专题23.1 一次函数的概念（同步讲义）知识梳理+五大考点讲练+真题演练+分层训练 共45题-2025-2026学年人教版（新教材）数学八年级下册同步培优讲义

2025-2026学年人教版（新教材）数学八年级下册同步培优【重点考点讲练】 专题23.1 一次函数的概念 （第二十三章 一次函数） 【人教版八下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 正比例函数的定义 1 知识点二 一次函数的定义 1 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 正比例函数的定义 2 考点讲练二 识别一次函数 4 考点讲练三 根据一次函数的定义求参数 6 考点讲练四 求一次函数自变量或函数值 9 考点讲练五 列一次函数解析式并求值 12 中考真题 实战演练 17 难度分层 闯关训练 20 基础夯实 能力提升 20 创新拓展 拔尖冲刺 25 知识点一 正比例函数的定义 1.正比例函数的定义： 一般地，形如 y=kx（k为常数且k≠0） 的函数叫做正比例函数。其中，k叫做 比例系数 。 剖析：①自变量系数（比例系数）不能为 0 。 ②自变量次数一定是 1 。 ③正比例函数解析式中，自变量后面为 0 。 知识点二 一次函数的定义 一般地，形如 y=kx+b（k，b是常数且k≠0）的函数是一次函数。 注意：一次函数的结构中，k ≠ 0，自变量系数为 1 。b为任意实数。当b的值等于 0 时，一次函数变成正比例函数。 考点讲练一 正比例函数的定义 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）定义为一次函数的“特征数”．若“特征数”为的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是____________________________． 【答案】第二象限或第三象限 【思路引导】首先，根据“特征数”的定义，写出对应的一次函数表达式；再根据正比例函数的定义，求出的值；最后代入点的坐标，判断其所在象限． 【规范解答】解：由“特征数”的定义，对应的一次函数为：． 正比例函数要求常数项为，且一次项系数不为： 且， 解得：． ①当时，点的坐标为： ， 横坐标为负，纵坐标为正，位于第二象限． ②当时，点的坐标为： ， 横坐标为负，纵坐标为负，位于第三象限． 综上，点所在的象限是第二象限或第三象限． 故答案为：第二象限或第三象限． 【考点剖析】本题考查了正比例函数的定义、特征数的概念和平面直角坐标系中点的坐标特征，解题关键是根据正比例函数的定义求出的所有可能值，并分情况讨论点的位置，避免漏解． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）当____________时，函数是正比例函数． 【答案】3 【思路引导】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数需满足的次数为且系数不为这两个核心条件是解题的关键． 根据正比例函数的定义列出关于的方程与不等式，求解得到符合要求的值． 【规范解答】解：由正比例函数定义，得， 解得，即或， ∵系数， ∴， 因此． 当时，函数为，符合正比例函数定义． 故答案为：． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，掌握一次函数的形式为，正比例函数是一次函数中的特殊情况是解题的关键． 一次函数的形式为，正比例函数是的特殊情况，需要找出是一次函数但的选项． 【规范解答】解：A、，符合形式，且，，是一次函数但不是正比例函数，符合题意； B、，x的最高次数为2，不是一次函数，不符合题意； C、，符合形式，，是正比例函数，不符合题意； D、，x在分母上，不是一次函数，不符合题意． 故选：A． 【变式训练3】（25-26八年级上·江苏徐州·月考）已知，且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)计算时，y的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了正比例函数的定义、求函数解析式，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． （1）根据正比例的定义可设，，再将当时，，当时，代入计算即可得； （2）将直接代入（1）中的结果即可得； （3）将直接代入（1）中的结果即可得． 【规范解答】（1）解：由题意可设，， ， ， 当时，，当时，， ，解得， ， 即与之间的函数关系式为； （2）解：将代入得：； （3）解：将代入得：， 解得． 考点讲练二 识别一次函数 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）如果y是z的正比例函数，z是x的一次函数，则y是x的（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不是函数关系 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数的定义和正比例函数的定义，理解以上知识点是解题的关键． 根据正比例函数和一次函数的定义，通过代入推导与的关系. 【规范解答】解：∵是的正比例函数， ∴ . ∵是的一次函数， ∴ . 将代入，得 . 其中和为常数，且， ∴是的一次函数. 故选：B. 【变式训练1】（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）下列说法正确的是________（填序号） ①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③若与成正比例，则是的一次函数；④若，则是的一次函数． 【答案】①③ 【思路引导】本题主要考查一次函数和正比例函数的定义，根据一次函数和正比例函数的定义进行判断． 【规范解答】解：正比例函数的形式为 ，它是一次函数当时的特殊情况，因此①正确； 一次函数中，当时不是正比例函数，因此②错误； 若与成正比例，则 ，即，符合一次函数的形式，因此③正确； 若，当时，为常数函数，不是一次函数，因此④错误， 故答案为：①③． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，平分交于点．设． (1)求与之间的关系式； (2)这个函数是一次函数吗？若是，请指出的值，并写出的取值范围；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是一次函数，，的取值范围是 【思路引导】（1）根据等边对等角、三角形内角和定理、角平分线的定义得到，据此即可得到函数解析式； （2）根据一次函数的定义进行判断解答即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴． 又∵平分， ∴， ∴， ∴与之间的关系式为． （2）根据函数的定义可知这个函数是一次函数，，的取值范围是． 【考点剖析】此题考查了等边对等角、三角形内角和定理、角平分线的定义、一次函数的定义等知识，正确求出与之间的关系式是关键． 【变式训练3】（24-25八年级上·广东河源·月考）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键；根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【规范解答】解：A．函数其形式为（为常数，） ，不符合一次函数（，为常数，）的形式，故该选项不符合题意； B．函数是其自变量的最高次数是 ，不符合一次函数自变量最高次数为的要求，故该选项不符合题意； C．函数可变形为 ，符合一次函数（，，）的形式，故该选项符合题意； D．函数是常数函数，无论取何值，的值恒为 ，不符合一次函数的形式，故该选项不符合题意； 故选：C． 考点讲练三 根据一次函数的定义求参数 【典例分析】已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定义是解决此题的关键． （1）根据一次函数的定义即可列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值； （2）将代入一次函数中，即可求出x的值． 【规范解答】（1）解：由是一次函数得， 解得． 故当时，是一次函数； （2）解：由（1）可知． 当时，，解得． 故当时，y的值为3． 【变式训练1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 【答案】(1)当时，函数的表达式为 (2) (3)应输入的x值为或7 【思路引导】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的自变量或函数值； （1）由为一次函数，可得，，进一步求解即可； （2）当时， ，当时， ，再比较大小即可； （3）当时，则，当时，则，再解方程即可. 【规范解答】（1）解：∵为一次函数， ∴，， 解得：， ∴当时，函数的表达式为； （2）解：当时，的值记为， ∴， 当时，的值记为， ∴， ∴； （3）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：. 【变式训练2】（24-25八年级下·福建福州·期中）已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【思路引导】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【规范解答】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 【变式训练3】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）若函数是关于x的一次函数，试确定m的值，并求当时，y的值． 【答案】； 【思路引导】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的函数值，先根据定义可得，求解，可得，再进一步求解即可． 【规范解答】解：由函数是关于x的一次函数得， ， ∴， ∴； ∴， 把代入， ． 考点讲练四 求一次函数自变量或函数值 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）如图，一次函数的图象经过点和，则的值为__________． 【答案】36 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，因式分解，代数式求值，掌握将点代入函数解析式得到关系式，通过因式分解简化代数式求值是解题的关键． 将点代入一次函数解析式，得到和的值，对所求代数式因式分解后代入计算． 【规范解答】解：一次函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，，，，点P是上一点，设的长为，的面积为S． （1）S与x之间的函数表达式为_______． （2）当的面积为18时，则的长为_______． 【答案】 2 【思路引导】本题考查求函数表达式，已知函数值求自变量的值，求出函数表达式是解题的关键． （1）由题意得，由三角形面积公式即可求解； （2）由（1）中所得，解方程即可求解． 【规范解答】解：（1）， 则， 故答案为：； （2）当时，即， 解得：， ∴， 故答案为：2． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知关于的二元一次方程组． (1)若，求的值； (2)若均为非负数，求的取值范围； (3)已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2) (3)当时，，当时，． 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的求解、一元一次不等式组的求解以及一次函数的性质．熟练掌握二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法以及一次函数的增减性是解题的关键． （1）本题可先求解方程组得出、关于的表达式，再将其代入中，进而求出的值． （2）根据、均为非负数，可得到关于的不等式组，求解该不等式组即可得到的取值范围． （3）先将转化为关于的表达式，再结合（2）中的取值范围，根据一次函数的性质求出的最大值和最小值． 【规范解答】（1）解： 得： ， ， 把代入得： ， ， ， 解得； （2）解：、均为非负数 由得， 由得 的取值范围是； （3）解： 中，随的增大而增大 当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 【变式训练3】（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知与x成正比例关系，当时，． (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)若x的取值范围为，求y的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，． 【思路引导】本题主要考查了正比例函数的概念，求一次函数值的取值范围： （1）设 ，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质得到y随x增大而减小，再分别求出当和时的函数值即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设 ， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵在中，， ∴y随x增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，． 考点讲练五 列一次函数解析式并求值 【典例分析】如图，平面直角坐标系中，已知点，，点M在坐标轴上． (1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______； (2)若点M在y轴上，求的最小值； (3)若点M在x轴，当最大时，求点M的坐标． 【答案】(1)1，2 (2)的最小值为． (3) 【思路引导】（1）根据点到y轴的距离为即可得出答案； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时达到最小，且最小为，过点作轴的平行线，过点作轴的垂直线，两线相交于点，然后利用勾股定理求得答案即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时，那么达到最大，且最大值为，然后用待定系数法求出直线的解析式，然后再求出直线与轴的交点即可． 【规范解答】（1）解：已知点，， 到y轴的距离为，到y轴的距离为2； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示： 关于轴对称，， ，， ， 取得最小值，且最小值为， 过点作轴的平行线，过点作轴的垂直线，两线相交于点， ， ，， ，， ， 的最小值为． （3）解： 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时，那么达到最大，且最大值为， 关于轴对称，， ， 设直线为，代入， ， ， 直线为， 当时，，解得， 故． 【考点剖析】本题考查了点到坐标轴的距离，轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式训练1】（24-25八年级下·山东聊城·月考）阳谷县冀王红富士苹果以其出众的口感和实惠的价格而闻名．某商店计划购进，两种品牌的红富士苹果共50箱进行销售．品牌红富士苹果的价格为38元/箱，品牌红富士苹果的价格为30元/箱． (1)若品牌红富士苹果购进箱，购进这两种品牌红富士苹果的总费用为元，尝试确定与的函数关系？ (2)若购进这两种品牌红富士苹果的总费用不超过1740元，则最多可购进品牌红富士苹果多少箱？ 【答案】(1)且为整数 (2) 【思路引导】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，写出与的函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）根据总费用品牌红富士苹果的价格购进品牌红富士苹果的箱数品牌红富士苹果的价格购进品牌红富士苹果的箱数计算即可； （2）根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，从而得到的最大值即可． 【规范解答】（1）解：， 与的函数关系为且为整数． （2）根据题意，得，即， 解得． 答：最多可购进品牌红富士苹果箱． 【变式训练2】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【思路引导】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式； （2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． （2）解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【变式训练3】（2024·山东临沂·模拟预测）某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【答案】(1)批发甲蔬菜，乙蔬菜； (2)； (3)至少批发甲种蔬菜． 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系成为解题的关键． （1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，然后根据等量关系“批发甲、乙两种蔬菜共花90元”列一元一次方程求解即可； （2）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据销售金额等于单价乘数量列出关系式即可； （3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据“全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元”列不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜为：． 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜． （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：． 答：m与n的函数关系为：． （3）解:设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得， 解得． 答：至少批发甲种蔬菜． 【真题演练1】（2025·江苏苏州·中考真题）过两点画一次函数的图像，已知点A的坐标为，则点B的坐标可以为________．（填一个符合要求的点的坐标即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查一次函数图象上的点，根据一次函数上的点的横纵坐标满足函数解析式，可以令，求出函数值，进而得到点B的坐标即可． 【规范解答】解：∵， ∴当时，， ∴点B的坐标可以为； 故答案为：（答案不唯一） 【真题演练2】（2024·湖北·中考真题）铁的密度约为，铁的质量与体积成正比例．一个体积为的铁块，它的质量为______． 【答案】79 【思路引导】本题考查了正比例函数的应用．根据铁的质量与体积成正比例，列式计算即可求解． 【规范解答】解：∵铁的质量与体积成正比例， ∴m关于V的函数解析式为， 当时，， 故答案为：79． 【真题演练3】（2023·湖南·中考真题）某花店每天购进支某种花，然后出售．如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理、该花店记录了天该种花的日需求量n（n为正整数，单位：支），统计如下表： 日需求量n 天数 1 1 2 4 1 1 (1)求该花店在这天中出现该种花作废处理情形的天数； (2)当时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为：；当时，日利润为元． ①当时，间该花店这天的利润为多少元？ ②求该花店这天中日利润为元的日需求量的频率． 【答案】(1)天； (2)①元；②该花店这天中日利润为元的日需求量的频率为0.2． 【思路引导】（1）当时，该种花需要进行作废处理，结合表中数据，符合条件的天数相加即可； （2）①当时，代入函数表达式即可求解； ②当时，日利润y关于n的函数表达式为；当时，日利润为元，；即当时求得n的值，结合表中数据即可求得频率． 【规范解答】（1）解：当时，该种花需要进行作废处理， 则该种花作废处理情形的天数共有：（天）； （2）①当时，日利润y关于n的函数表达式为， 当时，（元）； ②当时，日利润y关于n的函数表达式为； 当时，日利润为元，， 当时， 解得：， 由表可知的天数为2天， 则该花店这天中日利润为元的日需求量的频率为0.2． 【考点剖析】本题考查了有理数大小的比较，一次函数求自变量和函数值，统计和频数；解题的关键是理清题意，正确求解． 【真题演练4】（2023·四川乐山·中考真题）下列各点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式，进行计算即可得到答案． 【规范解答】解：一次函数图象上的点都在函数图象上， 函数图象上的点都满足函数解析式， A.当时，，故本选项错误，不符合题意； B.当时，，故本选项错误，不符合题意； C.当时，，故本选项错误，不符合题意； D.当时，，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【考点剖析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键． 【真题演练5】（2024·山东济南·中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】B 【思路引导】根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答． 【规范解答】解：根据题意得： ， ∴， ∴y与x满足的函数关系是一次函数； 故选：B． 【考点剖析】本题通过矩形的周长考查一次函数的定义，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式． 基础夯实 能力提升 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关系中，是正比例函数关系的是（    ） A．淘气看一本书，已看的页数和剩下的页数 B．总价一定时，数量和单价 C．三角形的面积一定时，一边长和该边上的高之间的关系 D．匀速运动中，速度一定时，路程和时间之间的关系 【答案】D 【思路引导】根据正比例函数的定义（两种相关联的量，相对应的两个数的比值为定值且不为，即形如，是不为的常数），逐一分析各选项的变量关系． 【规范解答】解：、已看页数与剩下页数的和为定值，比值不是定值，不符合正比例函数关系，不符合题意； 、数量单价总价（定值），二者乘积为定值，是反比例关系，不是正比例函数关系，不符合题意； 、一边长该边上的高三角形面积（定值），二者乘积为定值，是反比例关系，不是正比例函数关系，不符合题意； 、路程时间速度（定值且不为），符合正比例函数的形式，是正比例函数关系，符合题意． 2．（25-26八年级下·北京·开学考试）若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】正比例函数要求自变量的次数为1，且比例系数不为0，据此列关系计算即可． 【规范解答】∵是关于的正比例函数， ∴根据正比例函数的定义可得， 解，得，即， 由，得， ∴． 3．（25-26八年级上·四川成都·期末）若点在直线上，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的特征，代数式求值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的特征．先将点代入直线解析式得到与的关系式，再对所求代数式变形，代入关系式计算即可得出结果． 【规范解答】解：点在直线上， ， ， ． 故选：B． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象经过点，则________． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数上点的坐标特征，代数式求值，将点的坐标代入解析式中计算是关键．由点在函数图象上，可得与的关系式，代入到所求代数式中求解即可． 【规范解答】解：一次函数的图象经过点， ， ． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）函数是关于的正比例函数，则的值为_____． 【答案】 【思路引导】本题考查正比例函数的定义，掌握正比例函数的标准形式和特点是解题关键． 正比例函数的形式为（），故函数表达式中的常数项必须为零，据此进行计算即可． 【规范解答】解：由正比例函数的定义，可知，解得． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，一次函数的图象与轴轴分别交于两点，以原点为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点，作射线交于，则点的坐标是___． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了尺规作角平分线，角平分线的性质，一次函数图象上的点的坐标， 先根据尺规作图的步骤可知平分，再根据角平分线的性质设点，然后将点的坐标代入关系式，求出答案即可． 【规范解答】解：根据题意可知平分， 设点， ∵点C在直线上， ∴， 解得， ∴点． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知点． (1)若点在第一象限，求，的取值范围； (2)若点在一次函数的图象上，求的值． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查平面直角坐标系中第一象限点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据第一象限内点的横、纵坐标均为正数的性质列不等式求解、的取值范围． （2）将点的坐标代入一次函数解析式，通过变形计算得到的值 ． 【规范解答】（1）解：点在第一象限 ， （2）解：点在一次函数的图象上 ． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y（元）与购买的黑色签字笔x（支）之间的关系． 【答案】(1)，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数 (2)，y是x的一次函数，也是x的正比例函数 (3)，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数 【规范解答】（1）解：由正方形的面积是边长的平方得，，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数． （2）解：由应缴电费y（元）是收费标准0.53元/（）与用电量x（）的乘积得，，y是x的一次函数，也是x的正比例函数． （3）解：由剩余的费用y（元）是总钱数减去用去的钱得，，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数． 9．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据题意可设，然后用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式求解即可； （3）把代入（1）中解析式求解即可． 本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求函数关系式，以及求自变量的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【规范解答】（1）解： 根据题意可设， ∵当时， ∴， 解得， ∴． （2）当时，， 解得． （3）当时，． 10．（25-26八年级上·全国·假期作业）为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查的是在坐标系内描点，利用待定系数法求解函数的解析式，求解函数的函数值，熟悉利用待定系数法求解正比例函数的解析式是解本题的关键． （1）根据表格信息，在平面直角坐标系内描出各点连线即可； （2）根据图象得，y是关于t的正比例函数，再利用待定系数法求解函数的解析式即可； （3）把代入函数的解析式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示． ； （2）解：根据图象得，y是关于t 的正比例函数， 设函数解析式为． 把代入， 得． 解得． ∴y 关于t 的函数解析式为； （3）解：当， 答：这种漏水状态下12小时的漏水量为 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26九年级上·广西玉林·期末）已知正比例函数的图象过点，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查函数图象上点的坐标特征．利用函数图象上点的坐标特征，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值． 【规范解答】∵正比例函数的图象过点， ∴， 解得， 故选：D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据一次函数的定义：形如（、为常数，，自变量的次数为1的整式函数），逐一判断各选项即可． 【规范解答】解：A选项：中的最高次数是2，不是一次函数； B选项：，不是整式函数，故不是一次函数； C选项：符合一次函数的形式，是一次函数； D选项：不是整式函数，故不是一次函数； 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 【答案】B 【思路引导】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，正比例函数的定义是解题的关键． 一般地，形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数，当时， 叫正比例函数；根据定义进行判断即可． 【规范解答】解：A、中，，，∴ 是正比例函数，也是一次函数，说法正确，不符合题意； B、无变量，即，不满足，∴ 不是一次函数或正比例函数，说法错误，符合题意； C、总金额=单价×数量，单价一定时，关系为（为单价），∴ 总金额与商品数量成正比，说法正确，不符合题意； D、是一次函数时，需，即，∴ 说法正确，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，根据一次函数（形式为，）和正比例函数的定义，逐一验证各选项是否符合“一次函数但”的条件． 【规范解答】解：∵ 一次函数需满足自变量x的次数为1且为整式；正比例函数是一次函数中的特殊情况， A项：，形式为，，是正比例函数，不符合要求； B项：，x的次数为2，不是一次函数，不符合要求； C项：，形式为，，，故是一次函数但不是正比例函数，符合要求； D项：，即，x的次数为，不是一次函数，不符合要求， 故选：C． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）若是关于的正比例函数，则的值是__________． 【答案】 【思路引导】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数需满足常数项为且比例系数不为是解题的关键． 根据正比例函数的定义，函数形式应为 （），即常数项为零且比例系数非零． 【规范解答】解：∵ 是正比例函数，所以常数项 且比例系数 由 得 ， ∴或 ∵，即 ， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）已知一次函数的图象过点，，一次函数的图象过点，则与的数量关系是________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图象与性质，通过点坐标求出与的关系，再根据点和点的纵坐标相等建立方程，代入关系式化简得到与的关系． 【规范解答】解：点在函数上， 可得：， 解得：， 点在上， 可得：， 点在上， 可得：， ， ， ， 整理得：， ， 两边除以可得：， ． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）要使是关于的一次函数，则的值为______． 【答案】 【思路引导】此题考查一次函数的定义，由一次函数定义，得 且，解得或，然后代入判断即可，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【规范解答】解：由一次函数定义，得 且， 解得或， 当 时，，不符合条件； 当时，，符合条件； ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）若是关于的正比例函数，求的值． 【答案】 【思路引导】由正比例函数定义得到，分别解绝对值方程、解一元一次方程、解一元一次不等式得到，代入代数式计算即可得到答案． 【规范解答】解： 是关于的正比例函数， ， 解得或； 解得； 解得 ， ． 【考点剖析】本题考查代数式求值，涉及正比例函数的定义、解绝对值方程、解一元一次方程、解一元一次不等式等知识，熟记正比例函数定义得到相应方程及不等式求解是解决问题的关键． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）将长为、宽为的长方形白纸按下图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． (1)根据上图将表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … (2)设张长方形白纸黏合后的总长度为，求关于的函数解析式，并判断是不是的一次函数． (3)你认为长方形白纸黏合起来的总长度可能为吗？请说明理由． 【答案】(1)表格见解析 (2)，是 (3)不可能，理由见解析 【思路引导】（1）根据题意，每增加张白纸，黏合部分宽为，会减少，计算即可得出答案； （2）根据（1）中的结论每增加张白纸，黏合部分宽为，会减少，那么张长方形白纸黏合后会减少，由此可得到解析式，再判断是不是的一次函数即可； （3）把代入（2）中的关系式，若为整数，即可达到总长度为，反之则不能． 【规范解答】（1）解：由题意，得张长方形白纸黏合后的长度为， 张长方形白纸黏合后的长度为． 补充表格： 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … （2）解：由题意可得． 故关于的函数解析式为，是的一次函数． （3）解：不可能．理由如下： 令，得， 解得． 为正整数， 长方形白纸黏合起来的总长度不可能为． 【考点剖析】本题主要考查了函数关系式，规律型图形变化类，根据题意找出图形变化的规律列出函数关系式是解决本题的关键． 10．（25-26七年级上·山东淄博·月考）已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 【答案】(1) (2)、 【思路引导】本题主要考查了一次函数和正比例函数的知识, （1）根据一次函数的定义可得且，求解即可获得答案； （2）根据正比例函数的定义可得且，且，求解即可获得答案． 【规范解答】（1）解：由题意得且， 解，可得， ∴或， 解，可得， ∴当时函数是一次函数； （2）由题意得且，且， 解，可得， ∴或， 解，可得， 解，可得， 综上所述，当、时，函数是正比例函数． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版（新教材）数学八年级下册同步培优【重点考点讲练】 专题23.1 一次函数的概念 （第二十三章 一次函数） 【人教版八下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 正比例函数的定义 1 知识点二 一次函数的定义 1 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 正比例函数的定义 2 考点讲练二 识别一次函数 2 考点讲练三 根据一次函数的定义求参数 3 考点讲练四 求一次函数自变量或函数值 4 考点讲练五 列一次函数解析式并求值 6 中考真题 实战演练 8 难度分层 闯关训练 9 基础夯实 能力提升 9 创新拓展 拔尖冲刺 11 知识点一 正比例函数的定义 1.正比例函数的定义： 一般地，形如 y=kx（k为常数且k≠0） 的函数叫做正比例函数。其中，k叫做 比例系数 。 剖析：①自变量系数（比例系数）不能为 0 。 ②自变量次数一定是 1 。 ③正比例函数解析式中，自变量后面为 0 。 知识点二 一次函数的定义 一般地，形如 y=kx+b（k，b是常数且k≠0）的函数是一次函数。 注意：一次函数的结构中，k ≠ 0，自变量系数为 1 。b为任意实数。当b的值等于 0 时，一次函数变成正比例函数。 考点讲练一 正比例函数的定义 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）定义为一次函数的“特征数”．若“特征数”为的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是____________________________． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）当____________时，函数是正比例函数． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26八年级上·江苏徐州·月考）已知，且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)计算时，y的值； (3)当时，求的值． 考点讲练二 识别一次函数 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）如果y是z的正比例函数，z是x的一次函数，则y是x的（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不是函数关系 【变式训练1】（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）下列说法正确的是________（填序号） ①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③若与成正比例，则是的一次函数；④若，则是的一次函数． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，平分交于点．设． (1)求与之间的关系式； (2)这个函数是一次函数吗？若是，请指出的值，并写出的取值范围；若不是，请说明理由． 【变式训练3】（24-25八年级上·广东河源·月考）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 考点讲练三 根据一次函数的定义求参数 【典例分析】已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 【变式训练1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 【变式训练2】（24-25八年级下·福建福州·期中）已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式训练3】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）若函数是关于x的一次函数，试确定m的值，并求当时，y的值． 考点讲练四 求一次函数自变量或函数值 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）如图，一次函数的图象经过点和，则的值为__________． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，，，，点P是上一点，设的长为，的面积为S． （1）S与x之间的函数表达式为_______． （2）当的面积为18时，则的长为_______． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知关于的二元一次方程组． (1)若，求的值； (2)若均为非负数，求的取值范围； (3)已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【变式训练3】（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知与x成正比例关系，当时，． (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)若x的取值范围为，求y的取值范围． 考点讲练五 列一次函数解析式并求值 【典例分析】如图，平面直角坐标系中，已知点，，点M在坐标轴上． (1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______； (2)若点M在y轴上，求的最小值； (3)若点M在x轴，当最大时，求点M的坐标． 【变式训练1】（24-25八年级下·山东聊城·月考）阳谷县冀王红富士苹果以其出众的口感和实惠的价格而闻名．某商店计划购进，两种品牌的红富士苹果共50箱进行销售．品牌红富士苹果的价格为38元/箱，品牌红富士苹果的价格为30元/箱． (1)若品牌红富士苹果购进箱，购进这两种品牌红富士苹果的总费用为元，尝试确定与的函数关系？ (2)若购进这两种品牌红富士苹果的总费用不超过1740元，则最多可购进品牌红富士苹果多少箱？ 【变式训练2】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【变式训练3】（2024·山东临沂·模拟预测）某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【真题演练1】（2025·江苏苏州·中考真题）过两点画一次函数的图像，已知点A的坐标为，则点B的坐标可以为________．（填一个符合要求的点的坐标即可） 【真题演练2】（2024·湖北·中考真题）铁的密度约为，铁的质量与体积成正比例．一个体积为的铁块，它的质量为______． 【真题演练3】（2023·湖南·中考真题）某花店每天购进支某种花，然后出售．如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理、该花店记录了天该种花的日需求量n（n为正整数，单位：支），统计如下表： 日需求量n 天数 1 1 2 4 1 1 (1)求该花店在这天中出现该种花作废处理情形的天数； (2)当时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为：；当时，日利润为元． ①当时，间该花店这天的利润为多少元？ ②求该花店这天中日利润为元的日需求量的频率． 【真题演练4】（2023·四川乐山·中考真题）下列各点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【真题演练5】（2024·山东济南·中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 基础夯实 能力提升 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关系中，是正比例函数关系的是（    ） A．淘气看一本书，已看的页数和剩下的页数 B．总价一定时，数量和单价 C．三角形的面积一定时，一边长和该边上的高之间的关系 D．匀速运动中，速度一定时，路程和时间之间的关系 2．（25-26八年级下·北京·开学考试）若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川成都·期末）若点在直线上，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象经过点，则________． 5．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）函数是关于的正比例函数，则的值为_____． 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，一次函数的图象与轴轴分别交于两点，以原点为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点，作射线交于，则点的坐标是___． 7．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知点． (1)若点在第一象限，求，的取值范围； (2)若点在一次函数的图象上，求的值． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y（元）与购买的黑色签字笔x（支）之间的关系． 9．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． (3)当时，求的值． 10．（25-26八年级上·全国·假期作业）为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26九年级上·广西玉林·期末）已知正比例函数的图象过点，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 4．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）若是关于的正比例函数，则的值是__________． 6．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）已知一次函数的图象过点，，一次函数的图象过点，则与的数量关系是________． 7．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）要使是关于的一次函数，则的值为______． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）若是关于的正比例函数，求的值． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）将长为、宽为的长方形白纸按下图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． (1)根据上图将表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … (2)设张长方形白纸黏合后的总长度为，求关于的函数解析式，并判断是不是的一次函数． (3)你认为长方形白纸黏合起来的总长度可能为吗？请说明理由． 10．（25-26七年级上·山东淄博·月考）已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $