精品解析：北京市第八十中学2025-2026学年第二学期高三年级统练（3月9日）

北京市第八十中学2025-2026学年第二学期 高 三 数 学 年 级 统 练 2026年3月9日 班级 姓名 考号 （考试时间60分钟） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（在每小题所给的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 1. 已知复数（其中i为虚数单位，）．若是纯虚数，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的乘法，写出，再根据纯虚数的概念求参数. 【详解】， 因为是纯虚数，所以. 故选：B 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断，再根据商的关系结合平方关系求解即可. 【详解】 由， 解得， 故选：D. 3. 设是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合充分条件与必要条件的定义及向量的数量积公式计算即可得. 【详解】若，则，故成立， 故“”是“”的充分条件； 当，时，， 当不符合，故“”不是“”的必要条件； 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量以及火箭（除燃料外）的质量间的关系为．若火箭的最大速度为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给关系式，求出，近似计算得解. 【详解】由题意，火箭的最大速度为时，可得， 即， 因为，所以近似计算可得， 故选：B 5. 双曲线上存在四点，使得四边形是正方形，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先设，代入双曲线方程得到，根据四边形是正方形，得到，从而得到，再转化为齐次式求离心率的取值范围即可. 【详解】设，在第一象限， 由题知：，解得：， 由双曲线的对称性可知，正方形的中心为原点，且其顶点关于坐标轴对称， 所以， 所以，解得. 又因为，所以，解得， 所以. 即双曲线离心率的取值范围是， 故选：C 6. 已知函数，若关于的方程在上恰有一个实数根，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用三角函数的图象和性质求出结果. 【详解】若关于的方程在上恰有一个实数根，则，即在上恰有一个实数根， 因为恰为的最小正周期，且当时，，所以， 若，则关于的方程在上有两个实数根，因为，所以，此时， 即，解得，所以． 故选：A 7. 等差数列前n项的和为，已知，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得，，结合题意运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 又因为，即，解得或， 若，则，不合题意； 若，则，解得； 综上所述：. 故选：D. 8. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论：①的最小值为；②四面体的体积为；③有且仅有一条直线与垂直； ④存在点，，使为等边三角形．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，利用直线之间的距离即可求解；对于②，以为顶点，为底面即可求解；对于③，利用直线的垂直关系即可判断；对于④，建立空间直角坐标系，先将，再根据列式求解即可判断. 【详解】对于①，由于在上运动，在上运动，所以的最小值就是两条直线之间的距离， 而，所以的最小值为，故①正确； 对于②，，而， 所以四面体的体积为，故②正确； 对于③，由题意可知，当与重合，与重合时， ， 因为，，，平面， 所以平面， 所以当为中点，与重合时，此时， 故与垂直的不唯一，故③错误； 对于④，当为等边三角形时，， 而,， 所以，所以只需要与的夹角能等于即可， 以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图， 设， 则由题意可得，，， 则可得，， 则， 整理可得， 该方程看成关于的二次函数，， 所以存在使得为等边三角形，故④正确. 二、填空题（在答题卡上写上每小题的正确答案） 9. 函数的定义域是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得出，结合对数函数的单调性求解即可. 【详解】函数的定义域是： ，解得：. 故答案为：. 10. 已知圆经过点和，且与直线相切，则圆的方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆的方程为，进而利用待定系数法求解即可. 【详解】设圆的方程为， 则由题意可得，解得， 所以圆的方程为 故答案为： 11. 已知函数，直线与曲线的两个交点如图所示.若，且在区间上单调递减，则______；______. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据和，可构造方程求得，并确定为半个周期，根据正弦函数单调性可构造方程组求得. 【详解】设，， 由得：，， 又，，解得. 此时的小正周期， ，在区间上单调递减， 和分别为单调递减区间的起点和终点， 当时，， ，， 又，， 综上所述：，. 故答案为：2，. 12. 楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，其中面ABCD为正方形．若，，且EF与面ABCD的距离为2cm，则该楔体形构件的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】作辅助线，将五面体分割为三棱柱与四棱锥，再利用锥体与柱体的体积关系计算该几何体的体积． 【详解】由五面体ABCDEF可知，四边形与四边形都为平面四边形. 如图所示，分别取，的中点，，连接，，， 因为面为正方形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以， 因为，分别为，的中点，，， 所以， 则四边形为平行四边形，同理四边形也为平行四边形. 则，平面，平面， 所以平面，同理平面，又， 且平面，平面， 所以平面平面，又四边形也是平行四边形， 所以几何体为三棱柱， 已知EF与面ABCD的距离为2cm，即点到平面的距离. 由题意，； 又； 所以该五面体的体积 ． 故答案为：. 13. 已知函数，，其中． ①若函数无零点，则的一个取值为_______； ②若函数有4个零点，则_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①结合函数的图象， 函数无零点，即与的图象无交点，所以可得到的一个取值；②由图象对称，即可算出的值. 【详解】画函数的图象如下： ①函数无零点，即 无解， 即与的图象无交点，所以，可取； ②函数有4个零点，即 有4个根， 即与的图象有4个交点， 由关于对称，所以， 关于对称，所以， 所以. 故答案为：；. 14. 在数列中，，．给出下列三个结论： ①存在正整数，当时，； ②存在正整数，当时，； ③存在正整数，当时，． 其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据递推关系求出，用差比较法可判定各选项. 【详解】对于①：由，，可得， 又，当时， 因为，所以时，故①错误； 对于②：，又， 结合①的结论时， 所以当时，，故②正确； 对于③：， ， 所以当时，， 所以，故③正确； 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题关键在于求出，根据递推关系分析出当时，进而判定①，利用差比较法结合结论①可判定②③. 三、解答题（解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 函数的最小正周期为． （1）若，求的值； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间． 条件①：的最大值为；条件②：的图象关于点中心对称；条件③：的图象经过点． 【答案】（1） （2）选择①②③中的任意两个条件，，单调递增区间 【解析】 【分析】（1）根据最小正周期求出，根据求出； （2）根据条件求出即可求出的解析式，结合两角和的正弦公式和辅助角公式化简，借助于三角函数性质即可求出单调递增区间. 【小问1详解】 因为的最小正周期，所以， 因为，故， 又，且，所以． 【小问2详解】 选条件①②： 因为的最大值为2，所以， 又因的图象关于点中心对称， 所以，即， 因为，所以， 故， 此时， ， 令，得， 所以的单调递增区间为． 选条件①③： 因为的最大值为2，所以， 因为函数的图象经过点，则，即， 因为，所以，故，即， 所以， 所以 ， 令，得， 所以的单调递增区间为． 选条件②③： 因为的图象关于点中心对称， 所以，即， 因为，所以，所以， 因为函数的图象经过点，所以． 解得，故. 所以 ， 令，得， 所以的单调递增区间为． 16. 在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，平面，点为中点. （1）在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由； （2）请在下列条件中任选一个，求平面与平面所成二面角的正弦值 ；. 【答案】（1）在直线上存在一点，使得平面平面，理由如下： 连接交于点，连接，取的中点，连接， 又平面,平面， 平面平面，故, O为的中点，点为中点，则， ，故四边形为平行四边形，则， 平面，平面，故平面； 又点为中点，为的中点，故, 平面，平面，故平面， 平面，故平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意根据条件推出平面平面，再根据面面平行的判定定理证明结论. （2）若选，在中，利用，求出，取中点，连接，从而证明，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，再利用法向量求二面角即可. 若选，由，求出，取中点，连接，从而证明，仿照选的方法可求二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 选择， 四边形为菱形，, 则为正三角形，， 故在中，， 由余弦定理知， 取中点，连接， 在中，， 则，所以， 因为是正三角形，所以， 因为平面，所以平面， 平面， 又平面， 故平面， 以为原点分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，, 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， , 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的法向量， 故， 由于平面与平面所成二面角为，则， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为； 若选： 由（1）可知，， 取中点，连接， 在中，，则，所以， 因为是正三角形，所以， 又平面，则平面， 平面，故； 因为是正三角形，所以， 因为平面，所以平面， 以为原点分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，, 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， , 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的法向量， 故， 由于平面与平面所成二面角为，则， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为； 17. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）证明：当时，； （3）当时，令，记的唯一零点为，若，证明：． 【答案】（1） （2） 证明：先证：时， 设，则，所以在上单调递减， 因为，所以当且仅当时，，即； 令，则， 所以在上单调递增，所以，所以. （3） 证明：由函数 可得， 令，则， 当时，，在（0，1）上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，所以在上单调递增，且， 当时，存在唯一零点； 当时，，可知， 则 所以由零点存在性定理可知，存在，使得， 综上可得，函数存在唯一零点， 则，且， 所以， 因为，所以，则， 因为，所以， 令，则，所以， 下面证明， 设，则， 令，则， 所以在上单调递增，，所以在上单调递减， 再设， 由（2）知，所以在上单调递减， 所以，所以，当时取等号． 因为在上单调递减，由（2）知在上单调递减且， 则， 所以，即，所以． 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，先证得，令，则，得到在上单调递增，得出，即可得证； （3）求得，令，求得的单调性，得到单调递增，得出存在，使得，化简得，由和，得到，再设，利用导数求得在上单调递减，再设，结合（2）得到在上单调递减，得到，即可得证. 【小问1详解】 解：当时，，则， 可得，则切线方程为，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2025-2026学年第二学期 高 三 数 学 年 级 统 练 2026年3月9日 班级 姓名 考号 （考试时间60分钟） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（在每小题所给的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 1. 已知复数（其中i为虚数单位，）．若是纯虚数，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量以及火箭（除燃料外）的质量间的关系为．若火箭的最大速度为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 5. 双曲线上存在四点，使得四边形是正方形，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若关于的方程在上恰有一个实数根，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 等差数列前n项的和为，已知，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论：①的最小值为；②四面体的体积为；③有且仅有一条直线与垂直； ④存在点，，使为等边三角形．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（在答题卡上写上每小题的正确答案） 9. 函数的定义域是_______． 10. 已知圆经过点和，且与直线相切，则圆的方程为_______． 11. 已知函数，直线与曲线的两个交点如图所示.若，且在区间上单调递减，则______；______. 12. 楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，其中面ABCD为正方形．若，，且EF与面ABCD的距离为2cm，则该楔体形构件的体积为______. 13. 已知函数，，其中． ①若函数无零点，则的一个取值为_______； ②若函数有4个零点，则_______． 14. 在数列中，，．给出下列三个结论： ①存在正整数，当时，； ②存在正整数，当时，； ③存在正整数，当时，． 其中所有正确结论的序号是_______． 三、解答题（解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 函数的最小正周期为． （1）若，求的值； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间． 条件①：的最大值为；条件②：的图象关于点中心对称；条件③：的图象经过点． 16. 在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，平面，点为中点. （1）在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由； （2）请在下列条件中任选一个，求平面与平面所成二面角的正弦值 ；. 17. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）证明：当时，； （3）当时，令，记的唯一零点为，若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $