广东佛山市南海区石门中学2026-2027学年高二上学第一次供题训练数学试卷

2028届高二级上学期第一次供题训练 数学试卷 本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列试验中是古典概型的是（    ） A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 2．已知事件，满足，，，则（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.2 D．0.12 3．已知空间向量，，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．已知底面边长为2的正四棱柱的体积为，则直线与所成角的余弦为（    ） A． B． C． D． 7．一个袋子中有4个红球，n个绿球，采用不放回的方式从中依次随机地取出2个球，若取出第二个球是红球的概率为0.4，那么n的值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 8．已知球的半径为，是球表面上的定点，是球表面上的动点，且满足，则线段轨迹的面积为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有两项或三项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．某学生社团有男生32名，女生24名，从中随机抽取一个容量为7的样本，某次抽样结果为：抽到3名男生和4名女生，则下列说法正确的是（    ） A．这次抽样可能采用的是抽签法 B．这次抽样不可能是按性别分层随机抽样 C．这次抽样中，每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的概率 D．这次抽样中，每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到的概率 10．在一个有限样本空间中，事件，，发生的概率满足，则下列说法正确的是（   ） A．若与相互独立，则 B．若与互斥，则 C．若，则 D．若，与互斥，则 11．在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为，动点到直线的距离为．若二面角为，则（    ） A． B． C．当时，平面 D．当时， 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为__________． 13．若，在直线上，则直线的一个单位方向向量是______ 14．如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．河南某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作、、、，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图2.    (1)田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？ (2)请把图2的条形统计图补充完整. (3)若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生.现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率. 16．如图，在平行六面体中，，分别在棱上，且． (1)求证：四点共面； (2)求的长度． 17．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，． (1)证明：； (2)若， （i）设，点到直线的距离为3，求的值； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值． 18．甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． (1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的p的值； (2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为1分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率. 19．在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为将其整理为一般式方程为，其中． (1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C B D C C AB ACD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】利用古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性进行判断． 【详解】对于A，“发芽”或“不发芽”概率不同，不满足等可能性，故A错误； 对于B，任取一球的概率相同，均为，故B正确； 对于C，基本事件有无限个，不满足有限性，故C错误； 对于D，由于射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不等，不满足等可能性，故D错误. 故选：B. 2．B 【详解】因为，所以， 所以. 3．A 【分析】先由向量坐标的线性运算可得的坐标，再由向量的共线的坐标关系可得. 【详解】由空间向量，， 所以，， 因为，所以，解得. 因此，. 4．C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 5．B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 6．D 【分析】根据异面直线所成角及余弦定理即可求解. 【详解】如图，连接，则， 正四棱柱的体积为， 则，则， 则为异面直线与所成角， 则，， 故. 故选：D    7．C 【分析】结合已知条件，分类讨论第一个球的颜色，按照独立事件的乘法公式即可求解. 【详解】若取出的第一个球为红色， 则第二个球也是红色的概率； 若取出的第一个球为绿色， 则第二个球是红色的概率. 所以取出第二个球是红色的概率， 解得，. 故选：C. 8．C 【分析】以球的球心为坐标原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，根据题设可得，在线段取点，使，从而得线段轨迹为圆锥的侧面，即可求解. 【详解】如图，以球的球心为坐标原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为球的半径为，则，设， 则，，所以， 又，，则，得到， 如图，在线段取点，使，所以线段轨迹为圆锥的侧面， 又，则，所以圆锥的侧面积为， 所以线段轨迹的面积为， 故选：C. 9．AB 【分析】根据抽样方法的概念求解即可. 【详解】根据抽样结果，此次抽样可能采用的是抽签法，A正确； 若按分层抽样，则抽得的男女人数应为4人，3人， 所以这次抽样不可能是按性别分层随机抽样，B正确； 若按抽签法，则每个男生被抽到的概率和每个女生被抽到的概率均相等，C,D错误. 故选:AB. 10．ACD 【分析】对于A，利用独立事件求，进而由即可判断，对于B，由与互斥，得即可判断，对于C，由，求，进而求，又与互斥，进而求，即可判断，对于D，由即可判断. 【详解】对于A，由与相互独立，所以， 所以，故A正确； 对于B，若与互斥，所以，故B错误； 对于C，由，所以， 所以， 所以，， 由与互斥，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 11．ACD 【分析】设分别为在直线上的垂足，设的单位向量为，记，从而得到，且，求出，，，选项A，由的范围得到的范围，从而得到结论；选项B，求出，结合向量的垂直公式得到结论；选项C，由得到，从而求出，计算，得到故，即，结合线面垂直的判定定理得到结论；选项D ，设直线与的夹角为，利用向量的数量积公式求出，求出，结合已知条件得到，从而得到结论. 【详解】设分别为在直线上的垂足，设方向的单位向量为， 并记， 由题意，，且， 则， 因为， 所以， 选项A，因为，所以， 当且仅当时取等号，则选项A正确. 选项B，因为， 所以不一定有，则选项B错误. 选项C，当时，必有，从而， 又，故； 即，直线是平面内两条相交直线， 所以平面，则选项C正确. 选项D ，设直线与的夹角为， 因为， 所以，， 因为，， 所以， 则， 因为，所以，解得，则选项D正确. 12． 【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据15组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解. 【详解】由计算机产生的15组数据中，甲获得冠军的数据有421，231，114，522，123，232，122，共7组， 据此估计甲获得冠军的概率为． 故答案为：. 13． 14． 【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，把 化为坐标满足的方程，确定点 所在区域；再把 用坐标表示并配方，即可求出取值范围. 【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 由 ， 得 ，，，. 设 . 因为 在长方体内部（含边界），所以 ，，. 又 ，. 由 得 ，即 ，化简得 . 由 得 ，解得 ，故 ，. 因为 ，，所以 . 又 ，代入得 . 配方得 . 因为 ，，所以当 ， 时（此时 ，符合 ）， 取最小值 . 当 ， 或 ， 时， 取最大值 . 所以 的取值范围是 . 15．(1)15件； (2) (3) 【分析】（1）根据B班有5件作品，且对应的圆心角为求解； （2）结合（1）根据总件数和A，B，D班的件数求解； （3）利用古典概型的概率求解. 【详解】（1）解：（件）， 即田老师抽查的四个班级共征集到作品15件； （2）C班级的作品数为：（件）， 把图2的条形统计图补充完整如下：    （3）恰好抽中一名男生、两名女生的概率，即为不参加学校书画座谈会的获奖选手为一名男生、一名女生的概率. 不参加学校书画座谈会的获奖选手情况画树状图如下：    共有20种等可能的结果，恰好一名男生、一名女生不参加学校书画座谈会的结果有12种， ∴恰好抽中一名男生、两名女生的概率为. 16．(1) 在平行六面体中，令，则是空间的一个基底， 由，得，， 因此，而点直线，则，所以四点共面. (2)6. 【分析】（1）取空间的一个基底，利用空间向量的线性运算及向量共线推理得证. （2）由（1）中基底表示，再利用空间向量数量积及运算律求解. 【详解】（1）略 （2）依题意，， 而， 则， 因此， 所以的长度为6. 17．(1)证明： 因为，，． 所以，故， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面, 所以． (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据面面垂直的性质及线面垂直的性质即可证明； （2）建立空间直角坐标系，（i）根据点到直线距离公式列出方程即可求解；（ii）根据面面夹角的向量公式即可求解． 【详解】（1）略． （2）因为，，所以，又，， 所以，如图建系直角坐标系． 所以，，，，， （i）因为，所以点的坐标为， 所以，， 则直线的一个单位方向向量为， 点到直线的距离，解得． （ii）已知平面的一个法向量为， ， 设平面的一个法向量为， 由，即，取． 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18．(1)，当时，最大值为 (2)①；②． 【分析】（1）设答对文化测试的第题，由 求解即可，再由基本不等式求最大值； （2）①由题意可得甲恰好通过文化测试和体育测试的一个，由此求解即可； ②设甲总分为分，，设乙总分为分，，由，求解即可. 【详解】（1）设答对文化测试的第题， 则甲恰好答对两道文化测试题的概率为： ， 由基本不等式可得，， 当且仅当，即时取等号，此时最大值为； （2）当时， ①甲通过文化测试的概率为， 则， 甲乙两人通过体育测试的概率均为， 则， 当甲总分为1时，甲恰好通过文化测试和体育测试的一个， 故甲总分为1的概率为： ； ②乙通过文化测试的概率为，则同理可得， 设甲总分为分，，设乙总分为分，， ，， ， ， 故甲总分高于乙总分的概率为 ． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给出的结论，得到直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量求直线与平面所成的角的余弦值. （2）在平面上取一点，利用空间向量的方法求点到面的距离即可证明；分析出所围成的几何体为为正八面体，利用点到平面距离公式求出半径即可求解内切球的表面积. （3）分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求平面角的余弦值. 【详解】（1）由直线的点方向式方程为， 可知直线的一个方向向量坐标为. 由平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以有， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为． （2）不妨设，在平面内取一点， 则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为： ． 对于，当时，表示经过，，的空间直角坐标系在第一卦限的部分. 由对称性可知表示，，这六个顶点形成的正八面体， 设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离， 则． 所以内切球的表面积为． （3）因平面经过三点，，， 可得，， 设侧面所在平面的法向量为 则，令，解得，，可得， 由平面的一般式方程， 可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，令，则，，可得， 由平面， 可知平面的一个法向量为， 由，，则，， 解得，即， 故平面与平面夹角的余弦值为： ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $