专题23.5 一次函数（章节复习讲义）知识梳理+二十八大考点讲练+真题演练+分层训练 共71题-2025-2026学年人教版数学八年级下册同步培优讲义

2025-2026学年人教版（新教材）数学八年级下册同步培优【重点考点讲练】 专题23.5 一次函数（章节复习） （第二十三章 一次函数） 【人教版八下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 变量与常量 2 知识点二 自变量取值范围 2 知识点三 函数定义 3 知识点四 正比例函数图像和性质 3 知识点五 待定系数法求正比例函数解析式 3 知识点六 一次函数图像和性质 3 知识点七 一次函数的平移 4 知识点八 求一次函数解析式 4 知识点九 一次函数与一元一次方程的关系 5 知识点十 一次函数与一元一次不等式 5 重点难点 考点讲练 5 考点讲练一 求一次函数自变量或函数值 5 考点讲练二 列一次函数解析式并求值 6 考点讲练三 根据一次函数解析式判断其经过的象限 8 考点讲练四 已知函数经过的象限求参数范围 9 考点讲练五 一次函数图象与坐标轴的交点问题 11 考点讲练六 一次函数图象平移问题 13 考点讲练七 一次函数图象与对称问题 16 考点讲练八 一次函数图象与旋转问题 18 考点讲练九 判断一次函数的增减性 21 考点讲练十 根据一次函数增减性求参数 23 考点讲练十一 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 25 考点讲练十二 比较一次函数值的大小 28 考点讲练十三 一次函数的规律探究问题 31 考点讲练十四 求一次函数解析式 33 考点讲练十五 已知直线与坐标轴交点求方程的解 36 考点讲练十六 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 38 考点讲练十七 利用图象法解一元一次方程 41 考点讲练十八 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 42 考点讲练十九 根据两条直线的交点求不等式的解集 44 考点讲练二十 两直线的交点与二元一次方程组的解 47 考点讲练二十一 图象法解二元一次方程组 49 考点讲练二十二 求直线围成的图形面积 52 考点讲练二十三 分配方案问题（一次函数的实际应用） 55 考点讲练二十四 最大利润问题（一次函数的实际应用） 58 考点讲练二十五 行程问题（一次函数的实际应用） 60 考点讲练二十六 梯度计价问题 62 考点讲练二十七 其他问题（一次函数的实际应用） 64 考点讲练二十八 一次函数与几何综合 67 中考真题 实战演练 70 难度分层 闯关训练 78 基础夯实 能力提升 78 创新拓展 拔尖冲刺 80 知识点一 变量与常量 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量， y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，b那么 a叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 知识点二 自变量取值范围 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 知识点三 函数定义 像这样，用关于自变量的数学式子表示 函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式 知识点4：正比例函数的定义 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 知识点四 正比例函数图像和性质 正比例函数图象与性质用表格概括下： k的符号 图像 经过象限 性质 k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少 知识点五 待定系数法求正比例函数解析式 1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式． 2.确定正比例函数表达式的一般步骤： (1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)；(2)代——； (3)求——k； (4)写—— 知识点7：一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 知识点六 一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 知识点七 一次函数的平移 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 3. 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 知识点八 求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 知识点九 一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点（0，） , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 知识点十 一次函数与一元一次不等式 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线的在直线的上方对应的点的横坐标范围． 考点讲练一 求一次函数自变量或函数值 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）如图，一次函数的图象经过点和，则的值为__________． 【答案】36 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，因式分解，代数式求值，掌握将点代入函数解析式得到关系式，通过因式分解简化代数式求值是解题的关键． 将点代入一次函数解析式，得到和的值，对所求代数式因式分解后代入计算． 【规范解答】解：一次函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：． 【变式训练】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为6，则称点A为“顺利点”．例如：点到x轴、y轴的距离分别为2，4，距离和为6，则点B是“顺利点”．点C是一次函数图象上的“顺利点”，则点C坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的特征及点到坐标轴的距离，根据“顺利点”的定义，结合一次函数图象上点的特征逐项计算即可判断． 【规范解答】解：∵点C是一次函数图象上的“顺利点”， ∴， A、，，，则在一次函数图象上，符合题意； B、，，则不在一次函数图象上，不符合题意； C、，，则不在一次函数图象上，不符合题意； D、，，则不在一次函数图象上，不符合题意； 故选：A． 考点讲练二 列一次函数解析式并求值 【典例分析】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【思路引导】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式； （2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． （2）解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【变式训练】．（23-24八年级下·河北廊坊·月考）在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，得到点N，点N在直线上．如果一次函数的图象与线段有公共点，则n的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查一次函数图象及性质，点坐标平移，一元一次方程等．根据题意将点N表示出，再代入中即可求出和点N的坐标，再利用一次函数图象及性质即可得到本题答案． 【规范解答】解：∵点向左平移4个单位长度，得到点N， ∴点N的坐标为：， ∵点N在直线上， ∴，解得：， ∴，， ∵一次函数的图象与线段有公共点， ∴将点代入中得：， 将点代入中得：， ∴， 故选：A． 考点讲练三 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【典例分析】（24-25八年级下·四川资阳·月考）已知过点的直线不经过第四象限，则a的取值范围是______． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数的性质及根据直线所过的点和不经过的象限来确定函数参数的取值范围，先根据直线不经过第四象限确定且，再将点代入直线方程得，最后解不等式及，求出a的取值范围． 【规范解答】解：∵直线不经过第四象限， ∴且， 将点代入，得，即， 由，得，解得， 又∵， ∴a的取值范围是， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·河北衡水·月考）已知，当时， (1)求y关于x的函数解析式； (2)在平面直角坐标系中，该函数的图象不经过第______象限； (3)若点是该函数图象上的一点，求y的值． 【答案】(1) (2)二 (3) 【思路引导】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质． （1）把已知的对应值代入中求出k，从而得到y与x的关系式； （2）根据一次函数的性质求解； （3）利用（1）中的解析式计算自变量为2所对应的函数值即可． 【规范解答】（1）解：把，代入得， 解得， ， 即y关于x的函数解析式为； （2）解：，， 一次函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限； 故答案为：二； （3）解：当时， 考点讲练四 已知函数经过的象限求参数范围 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数向上平移1个单位长度就经过原点，求的值． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】（1）根据函数图象与轴、轴负半轴相交判断出函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数过第二、三、四象限的性质且列不等式求解的取值范围； （2）根据一次函数“上加下减”的平移规律写出向上平移1个单位后的解析式，再利用原点坐标满足平移后的函数解析式，代入后列一元一次方程求解的值． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴，解得； （2）解：将向上平移1个单位长度后， 解析式为． ∵平移后的图象经过原点， ∴，解得． 【变式训练】已知一次函数． (1)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上？ (2)若函数图象经过第一、第三、第四象限，求m的取值范围 (3)若函数图象与直线平行，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了主要一次函数定义，图象与坐标轴的交点问题等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先根据一次函数的定义得到，再求出与y轴的交点为，根据交点在y轴的正半轴上，得到，解不等式组即可； （2）根据函数图象经过第一、第三、第四象限，得到不等式组，再解不等式组即可； （3）由一次函数图象平行相同，不同，得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵当， ∴函数图象与y轴的交点为， 又∵是一次函数，函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴， 解得：； （2）解：∵函数图象经过第一、第三、第四象限， ∴， 解得：； （3）解：∵一次函数的函数图象与直线平行， ∴， 解得：． 考点讲练五 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数． (1)当m为何值时，y随x的增大而增大； (2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； (3)当m为何值时，函数图象经过原点． 【答案】(1) (2)且 (3) 【思路引导】（1）根据一次函数的性质得到当y随x的增大而增大时，，求解即可； （2）根据一次函数的性质得到函数图象与y轴的交点在x轴的下方时，且，求解即可； （3）把原点代入解析式，求解即可． 【规范解答】（1）解：∵y随x的增大而增大， ∴， ∴． （2）解：∵一次函数图象与y轴的交点在x轴的下方， ∴，， ∴且． （3）解：∵一次函数图象经过原点， ∴， 解得． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知一条直线经过，两点，且与x轴交于点C． (1)求表示这条直线的二元一次方程； (2)求出点C的坐标； (3)画出二元一次方程所表示的直线，并求的面积． 【答案】(1) (2) (3)图见解析，4 【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可； （2）令求出，即可得到点C的坐标； （3）根据点A，B的坐标画出函数图象，然后根据三角形面积公式进行计算． 【规范解答】（1）解：设表示这条直线的二元一次方程为， 把，代入得：， 解得， ∴表示这条直线的二元一次方程为； （2）令，得， 解得， ∴； （3）直线如图所示： 连接， ∵， ∴， ∴． 考点讲练六 一次函数图象平移问题 【典例分析】（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）直线与直线平行，且在轴上的截距是，求直线的函数表达式以及它与轴的交点坐标． 【答案】， 【思路引导】根据两直线平行可求的值，再根据截距可知的值，进而可求得一次函数的解析式，代入可求交点坐标． 【规范解答】解：直线与直线平行， ， 则直线即为． 在轴上的截距是， ． 直线的解析式为． 当时，，解得 所以直线与轴的交点坐标为． 【变式训练】（25-26七年级上·山东泰安·期末）已知直线的表达式为，点，分别在轴、轴上． (1)求出点，的坐标，并在所给图中画出直线的图象； (2)将直线向上平移个单位得到直线，点，分别在轴、轴上．求出点，的坐标及直线的表达式，并在所给图中画出直线的图象； (3)若点到轴的距离为，且在直线上，求的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，图见解析 (2)点的坐标为，点的坐标为，直线的关系式为，图见解析 (3)的面积为或 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，三角形的面积等，熟练掌握求一次函数的图象与坐标轴交点的方法，一次函数的平移规律是解决问题的关键． ()对于，当时，，当时，，由此可得点，点的坐标，然后画出直线即可； ()根据一次函数平移的规律得直线的解析式为，然后再分别求出点的坐标，画出直线即可； ()根据点在直线上，可设点的坐标为再根据点到轴的距离为得，由此解得，， 进而得点的坐标，然后再求出的面积即可． 【规范解答】（1）解：对于，当时，， 当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为直线如图所示： （2）解：对于直线，向上平移个单位得：，即直线的关系式为：， 对于，当时，，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 直线如图所示： （3）解：∵点在直线上，∴可设点的坐标为， ∵点到轴的距离为， ∴，解得，， 此时点的坐标为，， ①当点的坐标为时，如图所示： ； ②当点的坐标为时，如图所示： ∴． 综上所述：的面积为或． 考点讲练七 一次函数图象与对称问题 【典例分析】（25-26九年级上·河南·期中）若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”． 下列结论中：正确的是：_____________（写出所有正确结论的序号） ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则； 【答案】②③ 【思路引导】本题主要考查了新定义下的函数关系，解题的关键是掌握新定义． 根据“对偶关系”的定义，通过设点坐标，列方程求解，判断各结论是否正确． 【规范解答】解：①设点P在函数上，横坐标为m，则纵坐标为，点Q在函数上，横坐标为n，则纵坐标为， 若P与Q关于y轴对称，则Q的横坐标为，； 则， 解得， 故具有“对偶关系”，结论①错误； ②由①可知，点的坐标为 则函数与函数的“对偶值”为，结论②正确； ③当时，， 解得， ∴当，时，， 解得，结论③正确； 综上，正确的选项为：②③， 故答案为：②③． 【变式训练】（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A． (1)当时，y的取值范围是______； (2)将向下平移n（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，坐标与图形变化——轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． （1）依据题意，由，则y随x的增大而增大，结合当时，；当时，，从而可以判断得解； （2）令，先求出点A的坐标，得出点A关于y轴的对称点的坐标，再根据一次函数的平移，设直线的函数表达式，再代入对称点的坐标即可求出n的值． 【规范解答】（1）解：∵在函数中，， ∴y随x的增大而增大． ∵当时，； 当时，， ∴当时，． 故答案为：． （2）解：对于直线：，令，则． ∴， ∴点关于y轴的对称点为， ∵将l1向下平移n（）个单位长度得到直线， ∴设l2的函数表达式为， ∵直线过点， ∴， ∴． 考点讲练八 一次函数图象与旋转问题 【典例分析】（25-26九年级上·天津河东·期末）如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据点在直线上求出，根据点的坐标是，所以当时，，即可知的值可以是． 【规范解答】解：如下图所示，过点作轴， 当时，， 点的坐标是， 由直线的图像可知随的增大而增大， 当时，， 的值可以是． 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【规范解答】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 考点讲练九 判断一次函数的增减性 【典例分析】（25-26八年级下·全国·月考）已知函数是关于的一次函数． (1)求的值． (2)求出一次函数图象与轴、轴的交点坐标，并在下图中画出该函数的图象． (3)的值随的值的增大而____________（填“增大”或“减小”）． 【答案】(1) (2)与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，见解析 (3)减小 【思路引导】本题主要考查了一次函数的定义和性质，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点.． （1）根据一次函数的定义，可得答案； （2）找出与轴、轴交点坐标，连线即可； （3）根据一次函数的性质解答即可． 【规范解答】（1）解：（1）由是关于的一次函数， 得 解得． （2）解：由（1），得函数的解析式为， ∴当时，；当时，， ∴一次函数图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，函数图象如图所示． （3）解：， 的值随的值的增大而减小， 故答案为：减小． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）已知一次函数（k、b为常数，）的图象经过点和，则下列说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．将的图象经过平移可得到的图象 D．它的图象与x轴的交点坐标为 【答案】D 【思路引导】本题考查了一次函数的图象与性质、求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先利用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象与性质逐项判断即可得． 【规范解答】解：将点，代入一次函数得， 解得， 则一次函数的解析式为， ∵， ∴这个函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，随着的增大而减小，选项A和选项B说法都不正确； ∵与的k值不同，平移不改变一次函数的k值， ∴将的图象经过平移无法得到的图象，选项C不正确； 当时，，解得， 则这个函数的图象与轴交于，选项D说法正确． 故选：D． 考点讲练十 根据一次函数增减性求参数 34．（2026八年级下·全国·专题练习）已知一次函数的图像经过点、． (1)求k、b的值； (2)画出这个函数的图像； (3)当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，关键是正确得出函数解析式． （1）将点、代入，运用待定系数法求解； （2）两点法，过点、作直线，即可确定函数的图象． （3）先求出当时，，再结合图象y随x增大而减小，即可判断得解． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象经过点、． ∴， ∴； （2）解：过点、作直线，可得的图象，作图如下： （3）解：由图象可知，∵当时，， ∴当时，y的取值范围是． 故答案为：． 【变式训练】（2025八年级上·全国·专题练习）已知一次函数． (1)若函数图像经过原点，求m的值； (2)若函数图像与y轴的交点坐标为，求m的值； (3)若y随x的增大而减小，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)满足条件的m值不存在 (3) 【思路引导】本题考查了求一次函数解析式，根据一次函数增减性求参数，一次函数图象与坐标轴的交点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据函数图像经过原点，列出关于m的方程求解； （2）根据函数图像与y轴的交点坐标为，列出关于m的方程求解，再结合是一次函数求解； （3）根据一次函数，y随x的增大而减小，列出关于m的不等式求解． 【规范解答】（1）解：因为函数图像经过原点， 所以， 解得：； （2）解：因为函数图像与y轴的交点坐标为， 所以， 解得：； 因为是一次函数， 所以，即， 故满足条件的m值不存在． （3）解：因为一次函数，y随x的增大而减小， 所以， 解得：． 考点讲练十一 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【典例分析】（24-25八年级下·重庆·期末）如图1，是边长为4的等边三角形，D为边上的中点，动点P，Q 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点D出发，点P沿折线方向运动，点Q沿折线方向运动，当两者到达点A时停止运动．设运动时间为t秒，其中，点P，Q的距离为y． (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点P，Q的距离大于3个单位长度时t的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，函数有最大值为4（答案不唯一） (3) 【思路引导】本题考查一次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）列表，描点，连线画出函数图象，根据图象写出一条性质即可； （3）图象法求出不等式的解集即可． 【规范解答】（1）解：由题意，当时，； 当时，如图： ∵为等边三角形，为的中点 ∴，，， 由题意，得：， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 综上：； （2）列表如下： 1 2 3 4 2 4 3 2 描点，画图如下： 由图象可知，当时，函数有最大值为4； （3）由图象可知，当点P，Q的距离大于3个单位长度，即：时，． 【变式训练】（24-25八年级下·河南商丘·期末）已知是的一次函数，且当时，；当时，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求函数的值； (3)求当时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)13 (3) 【思路引导】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定一次函数解析式、已知求函数值、已知的范围求自变量范围等知识，熟记一次函数图象与性质及相关问题解法是解决问题的关键． （1）由题意，令一次函数的解析式为，根据当时，；当时，，列方程组求解即可得到答案； （2）由（1）中所求解析式，将代入即可得到答案； （3）由（1）中所求解析式，结合一次函数图象与性质可知，一次函数中，随的增大而增大，从而将；代入解析式求出即可得到当时，自变量的取值范围． 【规范解答】（1）解：已知是的一次函数，令一次函数的解析式为， 当时，；当时，， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：将代入得， ， 当时，函数的值13； （3）解：由（1）知，一次函数的解析式为， ， 一次函数中，随的增大而增大， 将时，，解得； 当时，，解得； 当时，自变量的取值范围是：． 考点讲练十二 比较一次函数值的大小 【典例分析】（25-26八年级上·广东清远·期末）已知两个一次函数，，其中的图象如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)画出函数的图象； (2)若点和在一次函数的图象上，当时，判断与的大小，说明理由； (3)观察图象，当时，比较与的大小，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，，理由见解析 (3)当时，，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了画一次函数图象，比较一次函数值的大小，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，再描点、连线，画出对应的函数图象即可； （2）根据一次函数的增减性求解即可； （3）求出两个一次函数的交点坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【规范解答】（1）解：列表如下： x … 0 1 … … 1 … 函数图象如下所示： （2）解：当时，，理由如下： ∵，， ∴随x的增大而增大， ∵点和在一次函数的图象上，且， ∴； （3）解：当时，，理由如下： 联立，解得， ∴一次函数和的交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，． 【变式训练】（25-26八年级上·山东青岛·周测）对于一次函数，下列说法正确的有______（填写序号） ①图像不经过第三象限； ②点在直线上； ③图像与直线平行； ④图像与直线的交点在x轴上； ⑤若点，在该函数图像上，则； ⑥图像可以由直线向右平移3个单位长度得到； ⑦图像与两坐标轴形成的三角形面积为18． 【答案】①②③⑥ 【思路引导】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的图像与性质，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像与坐标轴的交点问题，根据一次函数图像的性质进行逐一分析解答即可． 【规范解答】解：①．∵，， ∴一次函数的图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故①正确； ②．∵时，， ∴函数图像必经过点，故②正确； ③．∵与的一次项系数k均为， ∴的图像与直线平行，故③正确； ④联立 解得： ∴图像与直线的交点为，在轴上，不在x轴上，故④不正确 ⑤．∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵点，在该函数图像上，且， ∴，故⑤不正确． ⑥由直线向右平移3个单位长度得到，故⑥正确； ⑦一次函数，当时，；当时， 图像与坐标轴的交点坐标为和 ∴图像与两坐标轴形成的三角形面积为，故⑦不正确 故答案为：①②③⑥． 考点讲练十三 一次函数的规律探究问题 【典例分析】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，则的值为__________． 【答案】 【思路引导】由直线的解析式求得，即可求得，把的坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，把的纵坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，…..，得到规律，即可求得，然后问题可求解． 【规范解答】解：把代入得，， ， ∴， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ∴， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ， ……， ∴， ∴； 故答案为． 【变式训练】（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为____． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键．依据题意，观察横坐标变化规律，根据规律求解即可． 【规范解答】解：，点在直线上， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线上， ， ， ，即点的横坐标为， 同理可得，点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 令， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 考点讲练十四 求一次函数解析式 【典例分析】（25-26八年级上·江西九江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴对称的； (2)作出线段的垂直平分线，它与轴的交点坐标为_____； (3)请在轴上找一点，使得最小，画出点，点的坐标为_____； 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)见解析， 【思路引导】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征、线段垂直平分线的性质与方程、轴对称最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质、一次函数解析式的求解以及数形结合的思想是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，作即可； （2）取格点，作直线，则直线即为线段的垂直平分线，从而得它与轴的交点坐标； （3）利用轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点，再求出直线的方程，进而得到点的坐标． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，直线即为所求， 由图可知，，，，， ∴，，，， ∴，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴直线与轴的交点为； （3）解：连接交轴于点，则点即为所求； 设直线的解析式为， 将，代入解析式，得 ， 解得，， 所以直线的解析式为， 令，， 解得， ∴的坐标为． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读与思考：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象，给出它们互相垂直的定义．设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直．例如，直线与直线，因为，所以这两条直线互相垂直． 根据以上定义内容，解答下面的问题： (1)已知直线与直线互相垂直，则的值为_____________； (2)若直线经过点，且与直线垂直，直接写出直线的表达式． 【答案】(1) (2)直线的表达式为 【思路引导】（1）利用，建立方程求解； （2）设直线的表达式，根据垂直关系求出，再代入求． 【规范解答】（1）解：直线与直线互相垂直， ， 解得：； （2）解：直线与直线垂直， 设直线的表达式：， ， 解得：， ， 直线经过点， ， 解得：， 直线的表达式为． 考点讲练十五 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【典例分析】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，一次函数与二元一次方程组，熟知以上知识是解题的关键．根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出结论． 【规范解答】解：A、直线与轴的交点坐标为， 当时，， 方程的解是，原说法错误，不符合题意； B、一次函数与的图象交于点， 方程组的解是，原说法错误，不符合题意； C、观察图象得：当时，一次函数的图象在的图象的上方， 关于的不等式的解集是，正确，符合题意； D、观察图象得：当时，函数的图象在轴的上方， 的解集为，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）一次函数与的图象如图，则下列结论： ①关于x的方程的解是；②函数不经过第一象限；③关于x的不等式的解集是．其中正确的是________（填序号）． 【答案】①② 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系．熟练掌握相关知识，和数形结合的思想是解题的关键．根据一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系，结合图象求解即可． 【规范解答】解：①∵，， 当时，， 则， 由图知一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ∴关于x的方程的解是，故①正确； ②由图知，，， ∴函数经过二、三、四象限，不经过第一象限，故②正确； ③由图知，时，直线在直线的下方， ∴关于x的不等式的解集是，故③错误． 综上，正确的是①②， 故答案为：①②． 考点讲练十六 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【典例分析】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)当时，的取值范围是_____； (3)将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线与轴交于点．若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)12 【思路引导】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出点的坐标，再利用描点法画出函数图象即可得； （2）结合函数图象即可得； （3）先求出平移后的直线的解析式，再求出点的坐标，然后求出，根据建立方程，解方程即可得． 【规范解答】（1）解：对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，即． 在平面直角坐标系中画出该一次函数的图象如下： ． （2）解：由函数图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． （3）解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线的解析式为， 将代入得：，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的值为12． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过点C的另一条直线与x轴交于点． (1)求点B、C的坐标和直线的函数解析式； (2)在平面内是否存在点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，D的坐标为或 【思路引导】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质．分类讨论是解（2）的关键． （1）分别令、可求出点B、C的坐标；用待定系数法求出直线的函数解析式即可； （2）先求出，根据平行四边形的性质得，，然后分两种情况求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，， 解得， ∴． 当时，， ∴． 设直线的函数解析式为， 把代入，得 ， ∴， ∴； （2）解：存在， ∵，，， ∴． ∵以点A、B、C、D为顶点的四边形是以为边的平行四边形， ∴，， ∴，． 考点讲练十七 利用图象法解一元一次方程 【典例分析】（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知一次函数，下表是x与y的一些对应数值，则下列结论：①y随x的增大而减小；②该函数的图象经过一、三、四象限；③关于x的方程的解是；④该直线与直线平行．正确的是（    ） x … 0 1 3 … y … 0.5 … A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【思路引导】本题考查待定系数法，一次函数的性质和图象，根据给定数据求出一次函数解析式，再逐一判断各结论是否正确． 【规范解答】∵ 当 时，；当 时，， ∴ ， 解得：， ∴ 函数解析式为， 对于结论①：∵ ，∴ y随x的增大而增大，故①错误， 对于结论②：∵ ，∴ 图象经过第一、三、四象限，故②正确， 对于结论③：方程 ，解得：，故③正确， 对于结论④：直线 与直线，k值相等，故平行，故④正确． ∴ 正确的是②③④， 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是 （    ） A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【思路引导】本题考查一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组，图象法确定方程的解，不等式的解集和二元一次方程组的解，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：由题意和图象可知： 关于x的方程的解是；故A正确； 关于x的不等式的解集是；故B错误； 当时，函数的值比函数的值大；故C正确； 关于x，y的方程组的解是，故D正确； 故选B． 考点讲练十八 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】利用数形结合思想解答即可． 【规范解答】（1）解：∵一次函数与x轴交于点， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 观察图象得：当时，函数的图象在x轴的下方， 即关于x的不等式的解集为； 故答案为：，； （2）解：根据图象得，当时，一次函数和的图象均在x轴的上方， ∴关于x的不等式组的解集为． 【变式训练】（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)根据图象直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了一次函数图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合的思想进行求解． （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）根据直线经过，，画出函数图象即可； （3）根据函数图象求解即可． 【规范解答】（1）解：设该一次函数的表达式为 将，代入得， 解得 ∴该一次函数的表达式为； （2）解：如图所示， （3）解：由图象可得，一次函数经过点 ∴当时，． 考点讲练十九 根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例分析】（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知，直线与直线． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标； (3)求的面积． (4)根据图象，写出关于x的不等式的解集 【答案】(1)， (2) (3)2 (4) 【思路引导】（1）根据坐标轴上点的特征，代入求解即可； （2）根据一次函数图象与二元一次方程组的关系，联立方程组，求解即可； （3）根据点的坐标，可求线段，再根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可求出三角形的高，计算即可； （4）根据一次函数与不等式的关系，结合图象可得，当时，． 【规范解答】（1）解：由图可知，直线与直线分别交y轴于点A、B， 当时，，即； 当时，，即； （2）解：直线与直线交于点C， ，解得， 则； （3）解： ，，， ， 则的面积为2； （4）解：如图，当时，． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时， (3)点坐标为或 【思路引导】本题考查了一次函数图象和性质，解题的关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标． （1）把，分别代入两个解析式，求出，的解析式，联立两个解析式，解方程组即可； （2）观察图象直接判断即可； （3）根据求出点的纵坐标，代入解析式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，过点， ， 解得, ， 又过， ， 解得， ， 联立方程组得，， ， ； （2）由图象可得：当时，； （3）由（1）知，，， ， ， 设点坐标为， ， ， ， 当时，， ， 点坐标为； 当时，， ， 点坐标为； 综上，点坐标为或． 考点讲练二十 两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）已知一次函数的图象经过点，求关于的不等式的解集． （2）已知直线．当为何值时，直线与直线交于点？ 【答案】（1）；（2） 【思路引导】（1）先利用已知点求出一次函数的参数，再代入不等式求解集； （2）先利用交点在直线上求出交点横坐标，再将交点坐标代入直线的方程求解． 【规范解答】解：（1）一次函数的图象经过点， ， ． 将代入，得， 解得． （2）将代入直线， 得，解得． 将代入直线，得， 解得． 【考点剖析】本题考查了知识点一次函数解析式的确定、一元一次不等式的解法、两直线交点问题，解题关键是：利用待定系数法确定函数参数，再解不等式；利用“交点同时在两条直线上”的性质，通过代入法求解未知参数． 【变式训练】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【规范解答】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 考点讲练二十一 图象法解二元一次方程组 【典例分析】（24-25八年级下·广西河池·期末）综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： … … … … 表格中_______，________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，求出当取何值时该函数的有最小值．最小值是多少？ (4)写出关于的方程的解，并利用（2）中的图像简单说明此方程的解是如何得到的． 【答案】(1)1；1 (2)见解析 (3)； (4)，；见解析 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的意义是解题的关键． （1）分别把和代入函数解析式，即可求解； （2）根据表格选取点，点作射线，选取点，点作射线，即可解答； （3）观察（2）中的函数图象，即可求解； （4）画出函数和的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解． 【规范解答】（1）解： ， 故答案为：1；1 （2）解：如图，    （3）解：根据图像得：当时 函数有最小值，最小值为； （4）解：方程的解为：，， 理由如下： 画出函数和的图象，如图所示：    函数和的图象交点坐标分别为，， 关于的方程的解为：，． 【变式训练】（24-25七年级下·山东泰安·期中）【活动回顾】 我们教科书曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线； 结论：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取两点和，作出直线． 【解决问题】 （1）请你在图1所给的平面直角坐标系中再画出以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象． （2）观察图象，二元一次方程组的解是_______； 【拓展延伸】 （3）如图2所示．在同一平面直角坐标系中，二元一次方程图象是，二元一次方程的图象是，请根据图象，判断方程组的解的情况是_______（不需要说明理由）． 【思维发散】 （4）若二元一次方程组无解，求a的值 【答案】（1）见详解；（2），（3）无解， （4）4 【思路引导】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据两点确定一条直线即可画出函数图象； （2）根据函数图象即可确定交点坐标以及二元一次方程组的解； （3）根据图象即可确定方程组解的情况； （4）根据方程组无解，可知两条直线平行，即k值相等，进而可得出a的值． 【规范解答】解：（1），取点， 则以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象如下： （2）根据图象可知，两直线的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解是 （3）根据函数图象可知，两直线平行， ∴方程组二元一次方程组的解是无解． （4）∵二元一次方程组无解，即，即， ∴二元一次方程图象和二元一次方程图象平行， ∴ ∴ 考点讲练二十二 求直线围成的图形面积 【典例分析】（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)求的面积； (3)不解关于的方程，直接写出方程的解． 【答案】(1) (2)3 (3) 【思路引导】（1）将点代入，求出m，得到，把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据一次函数的解析式即可求出C点的坐标；根据三角形的面积公式列式即可求出的面积； （3）两函数图象的交点横坐标即为两函数解析式联立得到的一元一次方程的解． 【规范解答】（1）解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴，∴， ∴ ∵一次函数图象经过点， ∴’ 解得， ∴一次函数解析式是． （2）解：由（1）知一次函数解析式是， 令，得，解得， ∴， ∴， ∵, ∴的面积为：． （3）解：由图象可知，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴方程的解为， 即方程的解为． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与x轴交于点C，直线经过点A，B，已知，直线与相交于点P． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线，与直线，分别交于点M，N，当点M，N，E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出m的值______． 【答案】(1) (2) (3)5；； 【思路引导】本题目考查一次函数的性质及轴对称图形的性质，理解题意，进行分类讨论是解题关键． （1）利用待定系数法直接代入求解即可； （2）根据题意先确定点，然后联立两个函数求出交点，结合图形求面积即可； （3）根据题意得，当时，，，，，，然后分两种情况：当在点左侧时，当在点右侧时，根据中点的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：设直线的函数解析式为， 将点，代入， 得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：与轴交于点， 当时，， 解得， ， ， ， 联立直线与得： 解得： ， ； （3）解：根据题意得，当时，，， ， 分两种情况：当在点左侧时， 点，构成的线段的中点为点时， ， 解得：，不符合题意； 点，E构成的线段的中点为点N时， ， 解得，不符合题意； 点E，N构成的线段的中点为点M时， ， 解得，符合题意； 当在点右侧时， 点，N构成的线段的中点为点E时， ， 解得：，符合题意； 点，E构成的线段的中点为点N时， ， 解得，符合题意； 点E，N构成的线段的中点为点M时， ， 解得，不符合题意； 综上可得：或或． 故答案为：5，，． 考点讲练二十三 分配方案问题（一次函数的实际应用） 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【答案】D 【思路引导】先根据图象的交点和不同区间内两条直线的上下位置关系，直接判断不同消费次数下甲、乙两种消费卡的费用高低，对于无法直接从图象判断具体费用的选项，通过待定系数法求出乙消费卡对应的一次函数解析式，代入消费次数计算出具体费用后再进行正误判断． 【规范解答】解：由图象可知，甲、乙两条直线在处相交，交点纵坐标为；在时，甲的直线在乙的下方；在时，乙的直线在甲的下方． 对于选项A，当时，甲、乙两直线交于同一点，说明此时两种消费卡所需费用一样，选项A正确； 对于选项B，当时，此时甲的直线位置低于乙的直线，说明甲种消费卡的费用更低，选择甲种消费卡划算，选项B正确； 对于选项C，当时，此时乙的直线位置低于甲的直线，说明乙种消费卡的费用更低，选择乙种消费卡划算，选项C正确； 对于选项D，设乙消费卡的费用函数为，由图象可知该函数过点和， 将，代入得，解得， ． 当时，，不是元，选项D错误； 综上，错误的说法是D． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为吸引游客，准备购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元． (1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格． (2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷的数量不超过购买B种型号帐篷的数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【答案】(1)A为600元，B为1000元． (2)应购买A种型号帐篷5顶，B种型号帐篷15顶，购买帐篷的总费用最低为18000元． 【思路引导】（1）设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元．根据若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买种型号帐篷顶，则购买种型号帐篷顶，总费用为元．先用表示出，然后由购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，可求出的取值范围，最后根据一次函数性质可求出总费用的最小值． 【规范解答】（1）解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元． 根据题意列方程组为． 解得 答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元． （2）解：设购买种型号帐篷顶，则购买种型号帐篷顶，总费用为元． 由题意，得， 其中，解得， 又∵两种型号的帐篷均需购买， ∴ 解得， 综上，的取值范围是且为整数． ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最小值，即当购买种型号帐篷顶时，总费用最低， 总费用为（元）． ∴， 故应购买种型号帐篷顶，种型号帐篷顶，购买帐篷的总费用最低为元． 【考点剖析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． 考点讲练二十四 最大利润问题（一次函数的实际应用） 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服装进行销售，进货价和销售价如下表： 短款 长款 进货价/（元/件） 80 90 销售价/（元/件） 100 120 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装购进的件数． (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次如何进货才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 【答案】(1)长款服装购进30件，短款服装购进20件 (2)购进120件短款服装、80件长款服装能获得最大销售利润，最大销售利润是4800元 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设购进短款服装件，购进长款服装件，根据“用元购进长、短两款服装共件，”列二元一次方程组计算求解； （2）设第二次购进件短款服装，则购进长款服装件，根据“第二次进货总价不高于元”列不等式计算求解，然后结合一次函数的性质分析求最值． 【规范解答】（1）解：设短款服装购进件，长款服装购进件．由题意， 得 解得 故长款服装购进件，短款服装购进件． （2）解：设第二次购进件短款服装，则购进件长款服装，销售利润为元． 由题意，得， 解得． 由题意，得． ， 随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为． 故购进件短款服装、80件长款服装能获得最大销售利润，最大销售利润是元． 【变式训练】（25-26九年级上·云南昆明·期末）地处祖国西南的云南省博物馆，不仅因为珍贵的藏品吸引了成千上万的游客“为一座馆奔赴一座城”，在文创方面也非常懂得 “拿捏”年轻人的心，截至目前已推出了涵盖冰箱贴、文具、首饰等多个品类的文创产品，当地旅游业的发展更是促进了文创产品的销售．昆明市某旅游纪念品店购进了一批A型冰箱贴和B型冰箱贴．已知购进A型冰箱贴25个，B型冰箱贴30个共需570元，15个A型冰箱贴与20个B型冰箱贴的费用相同． (1)求每个A型冰箱贴和B型冰箱贴的进价分别是多少元？ (2)该旅游纪念品店决定购进A型冰箱贴和B型冰箱贴共100个，投入资金不超过1000元，并将A型冰箱贴的标价定为每个25元，A型冰箱贴打八折销售，B型冰箱贴售价定为每个15元，请问如何进货可以使该旅游纪念品店获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个A型冰箱贴的进价为12元，每个B型冰箱贴的进价为9元 (2)购进A型冰箱贴33个，B型冰箱贴67个，可获得最大利润，最大利润为666元 【思路引导】本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用． （1）根据“购进A型冰箱贴25个，B型冰箱贴30个共需570元，15个A型冰箱贴与20个B型冰箱贴的费用相同”列方程组求解； （2）先根据题意设购进A型冰箱贴a个，则购进B型冰箱贴个，列出一元一次不等式，求出a的取值范围，再求出利润的函数，根据一次函数的性质求解 【规范解答】（1）解：设每个A型冰箱贴的进价为x元，每个B型冰箱贴的进价为y元， 根据题意，得， 解得， 即每个A型冰箱贴的进价为12元，每个B型冰箱贴的进价为9元． （2）解：设购进A型冰箱贴a个，则购进B型冰箱贴个，利润为W元， 根据题意，得， ∴，且a为正整数， ∴， ∵， W随着a的增大而增大， 当时，W最大，，， 即该旅游纪念品店应购进A型冰箱贴33个，B型冰箱贴67个，可获得最大利润，最大利润为666元． 考点讲练二十五 行程问题（一次函数的实际应用） 【典例分析】（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）有一台电动车，出发秒以后，其行驶路程（米）是行驶时间（秒）的一次函数，关于的函数图像如图所示． (1)求出发秒以后（包括秒）关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围 (2)如果要求这台电动车的最大行驶里程在千米以上，那么为其配备的电池充满一次电后，至少能行驶多长时间 【答案】(1) (2)秒 【思路引导】（1）设函数解析式为，把、代入解析式即可； （2）把代入（1）中解析式求出的值即可． 【规范解答】（1）解：设出发秒后的函数表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴出发秒以后（包括秒）关于的函数表达式为，自变量的取值范围为； （2）解：∵ 千米米， ∴当时，得∶ ， 解得：， ∴为其配备的电池充满一次电后，至少能行驶秒． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在一条笔直的公路上有A，B两地，甲、乙两人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是_________米，乙的步行速度是_________米/分； (2)图中_________，_________； (3)求线段的函数表达式； (4)在乙运动的过程中，何时两人相距60米？ 【答案】(1)1200，80 (2)， (3) (4)分钟和7分钟 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，解题关键是通过函数图象分析出各个点对应的情况． （1）分析图象，出发前两人之间的距离即为两地之间的距离，为1200米，乙经过15分钟时到达地，据此即可求解； （2）由函数图象可知，经过分钟时两人相遇，则可算出甲的速度，点表示此时甲到达地，则可求出，再经过3分钟乙到达地，此时两人相距米，利用甲乙的速度即可算出； （3）根据的坐标，设出的一般解析式，将的坐标代入即可求出； （4）设经过分钟两人相距60米，根据两人相遇前和相遇后都可相距60米分别列方程即可求出． 【规范解答】（1）解：由函数图象可知，最开始时甲乙两人之间的距离为1200米， 因为甲从地出发，乙从地出发，两人最开始时的距离就是两地之间的距离， 所以两地之间距离为1200米； 由图象可知乙经过15分时到达地， ∴乙的步行速度为（米／分）； 故答案为：1200，80； （2）解：由函数图象可知，经过分钟时两人相遇，点表示此时甲到达地，乙未到达地，15分钟时乙到达地，此时两人相距米， 设甲的步行速度为米／分， 则， 解得：（米／分）， ∴（分）， 米， 故答案为：12；900； （3）解：设线段的解析式为， 则有， 解得：， ∴线段的函数解析式是； （4）解：设经过分钟两人相距60米，两人相遇前和相遇后都可相距60米， 相遇前：， 解得：； 相遇后：， 解得：， 所以经过7分钟和分钟时两人相距60米． 考点讲练二十六 梯度计价问题 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）五月，正是高山杜鹃盛开的季节，小明一家人来到五指峰赏花．售票处有一公告栏，请根据公告栏信息回答下列问题： 公告栏各位游客，您好！欢迎您来到五指峰景区，本景点近期特惠门票价格如下： ①一次性购买10张及以下门票，票价是240元/张； ②一次性购买10张以上门票，超过10张的部分，每张八折优惠． (1)若他们一家人有6人，则门票总费用是________元． (2)设某旅游团有x人来此游玩，求该旅游团门票总费用y（单位：元）关于人数x的函数表达式． 【答案】(1)1440 (2) 【思路引导】本题考查一次函数的实际应用，明确题中的数量关系是解答本题的关键． （1）人时，根据门票费用单价人数列式计算即可得解； （2）当时，门票费用=单价×人数；当时，门票费用张门票的费用超过张的门票费用，据此即可得到函数表达式． 【规范解答】（1）解：． （元） 门票总费用是元． （2）解：当时，； 当时，． 综上所述，旅游团门票费用关于人数的函数表达式为． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．若每月用气量不超过（包含），则按第一档收费标准a元/收费；若每月用气量超过，但不大于，则超过部分按第二档收费标准b元/收费；若每月用气量超过，则超过部分按第三档收费标准4元/收费．小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元． (1)求第一档燃气费单价和第二档燃气费单价分别是多少元/？ (2)设每月用气量为x，应交燃气费为y元，求y与x之间的函数关系式． (3)小明家5月份用气量为，应交燃气费为多少元？ (4)某户6月份的燃气费是182.5元，求该户6月份的用气量． 【答案】(1)第一档燃气费单价为3元/，第二档燃气费单价为元/ (2) (3)元 (4) 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确理解题意列出方程组和对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元建立方程组求解即可； （2）分，和三种情况，根据所给收费标准列式求解即可； （3）把代入中求出y的值即可得到答案； （4）可推出该户的用气量超过，把代入中求出x的值即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题意得， 解得． 答：第一档燃气费单价为3元/，第二档燃气费单价为元/； （2）解：由（1）可得，当时，， 当时，； 当时，, 综上所述，； （3）解：在中，当时，， 答：应交燃气费为元； （4）解：在中，当时，， ∵， ∴该户的用气量超过， 在中，当时，则 解得． 答：该户6月份的用气量为． 考点讲练二十七 其他问题（一次函数的实际应用） 【典例分析】（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）某游泳馆普通票价为元张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价元张，每次凭卡不再收费 ②银卡售价元张，每次凭卡另收元． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数设游泳次时，所需总费用为元． (1)分别写出选择银卡、普通票消费时，所需总费用，与之间的函数关系式 (2)在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点，，，的坐标 (3)请根据函数图像，直接写出选择哪种消费方式更划算． 【答案】(1)银卡消费：，普通票消费： (2)，，， (3)当时，普通票消费更划算；当时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当时，银卡消费更划算；当时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当时，金卡消费更划算 【思路引导】（1）根据银卡售价元/张，每次凭卡另收元，以及游泳馆普通票价元/张，设游泳次时，分别得出所需总费用即为与的关系式； （2）利用函数交点坐标求法分别求解即可； （3）利用（2）的各点的坐标并结合函数图像得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意可得： 选择银卡消费时，所需总费用与之间的函数关系式为， 选择普通票消费时，所需总费用与之间的函数关系式； （2）解：由题意可得： 当，时，得：， ∴； 当时，解得：， ∴； 当时，解得：， ∴； 当时，得：， ∴； （3）解：如图所示：由，，的坐标可得： 当时，普通票消费更划算； 当时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算； 当时，银卡消费更划算； 当时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算； 当时，金卡消费更划算． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块放在其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽地面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（cm），（cm）与注水时间（min）之间的关系如图②所示．根据图象提供的信息，解答下列问题． (1)当时，分别求出和与之间的关系式； (2)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？ 【答案】(1)， (2)当注水2min时两个水槽中水面一样高 【思路引导】（1）设线段，的关系式分别为，，将点和代入中，可求得；将点和点代入中，可求得； （2）令，即，解方程即可． 【规范解答】（1）解：设线段，的关系式分别为，， ∵经过点和， ∴将点和代入中， 得，解得， ∴； ∵经过点和， ∴将点和点代入中， 得，解得， ∴， ∴当时，和与之间的关系式分别为，． （2）解：当时，即，解得， ∴当注水时两个水槽中水面一样高． 考点讲练二十八 一次函数与几何综合 【典例分析】25-26八年级上·浙江金华·期末）在直角坐标系中，点D的坐标为，的顶点A、C的坐标分别为、，．把向右平移，当点B落在直线上时，则线段扫过的面积是（    ） A．12 B．15 C．16 D．20 【答案】D 【思路引导】本题考查一次函数的综合应用，平移的性质，用待定系数法求一次函数，勾股定理，正确掌握用待定系数法求一次函数是解题的关键． 先根据勾股定理，得，从而，再根据待定系数法求出直线的解析式，把代入求得，进而求出平移的距离，计算即可求出面积． 【规范解答】解： 、， ， 在中，， 则， ， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， ， 如图，当向右平移，当点B落在直线上时， 即当时，，解得， 向右移动的距离为， 则线段扫过的面积是． 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)_____，不等式的解集为_____； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． (3)在直线上是否存在一点，使得的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点的坐标． 【答案】(1)1； (2) (3)存在；或 【思路引导】本题主要考查了一次函数的解析式求解、一次函数与不等式的关系、一次函数的最值问题以及三角形面积的计算，熟练掌握一次函数的图象与性质，结合数形结合思想和分类讨论思想解题是解题的关键． （1）将点代入直线的解析式求值；再结合函数图象，确定不等式的解集． （2）先根据点在线段上、点在直线上，分别写出和的表达式，再构造的函数，结合自变量的取值范围求最大值． （3）先求出点的坐标，设出点的坐标，分点在轴下方和上方两种情况，利用面积关系列方程求解． 【规范解答】（1）解：∵ 点在直线上， ∴ ， 解得 ， ∵ 不等式， ∴ 解得 ， 解得 ， ∴ 不等式的解集为； （2）解：由（1）知：点在线段上，点在直线上， ，， ， ，， 当时，有最大值， 的最大值为； （3）解：存在．直线，令得， ． 点在直线上，设点坐标为， ①当时，点在轴的下方, ， 解得，点坐标为， ②当时，点在轴的上方, ， 解得，此时点坐标为． 点的坐标为或． 【真题演练1】（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可； （2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． （3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 【真题演练2】（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【规范解答】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 【真题演练3】（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段的函数关系式是． (2)成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时 【思路引导】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）依据由题，令 ，结合（1）的解析式，分别求出的值，进而可以判断得解． 【规范解答】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 把 代入中得， ∴． ∴当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 把和代入中得， ∴， ∴当时，与的函数关系式为． 综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是． （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， 小时， 答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时． 【真题演练4】（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【思路引导】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【规范解答】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 【真题演练5】（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【答案】(1)弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； (2)； (3)，． 【思路引导】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为，将代入计算即可． 【规范解答】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴深度为． 基础夯实 能力提升 1．（25-26八年级下·北京·开学考试）如果一次函数图象不经过第三象限，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴， 若，直线与y轴交于负半轴，会经过第三象限， ∴， 综上可得，． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）把二元一次方程化为的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】只需通过移项，将的系数化为即可得到结果. 【规范解答】解：原方程为， 移项得：， 两边同时除以得：． 3．（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，则该一次函数的解析式为___________． 【答案】 【思路引导】先根据平行关系确定的值，再代入已知点坐标求出的值，即可得到该一次函数的解析式． 【规范解答】解：一次函数的图象与直线平行， ∴， ∵一次函数经过点， ∴将点代入，得， 解得， ∴该一次函数的解析式为． 4．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）如图，函数和的图象交于点，则方程组的解是_____． 【答案】 【思路引导】根据两条直线的交点坐标即为由两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解，即可得出结果． 【规范解答】解：由图象可知：方程组，即的解是． 5．（25-26八年级上·四川成都·期末）在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛．已知该海巡船与B岛的距离y（km）与从A岛出发后的行驶时间x（h）之间的关系如图所示． (1)A、C两海岛间的距离为________km，________； (2)求线段PN所表示的函数关系式； (3)在B岛有一不间断发射信号的信号发射台、发射的信号覆盖半径为20km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长． 【答案】(1)80,1.6 (2) (3)0.8 【思路引导】本题主要考查了求一次函数关系式，函数图像的识别， 对于（1），先观察图象可知A，B之间的距离为，B，C之间的距离为，即可得出答案；再求出海巡船的速度，即可求出时间； 对于（2），根据待定系数法求出关系式即可； 对于（3），先根据待定系数法求出线段所表示的函数关系式， 再令两个函数值等于20得出方程，求出解即可． 【规范解答】（1）解：由图象可知A，C两海岛之间的距离是; 海巡船的速度是， 海巡船从A岛到达C岛用时， ∴； 故答案为：80，1.6； （2）解：设线段所表示的函数关系式为，将点代入关系式，得 ， 解得， ∴线段所表示的函数关系式为； （3）解：设线段所表示的函数关系式为，将点代入关系式，得 ， 解得， ∴线段所表示的函数关系式为． 当时，解得； 当时，解得， 则． 所以海巡船能接收到信号的时间是0.8小时． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）如图①所示，在A、B两地之间有一车站C，甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程与行驶时间之间的函数图象，现有以下结论：①a的值为120；②m的值1.3；③m小时后，乙车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系为：；④乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过时行驶时间x的取值范围为．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】先求出甲的速度，利用路程速度时间，可求的值，的值，的距离，利用待定系数法可求解析式，分两种情况讨论，由题意列出不等式，即可求解． 【规范解答】解：由题意可得：甲的速度为：， ∴的距离，故①正确； ∴， ∴乙车的速度为， ∴，故②错误； 设小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系为， 把和代入可得：， 解得：， ∴小时后，乙车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系为：，故③正确； 当时，甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为，由题意可得：， 解得：， ∴； 当时，甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为，由题意可得：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④错误； 故其中正确的有①③，共个． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点的对应点是直线上的一点，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了正比例函数、点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换是解题关键． 先根据平移的性质求出点的纵坐标为6，代入可得点的坐标，从而可得平移距离，再根据点坐标的平移变换规律即可得． 【规范解答】解：将沿轴向右平移后得到，且点的坐标为， 点的纵坐标为6， 当时，， 解得， ， 将沿轴向右平移个单位长度后得到， 平移后，点与点是对应点，且点的坐标为， ，即． 故选：C 3．（24-25八年级下·全国·期中）直线与交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x,y的方程组的解为________． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是明确两直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，利用已知的纵坐标代入其中一个函数解析式求出交点坐标． 先将点的纵坐标代入求出横坐标；再根据两直线交点坐标与方程组解的对应关系，直接得到方程组的解． 【规范解答】∵点P在直线上，且纵坐标， ∴代入得，解得， ∴点P的坐标为， ∵点P也在直线上， ∴方程组的解即为两条直线的交点坐标， ∴方程组的解为． 4．（25-26八年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，经过点的一次函数，其图象与直线交于点，点是线段上的一个动点（不与点、点重合），过点作平行于轴的直线l分别交直线于点．设点的横坐标为． (1)求点的坐标和一次函数的表达式； (2)如图，当时： ①线段的长为___________；（用含n的代数式表示） ②过点，分别向轴作垂线，垂足分别为，若得到四边形的面积为，直接写出此时四边形的周长___________． 【答案】(1)， (2)①；②或 【思路引导】（1）把点代入，可得到点C的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①求出点M，N的坐标即可；②根据四边形的面积为，可得，从而得到或3，即可求解． 【规范解答】（1）解：把点代入得：， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：①根据题意得：，， ∴； ②如图， 根据题意得：轴，轴，轴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， 即， 解得：或3， 当时，， 此时四边形的周长为； 当时，， 此时四边形的周长为； 综上所述，四边形的周长为或． 5．（25-26八年级下·广东深圳·开学考试）数学社团张老师为了鼓励同学们，计划购买一些毛绒玩具和编程玩具作为奖品．已知买3个毛绒玩具和2个编程玩具共需要170元；买2个毛绒玩具和3个编程玩具共需要180元． (1)求每个毛绒玩具和编程玩具各多少元？ (2)若张老师需购买毛绒玩具和编程玩具共40个，求总费用（单位：元）与毛绒玩具的数量个（，且为整数）之间的关系式，并求出总费用至少要多少元？ 【答案】(1)每个毛绒玩具价格为30元，每个编程玩具价格为40元 (2)与的关系式为（，且为整数），总费用至少要1360元 【思路引导】（1）根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）根据题意列出一次函数表达式，利用一次函数的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：设每个毛绒玩具价格为元，每个编程玩具价格为元， 由题意得，， 解得， 答：每个毛绒玩具价格为30元，每个编程玩具价格为40元． （2）解：由题意得编程玩具有个， 则， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的最小值为， 答：与的关系式为（，且为整数），总费用至少要1360元． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版(新教材)数学八年级下册同步培优【重点考点讲练】 专题23.5 一次函数(章节复习) (第二十三章 一次函数) 【人教版八下 新教材】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 变量与常量 2 知识点二 自变量取值范围 2 知识点三 函数定义 3 知识点四 正比例函数图像和性质 3 知识点五 待定系数法求正比例函数解析式 3 知识点六 一次函数图像和性质 3 知识点七 一次函数的平移 4 知识点八 求一次函数解析式 4 知识点九 一次函数与一元一次方程的关系 5 知识点十 一次函数与一元一次不等式 5 重点难点 考点讲练 5 考点讲练一 求一次函数自变量或函数值 5 考点讲练二 列一次函数解析式并求值 6 考点讲练三 根据一次函数解析式判断其经过的象限 6 考点讲练四 已知函数经过的象限求参数范围 7 考点讲练五 一次函数图象与坐标轴的交点问题 7 考点讲练六 一次函数图象平移问题 8 考点讲练七 一次函数图象与对称问题 9 考点讲练八 一次函数图象与旋转问题 10 考点讲练九 判断一次函数的增减性 11 考点讲练十 根据一次函数增减性求参数 11 考点讲练十一 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 12 考点讲练十二 比较一次函数值的大小 13 考点讲练十三 一次函数的规律探究问题 15 考点讲练十四 求一次函数解析式 15 考点讲练十五 已知直线与坐标轴交点求方程的解 17 考点讲练十六 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 17 考点讲练十七 利用图象法解一元一次方程 19 考点讲练十八 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 19 考点讲练十九 根据两条直线的交点求不等式的解集 20 考点讲练二十 两直线的交点与二元一次方程组的解 21 考点讲练二十一 图象法解二元一次方程组 22 考点讲练二十二 求直线围成的图形面积 24 考点讲练二十三 分配方案问题(一次函数的实际应用) 25 考点讲练二十四 最大利润问题(一次函数的实际应用) 26 考点讲练二十五 行程问题(一次函数的实际应用) 27 考点讲练二十六 梯度计价问题 28 考点讲练二十七 其他问题(一次函数的实际应用) 29 考点讲练二十八 一次函数与几何综合 30 中考真题 实战演练 31 难度分层 闯关训练 34 基础夯实 能力提升 34 创新拓展 拔尖冲刺 35 知识点一 变量与常量 定义:在一个变化过程中,我们称数值发生改变的量为变量,数值始终不变的量为常量. 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x和 y,并且对于 的每一个确定的值, 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x 是自变量, y是因变量,y 是x 的函数.如果 当 x=a时,y=b ,b那么 a叫做当自变量 x的值为a 时的函数值. 知识点二 自变量取值范围 初中阶段,在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况: (1) 函数关系式为整式形式:自变量取值范围为任意实数; (2) 函数关系式为分式形式:分母0 (3) 函数关系式含算术平方根:被开方数0; (4)函数关系式含0指数:底数0。 知识点三 函数定义 像这样,用关于自变量的数学式子表示 函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法,这种式子叫做函数的解析式 知识点4:正比例函数的定义 一般地,形如y=kx(k≠0)函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数. 知识点四 正比例函数图像和性质 正比例函数图象与性质用表格概括下: k的符号 图像 经过象限 性质 k>0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k<0 第二、四象限 y随x的增大而较少 知识点五 待定系数法求正比例函数解析式 1.正比例函数的表达式为y=kx(k≠0),只有一个待定系数k,所以只要知道除(0,0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值,从而确定表达式. 2.确定正比例函数表达式的一般步骤: (1)设——函数表达式,如y=kx(k≠0);(2)代——; (3)求——k; (4)写—— 知识点7:一次函数的定义 如果 y=kx+b(k,b是常数,k ≠0 )的函数,叫做一次函数,k叫比例系数。 注意:当b=0时,一次函数y=kx+b 变为y=kx,正比例函数是一种特殊的一次函数。 知识点六 一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下: 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势,y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势,y随x的增大而较少 图像(草图) b>0 b=0 b<0 b<0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b>0,交点在y轴正半轴上;b=0,交点在原点;b<0,交点在y轴负半轴上 【提分要点】: 1. 若两直线平行,则; 2. 若两直线垂直,则 知识点七 一次函数的平移 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位,解析式y=kx+b变化为y=k(x+n)+b;向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k(x-n)+b。 口诀:左加右减(对于y=kx+b来说,对括号内x符号的增减)(此处n为正整数)。 3. 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m;向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀:上加下减(对于y=kx+b来说,只改变b)(此处m为正整数) 知识点八 求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤: 基本步骤:设、列、解、写 ⑴设:设一般式y=kx+b ⑵列:根据已知条件,列出关于k、b的方程(组) ⑶解:解出k、b; ⑷写:写出一次函数式 知识点九 一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b(k≠0)与 x 轴交点的横坐标,就是一元一次方程 kx+b=0(k≠0)的解.求 直线 y=kx+b(k≠0)与 x 轴交点时, (1)可令 y=0,得到方程 kx+b=0(k≠0),解方程得 , (2)直线 y=kx+b 交 x 轴于点(0,) , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标. 知识点十 一次函数与一元一次不等式 (1)由于任何一个一元一次不等式都可以转化为>0或<0或≥0或≤0(、为常数,≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数的值大于0(或小于0或大于等于0或小于等于0)时求相应的自变量的取值范围. (2)如何确定两个不等式的大小关系 (≠,且)的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线的在直线的上方对应的点的横坐标范围. 考点讲练一 求一次函数自变量或函数值 【典例分析】(25-26八年级下 全国 周测)如图,一次函数的图象经过点和,则的值为_. 【变式训练】(23-24八年级上 江苏盐城 期中)定义:平面直角坐标系中,若点A到x轴、y轴的距离和为6,则称点A为“顺利点”.例如:点到x轴、y轴的距离分别为2,4,距离和为6,则点B是“顺利点”.点C是一次函数图象上的“顺利点”,则点C坐标是( ) A., B., C., D., 考点讲练二 列一次函数解析式并求值 【典例分析】(24-25八年级下 河北石家庄 期中)王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游.经了解,现有甲、乙两家旅行社比较合适,报价均为每人元,且提供的服务完全相同.针对组团两日游的游客,甲旅行社表示,每人都按八五折收费;乙旅行社表示,若人数不超过人,每人都按九折收费,超过人,则超出部分每人按七五折收费.假设组团参加两日游的人数为人. (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式; (2)若王老师组团参加两日游的共有人,请你通过计算,在甲、乙两家旅行社中,帮助王老师选择收取总费用较少的一家. 【变式训练】.(23-24八年级下 河北廊坊 月考)在平面直角坐标系中,将点向左平移4个单位长度,得到点N,点N在直线上.如果一次函数的图象与线段有公共点,则n的取值范围为( ) A. B. C. D. 考点讲练三 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【典例分析】(24-25八年级下 四川资阳 月考)已知过点的直线不经过第四象限,则a的取值范围是_. 【变式训练】(24-25八年级下 河北衡水 月考)已知,当时, (1)求y关于x的函数解析式; (2)在平面直角坐标系中,该函数的图象不经过第_象限; (3)若点是该函数图象上的一点,求y的值. 考点讲练四 已知函数经过的象限求参数范围 【典例分析】(25-26八年级下 全国 课后作业)如图,一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、. (1)求的取值范围; (2)若该一次函数向上平移1个单位长度就经过原点,求的值. 【变式训练】已知一次函数. (1)当m为何值时,函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上? (2)若函数图象经过第一、第三、第四象限,求m的取值范围 (3)若函数图象与直线平行,求m的值. 考点讲练五 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例分析】(25-26八年级下 全国 课后作业)已知一次函数. (1)当m为何值时,y随x的增大而增大; (2)当m为何值时,函数图象与y轴的交点在x轴的下方; (3)当m为何值时,函数图象经过原点. 【变式训练】(25-26八年级下 全国 课后作业)在平面直角坐标系中,已知一条直线经过,两点,且与x轴交于点C. (1)求表示这条直线的二元一次方程; (2)求出点C的坐标; (3)画出二元一次方程所表示的直线,并求的面积. 考点讲练六 一次函数图象平移问题 【典例分析】(25-26八年级下 安徽安庆 开学考试)直线与直线平行,且在轴上的截距是,求直线的函数表达式以及它与轴的交点坐标. 【变式训练】(25-26七年级上 山东泰安 期末)已知直线的表达式为,点,分别在轴、轴上. (1)求出点,的坐标,并在所给图中画出直线的图象; (2)将直线向上平移个单位得到直线,点,分别在轴、轴上.求出点,的坐标及直线的表达式,并在所给图中画出直线的图象; (3)若点到轴的距离为,且在直线上,求的面积. 考点讲练七 一次函数图象与对称问题 【典例分析】(25-26九年级上 河南 期中)若函数的图象上存在点P,函数的图象上存在点Q,且P、Q关于y轴对称,则称函数和具有“对偶关系”,此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”. 下列结论中:正确的是:_(写出所有正确结论的序号) ①函数与函数不具有“对偶关系”; ②函数与函数的“对偶值”为; ③若1是函数与函数的“对偶值”,则; 【变式训练】(24-25八年级下 吉林 期末)如图,在平面直角坐标系中,直线:与x轴交于点A. (1)当时,y的取值范围是_; (2)将向下平移n()个单位长度得到直线,若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点,求n的值. 考点讲练八 一次函数图象与旋转问题 【典例分析】(25-26九年级上 天津河东 期末)如图,直线经过点,将绕点顺时针旋转,得到直线.点在上,若,则的值可以是( ) A. B. C. D. 【变式训练】(25-26七年级上 全国 课后作业)把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度,就得到函数或的图象. 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问:把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度,如何求平移后的函数表达式? 老师给了以下提示:如图1,在函数的图象上任意取两个点,分别向右平移3个单位长度,得到,直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象. 请你帮助小尧解决他的困难. (1)将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度,平移后的函数表达式为_. 【解决问题】 (2)已知某一次函数的图象与直线关于轴对称,求此一次函数的表达式. 【拓展探究】 (3)一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为_.(直接写结果) 考点讲练九 判断一次函数的增减性 【典例分析】(25-26八年级下 全国 月考)已知函数是关于的一次函数. (1)求的值. (2)求出一次函数图象与轴、轴的交点坐标,并在下图中画出该函数的图象. (3)的值随的值的增大而_(填“增大”或“减小”). 【变式训练】(25-26八年级上 陕西汉中 期末)已知一次函数(k、b为常数,)的图象经过点和,则下列说法正确的是( ) A.y随x的增大而增大 B.它的图象经过第一、二、三象限 C.将的图象经过平移可得到的图象 D.它的图象与x轴的交点坐标为 考点讲练十 根据一次函数增减性求参数 34.(2026八年级下 全国 专题练习)已知一次函数的图像经过点、. (1)求k、b的值; (2)画出这个函数的图像; (3)当时,y的取值范围是_. 【变式训练】(2025八年级上 全国 专题练习)已知一次函数. (1)若函数图像经过原点,求m的值; (2)若函数图像与y轴的交点坐标为,求m的值; (3)若y随x的增大而减小,求m的取值范围. 考点讲练十一 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【典例分析】(24-25八年级下 重庆 期末)如图1,是边长为4的等边三角形,D为边上的中点,动点P,Q 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点D出发,点P沿折线方向运动,点Q沿折线方向运动,当两者到达点A时停止运动.设运动时间为t秒,其中,点P,Q的距离为y. (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围; (2)如图2,在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象,并写出该函数的一条性质; (3)结合函数图象,写出点P,Q的距离大于3个单位长度时t的取值范围. 【变式训练】(24-25八年级下 河南商丘 期末)已知是的一次函数,且当时,;当时,. (1)求这个一次函数的解析式; (2)当时,求函数的值; (3)求当时,自变量的取值范围. 考点讲练十二 比较一次函数值的大小 【典例分析】(25-26八年级上 广东清远 期末)已知两个一次函数,,其中的图象如图所示,请结合图象回答下列问题: (1)画出函数的图象; (2)若点和在一次函数的图象上,当时,判断与的大小,说明理由; (3)观察图象,当时,比较与的大小,说明理由. 【变式训练】(25-26八年级上 山东青岛 周测)对于一次函数,下列说法正确的有_(填写序号) ①图像不经过第三象限; ②点在直线上; ③图像与直线平行; ④图像与直线的交点在x轴上; ⑤若点,在该函数图像上,则; ⑥图像可以由直线向右平移3个单位长度得到; ⑦图像与两坐标轴形成的三角形面积为18. 考点讲练十三 一次函数的规律探究问题 【典例分析】(25-26八年级上 江苏无锡 月考)《庄子 天下篇》记载“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.如图,直线与轴交于点,过点作轴的平行线交直线于点,过点作轴的平行线交直线于点,以此类推,令,则的值为_. 【变式训练】(24-25八年级下 贵州黔东南 月考)如图,已知直线a:,直线b:和点,过点P作y轴的平行线交直线a于点,过点作x轴的平行线交直线b于点,过点作y轴的平行线交直线a于点,过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去,则点的横坐标为_. 考点讲练十四 求一次函数解析式 【典例分析】(25-26八年级上 江西九江 期末)如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点分别为. (1)请在图中作出关于轴对称的; (2)作出线段的垂直平分线,它与轴的交点坐标为_; (3)请在轴上找一点,使得最小,画出点,点的坐标为_; 【变式训练】(25-26八年级下 全国 课后作业)阅读与思考:在平面几何中,我们学过两条直线互相垂直的定义,下面就两个一次函数的图象,给出它们互相垂直的定义.设一次函数的图象为直线,一次函数的图象为直线,若,我们就称直线与直线互相垂直.例如,直线与直线,因为,所以这两条直线互相垂直. 根据以上定义内容,解答下面的问题: (1)已知直线与直线互相垂直,则的值为_; (2)若直线经过点,且与直线垂直,直接写出直线的表达式. 考点讲练十五 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【典例分析】(25-26八年级上 四川成都 期末)如图,已知一次函数与的图象如图所示,其交点B的坐标为,直线与x轴的交点坐标为,请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断,则下列说法正确的是( ) A.方程的解是 B.方程的解是 C.关于x的不等式的解集是 D.的解集为 【变式训练】(25-26八年级上 江苏无锡 月考)一次函数与的图象如图,则下列结论: ①关于x的方程的解是;②函数不经过第一象限;③关于x的不等式的解集是.其中正确的是_(填序号). 考点讲练十六 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【典例分析】(25-26八年级上 安徽合肥 期中)在平面直角坐标系中,一次函数的图象与轴,轴分别交于点,. (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象,并标出点A,B; (2)当时,的取值范围是_; (3)将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度,所得直线与轴交于点.若,求的值. 【变式训练】(24-25八年级下 陕西商洛 期末)如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点B,与y轴交于点C,经过点C的另一条直线与x轴交于点. (1)求点B、C的坐标和直线的函数解析式; (2)在平面内是否存在点D,使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是以为边的平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点D的坐标;若不存在,请说明理由. 考点讲练十七 利用图象法解一元一次方程 【典例分析】(25-26八年级上 陕西西安 月考)已知一次函数,下表是x与y的一些对应数值,则下列结论:①y随x的增大而减小;②该函数的图象经过一、三、四象限;③关于x的方程的解是;④该直线与直线平行.正确的是( ) x … 0 1 3 … y … 0.5 … A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 【变式训练】(24-25八年级下 河北沧州 期末)如图,一次函数与正比例函数的图象相交于点,下列判断错误的是 ( ) A.关于x的方程的解是 B.关于x的不等式的解集是 C.当时,函数的值比函数的值大 D.关于x,y的方程组的解是 考点讲练十八 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例分析】(25-26八年级下 全国 课后作业)在学习一元一次不等式与一次函数中,小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象,分别与x轴交于点A,B,两直线相交于点C.已知点,,观察图象并回答下列问题: (1)关于x的方程的解是 ,关于x的不等式的解集是 ; (2)求关于x的不等式组的解集. 【变式训练】(25-26八年级上 甘肃酒泉 期末)已知一次函数的图象经过点和点. (1)求该一次函数的表达式; (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象; (3)根据图象直接写出时,的取值范围. 考点讲练十九 根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例分析】(25-26八年级下 黑龙江绥化 开学考试)已知,直线与直线. (1)求两直线与y轴交点A,B的坐标; (2)求两直线交点C的坐标; (3)求的面积. (4)根据图象,写出关于x的不等式的解集 【变式训练】(25-26八年级上 安徽六安 期末)已知:如图一次函数与轴相交于点,与轴相交于点,这两个函数图象相交于点. (1)求出点的坐标; (2)结合图象,直接写出时的取值范围; (3)连接,直线上是否存在一点,使,若存在,求点的坐标. 考点讲练二十 两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例分析】(25-26八年级下 全国 课后作业)(1)已知一次函数的图象经过点,求关于的不等式的解集. (2)已知直线.当为何值时,直线与直线交于点? 【变式训练】(25-26八年级上 甘肃兰州 期末)如图所示,一次函数与正比例函数的图象相交于点,下列判断错误的是( ) A.关于的方程的解是 B.关于的不等式的解集是 C.当时,函数的值比函数的值大 D.关于,的方程组的解是 考点讲练二十一 图象法解二元一次方程组 【典例分析】(24-25八年级下 广西河池 期末)综合与实践 同学,还记得学习研究一次函数的路径吗?请结合一次函数的学习经验探究函数的图象. (1)列表: … … … … 表格中_,_; (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象; (3)观察(2)中所画函数的图象,求出当取何值时该函数的有最小值.最小值是多少? (4)写出关于的方程的解,并利用(2)中的图像简单说明此方程的解是如何得到的. 【变式训练】(24-25七年级下 山东泰安 期中)【活动回顾】 我们教科书曾探究过“以方程的解为坐标(x的值为横坐标、y的值为纵坐标)的点的特性”,了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系.发现:以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同,是同一条直线; 结论:一般地,以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同,是同一条直线. 示例:如图1,我们在画方程的图象时,可以取两点和,作出直线. 【解决问题】 (1)请你在图1所给的平面直角坐标系中再画出以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象. (2)观察图象,二元一次方程组的解是_; 【拓展延伸】 (3)如图2所示.在同一平面直角坐标系中,二元一次方程图象是,二元一次方程的图象是,请根据图象,判断方程组的解的情况是_(不需要说明理由). 【思维发散】 (4)若二元一次方程组无解,求a的值 考点讲练二十二 求直线围成的图形面积 【典例分析】(25-26八年级下 吉林长春 开学考试)如图,正比例函数的图象与一次函数的图象交于点,一次函数图象经过点,与轴的交点为,与轴的交点为. (1)求一次函数表达式; (2)求的面积; (3)不解关于的方程,直接写出方程的解. 【变式训练】(25-26八年级上 四川成都 月考)如图,在平面直角坐标系中,直线的解析式为,与x轴交于点C,直线经过点A,B,已知,直线与相交于点P. (1)求直线的解析式; (2)求的面积; (3)在x轴上有一动点,过点E作x轴的垂线,与直线,分别交于点M,N,当点M,N,E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时,请直接写出m的值_. 考点讲练二十三 分配方案问题(一次函数的实际应用) 【典例分析】(25-26八年级下 全国 课后作业)随着暑假临近,某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡,设消费次数为时,所需费用为元,且与的函数关系如图所示.根据图中信息判断,下列说法错误的是( ) A.消费次数为时,选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B.消费次数为6时,选择甲种消费卡划算 C.消费次数为时,选择乙种消费卡划算 D.消费次数为2时,选择乙种消费卡所需费用为元 【变式训练】(25-26八年级下 全国 周测)蓝天白云下,青山绿水间,支一顶帐篷,邀亲朋好友,听蝉鸣,闻清风,话家常,好不惬意.某景区为吸引游客,准备购买A、B两种型号的帐篷.若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶,则需5200元;若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶,则需2800元. (1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格. (2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷均需购买),购买A种型号帐篷的数量不超过购买B种型号帐篷的数量的,为使购买帐篷的总费用最低,应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶?购买帐篷的总费用最低为多少元? 考点讲练二十四 最大利润问题(一次函数的实际应用) 【典例分析】(25-26八年级下 全国 周测)某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服装进行销售,进货价和销售价如下表: 短款 长款 进货价/(元/件) 80 90 销售价/(元/件) 100 120 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件,求两款服装购进的件数. (2)第一次购进的两款服装售完后,该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件(进货价和销售价都不变),且第二次进货总价不高于16800元.服装店这次如何进货才能获得最大销售利润?最大销售利润是多少? 【变式训练】(25-26九年级上 云南昆明 期末)地处祖国西南的云南省博物馆,不仅因为珍贵的藏品吸引了成千上万的游客“为一座馆奔赴一座城”,在文创方面也非常懂得 “拿捏”年轻人的心,截至目前已推出了涵盖冰箱贴、文具、首饰等多个品类的文创产品,当地旅游业的发展更是促进了文创产品的销售.昆明市某旅游纪念品店购进了一批A型冰箱贴和B型冰箱贴.已知购进A型冰箱贴25个,B型冰箱贴30个共需570元,15个A型冰箱贴与20个B型冰箱贴的费用相同. (1)求每个A型冰箱贴和B型冰箱贴的进价分别是多少元? (2)该旅游纪念品店决定购进A型冰箱贴和B型冰箱贴共100个,投入资金不超过1000元,并将A型冰箱贴的标价定为每个25元,A型冰箱贴打八折销售,B型冰箱贴售价定为每个15元,请问如何进货可以使该旅游纪念品店获得最大利润?最大利润是多少元? 考点讲练二十五 行程问题(一次函数的实际应用) 【典例分析】(25-26八年级下 安徽安庆 开学考试)有一台电动车,出发秒以后,其行驶路程(米)是行驶时间(秒)的一次函数,关于的函数图像如图所示. (1)求出发秒以后(包括秒)关于的函数表达式,并写出自变量的取值范围 (2)如果要求这台电动车的最大行驶里程在千米以上,那么为其配备的电池充满一次电后,至少能行驶多长时间 【变式训练】(25-26八年级上 江苏盐城 期末)在一条笔直的公路上有A,B两地,甲、乙两人同时出发,甲从A地步行匀速前往B地,到达B地后,立刻以原速度沿原路返回A地.乙从B地步行匀速前往A地(甲、乙二人到达A地后均停止运动),甲、乙二人之间的距离y(米)与出发时间x(分钟)之间的函数关系如图所示,请结合图象解答下列问题: (1)A,B两地之间的距离是_米,乙的步行速度是_米/分; (2)图中_,_; (3)求线段的函数表达式; (4)在乙运动的过程中,何时两人相距60米? 考点讲练二十六 梯度计价问题 【典例分析】(25-26八年级下 全国 周测)五月,正是高山杜鹃盛开的季节,小明一家人来到五指峰赏花.售票处有一公告栏,请根据公告栏信息回答下列问题: 公告栏各位游客,您好!欢迎您来到五指峰景区,本景点近期特惠门票价格如下: ①一次性购买10张及以下门票,票价是240元/张; ②一次性购买10张以上门票,超过10张的部分,每张八折优惠. (1)若他们一家人有6人,则门票总费用是_元. (2)设某旅游团有x人来此游玩,求该旅游团门票总费用y(单位:元)关于人数x的函数表达式. 【变式训练】(25-26八年级上 全国 期末)为了鼓励市民节约资源,某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用.若每月用气量不超过(包含),则按第一档收费标准a元/收费;若每月用气量超过,但不大于,则超过部分按第二档收费标准b元/收费;若每月用气量超过,则超过部分按第三档收费标准4元/收费.小明家3月份用气量是,交燃气费元;4月份用气量是,交燃气费110元. (1)求第一档燃气费单价和第二档燃气费单价分别是多少元/? (2)设每月用气量为x,应交燃气费为y元,求y与x之间的函数关系式. (3)小明家5月份用气量为,应交燃气费为多少元? (4)某户6月份的燃气费是182.5元,求该户6月份的用气量. 考点讲练二十七 其他问题(一次函数的实际应用) 【典例分析】(25-26八年级下 安徽安庆 开学考试)某游泳馆普通票价为元张,暑假为了促销,新推出两种优惠卡: ①金卡售价元张,每次凭卡不再收费 ②银卡售价元张,每次凭卡另收元. 暑假普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑假使用,不限次数设游泳次时,所需总费用为元. (1)分别写出选择银卡、普通票消费时,所需总费用,与之间的函数关系式 (2)在同一平面直角坐标系中,若三种消费方式对应的函数图像如图所示,请求出点,,,的坐标 (3)请根据函数图像,直接写出选择哪种消费方式更划算. 【变式训练】(25-26八年级下 全国 课后作业)如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图,乙槽中有一圆柱形铁块放在其中(圆柱形铁块的下底面完全落在水槽地面上).现将甲槽中的水匀速注入乙槽,甲、乙两个水槽中水的深度(cm),(cm)与注水时间(min)之间的关系如图②所示.根据图象提供的信息,解答下列问题. (1)当时,分别求出和与之间的关系式; (2)注水多长时间时,甲、乙两个水槽中水的深度相同? 考点讲练二十八 一次函数与几何综合 【典例分析】25-26八年级上 浙江金华 期末)在直角坐标系中,点D的坐标为,的顶点A、C的坐标分别为、,.把向右平移,当点B落在直线上时,则线段扫过的面积是( ) A.12 B.15 C.16 D.20 【变式训练】(25-26八年级上 安徽蚌埠 期末)如图,直线与直线交于点,与轴交于点. (1)_,不等式的解集为_; (2)若点在线段上,点在直线上,求的最大值. (3)在直线上是否存在一点,使得的面积为6,若不存在,请说明理由,若存在,请求出点的坐标. 【真题演练1】(2025 山东德州 中考真题)如图,,点M在线段上,将沿直线折叠,点B恰好落在点处. (1)求a的值; (2)求直线的解析式; (3)若直线与直线的交点在直线的左侧,请直接写出t的取值范围. 【真题演练2】(2025 陕西 中考真题)在探究小球速度随时间变化规律的实验中,小球由静止开始沿斜面向下滚动,到达斜面底端后,在水平面上继续滚动直至停止,如图①所示.小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示. (1)求所在直线的函数表达式; (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长. 【真题演练3】(2025 四川 中考真题)某药品研究所开发一种抗菌新药.经多年动物实验,首次用于临床人体试验.测得成人服药后血液中药物浓度(微克/毫升)与服药后时间(时)之间满足一次函数关系(如图).服药后3小时,测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升;服药后11小时,测得血液中药物浓度为1微克/毫升. (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式; (2)根据测试,成人服药后,血液中药物浓度不低于3微克/毫升时,才能对人体产生抗菌作用,试求成人服药后,药物对人体产生抗菌作用的有效时长. 【真题演练4】(2025 江苏盐城 中考真题)某公司为节约成本,提高效率,计划购买、两款机器人.已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元,用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同. (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元? (2)如果购买、两款机器人共12台,且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半,请设计购买成本最少的方案. 【真题演练5】(2025 吉林 中考真题)【知识链接】实验目的:探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程:如图①,在两个完全相同的溢水杯中,分别盛满甲、乙两种不同密度的液体,将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A,B的下方,从离桌面20cm的高度,分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中,通过观察弹簧测力计示数的变化,探究浮力大小的变化.(溢水杯的杯底厚度忽略不计) 实验结论:物体在液体中所受浮力的大小,跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关.物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大,浮力就越大. 总结公式:当小铝块位于液面上方时,; 当小铝块浸入液面后,. 【建立模型】在实验探究的过程中,实验小组发现:弹簧测力计A,B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示. 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时,直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数. (2)当时,求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式. (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时,甲液体中的小铝块受到的浮力为,若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为,则乙液体中小铝块浸入的深度为,直接写出m,n的值. 基础夯实 能力提升 1.(25-26八年级下 北京 开学考试)如果一次函数图象不经过第三象限,那么( ) A. B. C. D. 2.(25-26八年级下 全国 课后作业)把二元一次方程化为的形式为( ) A. B. C. D. 3.(25-26八年级下 江苏连云港 开学考试)已知一次函数的图象与直线平行,且经过点,则该一次函数的解析式为_. 4.(25-26八年级下 甘肃兰州 开学考试)如图,函数和的图象交于点,则方程组的解是_. 5.(25-26八年级上 四川成都 期末)在一条直线上依次有A、B、C三个海岛,某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛.已知该海巡船与B岛的距离y(km)与从A岛出发后的行驶时间x(h)之间的关系如图所示. (1)A、C两海岛间的距离为_km,_; (2)求线段PN所表示的函数关系式; (3)在B岛有一不间断发射信号的信号发射台、发射的信号覆盖半径为20km,求该海巡船能接收到该信号的时间有多长. 创新拓展 拔尖冲刺 1.(25-26八年级下 江苏连云港 开学考试)如图①所示,在A、B两地之间有一车站C,甲车从A地出发经C站驶往B地,乙车从B地出发经C站驶往A地,两车同时出发,匀速行驶,图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程与行驶时间之间的函数图象,现有以下结论:①a的值为120;②m的值1.3;③m小时后,乙车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系为:;④乙车到达A地前,两车与车站C的路程之和不超过时行驶时间x的取值范围为.其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(25-26九年级上 山东烟台 期末)在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的坐标为,沿x轴向右平移后得到,点的对应点是直线上的一点,则点的对应点的坐标为( ) A. B. C. D. 3.(24-25八年级下 全国 期中)直线与交于点P,点P的纵坐标为1,则关于x,y的方程组的解为_. 4.(25-26八年级下 北京 开学考试)在平面直角坐标系中,经过点的一次函数,其图象与直线交于点,点是线段上的一个动点(不与点、点重合),过点作平行于轴的直线l分别交直线于点.设点的横坐标为. (1)求点的坐标和一次函数的表达式; (2)如图,当时: ①线段的长为_;(用含n的代数式表示) ②过点,分别向轴作垂线,垂足分别为,若得到四边形的面积为,直接写出此时四边形的周长_. 5.(25-26八年级下 广东深圳 开学考试)数学社团张老师为了鼓励同学们,计划购买一些毛绒玩具和编程玩具作为奖品.已知买3个毛绒玩具和2个编程玩具共需要170元;买2个毛绒玩具和3个编程玩具共需要180元. (1)求每个毛绒玩具和编程玩具各多少元? (2)若张老师需购买毛绒玩具和编程玩具共40个,求总费用(单位:元)与毛绒玩具的数量个(,且为整数)之间的关系式,并求出总费用至少要多少元? 第 1 页 共 12 页 学科网(北京)股份有限公司 $