精品解析：江西省南昌市江西师范大学附属中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

江西师大附中高一年级数学素养测试卷 2026.10 命题人：占华平 审题人：陈选明 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合集合的交集和补集运算求解. 【详解】因为集合，，则， 且，所以. 故选：C. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解. 【详解】命题，则是. 故选：B. 3. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个选项推导或举反例判断即可. 【详解】对A，若，，则，故A错误； 对B，若，则，但，故B错误； 对C，若，则，但，故C错误； 对D，若，则，故，即，故D正确. 故选：D 4. 是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】充分性显然成立，通过反例可得必要性不成立. 【详解】充分性显然成立，必要性可以举反例：，，显然必要性不成立. 故选：A 5. 设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，，可得到，进行计算即可. 【详解】由题意可知，，所以，对于任意的，有，故需要满足， 若，则存在但，不符合条件， 综上，实数a的取值范围是. 故选：C. 6. 已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得出关于实数的等式，再由集合的元素满足互异性可求得实数的值，再检验是否成立，进而可求得实数的取值集合. 【详解】，则，或，解得或. 当时，，此时； 当时，，此时，不合乎题意； 当时，，此时. 因此，实数的取值集合为. 故选：C. 【点睛】本题考查利用交集的结果求参数值，考查计算能力，属于基础题. 7. 已知，若使不等式能成立，则实数m的最小值是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求得和，转化，结合二次函数的性质，求得其最小值，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得，即， 又由不等式，可得，解得，即， 又由不等式，可得， 因为使不等式能成立，即使不等式能成立， 又因为，，可得，所以， 设，令， 当时，；当时，， 所以，所以实数的最小值为. 8. 已知非空数集具有如下性质：①若，则；②若，则．下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】先根据性质①，得到，再通过反例或代数推导逐一判断各选项即可． 【详解】由集合非空，取任意，根据性质①，得， 对于A，若，令，，则，， 令，，则不存在，即，矛盾，所以，故A错误； 对于B，由，根据性质②，得，即，…，，，故B错误； 对于C，由，，根据性质①，得，又，再根据性质①，得，故C正确； 对于D，结合选项B，C知，，但，不符合性质①，故D错误． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若不等式≥0的解集为，则的取值范围为 B. 集合，若集合A有且仅有2个子集，则的值为 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】A对二次项系数分类讨论解决恒成立不等式；B利用子集个数推出集合元素个数，对是否为讨论；C由韦达定理判断一元二次方程正负根的充要性；D转化为求集合子集个数． 【详解】对于A，当时，恒成立；当时，由不等式≥0的解集为，得，解得，综上的取值范围为，故A正确； 对于B，因为集合有且仅有2个子集，所以集合有且仅有一个元素，当时，，符合题意；当时，，解得，所以，故B错误； 对于C，由，得一元二次方程的判别式，所以原方程有两根，且两根之积，即两根异号，所以充分性成立；由一元二次方程有一正一负根，两根之积为负，即，所以，即必要性也成立，C正确； 对于D，由条件，得是集合的子集，所以集合可以是空集，，共4个，故D正确. 10. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. ab的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 则， 解不等式得，即，故的最大值为8，A正确； 由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，B正确； ， 当且仅当，即时取等号，C正确； ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误． 故选：ABC 11. 已知关于的不等式组，其中，则下列结论正确的有（ ） A. 当时，不等式组的解集有且仅有一个元素 B. 当时，不等式组的解集可以为的形式 C. 不等式组的解集恰好为，那么 D. 不等式组解集恰好为，那么 【答案】BD 【解析】 【分析】对两个不等式变形整理得到关于的不等式； A选项中，上限是负数进而判断；B选项当时，左边不等式恒成立进而判断；CD选项结合条件列式求出，验证CD即得. 【详解】已知不等式组： ， 整理得：，即：， 令 ， ， ， ， 记 ，不等式化为：， 不等式有解 ；时无解； 选项A：，， 无实数解，不等式组无解，A 错误； 选项B： ， 恒成立， 不等式简化为 ，则， ∴ ， ∴解集为的形式，正确； 选项 CD：不等式组可化为：， ∴ 又∵不等式组的解集为 ， 若 ，不等式的解集应为两个集合的并集，不满足题意， ∴ ，解得 ，且 ，解得 ， 由 ，解得 ， ∴ ， 由 ，解得 或 ， 当 时，解得 ，故舍去； 当 时，解得 ，满足题意， 因此：选项C：，错误； 选项D：，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】将不等式转化为不等式组，再利用一元二次不等式求解. 【详解】不等式， 则有或，解得或， 所以所求解集为或. 13. 已知集合，，若、中至少有一个非空，则实数的取值范围是________. 【答案】或 【解析】 【分析】首先求出集合、为空集时参数的取值范围，从而求出、均为空集时的取值范围，再求其对立面即可. 【详解】若，则，解得， 若，则，解得， 若、均为空集，此时，即， 因为、中至少有一个非空，所以或， 即实数的取值范围是或. 故答案为：或 14. 当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先分和进行讨论，当时根据不等式讨论分析可知：为的零点，可得，结合基本不等式求解. 【详解】由可得. 当时，由可得，因为关于的不等式恒成立，所以， 因为是开口向上的抛物线，所以不恒成立，故舍去； 当时，则有当时，；当时，. 因为在时恒成立， 所以当时，；当时，. 即是 的零点. 所以，化简可得， 所以，当且仅当， 即等号成立. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若a＝2，求及； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式化简集合，再利用交集、补集、并集的定义求解. （2）由（1）的信息，利用给定交集的结果，按集合是否为空集分类求解. 【小问1详解】 当时，，不等式， 解得或，则或，， 所以，. 【小问2详解】 当时，，则，解得； 当时，由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 16. （1）已知，求证：； （2）已知，．求证：． 【答案】（1）见详解； （2）见详解. 【解析】 【分析】（1）先观察待证不等式的结构，已知，满足基本不等式的使用条件；然后对 ， 分别配凑常数项和，构造出可以运用基本不等式的形式；再写出两个不等式并将它们相加；最后通过移项整理，得到所要证明的结论，并验证等号成立的条件； （2）先对已知条件变形，将等式两边同时除以，得到两个数的倒数之和等于1；再展开需要证明的代数式，代入倒数和的关系进行化简，把证明问题转化为求的取值范围；接着利用基本不等式得到大于等于4，依据正数范围内分式的变化规律，推出的倒数不大于四分之一，最后完成不等式证明并确定等号成立的条件. 【详解】（1）因为，由基本不等式可得： ，， 将两式相加得：， 两边同时减去 得：， 当且仅当时等号成立，原不等式得证. （2）∵，等式两边同除以：， 则， 由基本不等式：， ，，当且仅当 ，即 时取等号， ，， ， 当且仅当 时，等号成立. 17. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 【答案】（1）当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元 （2）当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功 【解析】 【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解； （2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为体育馆前墙长为米，地面面积为， 所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米， 设甲工程队报价为元， 所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元； 【小问2详解】 根据题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 18. 已知二次函数（），关于的不等式的解集为，若集合，集合． （1）求函数在集合上的取值范围； （2）求集合； （3）记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）若，集合；若，集合；若，集合 （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知的根为或，且，结合韦达定理求，，即可得到的解析式，从而解不等式即可得到集合，进而结合二次函数性质即可求解； （2）整理可得，分类讨论两根大小解不等式即可得到答案； （3）结合（1），（2）中结果分类讨论，结合交集运算求解即可得到答案． 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为，且， 即，可得， 可知的根为和，且，即， 则，解得，即， 对于不等式，即， 整理得，解得或，即集合， 又因为， 由，则，则，则， 所以函数在集合上的取值范围为． 【小问2详解】 结合（1）得到， 由，即， 整理得，令，解得，或， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为 综上所述，若，则集合；若，则集合；若，则集合． 【小问3详解】 结合（1）知集合， 又集合中有且仅有一个整数， 结合（2），当时，则，则集合中的整数为，可得，解得； 当时，则，可得，不合题意； 当时，则集合，则集合中的整数为，可得，解得， 综上所述，实数的取值范围为． 19. 若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． （1）判断是否为“集合”，说明理由； （2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“集合”． 【答案】（1）不是，理由如下： 因为，所以不是“一集合”． （2）； （3），其中. 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义直接判断即可； （2）设，进而研究或是否存在正整数解即可； （3）讨论“集合”为双元素集或含有两个以上的元素，同（2）分析及反证法研究是否存在正整数解. 【小问1详解】 不是“一集合”，理由略； 【小问2详解】 设． 若，则或． 由，解得（舍去），此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 若，则或， 由，解得，此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 综上，所有满足条件的集合为． 【小问3详解】 若“集合”为双元素集， 不妨设，则或， 由，则，而，故，此时； 由，则，而，显然不存在正整数解； 所以，“集合”为，其中． 若“集合”含有两个以上的元素， 设最小的元素为，最大的元素为，第二大的元素为， 则是“集合”中的元素， 若，解得， 若，则，矛盾， 若，该方程的解为，则n，a不可能同时为整数，无解． 故所有满足条件的“集合”为，其中． 【点睛】关键点点睛：对于第二、三问，根据集合新定义给定公式，将问题化为研究相关方程是否存在正整数解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西师大附中高一年级数学素养测试卷 2026.10 命题人：占华平 审题人：陈选明 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若使不等式能成立，则实数m的最小值是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 8. 已知非空数集具有如下性质：①若，则；②若，则．下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若不等式≥0的解集为，则的取值范围为 B. 集合，若集合A有且仅有2个子集，则的值为 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 10. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. ab的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知关于的不等式组，其中，则下列结论正确的有（ ） A. 当时，不等式组的解集有且仅有一个元素 B. 当时，不等式组的解集可以为的形式 C. 不等式组的解集恰好为，那么 D. 不等式组解集恰好为，那么 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 不等式的解集为______． 13. 已知集合，，若、中至少有一个非空，则实数的取值范围是________. 14. 当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若a＝2，求及； （2）若，求实数a的取值范围． 16. （1）已知，求证：； （2）已知，．求证：． 17. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 18. 已知二次函数（），关于的不等式的解集为，若集合，集合． （1）求函数在集合上的取值范围； （2）求集合； （3）记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围． 19. 若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． （1）判断是否为“集合”，说明理由； （2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“集合”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $