8.3 特殊的平行四边形 正方形 同步练习 2025-2026学年青岛版八年级数学下册

8.3特殊的平行四边形——正方形 一 选择题 1．下列命题中正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．邻边相等的平行四边形是正方形 C．正方形的面积等于对角线平方的一半 D．矩形的对角线相等且互相垂直 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（    ） A．当，是矩形 B．当，是矩形 C．当，是菱形 D．当，是正方形 3．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相平分 D．对角线相等 4．如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是（    ） A． ① B．② C．③ D．②③ 5. 如图，正方形中，对角线，相交于，为边上一点，，为的中点，的周长为18，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 2． 填空题 6如图，在正方形的内部作等边三角形，连接，，对角线交于于点，则的度数是 ． 7如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，则点D的坐标是 ． 8. 如图，菱形中，，相交于，于，连接，，则的度数为___________． 9. 如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，则∠E=__________ 10. 如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，且点在的边上，则__________． 3． 解答题 11如图，在矩形中，的平分线交于的平分线交于，求证：四边形是正方形． 12如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 13 （1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：△ADE≌△DCF． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 14. 小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究． 如图，为正方形的一条对角线，点E为上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为中点，过点E作交边于点F，延长交于点H． （1）问题探究： 如图①，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； （2）问题解决： 如图②，连接，求证：； （3）拓展延伸： 如图③，连接并延长交于点M、连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 15. 如图，平行四边形中，为边的中点，连接并延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 16. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积． 答案 1．【答案】C 【详解】A. 对角线互相垂直的平行四边形不一定是菱形，故该选项不正确，不符合题意； B. 邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项不正确，不符合题意； C. 正方形的面积等于对角线平方的一半，故该选项正确，符合题意；     D. 矩形的对角线相等且互相平分，故该选项不正确，不符合题意； 2．【答案】D 【详解】四边形是平行四边形， 当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 3【答案】A 解：A、正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线只相等但不垂直，正方形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直，故A选项符合题意； B、正方形和矩形的对角都互补，故B选项不符合题意； C、正方形和矩形的对角线都互相平分，故C选项不符合题意； D、正方形和矩形的对角线都相等，故D选项不符合题意； 4．【答案】C 【详解】解：依题意，由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 当四边形是菱形加上条件，则证明过程如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴四边形是正方形； 5. 如图，正方形中，对角线，相交于，为边上一点，，为的中点，的周长为18，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCE=90°，OD=OB， ∵DF=FE， ∴CF=FE=FD， ∵EC+EF+CF=18，EC=5， ∴EF+FC=13， ∴， ∴BC=CD=12， ∴BE=BC-EC=7， ∵OD=OB，DF=FE， ∴． 6如图，在正方形的内部作等边三角形，连接，，对角线交于于点，则的度数是 ． 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， 故， ∴． 故答案为：． 7如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，则点D的坐标是 ． 【详解】解：如图所示，过点D作轴，交x轴于点E， ∴． ∵点， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标是． 故答案为：． 8. 如图，菱形中，，相交于，于，连接，，则的度数为___________． 【答案】 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=40°， ∴∠DAO=∠BAD=20°，AC⊥BD，DO=BO，AD∥BC， ∴∠DOA=90°， ∴∠ADO=90°-∠DAO=70°， ∵AD∥BC，DE⊥BC， ∴DE⊥AD， ∴∠ADE=90°， ∴∠ODE=∠AD∠E-∠ADO=20°， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB=90°， ∵DO=BO， ∴OE=BD=OD， ∴∠OED=∠ODE=20°， 9. 如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，则∠E=__________ 【答案】22.5°． 【详解】正方形对角线平分直角，故∠ACD=45°， 已知DC⊥CE，则∠ACE=135°， 又∵CE=AC， ∴∠E=22.5°． 10. 如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，且点在的边上，则__________． 【答案】45 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴． 11如图，在矩形中，的平分线交于的平分线交于，求证：四边形是正方形． 【详解】证明：如下图， 四边形是矩形， ， ． 平分， ， ， ； 同理可得， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 12如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 【详解】【小问1详解】 证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， 理由是：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 13. （1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：△ADE≌△DCF． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 详解】（1）证明：四边形是正方形， ，AD=DC ， ， ， ， ， ∴ △ADE≌△DCF； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 14. 小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究． 如图，为正方形的一条对角线，点E为上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为中点，过点E作交边于点F，延长交于点H． （1）问题探究： 如图①，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； （2）问题解决： 如图②，连接，求证：； （3）拓展延伸： 如图③，连接并延长交于点M、连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】【小问1详解】 解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵点G为中点， ∴，； 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵正方形，矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 ，理由如下： 连接， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，由（2）知：， ∴． 15. 如图，平行四边形中，为边的中点，连接并延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 答案（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵E为的中点， ∴， ∴在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵E为的中点，， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 16. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积． 【答案】 （1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90°， ∵BE=DF， ∴△AEB≌△AFD， ∴AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD是菱形，AC=6， ∴AC⊥BD， AO=OC=AC=×6=3， ∵AB=5，AO=3， ∴BO===4， ∴BD=2BO=8， ∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $