专题23.2 一次函数的图形和性质（同步讲义）知识梳理+十六大考点讲练+真题演练+分层训练 共47题-2025-2026学年人教版（新教材）数学八年级下册同步培优讲义

2025-2026学年人教版（新教材）数学八年级下册同步培优【重点考点讲练】 专题23.2 一次函数的图形和性质 （第二十三章 一次函数） 【人教版八下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 正比例函数的图象与性质 2 知识点二 确定正比例函数的解析式 2 知识点三 一次函数的图象和性质 2 知识点四 一次函数图象的平移 3 知识点五 待定系数法求一次函数解析式 3 重点难点 考点讲练 4 考点讲练一 正比例函数的图象 4 考点讲练二 正比例函数的性质 5 考点讲练三 判断一次函数的图象 7 考点讲练四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 8 考点讲练五 已知函数经过的象限求参数范围 10 考点讲练六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 11 考点讲练七 画一次函数图象 12 考点讲练八 —次函数图象平移问题 16 考点讲练九 一次函数图象与对称问题 17 考点讲练十 一次函数图象与旋转问题 18 考点讲练十一 判断一次函数的增减性 22 考点讲练十二 根据一次函数增减性求参数 23 考点讲练十三 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 25 考点讲练十四 比较一次函数值的大小 27 考点讲练十五 一次函数的规律探究问题 29 考点讲练十六 求一次函数解析式 32 中考真题 实战演练 35 难度分层 闯关训练 40 基础夯实 能力提升 40 创新拓展 拔尖冲刺 46 知识点一 正比例函数的图象与性质 1.正比例函数的图像与性质： k的取值 大致图像 经过象限 y随x的变化情况 k＞0 一、三 y随x的增大而 增大 k<0 二、四 y随x的增大而 减小 正比例函数的图像是必经过 原点 的一条直线。在画正比例函数图像时，还需确定除原点外的另一个点即可。 知识点二 确定正比例函数的解析式 1.待定系数法求函数解析式 ①设：设 正比例 函数解析式y=kx（k≠0）。 ②带：把已知点带入函数解析式中，得到关于未知系数的方程。 ③解方程：解步骤②中得到的方程，得到比例系数的值。 ④反带：将求得的比例系数带入函数解析式即可 知识点三 一次函数的图象和性质 1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,因此,画一次函数图象时,只要确定两个点,再过这两点画直线就可以了.一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b. 2.一次函数y=kx+b的图象经过点(0,b),当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小. 3.一次函数图象经过的象限 知识点四 一次函数图象的平移 1.一次函数的左右平移： 函数在进行左右平移时，平移变换规律为在 自变量 上加减平移单位。左加右减。 ①若函数y=kx+b向左平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=k（x+a）+b 。 ②若函数y=kx+b向右平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=k（x-a）+b 。 2.一次函数的上下平移： 函数在进行上下平移时，平移变换规律为在 函数解析式 上加减平移单位。上加下减。 ①若函数y=kx+b向上平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=kx+b+a 。 ②若函数y=kx+b向下平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=kx+b-a 。 知识点五 待定系数法求一次函数解析式 待定系数法的步骤 （1）设：设所求一次函数的解析式为； （2）代：将图象上的点的横坐标、纵坐标分别代换，得到方程组 （3）解：解关于的值代入中，从而得到函数解析式 常见类型 （1）两点型：直接运用待定系数法求解； （2）平移型：由平移前后k不变，设出平移后的函数解析式，再代入已知点坐标即可 考点讲练一 正比例函数的图象 【典例分析】（2026八年级下·全国·专题练习）如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】正比例函数，的图象经过第一、三象限， ，， 的图象比的图象上升得快， ， 的图象经过第二、四象限， ， ． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知正比例函数的图象经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为，且的面积为． (1)求正比例函数的解析式； (2)在直线上能否找到一点，使的面积为若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【思路引导】本题考查了坐标与图形、求正比例函数的解析式． （1）根据点的横坐标为3，的面积为3，求出，由点在第四象限，得出点坐标为，把代入求解，即可得出正比例函数的解析式； （2）设，根据的面积为，建立方程，解方程得出，即可得出点的坐标即可． 【规范解答】（1）解： 点A在第四象限，点A的横坐标为3，且的面积为3， 点A的纵坐标为， 点A的坐标为． 正比例函数的图象经过点A， ，解得， 正比例函数的解析式为． （2）解：存在． 设， ，， ，解得． 点P的坐标为或． 考点讲练二 正比例函数的性质 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知的底边，当边上的高从小到大变化时，的面积也随之变化． (1)写出的面积y与边上的高x之间的函数表达式，并指明它是什么函数； (2)列表格表示当x由5变到10时（每次增加1），y的相应值； (3)观察表格，请回答：当x每增加1时，面积y如何变化？ 【答案】(1)，它是正比例函数， (2)见解析， (3)当x每增加1时，面积y增加4； 【思路引导】（1）结合三角形面积等于底乘高乘，进行列式表示，即可作答． （2）根据题意，结合的面积y与边上的高x之间的函数表达式为，进行分析，即可作答． （3）根据题意，观察表格，当x每增加1时，面积y增加4，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵的底边， 则， ∴的面积y与边上的高x之间的函数表达式为， 则是正比例函数； （2）解：由（1）得的面积y与边上的高x之间的函数表达式为， 依题意，列表格如下： 5 6 7 8 9 10 20 24 28 32 36 40 （3）解：观察（2）的表格，当x每增加1时，面积y增加4． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）根据所给函数图象，解答下列问题． (1)______； (2)求、的值； (3)关于、的方程组的解是______． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了一次函数交点问题，待定系数法求解析式，解二元一次方程组． （1）将代入求得交点的纵坐标，即可求解； （2）将代入，待定系数法求解析式即可求解； （3）将代入得出方程组为，解方程组，即可求解． 【规范解答】（1）解：当时，， ∴ 故答案为：． （2）解：将代入得， 解得： ∴ （3）解：∵ ∴方程组为 解得： 故答案为：． 考点讲练三 判断一次函数的图象 【典例分析】（25-26八年级上·山东青岛·期末）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【思路引导】此题主要考查了一次函数图象．由一次函数图象分析可得k、的符号，进而可得的符号是关键． 根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【规范解答】解：A、由一次函数图象可知，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A 【变式训练】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）已知一次函数的图像经过点， (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数图像上，并说明理由； (3)若图像上有两点，，比较，的大小．（用两种不同的方法） 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 (3) 【思路引导】（）利用待定系数法解答即可； （）求出时的值即可判断求解； （）方法一：利用一次函数的性质解答即可；方法二：求出，再利用作差法比较即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图像经过点， ∴， 解得， ∴这个一次函数的表达式为； （2）解：点不在这个函数图像上，理由如下： 当时，， ∴点不在这个函数图像上； （3）解：方法一：∵， ∴的值随着的增大而减小， ∵， ∴； 方法二：当时，；当时，， ∵， ∴． 考点讲练四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【典例分析】（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）一次函数与（），在同一平面直角坐标系的图像是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数的图象、正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．观察每个选项的函数图象，得出的取值范围，再进行分析，即可作答． 【规范解答】解：A、观察函数图象，得出经过第一、二、三象限，则，观察函数图象，得出经过第二、四象限，故，则异号，与相矛盾，故不符合题意； B、观察函数图象，得出经过第一、三、四象限，则，观察函数图象，得出经过第一、三象限，故，则同号，与相矛盾，故不符合题意； C、观察函数图象，得出经过第一、三、四象限，则，观察函数图象，得出经过第二、四象限，则异号，故符合题意； D、观察函数图象，得出经过第一、二、四象限，则，观察函数图象，得出经过第一、三象限，故，则同号，与相矛盾，故不符合题意； 故选：C 【变式训练】（24-25八年级下·四川资阳·月考）已知过点的直线不经过第四象限，则a的取值范围是______． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数的性质及根据直线所过的点和不经过的象限来确定函数参数的取值范围，先根据直线不经过第四象限确定且，再将点代入直线方程得，最后解不等式及，求出a的取值范围． 【规范解答】解：∵直线不经过第四象限， ∴且， 将点代入，得，即， 由，得，解得， 又∵， ∴a的取值范围是， 故答案为：． 考点讲练五 已知函数经过的象限求参数范围 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数，根据给定的条件，确定实数的值． (1)图象经过第二、三、四象限； (2)图象与轴的交点在轴上方． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】（1）根据一次函数图象经过的象限列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （2）根据一次函数的定义和图象与轴的交点在轴上方列出不等式，解不等式即可． 【规范解答】（1）解：∵图象经过第二、三、四象限， ， 解得 （2）∵图象与轴的交点在轴上方， ，， ， 【变式训练】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）一次函数的图象如图所示，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．等于1 【答案】B 【思路引导】本题主要考查一次函数的图像与性质．直接根据一次函数的图象进行解答即可． 【规范解答】解：∵一次函数的图象过第一、三、四象限， ∴， ∴， 故选：B． 考点讲练六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例分析】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知直线可以看作由直线向左平移10个单位长度而得到，那么直线与x轴交点坐标为______． 【答案】 【思路引导】先利用“左加右减”的平移规律得出平移后的直线解析式，再通过令函数值为0求解自变量的值，即可得到与x轴的交点坐标． 【规范解答】解：∵直线由直线向左平移10个单位长度得到， ∴平移后的直线解析式为， 展开得． 令，则：， 解得：， ∴直线与x轴交点坐标为． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数向上平移1个单位长度就经过原点，求的值． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】（1）根据函数图象与轴、轴负半轴相交判断出函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数过第二、三、四象限的性质且列不等式求解的取值范围； （2）根据一次函数“上加下减”的平移规律写出向上平移1个单位后的解析式，再利用原点坐标满足平移后的函数解析式，代入后列一元一次方程求解的值． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴，解得； （2）解：将向上平移1个单位长度后， 解析式为． ∵平移后的图象经过原点， ∴，解得． 考点讲练七 画一次函数图象 【典例分析】（25-26八年级下·全国·月考）已知函数是关于的一次函数． (1)求的值． (2)求出一次函数图象与轴、轴的交点坐标，并在下图中画出该函数的图象． (3)的值随的值的增大而____________（填“增大”或“减小”）． 【答案】(1) (2)与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，见解析 (3)减小 【思路引导】本题主要考查了一次函数的定义和性质，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点.． （1）根据一次函数的定义，可得答案； （2）找出与轴、轴交点坐标，连线即可； （3）根据一次函数的性质解答即可． 【规范解答】（1）解：（1）由是关于的一次函数， 得 解得． （2）解：由（1），得函数的解析式为， ∴当时，；当时，， ∴一次函数图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，函数图象如图所示． （3）解：， 的值随的值的增大而减小， 故答案为：减小． 【变式训练】（25-26七年级上·山东泰安·期末）已知直线的表达式为，点，分别在轴、轴上． (1)求出点，的坐标，并在所给图中画出直线的图象； (2)将直线向上平移个单位得到直线，点，分别在轴、轴上．求出点，的坐标及直线的表达式，并在所给图中画出直线的图象； (3)若点到轴的距离为，且在直线上，求的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，图见解析 (2)点的坐标为，点的坐标为，直线的关系式为，图见解析 (3)的面积为或 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，三角形的面积等，熟练掌握求一次函数的图象与坐标轴交点的方法，一次函数的平移规律是解决问题的关键． ()对于，当时，，当时，，由此可得点，点的坐标，然后画出直线即可； ()根据一次函数平移的规律得直线的解析式为，然后再分别求出点的坐标，画出直线即可； ()根据点在直线上，可设点的坐标为再根据点到轴的距离为得，由此解得，， 进而得点的坐标，然后再求出的面积即可． 【规范解答】（1）解：对于，当时，， 当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为直线如图所示： （2）解：对于直线，向上平移个单位得：，即直线的关系式为：， 对于，当时，，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 直线如图所示： （3）解：∵点在直线上，∴可设点的坐标为， ∵点到轴的距离为， ∴，解得，， 此时点的坐标为，， ①当点的坐标为时，如图所示： ； ②当点的坐标为时，如图所示： ∴． 综上所述：的面积为或． 考点讲练八 —次函数图象平移问题 【典例分析】（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）将直线向左平移个单位长度后，经过点，求的值． 【答案】 【思路引导】先得出函数向左平移个单位后的函数表达式，再将点代入进行求值即可． 【规范解答】解：将函数向左平移个单位长度后得到函数， ∵点在函数上 代入得， 解得． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数（k为常数且）的图象与坐标轴围成的面积为8，则下列关于一次函数的结论错误的是（    ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数图象经过第二、三、四象限 C．函数图象与x轴的交点坐标是 D．函数图象可由函数的图象平移得到 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数图象的平移问题，一次函数的增减性和一次函数图象经过的象限，求出一次函数与坐标轴的交点坐标，结合围成的面积求出k的值，再根据一次函数的性质逐一判断选项正误． 【规范解答】解：在中，当时，，当时，， ∴一次函数（k为常数且）的图象与x轴、y轴分别交于点， ∵一次函数（k为常数且）的图象与坐标轴围成的面积为8， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∴函数值随自变量的增大而减小，函数图象经过第二、三、四象限，函数图象与x轴的交点坐标是，函数图象可由函数的图象平移得到， ∴四个选项中只有C选项中的结论错误，符合题意， 故选：C． 考点讲练九 一次函数图象与对称问题 【典例分析】（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知是一次函数． (1)求m的值； (2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积； (3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线对应的函数表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了一次函数的定义、一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式． （1）根据一次函数的定义得到，，求解即可； （2）先确定函数解析式，再分别令，，求出该函数图象与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据直线l与一次函数的图象关于y轴对称，得到直线l过点，，运用待定系数法求解即可． 【规范解答】（1）解：∵函数是一次函数， ∴，， 由得， 由得或， ∴． （2）解：∵， ∴一次函数的解析式为， ∵当时，， ∴该一次函数的图象与y轴的交点为， ∵当时，，解得， ∴该一次函数的图象与x轴的交点为， ∴该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为． （3）解：∵直线l与一次函数的图象关于y轴对称，且一次函数的图象过点，， ∴直线l过点，， 设直线l的解析式为， ∴，解得， ∴直线l的解析式为． 【变式训练】（2026八年级下·全国·专题练习）已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 【答案】 【思路引导】本题考查一次函数图象的对称变换，熟悉一次函数关于轴和轴的对称变换规律，是解题的关键．利用点关于坐标轴对称的性质求解对称直线表达式即可． 【规范解答】解：（1）关于轴对称时，点的对称点为， 代入原方程得，即． （2）直线关于轴对称时，其上任意一点的对称点为， 代入原方程得，即， 考点讲练十 一次函数图象与旋转问题 【典例分析】（25-26九年级上·天津河东·期末）如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据点在直线上求出，根据点的坐标是，所以当时，，即可知的值可以是． 【规范解答】解：如下图所示，过点作轴， 当时，， 点的坐标是， 由直线的图像可知随的增大而增大， 当时，， 的值可以是． 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【规范解答】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 考点讲练十一 判断一次函数的增减性 【典例分析】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）已知一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限，若点与在一次函数的图像上，则__________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一次函数图像与系数的关系、一次函数图像上点的坐标特征、一次函数的增减性等知识点， 一次函数图像经过的象限得到、是解题的关键． 由一次函数图像经过的象限可得出、，再利用一次函数的增减性求解即可． 【规范解答】解：∵一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限， ∴、， ∵点与在一次函数的图像上，， ∴y随x的增大而增大， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）一次函数（为常数，且）的图象经过点，则下列关于一次函数结论错误的是（    ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数的图象不经过第三象限 C．该函数的图象可由正比例函数的图象平移得到 D．函数图象与轴的交点坐标为 【答案】D 【思路引导】本题考查一次函数图象与性质，涉及待定系数法求一次函数的解析式，求出一次函数解析式是解决问题的关键． 先由待定系数法，将代入一次函数，解二元一次方程组求出函数解析式，再由一次函数图象与性质逐项验证即可得到答案． 【规范解答】解：一次函数（为常数，且）的图象经过点， ， 解得， ∴一次函数解析式为， A：由，知函数值随的增大而减小，选项说法正确，不符合题意； B：由、，知一次函数图象过第一、二、四象限，则图象不经过第三象限，说法正确，不符合题意； C：将正比例函数的图象向上平移个单位长度即可得到图象，选项说法正确，不符合题意； D：当时，，则一次函数的图象与轴交点坐标为，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 考点讲练十二 根据一次函数增减性求参数 【典例分析】（2026八年级下·全国·专题练习）已知一次函数的图像经过点、． (1)求k、b的值； (2)画出这个函数的图像； (3)当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，关键是正确得出函数解析式． （1）将点、代入，运用待定系数法求解； （2）两点法，过点、作直线，即可确定函数的图象． （3）先求出当时，，再结合图象y随x增大而减小，即可判断得解． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象经过点、． ∴， ∴； （2）解：过点、作直线，可得的图象，作图如下： （3）解：由图象可知，∵当时，， ∴当时，y的取值范围是． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若图象还经过，求该一次函数的表达式． (2)若当时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得一次函数的表达式为，再分和两种情况讨论，利用函数y的最大值和最小值的差是6，列式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：代入点，得， ∴， ∴一次函数的表达式为， ∴当时，；当时，， 当时，y随着的增大而增大， 则函数y在取得最大值，在取得最小值， ∴， 解得； 当时，y随着的增大而减小， 则函数y在取得最大值，在取得最小值， ∴， 解得； ∴综上，a的值为或． 考点讲练十三 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【典例分析】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知与成正比例，且当时，． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值； (3)若函数值y的取值范围是，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的增减性，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）由题意设，代入时，求出，写出与之间的函数表达式； （2）当时代入解析式，求的值； （3）分别求出当和时，对应的x的值，然后利用一次函数的增减性求得的取值范围． 【规范解答】（1）解：设， 当时，． ， ， 则， ； （2）解：当时， ； （3）解：当时， ， 当时， ， 一次函数， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，． 【变式训练】（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）已知与成正比例，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)已知点在该函数的图象上，且，求m的取值范围； (3)当时， y的最小值为5， 求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查正比例函数的概念，一次函数的图象与性质，掌握好一次函数的性质是解题关键． （1）根据正比例函数的定义，使用待定系数法解题； （2）将点坐标代入（1）中的解析式，求出与关系后，代入不等式，得到m的取值范围； （3）利用一次函数的增减性可知，当时，y取最小值，代入解析式求出m即可． 【规范解答】（1）解：设， 将，代入解析式，得： ， 解得，， ∴，即； （2）解：将，代入解析式，得： ， ∵， ∴， 解得，； （3）解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y取最小值5， ∴，解得，． 考点讲练十四 比较一次函数值的大小 【典例分析】（25-26八年级上·广东清远·期末）已知两个一次函数，，其中的图象如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)画出函数的图象； (2)若点和在一次函数的图象上，当时，判断与的大小，说明理由； (3)观察图象，当时，比较与的大小，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，，理由见解析 (3)当时，，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了画一次函数图象，比较一次函数值的大小，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，再描点、连线，画出对应的函数图象即可； （2）根据一次函数的增减性求解即可； （3）求出两个一次函数的交点坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【规范解答】（1）解：列表如下： x … 0 1 … … 1 … 函数图象如下所示： （2）解：当时，，理由如下： ∵，， ∴随x的增大而增大， ∵点和在一次函数的图象上，且， ∴； （3）解：当时，，理由如下： 联立，解得， ∴一次函数和的交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·单元测试）（1）解不等式：． （2）已知函数，，试比较，的大小关系． 【答案】（1）（2）当时，；当时，． 【思路引导】（1）考查一元一次不等式的解法，通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为等步骤求解； （2）考查利用作差法比较两个一次函数值的大小，通过计算两个函数的差，根据差的正负判断大小关系． 【规范解答】解：（1）解不等式 ： 去分母（两边同乘）： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为（两边同乘，不等号方向改变）： ． （2）比较与的大小： 作差： 分情况讨论： 当，即：时，； 当，即：时，； 当，即：时，． 故当时，；当时，． 【考点剖析】本题考查了一元一次不等式的解法和作差法比较代数式大小，解题关键是掌握不等式的基本性质（注意系数化为时不等号的方向），以及作差法中根据差的符号判断大小的逻辑． 考点讲练十五 一次函数的规律探究问题 【典例分析】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，则的值为__________． 【答案】 【思路引导】由直线的解析式求得，即可求得，把的坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，把的纵坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，…..，得到规律，即可求得，然后问题可求解． 【规范解答】解：把代入得，， ， ∴， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ∴， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ， ……， ∴， ∴； 故答案为． 【变式训练】（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为____． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键．依据题意，观察横坐标变化规律，根据规律求解即可． 【规范解答】解：，点在直线上， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线上， ， ， ，即点的横坐标为， 同理可得，点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 令， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 考点讲练十六 求一次函数解析式 【典例分析】（25-26八年级上·江西九江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴对称的； (2)作出线段的垂直平分线，它与轴的交点坐标为_____； (3)请在轴上找一点，使得最小，画出点，点的坐标为_____； 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)见解析， 【思路引导】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征、线段垂直平分线的性质与方程、轴对称最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质、一次函数解析式的求解以及数形结合的思想是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，作即可； （2）取格点，作直线，则直线即为线段的垂直平分线，从而得它与轴的交点坐标； （3）利用轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点，再求出直线的方程，进而得到点的坐标． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，直线即为所求， 由图可知，，，，， ∴，，，， ∴，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴直线与轴的交点为； （3）解：连接交轴于点，则点即为所求； 设直线的解析式为， 将，代入解析式，得 ， 解得，， 所以直线的解析式为， 令，， 解得， ∴的坐标为． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读与思考：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象，给出它们互相垂直的定义．设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直．例如，直线与直线，因为，所以这两条直线互相垂直． 根据以上定义内容，解答下面的问题： (1)已知直线与直线互相垂直，则的值为_____________； (2)若直线经过点，且与直线垂直，直接写出直线的表达式． 【答案】(1) (2)直线的表达式为 【思路引导】（1）利用，建立方程求解； （2）设直线的表达式，根据垂直关系求出，再代入求． 【规范解答】（1）解：直线与直线互相垂直， ， 解得：； （2）解：直线与直线垂直， 设直线的表达式：， ， 解得：， ， 直线经过点， ， 解得：， 直线的表达式为． 【真题演练1】（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【规范解答】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 【真题演练2】（2024·浙江舟山·中考真题）一次函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数图象与其系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限，据此求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴四个选项中，只有B选项中的函数图象符合题意， 故选：B． 【真题演练3】（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 【答案】/ 【思路引导】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键； 设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可． 【规范解答】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 【真题演练4】（2024·青海西宁·中考真题）一次函数的图象与轴交于点，且经过点．    (1)求点和点的坐标； (2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (3)点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)坐标是， 【思路引导】（1）令得出点的坐标是，把代入，即可求解； （2）画出经过的直线，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，勾股定理，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点，   ∴令 解得 ∴点的坐标是     ∵点在一次函数的图象上 把代入， 得，   ∴， ∴点的坐标是； （2）解：如图所示，    （3）解：如图所示，当时，; ∵，， ∴， 当时，    ∴符合条件的点坐标是，. 【考点剖析】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【真题演练5】（2025·江苏南京·中考真题）某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池，他们的最大容量均为，原有水量分别为、，现向甲、乙同时注水，直至两水池均注满为止，已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水，设注水第时，甲、乙水池的水量分别为、． (1)若每分钟向甲注水，分别写出、与之间的函数表达式； (2)若每分钟向甲注水，画出与之间的函数图像； (3)若每分钟向甲注水，则甲比乙提前注满，求的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据题目列函数表达式即可； （2）根据给出的每分钟向甲注水，可计算出甲36分钟先注满，乙需要54分钟，所以在甲注满后，乙的注水速度将改变； （3）根据甲注水的时间=乙注水的时间（乙多注水三分钟的量减掉）列分式方程，从而求得结果． 【规范解答】（1）解：由题意可得：若每分钟向甲注水，则每分钟向乙注水，， 两个水池同时注满．， （2）解：若每分钟向甲注水，则每分钟向乙注水， ，所以此种情况，甲先注满，然后单独向乙注水， ， 图像如图所示： （3）解：由于甲比乙提前注满，所以后，乙每分钟注入，所以在甲注满时，乙只注入到，所以， 解得， 经检验，符合题意，是方程的解， 所以． 【考点剖析】本题考查一次函数的应用，一次函数的图像、分式方程等，通过给定的条件列出一次函数，通过给定的点来列出对应的函数图像． 基础夯实 能力提升 1．（25-26八年级下·北京·开学考试）已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题利用正比例函数的增减性判断系数的符号，列一元一次不等式求解即可得到m的取值范围． 【规范解答】解：∵正比例函数中，当时，， ∴y随x的增大而减小， ∴， 移项得， ∴． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【思路引导】首先判断出y随x的增大而减小，结合一次函数与y轴交于正半轴，进而求解． 【规范解答】解：∵一次函数中一次项系数， ∴y随x的增大而减小， ∵当时，， ∴一次函数与y轴交于正半轴， ∴一次函数的图象大致是： ． 3．（25-26八年级下·广西崇左·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（  ） A．该函数的图象经过第二、第四象限 B．y随x的增大而增大 C．原点在该函数的图象上 D．y随x的增大而减小 【答案】B 【思路引导】根据正比例函数的性质，结合系数的符号判断各选项正误即可． 【规范解答】解：∵函数是正比例函数，系数， ∴该函数的图象经过第二，第四象限，且随的增大而减小，因此A，D说法正确，B说法错误； 当时，， ∴函数图象经过原点，原点在该函数图象上，C说法正确； 综上，说法错误的是B． 4．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）已知点在平面直角坐标系中，若点在第三象限的角平分线上，则 _______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查正比例函数的性质，根据第三象限的角平分线得到正比例函数是解题的关键． 首先根据点P在第三象限角平分线上得到方程为，则横纵坐标相等，据此列出方程求解即可． 【规范解答】解：∵第三象限角平分线的方程为， ∴点P的横坐标与纵坐标相等，即，解得：， 故答案为：． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数，当时，对应的y的取值范围是，且y随x的增大而增大，则k的值为_____． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的增减性可得当时，，即可求解． 【规范解答】解：∵当时，对应的y的取值范围是，且y随x的增大而增大， ∴当时，， 把，代入得：， ∴． 故答案为： 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示的是某次对弈的残图，若建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一平面直角坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数的表达式为_____________．（填序号） ①；②；③． 【答案】① 【思路引导】根据棋子“帅”位于点的位置，求出“马”所在的点的坐标，再由待定系数法求解析式即可． 【规范解答】∵“帅”位于点， ∴可得出“马”位于点， 设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为， ∴， 解得， ∴， 即经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数的表达式为①． 7．（25-26八年级下·安徽合肥·开学考试）如图，将直线向下平移2个单位长度，得到一个一次函数的图象，求这个一次函数图象的表达式． 【答案】 【思路引导】利用待定系数法求出直线的解析式为，然后利用一次函数的平移规律求解即可． 【规范解答】解：设直线的解析式为， 将点代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 向下平移2个单位，得到解析式． 8．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）已知直线过点，交x轴于点P，把点P先向左平移3个单位，再向下平移6个单位得到点Q． (1)求P点坐标． (2)判断点Q是否在直线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 【思路引导】此题考查了待定系数法求一次函数解析式和求函数值等知识，求出一次函数解析式是关键． （1）把代入得，得到一次函数解析式，再把代入函数解析式即可得到答案； （2）根据平移规律求出点Q的坐标，把点Q的横坐标代入函数解析式求出纵坐标即可得到结论． 【规范解答】（1）解：把代入得， 解得． 所以 把代入得． 所以． （2）解：把点 P 先向左平移3个单位，再向下平移6个单位得到点．Q在直线上， 理由如下∶ 当时，， 所以点Q在直线上． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）水龙头关不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小敏进行了以下研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，下表是小敏在一段时间内收集到的一组数据． 漏水时间 0 5 10 15 20 25 30 … 漏水量 0 4 8 12 16 20 24 … (1)求漏水量随漏水时间而变化的函数表达式； (2)画出这个函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）漏水时间每增加，漏水量增加，即可求解． （2）利用描点法画出函数图象即可． 【规范解答】（1）解：观察表格发现，漏水时间每增加，漏水量增加， 所以． （2）解：利用描点法画出函数图象，如图： 10．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知关于的函数． (1)若是的正比例函数，求的值； (2)若，求该函数图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了正比例函数和一次函数，熟悉正比例函数和一次函数的特点是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义得出，解方程求出的值即可； （2）把代入得出，令，求出的值即可得答案． 【规范解答】（1）解：∵是的正比例函数， ∴， 解得：． （2）解：∵，， ∴该函数为， 当时，， 解得：， ∴该函数图象与轴的交点坐标为． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26八年级下·安徽合肥·开学考试）一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【思路引导】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否符合，进而比较可得答案． 【规范解答】解：根据一次函数的图象分析可得： 对于A、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于B、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于C、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； 对于D、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期末）把点先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，所得的点在直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了点的平移，正比例函数的性质．先根据点的平移规律求出平移后点的坐标，再利用点在直线上则坐标满足直线方程的性质，列方程求解的值． 【规范解答】解：∵点向左平移5个单位时横坐标减5，向上平移4个单位时纵坐标加4 ∴平移后点的坐标为，即 ∵点在直线上 ∴点的横、纵坐标满足，即 去括号得： 移项合并同类项得： 解得： 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点的对应点是直线上的一点，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了正比例函数、点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换是解题关键． 先根据平移的性质求出点的纵坐标为6，代入可得点的坐标，从而可得平移距离，再根据点坐标的平移变换规律即可得． 【规范解答】解：将沿轴向右平移后得到，且点的坐标为， 点的纵坐标为6， 当时，， 解得， ， 将沿轴向右平移个单位长度后得到， 平移后，点与点是对应点，且点的坐标为， ，即． 故选：C 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线与两坐标轴的交点分别为点、，则的周长为_____________． 【答案】 【思路引导】分别令和，求出直线与轴、轴的交点坐标，进而得到两条直角边、的长度，根据勾股定理计算斜边的长度，将、、的长度相加，得到的周长． 【规范解答】解：令，代入直线方程，得， ∴点的坐标为，； 令，代入直线方程，得，解得， ∴点的坐标为，则； ∵是直角三角形， ∴； ∴的周长为． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与成正比例，且当时，，则与之间的函数表达式为_____________． 【答案】 【思路引导】首先依据正比例关系设出与的关系式，然后将已知的、值代入求出比例系数，最后把代回关系式并整理为关于的整式形式． 【规范解答】解：∵与成正比例， ∴设． 将，代入，得：， 解得， ∴，即． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一次函数在的范围内，y的最大值比最小值大8，则k的值为_______． 【答案】2或 【思路引导】根据一次函数的增减性，分和两种情况讨论，分别求出对应范围内的最大值与最小值，再依据最大值比最小值大8列方程求解的值. 【规范解答】解：分两种情况讨论： 1. 当时，一次函数中随的增大而增大， 在范围内，当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 根据题意得：， 解得； 2. 当时，一次函数中随的增大而减小， 在范围内，当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 根据题意得：， 解得：， 综上，的值为2或． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数． (1)当m为何值时，y随x的增大而增大； (2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； (3)当m为何值时，函数图象经过原点． 【答案】(1) (2)且 (3) 【思路引导】（1）根据一次函数的性质得到当y随x的增大而增大时，，求解即可； （2）根据一次函数的性质得到函数图象与y轴的交点在x轴的下方时，且，求解即可； （3）把原点代入解析式，求解即可． 【规范解答】（1）解：∵y随x的增大而增大， ∴， ∴． （2）解：∵一次函数图象与y轴的交点在x轴的下方， ∴，， ∴且． （3）解：∵一次函数图象经过原点， ∴， 解得． 8．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）直线与直线平行，且在轴上的截距是，求直线的函数表达式以及它与轴的交点坐标． 【答案】， 【思路引导】根据两直线平行可求的值，再根据截距可知的值，进而可求得一次函数的解析式，代入可求交点坐标． 【规范解答】解：直线与直线平行， ， 则直线即为． 在轴上的截距是， ． 直线的解析式为． 当时，，解得 所以直线与轴的交点坐标为． 9．（2025八年级下·全国·专题练习）已知函数，，，． (1)在同一坐标系内画出函数的图象； (2)探索发现： 观察这些函数的图象可以发现：随着的增大，直线与y轴的位置关系有何变化？ (3)灵活运用： 已知正比例函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为 ． 【答案】(1)见详解 (2)随着的增大，直线与y轴的夹角减小 (3) 【思路引导】本题考查了画出正比例函数的图象，以及正比例函数的性质，正确画出图象是解题的关键． （1）由两条直线的解析式可知其图象均过原点，再分别令求出的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象； （2）比较分析可得答案． （3）由（2）分析的规律即可判断． 【规范解答】（1）解：依题意，令时，则，，，． 如图： （2）解：观察这些函数的图象可以发现，随着的增大直线与轴的夹角越小． （3）解：由（2）规律可知，， 由图可知， ∴ 故答案为：． 10．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与轴、轴分别交于点、． (1) ； (2)求点的坐标； (3)若点在轴上，则在直线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在，或或 【思路引导】此题主要考查四边形综合问题，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是熟知矩形的性质，折叠的问题利用勾股定理构造直角三角形进行求解，分情况讨论平行四边形的边及对角线的情况． （1）由 可得，，进而根据勾股定理求得，即可求解． （2）由折叠的性质可得，，故，，设，则由题意可得：，，，，在中，由勾股定理得到方程即可求出的值； （3）分①当、为的对角线时；②当、为的对角线时；③当、为的对角线时；种情况进行讨论，分别求出的坐标． 【规范解答】（1）解：由 可得，． 四边形是矩形， ， 由勾股定理可得：5， 故答案为：； （2）设,，则由题意可得：，，，． 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得， ∴ ； （3）存在符合条件的点 或 或 ．理由如下： 由（2）知：，， ， 设直线的解析式为， ， ， ， ， 直线的解析式为：， 点在轴上，点在直线上， 设，， 又， ， 当、为的对角线时，与的中点重合， ， 解得： ； 当、为的对角线时，与的中点重合， ， 解得：， ； 当、为的对角线时，与的中点重合， ， 解得：， ； 或 或 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版（新教材）数学八年级下册同步培优【重点考点讲练】 专题23.2 一次函数的图形和性质 （第二十三章 一次函数） 【人教版八下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 正比例函数的图象与性质 2 知识点二 确定正比例函数的解析式 2 知识点三 一次函数的图象和性质 2 知识点四 一次函数图象的平移 3 知识点五 待定系数法求一次函数解析式 3 重点难点 考点讲练 4 考点讲练一 正比例函数的图象 4 考点讲练二 正比例函数的性质 4 考点讲练三 判断一次函数的图象 5 考点讲练四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 6 考点讲练五 已知函数经过的象限求参数范围 6 考点讲练六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 7 考点讲练七 画一次函数图象 7 考点讲练八 —次函数图象平移问题 8 考点讲练九 一次函数图象与对称问题 9 考点讲练十 一次函数图象与旋转问题 9 考点讲练十一 判断一次函数的增减性 11 考点讲练十二 根据一次函数增减性求参数 11 考点讲练十三 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 12 考点讲练十四 比较一次函数值的大小 12 考点讲练十五 一次函数的规律探究问题 13 考点讲练十六 求一次函数解析式 14 中考真题 实战演练 15 难度分层 闯关训练 17 基础夯实 能力提升 17 创新拓展 拔尖冲刺 20 知识点一 正比例函数的图象与性质 1.正比例函数的图像与性质： k的取值 大致图像 经过象限 y随x的变化情况 k＞0 一、三 y随x的增大而 增大 k<0 二、四 y随x的增大而 减小 正比例函数的图像是必经过 原点 的一条直线。在画正比例函数图像时，还需确定除原点外的另一个点即可。 知识点二 确定正比例函数的解析式 1.待定系数法求函数解析式 ①设：设 正比例 函数解析式y=kx（k≠0）。 ②带：把已知点带入函数解析式中，得到关于未知系数的方程。 ③解方程：解步骤②中得到的方程，得到比例系数的值。 ④反带：将求得的比例系数带入函数解析式即可 知识点三 一次函数的图象和性质 1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,因此,画一次函数图象时,只要确定两个点,再过这两点画直线就可以了.一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b. 2.一次函数y=kx+b的图象经过点(0,b),当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小. 3.一次函数图象经过的象限 知识点四 一次函数图象的平移 1.一次函数的左右平移： 函数在进行左右平移时，平移变换规律为在 自变量 上加减平移单位。左加右减。 ①若函数y=kx+b向左平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=k（x+a）+b 。 ②若函数y=kx+b向右平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=k（x-a）+b 。 2.一次函数的上下平移： 函数在进行上下平移时，平移变换规律为在 函数解析式 上加减平移单位。上加下减。 ①若函数y=kx+b向上平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=kx+b+a 。 ②若函数y=kx+b向下平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=kx+b-a 。 知识点五 待定系数法求一次函数解析式 待定系数法的步骤 （1）设：设所求一次函数的解析式为； （2）代：将图象上的点的横坐标、纵坐标分别代换，得到方程组 （3）解：解关于的值代入中，从而得到函数解析式 常见类型 （1）两点型：直接运用待定系数法求解； （2）平移型：由平移前后k不变，设出平移后的函数解析式，再代入已知点坐标即可 考点讲练一 正比例函数的图象 【典例分析】（2026八年级下·全国·专题练习）如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知正比例函数的图象经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为，且的面积为． (1)求正比例函数的解析式； (2)在直线上能否找到一点，使的面积为若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点讲练二 正比例函数的性质 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知的底边，当边上的高从小到大变化时，的面积也随之变化． (1)写出的面积y与边上的高x之间的函数表达式，并指明它是什么函数； (2)列表格表示当x由5变到10时（每次增加1），y的相应值； (3)观察表格，请回答：当x每增加1时，面积y如何变化？ 【变式训练】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）根据所给函数图象，解答下列问题． (1)______； (2)求、的值； (3)关于、的方程组的解是______． 考点讲练三 判断一次函数的图象 【典例分析】（25-26八年级上·山东青岛·期末）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（   ） A．B．C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）已知一次函数的图像经过点， (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数图像上，并说明理由； (3)若图像上有两点，，比较，的大小．（用两种不同的方法） 考点讲练四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【典例分析】（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）一次函数与（），在同一平面直角坐标系的图像是（   ） A．B．C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·四川资阳·月考）已知过点的直线不经过第四象限，则a的取值范围是______． 考点讲练五 已知函数经过的象限求参数范围 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数，根据给定的条件，确定实数的值． (1)图象经过第二、三、四象限； (2)图象与轴的交点在轴上方． 【变式训练】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）一次函数的图象如图所示，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．等于1 考点讲练六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例分析】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知直线可以看作由直线向左平移10个单位长度而得到，那么直线与x轴交点坐标为______． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数向上平移1个单位长度就经过原点，求的值． 考点讲练七 画一次函数图象 【典例分析】（25-26八年级下·全国·月考）已知函数是关于的一次函数． (1)求的值． (2)求出一次函数图象与轴、轴的交点坐标，并在下图中画出该函数的图象． (3)的值随的值的增大而____________（填“增大”或“减小”）． 【变式训练】（25-26七年级上·山东泰安·期末）已知直线的表达式为，点，分别在轴、轴上． (1)求出点，的坐标，并在所给图中画出直线的图象； (2)将直线向上平移个单位得到直线，点，分别在轴、轴上．求出点，的坐标及直线的表达式，并在所给图中画出直线的图象； (3)若点到轴的距离为，且在直线上，求的面积． 考点讲练八 —次函数图象平移问题 【典例分析】（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）将直线向左平移个单位长度后，经过点，求的值． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数（k为常数且）的图象与坐标轴围成的面积为8，则下列关于一次函数的结论错误的是（    ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数图象经过第二、三、四象限 C．函数图象与x轴的交点坐标是 D．函数图象可由函数的图象平移得到 考点讲练九 一次函数图象与对称问题 【典例分析】（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知是一次函数． (1)求m的值； (2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积； (3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线对应的函数表达式． 【变式训练】（2026八年级下·全国·专题练习）已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 考点讲练十 一次函数图象与旋转问题 【典例分析】（25-26九年级上·天津河东·期末）如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 考点讲练十一 判断一次函数的增减性 【典例分析】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）已知一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限，若点与在一次函数的图像上，则__________．（填“>”“<”或“=”） 【变式训练】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）一次函数（为常数，且）的图象经过点，则下列关于一次函数结论错误的是（    ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数的图象不经过第三象限 C．该函数的图象可由正比例函数的图象平移得到 D．函数图象与轴的交点坐标为 考点讲练十二 根据一次函数增减性求参数 【典例分析】（2026八年级下·全国·专题练习）已知一次函数的图像经过点、． (1)求k、b的值； (2)画出这个函数的图像； (3)当时，y的取值范围是______． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若图象还经过，求该一次函数的表达式． (2)若当时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 考点讲练十三 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【典例分析】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知与成正比例，且当时，． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值； (3)若函数值y的取值范围是，求x的取值范围． 【变式训练】（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）已知与成正比例，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)已知点在该函数的图象上，且，求m的取值范围； (3)当时， y的最小值为5， 求m的值． 考点讲练十四 比较一次函数值的大小 【典例分析】（25-26八年级上·广东清远·期末）已知两个一次函数，，其中的图象如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)画出函数的图象； (2)若点和在一次函数的图象上，当时，判断与的大小，说明理由； (3)观察图象，当时，比较与的大小，说明理由． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·单元测试）（1）解不等式：． （2）已知函数，，试比较，的大小关系． 考点讲练十五 一次函数的规律探究问题 【典例分析】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，则的值为__________． 【变式训练】（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为____． 考点讲练十六 求一次函数解析式 【典例分析】（25-26八年级上·江西九江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴对称的； (2)作出线段的垂直平分线，它与轴的交点坐标为_____； (3)请在轴上找一点，使得最小，画出点，点的坐标为_____； 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读与思考：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象，给出它们互相垂直的定义．设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直．例如，直线与直线，因为，所以这两条直线互相垂直． 根据以上定义内容，解答下面的问题： (1)已知直线与直线互相垂直，则的值为_____________； (2)若直线经过点，且与直线垂直，直接写出直线的表达式． 【真题演练1】（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2024·浙江舟山·中考真题）一次函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【真题演练3】（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 【真题演练4】（2024·青海西宁·中考真题）一次函数的图象与轴交于点，且经过点．    (1)求点和点的坐标； (2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (3)点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【真题演练5】（2025·江苏南京·中考真题）某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池，他们的最大容量均为，原有水量分别为、，现向甲、乙同时注水，直至两水池均注满为止，已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水，设注水第时，甲、乙水池的水量分别为、． (1)若每分钟向甲注水，分别写出、与之间的函数表达式； (2)若每分钟向甲注水，画出与之间的函数图像； (3)若每分钟向甲注水，则甲比乙提前注满，求的值． 基础夯实 能力提升 1．（25-26八年级下·北京·开学考试）已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 3．（25-26八年级下·广西崇左·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（  ） A．该函数的图象经过第二、第四象限 B．y随x的增大而增大 C．原点在该函数的图象上 D．y随x的增大而减小 4．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）已知点在平面直角坐标系中，若点在第三象限的角平分线上，则 _______． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数，当时，对应的y的取值范围是，且y随x的增大而增大，则k的值为_____． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示的是某次对弈的残图，若建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一平面直角坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数的表达式为_____________．（填序号） ①；②；③． 7．（25-26八年级下·安徽合肥·开学考试）如图，将直线向下平移2个单位长度，得到一个一次函数的图象，求这个一次函数图象的表达式． 8．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）已知直线过点，交x轴于点P，把点P先向左平移3个单位，再向下平移6个单位得到点Q． (1)求P点坐标． (2)判断点Q是否在直线上，并说明理由． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）水龙头关不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小敏进行了以下研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，下表是小敏在一段时间内收集到的一组数据． 漏水时间 0 5 10 15 20 25 30 … 漏水量 0 4 8 12 16 20 24 … (1)求漏水量随漏水时间而变化的函数表达式； (2)画出这个函数的图象． 10．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知关于的函数． (1)若是的正比例函数，求的值； (2)若，求该函数图象与轴的交点坐标． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26八年级下·安徽合肥·开学考试）一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A．B．C． D． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期末）把点先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，所得的点在直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点的对应点是直线上的一点，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线与两坐标轴的交点分别为点、，则的周长为_____________． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与成正比例，且当时，，则与之间的函数表达式为_____________． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一次函数在的范围内，y的最大值比最小值大8，则k的值为_______． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数． (1)当m为何值时，y随x的增大而增大； (2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； (3)当m为何值时，函数图象经过原点． 8．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）直线与直线平行，且在轴上的截距是，求直线的函数表达式以及它与轴的交点坐标． 9．（2025八年级下·全国·专题练习）已知函数，，，． (1)在同一坐标系内画出函数的图象； (2)探索发现： 观察这些函数的图象可以发现：随着的增大，直线与y轴的位置关系有何变化？ (3)灵活运用： 已知正比例函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为 ． 10．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与轴、轴分别交于点、． (1) ； (2)求点的坐标； (3)若点在轴上，则在直线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $