·一模）已知直线，圆，则“”是“直线与圆相交”的（   ）小试牛刀1 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 （2026·天津河东·一模）已知函数（），将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，下列选项中，p是q的充分不必要条件的为（    ）小试牛刀2 A．p：函数的最小正周期为，q： B．p：，，q：函数 C．p：，，q：函数的值域为 D．p：，，q：是函数的一个对称中心 （2026·广东佛山·一模）记的内角，，的对边分别为，，，设甲：为等腰三角形，乙：，则（   ）小试牛刀3 A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【题型4：全称量词与存在量词】 【练方法】 知识梳理 核心概念： 全称量词：（任意）表示“对所有的” 存在量词：（存在）表示“存在至少一个” 命题否定： 核心结论：全称命题的否定是特称命题特称命题的否定是全称命题 解题方法 1.识别命题类型：全称命题或特称命题 2.改写命题：将“所有”“存在”等文字转化为符号形式 3.命题否定：交换量词否定结论（注意否定的准确性） 4.真假判断： 全称命题：需证明对所有成立举反例可证假 特称命题：举一个例子可证真需证明对所有不成立可证假 高考注意事项 命题否定时量词必须交换（）结论必须否定 注意否定的范围：只否定结论不否定前提（如保持不变） 真假判断时全称命题“一假则假”特称命题“一真则真” 高考常结合函数、不等式、数列等知识考查需准确理解命题含义 名师点睛 口诀：“换量词否结论范围不变” 全称命题强调“任意”特称命题强调“存在”两者逻辑相反 命题否定是高考高频考点需重点练习避免只否定结论或只交换量词 （2026·陕西铜川·一模）下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（    ）经典例题1例题 A． B． C．任何实数都有算术平方根 D．任意两个无理数之和仍为无理数 【多选题】（2026·河南南阳·模拟预测）（多选题）下列结论正确的有（   ）经典例题2例题 A．， B．“，”是假命题 C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D．“，”的否定是“，” （2026·福建·一模）若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________．小试牛刀1 （2026·陕西西安·一模）命题，则命题的否定为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·天津河东·一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（    ）小试牛刀3 A．菱形是矩形 B．存在一个菱形，它是矩形 C．存在菱形不是矩形 D．存在是菱形的矩形 【题型5：集合中的新定义题型】 （2026·湖北随州·二模）定义集合，例如：若，则，，．把集合中满足条件的元素组成的集合记为，即．已知集合，则中的元素个数为______．经典例题1例题 （2026·陕西·模拟预测）已知集合，，集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为，是数列的前项和，则______.经典例题2例题 【多选题】（2026·山东济宁·一模）对于一个有限集合，定义集合的模为该集合中所有元素的和，记作，即，则下列说法中正确的是（    ）小试牛刀1 A．若集合，则 B．若集合，则 C．若集合，则 D．记集合，且中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于8，若的最大值为的最大值为，则 （2026·安徽合肥·一模）设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”.小试牛刀2 【多选题】（2026·辽宁大连·一模）已知集合，其中.定义向量集，若对任意，存在，使，称集合具有性质，则（    ）小试牛刀3 A．集合具有性质 B．当时，具有性质的集合有无数个 C．若集合具有性质，且，则 D．已知集合具有性质，且，若，则有穷数列的通项公式为 真题模拟检测 一、单选题 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北·二模）已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西西安·一模）设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026·安徽六安·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·浙江·模拟预测）已知数列的前n项和为，则对，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2026·山东东营·一模）设集合 ，则集合（    ） A． B． C． D． 11．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则＝（   ） A． B． C． D． 12．（2026·河北张家口·一模）已知l是一条直线，，为两个不同平面，若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2026·内蒙古包头·一模）若，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 14．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）设全集，集合，则的子集个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．16 15．（2026·广东广州·二模）函数是奇函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 二、填空题 18．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考冲刺模拟真题二轮复习专练 【专题1：集合与常用逻辑用语】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：集合间的基本关系】 【练方法】 知识梳理 核心概念：子集、真子集、相等集合、空集 核心符号：、、=、 核心结论： 空集是任何集合的子集是任何非空集合的真子集 若集合有个元素则子集个数为真子集个数为非空真子集个数为 解题方法 1.先化简集合：解不等式、求定义域/值域得到集合的最简形式 2.用数轴或Venn图直观表示集合关系 3.若需特别注意的情况 4.验证子集关系：逐一验证中元素是否都属于 高考注意事项 空集是高频易错点讨论子集关系时必须先考虑空集 注意区间端点是否包含（与的区别） 集合元素的互异性：若集合中出现参数需验证元素不重复 选择题中优先用代入法或特殊值法排除错误选项 名师点睛 口诀：“子集先看空端点要分清” 集合关系本质是“元素归属”所有问题都可回归到元素判断 若且则这是证明集合相等的核心方法 （2026·山东泰安·一模）已知集合，则的子集个数为（   ）经典例题1例题 A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】由集合的交集运算和子集计算公式即可求解. 【详解】由， 可得， 所以， 所以的子集个数为， 故选：B （2026·湖南永州·一模）设集合，且，则实数的取值集合为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用列举法表示集合，根据，求得实数的取值集合. 【详解】由题意得． 当时，； 当时，，由，可得或． 综上所述，实数的取值集合为． 故选：D. （2026·河北沧州·一模）设全集，集合，若，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由一元二次不等式的解法结合补集的运算求出，再由集合间的包含关系列不等式组可得. 【详解】由题得， 因为，所以，所以，解得． 故选：B （2026·山东烟台·一模）已知集合，，，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用子集的定义可得答案. 【详解】由，得：， 即，故， 由，得：， 又因为， 所以. （2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知集合，，则的真子集的个数为（    ）小试牛刀3 A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】D 【分析】解一元二次不等式化简集合，解对数不等式化简集合，即可求出，从而确定其真子集个数. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，即，即，解得， 所以， 所以，所以的真子集的个数为个. 故选：D 【题型2：集合间的基本运算】 【练方法】 知识梳理 核心运算：交集、并集、补集 解题方法 1.化简集合：解不等式、求定义域/值域 2.用数轴或Venn图直观表示运算结果 3.交集：取公共部分并集：取所有部分补集：取全集的剩余部分 4.复杂运算：先算括号内再算括号外遵循运算顺序 高考注意事项 注意全集的范围补集运算必须在全集内进行 区间运算时端点是否包含直接影响结果需仔细核对 若集合是无限集优先用数轴分析避免遗漏边界 选择题中可代入特殊值验证运算结果 名师点睛 口诀：“交取公共并取全部补取剩余” 集合运算本质是“元素筛选”所有运算都可通过元素归属判断 （2026·河北衡水·一模）设集合，，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 故， 又因为，故. （2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知集合，，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过解分式不等式得到集合A，再由对数函数的定义域求得集合B，然后取交集，最后在实数范围内求补集即可得出结果. 【详解】化简集合，分式不等式等价于， 整理得， 解得或，即， 化简集合，对数函数要求真数大于0， 即，解得，即， ，. 故选：A （2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合是整数，集合，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式求得集合，再利用交集的定义求得. 【详解】由，得，解得或，所以， 又是整数 ，所以 故选：A. （2026·安徽宿州·一模）已知集合，则（    ）小试牛刀2 A．[1，2] B．（1，2］ C．［1，3］ D． 【答案】B 【分析】根据对数性质和一元二次不等式化简集合，然后利用交集的定义运算即得. 【详解】由可得，即，故； 由得，即，故. 因此， 故选：B. ．（2026·浙江·模拟预测）已知全集为，集合，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合利用对数运算得出集合，然后利用集合交并补运算即可. 【详解】因为，所以， 所以，故， 故选：C. 【题型3：充分条件与必要条件】 【练方法】 知识梳理 核心定义： 若则是的充分条件是的必要条件 若则是的充要条件 集合视角： 是的充分条件（是对应集合是对应集合） 是的必要条件 是的充要条件 解题方法 1.明确和的具体内容化简命题 2.用逻辑箭头判断：或 3.转化为集合关系：分别求、对应的集合用子集关系判断 4.特殊值法：举反例判断不充分/不必要 高考注意事项 区分“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”四种情况 注意命题的方向性：“是的充分条件”与“是的必要条件”等价 集合视角是最直观的方法尤其适合不等式、函数定义域等问题 避免混淆“充分”与“必要”可记口诀：“小推大充分必要”（小集合推大集合充分；大集合推小集合必要） 名师点睛 口诀：“小推大充分；大推小必要；等号充要” 充分条件是“有它就行”必要条件是“没它不行” 高考常结合不等式、函数、立体几何等知识考查本质还是集合包含关系 （2026·四川绵阳·模拟预测）若且，则“”是“为等差数列”的（    ）经典例题1例题 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】由及等差数列的性质知， 若为等差数列，则，必要性成立； 数列：1，5，3，7满足，但不是等差数列，充分性不成立. 则“”是“为等差数列”的必要不充分条件. （2026·广东汕头·模拟预测）“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（   ）经典例题2例题 A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案. 【详解】投掷一枚硬币3次，满足,但不一定是对立事件， 如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”， 则，，满足，但不是对立事件. 若事件A与事件B是对立事件，则为必然事件，再由概率的加法公式得； 所以“”是“事件A与事件B互为对立事件”的必要不充分条件； 故选：D （2026·山西运城·一模）已知直线，圆，则“”是“直线与圆相交”的（   ）小试牛刀1 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，得， 因为方程表示圆，所以，解得. 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 若直线与圆相交可得，则可得，解得. 所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件. （2026·天津河东·一模）已知函数（），将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，下列选项中，p是q的充分不必要条件的为（    ）小试牛刀2 A．p：函数的最小正周期为，q： B．p：，，q：函数 C．p：，，q：函数的值域为 D．p：，，q：是函数的一个对称中心 【答案】D 【分析】由题设结合充分与必要条件定义可得答案. 【详解】A，当的最小正周期为，又，则， 从而；又时，可得的最小正周期为，则. 从而是的充要条件，故A错误； B，当，时，， 则由不能得到，从而不是的充分条件，故B错误； C，当，时，，， 因在上单调递增，在上单调递减， 则，， 从而此时值域为，则由不能得到，从而不是的充分条件，故C错误； D，当，时，由B分析可得， 令，得，从而的对称中心为， 取，得，则； 由题， 若其对称中心为，则， 取，易得不是方程的唯一解（例如也是该方程的一组解）， 则不能得到，从而是的充分不必要条件，故D正确. （2026·广东佛山·一模）记的内角，，的对边分别为，，，设甲：为等腰三角形，乙：，则（   ）小试牛刀3 A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【详解】因为，，所以，所以为等腰三角形， 所以为等腰三角形是的必要条件； 由为等腰三角形，可得或或， 所以为等腰三角形是的不充分条件； 所以甲是乙的必要条件但不是充分条件. 【题型4：全称量词与存在量词】 【练方法】 知识梳理 核心概念： 全称量词：（任意）表示“对所有的” 存在量词：（存在）表示“存在至少一个” 命题否定： 核心结论：全称命题的否定是特称命题特称命题的否定是全称命题 解题方法 1.识别命题类型：全称命题或特称命题 2.改写命题：将“所有”“存在”等文字转化为符号形式 3.命题否定：交换量词否定结论（注意否定的准确性） 4.真假判断： 全称命题：需证明对所有成立举反例可证假 特称命题：举一个例子可证真需证明对所有不成立可证假 高考注意事项 命题否定时量词必须交换（）结论必须否定 注意否定的范围：只否定结论不否定前提（如保持不变） 真假判断时全称命题“一假则假”特称命题“一真则真” 高考常结合函数、不等式、数列等知识考查需准确理解命题含义 名师点睛 口诀：“换量词否结论范围不变” 全称命题强调“任意”特称命题强调“存在”两者逻辑相反 命题否定是高考高频考点需重点练习避免只否定结论或只交换量词 （2026·陕西铜川·一模）下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（    ）经典例题1例题 A． B． C．任何实数都有算术平方根 D．任意两个无理数之和仍为无理数 【答案】A 【分析】对于A，含有全称量词，再根据指数函数的值域即可判断；对于B，不含有全称量词，故可判断；对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断；对于D，含有全称量词，举例说明即可判断. 【详解】对于A，含有全称量词，而，所以，故A正确； 对于B，不含有全称量词，故B错误； 对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断，故C错误； 对于D，含有全称量词，是无理数，而，而是有理数，故D错误. 故选：A 【多选题】（2026·河南南阳·模拟预测）（多选题）下列结论正确的有（   ）经典例题2例题 A．， B．“，”是假命题 C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D．“，”的否定是“，” 【答案】AB 【分析】由全称量词、存在量词命题的定义及真假逐个判断选项. 【详解】选项A：将不等式变形：，配方得：， 对所有实数恒成立，因此选项A正确； 选项B：由绝对值的非负性，， 因此，不可能小于0，因此选项B正确； 选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”， 是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C错误； 选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变的取值范围，因此选项D错误. 故选：AB. （2026·福建·一模）若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________．小试牛刀1 【答案】 【分析】先将原命题的假命题转化为其否命题为真命题，再把式子视为关于的方程，利用判别式得到关于的不等式，最后分和两种情况分析，确定的取值范围. 【详解】由题意可知，原命题的否命题：“，使得”是真命题． 所以对任意实数，方程都有实数解． 故而对任意固定的实数都有解． 即关于的不等式对任意固定的实数都有解． 对不等式分情况讨论： ①.若,即.当时,不等式为,对任意显然有解. 当时,关于的二次函数开口向上, 其值域包含正数,故对任意,总存在使得.所以符合题意. ②.若,即.关于的二次函数开口向下, 其最大值为. 要使不等式对任意都有解,则需要其最大值对任意都非负, 即对任意恒成立,这显然是不可能的.故不符合题意. 因此，的取值范围是． 故答案为： （2026·陕西西安·一模）命题，则命题的否定为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题，结合已知命题求出其否定命题，进而判断选项． 【详解】存在量词命题的否定形式为全称量词命题， 命题的否定为，故D正确． 故选：D． （2026·天津河东·一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（    ）小试牛刀3 A．菱形是矩形 B．存在一个菱形，它是矩形 C．存在菱形不是矩形 D．存在是菱形的矩形 【答案】B 【分析】由全称命题的否定，即否定条件，否定结论即可求解. 【详解】原命题可以写作：全部的菱形，都不是矩形，是全称命题， 所以该命题的否定是存在量词命题，即：存在一个菱形，它是矩形. 【题型5：集合中的新定义题型】 （2026·湖北随州·二模）定义集合，例如：若，则，，．把集合中满足条件的元素组成的集合记为，即．已知集合，则中的元素个数为______．经典例题1例题 【答案】56 【分析】将问题转化为方程的正整数解的个数问题，再利用“隔板法”求解. 【详解】由题中的元素满足，且， 利用组合数公式，将问题转化为将9个相同的小球放入6个不同的盒子中，每个盒子中球的个数分别是，因 ，则任意 的最大值为， 该解集中的均满足,因此问题可等价转化为方程的正整数解的个数问题， 应用隔板法，即有种分法,即中有个元素. （2026·陕西·模拟预测）已知集合，，集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为，是数列的前项和，则______.经典例题2例题 【答案】 【分析】分析出数列前项由的前项和的前项组成即可求解. 【详解】由题可得集合，是正奇数集，通项为， 集合，是的整数次幂集，通项为， 由于集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为， 则数列前项由的前项和的前项组成； 则 【多选题】（2026·山东济宁·一模）对于一个有限集合，定义集合的模为该集合中所有元素的和，记作，即，则下列说法中正确的是（    ）小试牛刀1 A．若集合，则 B．若集合，则 C．若集合，则 D．记集合，且中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于8，若的最大值为的最大值为，则 【答案】AC 【分析】选项A，用裂项相消法求和；选项B，通过试根分解多项式，判断实根个数后计算集合模长；选项C，构造函数求导分析单调性与最值，确定方程根的个数，再通过函数关系推导两根之和的范围；选项D，找到周期内最大和规律后计算不同值下的模长差值. 【详解】选项A， ，A正确； 选项B，解方程得：， 二次方程判别式，无实根，故集合，模，B错误； C选项，设，求导得， 时，递增；时，递减； 最大值，且，因此一个零点； 又，因此另一个零点， 则，C正确； 选项D，集合元素差为或，均小于，因此可将按每个数分为一组，组间不产生符合条件的差，只需每组取最大和即可， 时，中，要使元素和最大，选，满足条件，最大和； 每组（第组，）的和为，因此时总和： ， ，D错误. （2026·安徽合肥·一模）设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”.小试牛刀2 【答案】 【分析】化简集合，根据“集合”的定义分2个元素，3个元素，4个元素讨论求解. 【详解】解方程，解得，结合， 因此：，集合共9个元素. （1）2个元素的“集合”：设为， 当时，可取5，6，7，8，9，共5个； 当时，可取6，7，8，9，共4个； 当时，可取7，8，9，共3个； 当时，可取8，9，共2个； 当时，可取9，共1个；当时，无满足条件的. 则2个元素的“集合”总数：. （2）3个元素的“集合”：要选出3个元素，需满足任意两个元素至少相差4. 最小的3个满足条件的元素为1，5，9，则3个元素的“TB集合”仅1个：1，5，9. （3）若尝试选出4个元素，最小的4个满足条件的数为1，5，9，13，而13超出集合A的范围， 因此不存在4个及以上元素的“TB集合”. 综上，“集合”总数个元素的数量个元素的数量：. 【多选题】（2026·辽宁大连·一模）已知集合，其中.定义向量集，若对任意，存在，使，称集合具有性质，则（    ）小试牛刀3 A．集合具有性质 B．当时，具有性质的集合有无数个 C．若集合具有性质，且，则 D．已知集合具有性质，且，若，则有穷数列的通项公式为 【答案】ABD 【分析】利用列举法来配对两两数量积为，即可判断A，利用总满足性质，即可判断B，利用分类列举，并通过数量积为，来求解参数，发现有两解，从而可判断C，利用任意性和存在性来配对数量积为，即可判断D. 【详解】因为，所以， 因为， 所以对任意，存在，使，即集合具有性质，故A正确； 当时，令，， 则， 因为， 所以对任意，存在，使，即集合具有性质， 因为正数有无数个，所以具有性质的集合有无数个，故B正确； 若集合具有性质， 则取，则只可能是 根据，依次解得：， 因为，且要满足集合中元素互异性，所以, 检验：当时， ， 因为 ， 所以对任意，存在，使，即集合具有性质， 当时， ， 因为 ， 所以对任意，存在，使，即集合具有性质，故C错误； 由C选项可知：满足，此时 假设满足题意，则取，要使其存在正交向量， 即，因为，所以必须为负数，即，此时， 由，逐一检验可知，只有时，，符合， 以此类推可得：有穷数列的通项公式为， 下证明充分性： 对于任意且 不妨假设，总存在满足， 有穷数列的通项公式为,故D正确； 故选：ABD 真题模拟检测 一、单选题 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而 . 故选：A. 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 4．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式求出集合，再将集合的元素逐一代入集合中逐一验证即可. 【详解】 ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时， 当时，，则； 当时，， 则. 因此 ， 故选：B 6．（2026·湖北·二模）已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求和，再由得，即，进而得，恒成立，即，利用单调性即可求解. 【详解】，，由，所以． 故，恒成立，所以恒成立，令，即， 又在单调递减，， 所以， 故选：D． 7．（2026·陕西西安·一模）设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系，分析充分性与必要性，即可得解. 【详解】若，又，故，即， 则或，故甲无法推出乙，充分性不成立； 若，则，两边平方得， 所以，故乙可以推出甲，必要性成立. 综上，甲是乙的必要不充分条件， 故选：B. 8．（2026·安徽六安·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的值域化简集合，解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：C 9．（2026·浙江·模拟预测）已知数列的前n项和为，则对，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用累加法，结合题意可得，由能推出；举出反例，可得“”推不出“”.由充分、必要条件的定义得出答案. 【详解】由得：，，，……，， 不等式左右两边分别相加，得， 消去两边相同的项得，， 所以； 取数列满足，， ，且对且有. 满足，，但.不满足. 即“”推不出“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 10．（2026·山东东营·一模）设集合 ，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次不等式得出集合A，再解对数不等式得出集合，最后计算交集即可. 【详解】集合 ， ， 则集合. 故选：A. 11．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合中不等式的解集，然后利用补集，交集的定义计算即可. 【详解】因为集合， 则， 即. 12．（2026·河北张家口·一模）已知l是一条直线，，为两个不同平面，若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因l是一条直线，，为两个不同平面，， 当时，可过直线作平面与平面交于直线，根据线面平行的性质定理可得， 又，所以，又，所以，故充分性成立； 当时，当且时符合，但推不出，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件． 13．（2026·内蒙古包头·一模）若，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】由向量共线用表示出，应用向量数量积的运算律得，结合充分、必要性的定义判断推出关系，即可得. 【详解】由，为非零向量且知，存在实数，使， 则，， 当时，，故充分性不成立， 由，则， 故，所以， 即，故， 所以同向共线，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 14．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）设全集，集合，则的子集个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据集合的交并补运算求出，结合子集个数的计算公式求解即可. 【详解】因为， 所以，所以的子集个数为. 15．（2026·广东广州·二模）函数是奇函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数定义：若是奇函数，则对任意都满足，且定义域为时必有. 【详解】代入得，因此， 代入得，结合即， 整理得对任意恒成立，平方化简得对任意恒成立，因此， 因此是奇函数等价于且，即， 反之若，必有， 此时确实是奇函数，故充要条件为. 16．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 17．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 【答案】D 【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得或，再分类讨论即可. 【详解】对于A项，取，，取，， 则，；而无最低点，故A错误； 对于B项，取，，取，， 则无最小值，；而有最低点，故B错误； 对于C项，取，，取，， 则无最小值，； 因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误； 对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且， 所以或， 若，则且对任意的，总有，即； 若，同理可知； 所以若有最低点，则或有最小值，故D正确. 故选：D. 二、填空题 18．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 【答案】 【分析】利用子集的定义求解. 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $