考点03 几个三角恒等式（专项训练）高一数学苏教版必修第二册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点03几个三角恒等式 1-cosa 半角公式 1+c0s0 cOS 2 1-cosu tan- 1+cosa sinacos=sin(-)+sin(+) cosusinp-sin(sin(a) 几个三角恒等式 积化和差公式 casucosB--(ces(a-P)+cos(a+Bl sinasinB=cos(a-B)-cos(+ i心+siw=2sin22c2wn 2 sinx-sinv=2cos 2 和差化积公式 cosx+cosy=2cosos 2 cosx-cosy=-2sinsin 2 考点查缺 精准补漏 考点：半角公式 sin a =士 1-cosa a 1+cosa cos =土 2 2 2 tan = 1-cosa V1+cosa 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的. an sina a 1-cosa -tan 2 1+cosa'2 sina 以上两个公式称作半角正切的有理式表示. 考点二：积化和差公式 sin cosB-sin(B)+sin(+)] 1/24 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 cosa sin B=- sin(+B)-sin(B)] cosa cos-cos()+cos() sina sin B=。[cos(a-B)-cos(a+B)】 知识点诠释： 规律1：公式右边中括号前的系数都有) 规律2：中括号中前后两项的角分别为a+B和-B. 规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数. 考点三：和差化积公式 sinx+sin y=2sincosy 2 2 sinx-siny=2co x-y -sin 2 2 Cosx+cosy=2cos -cos x-y 2 2 cosx-cosy=-2sin+sin 2 2 知识点诠释： 规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2. 规律2：在所有的公式中，左边都是角A与B的弦函数相加减，右边都是A+B与4一B的弦函数相乘， 2 2 规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（©os)加扣等于 俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出扣减扣等于没扣”. 规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘. 2/24 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型突破 遥法接凉 题型一：积化和差公式的应用 点方法 在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应为sin(a+B)与sin(au-B)的和或 差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为cos(a+B)与cos(a-B)的和或差. 舞易猪 易漏系数、符号写错，角度拆分混乱。注意公式结构统一，优先化简特殊角，避免盲目展开，计算后核 对正负与系数。 2π 4π 6π 1.cos +cos- +cos 7 的值为() 7 3 3 B. D.- 4 4 5 【答案】A 【解析】首先，我们先对cos2+c0s4红+c0s6合理变形， 1 0s4红+cos6 得到cos π 4π s6元 2sin (cos 2+c +Cos 7 7 7 -+c0s 7 250子 2 sincos2红+2sin7cos4+2s9 sin cos6 7 7 7 7 7 7 2sin 7 由积化和装公式得2s号如os行-m号++号2马-sm -sinπ 7 77 7 同理可得2 sincos4红=g sim号+钙+sm号钙=m 3π 7 7 7 7 2sincos=sin(6) n(号6)=sm元-sin经=-si 5π -)+sin( 7 77 7 则2 sicos2+2 sincos4杯+2 2sinco6红- 7 -cos 7 7 =-sin 7' 将2如m2m5 os4+2 sin cos6π-sin 77 7 057= 7 1 =2,故A正确 3/24 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：A 2.sim5πcosT等于() 12 12 A.15 24 B.+ 24 C.1_ 42 D.1 42 【答案】B 324 故选：B 3.sin220°+cos280°+√3sin20°cos80°的值是() A号 1 B.3 C. D.1 【答案】A 【解析】原式 =1-cos40°+1+c0s160°+5 [sin(20°+80-sim(80°-20j]--cos40°+1+cos160°+ -(sin100°-sin60） 2 2 2 =1-cos40+60s2091+5 -cos10°=2=1-cos30c0s10°+V3● 2c0s10°-31 44 故选：A 2 B.3 4 C.3 D.月 【答案】C 【解所】因为owa+引ma-)ewa+景a-}ema+经a+】 1 故选：C 5.已知isin(@+B)sin(B-a)=m,则os2a,cos2B等于(） 2 A.-m B.m C.-4m D.4m 【答案】B 4/24 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【解折】sim(a+B)sin(B-a)=cos[a+B)-(B-a】cosa+B)+B-a】_cos2a,cos2P=m 2 故选：B. 题型二：和差化积公式的应用 点方法 和差化积公式应用时要注意只有系数的绝对值相同的各函数的和与差才能直接运用推论化成积的形 式 舞易猪 系数、角度拆分、正负号，先统一函数再套公式。 1.sin20°+cos10°可化简为() A.sin 50 B.cos50° C.3 sin 50 D.3 cos50 【答案】C 【解析】 sin20°+cosl0°=sin20°+sin80°=sin(50°-30)+sin(50°+30°)=sin50°cos30°-cos50°sin30°+sin50°cos30°+cos50°sin 故选：C 2.设1= 24, 则sin3+sin51-（) cost A.1 B. C.5 D. √3 2 【答案】A 【解析】sin3t+sin5t=2sin cos 5t-31 3t+5t。 =2sin4tcost, 2 2 2sin4tcost =2sin4t(cost≠0)， cost 1 代入14=4这元T,2sn28 246 =1. 6 2 故选：A. 3.cosxcosy+sinxsiny= 2如2x+sn2y=子，则sn+川：（) 1 5/24 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.-3 5 4 B. c 【答案】C 1 【解析】由题知cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny= sin 2x+sin2y=3 2 sim2x+sin2y=sm[x+列+x-]+sim[x+川-x-]=2sinx+列cosx-川=号 即snx+列eos(x-列号 1 2 ..sin(x+y)= 3cos(x-y)3 故选：C 4.cos72°-cos36的值为() A.3-25 B. D.3+2W5 【答案】C 【解折】原式=-2n72生36gm72,6=-2sn54×n18=-2s36cs7z -sin- 2 =-2x sin36'cos36'cos72sin72'cos72 sin144 sin36°1 sin36 sin36 2sin36' 2sin36=-2 故选：C 5.己知x,y∈ cos sin-sin2 J 3,则an2x=（) A. 63 33 63 16 B. C.33 D. 16 56 56 【答案】C 【解析】因为2sinx-y)cos(x+y)=2(sinxcosy--cos xsiny)(cosxcosy-sinxsiny) =2(sin xcosxcos2y-sin ycos ysin2x-sin y cos ycos2x+sinx cosxsin2y)=2sin xcosx(cos2y+sin2y)-sin ycosy(cos2x =2(sin x cosx-sin ycosy)=sin 2x-sin 2y, 6 3 由题意可知sin2x-sin2y=- osx+川=名所以snx-列= 因为x,y∈0，π sin(x-y)>0,cos(x+y)<0, 2 6/24 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以-0引*y(经 所以ox-功=sm-可-手sx+小=-os(+可-号 因为n2x=6m+小红-明=+列o-小+or4列smx列-导气}8 os2rox+列小4-小-eas+列ox-列-n+列m-列-含}号号 65 所以tan2xr=sin2x=-33 cos2x 56 故选：C 题型三：应用半角公式求值 点方法 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求 解. (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的 范围. (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tang=,sin=1-cosa 其优点是计算时可避免 21+c0s0 sina 因开方带来的求角的范围问题：涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sing=一cos0 22 cos2g=1+cosa计算. 2 2 (4)下结论：结合(2)求值. 群易猪 先确定角所在象限，判断正负号，再选公式。优先用己知余弦计算，避免根号嵌套，别混淆分子 分母与系数。 1----- 1.已知cosa= 3 3π aeπ 则tan 2 2 【答案】-2 7/24 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【解析】因为cosa=- 则 3 则由半角公式，得tan 1-cosa 5 2 11+cosa 3 1+-5 故答案为：-2 2。已知a为第一象限角，sna=则an中 2 【爷案】05 【解析】 a为第一象限角，一号是第一象限角或第三象限角，：am号>0，c0sa>0, 4 163 sina=5 cosa=-sina= 255 ·根据半角公式可得tan 1-cosa 2 11+cosa 故答案为：2 3.若simu=5,ae0,,则am号 2 【答案】5-2V6 所以tang=1=cosa=5-2V6 2 sina 故答案为：5-2V6 4.在ABC中，cosB= 2+tan24+C 3’则cos2 2 【路12号 【解析】cos2B+tan24+C=+cosB sin2A+C 1-cos(4+C) 1+cosB 2 22 cos24+C 2 1+cos(A+C) 2 2 8/24 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1+cosB 1-cos(A+C)1+cosB 1-cos(x-B)1+cosB itcos I 11 十 ，3+T3-8 2 1+cos(4+C)2 1+cos(π-B)2 +1-cosB21- 13 故答案为：习 8 4 5.已知sina=-5,则am2 【答案】 1或-2 【解析】方法一：因为sina=-4, ,所以cosa=t3 由sina=- 可得+2k<a<片+2红，ke乙 4 则亚+ka<g<7亚+杯，k∈Z,所以amg<0. 28 故tan 1-cosa =-1+cos0 将cosa=代入可得tan9 3 1+ 将cosa=- 代入可得tan 5 =-2-2, 3 1 5 1 故tan2 2或-2： 方法二：圆为s如a=手所以osa=士是 3 13 na=1-cosa=5=-1 若cosu=2,则tan2=sina 5 4 5 3 1- 3 若cosa=- ,则tan a 1-cosa 5 =-2 2 sina 4 5 1 故答案为：2或-2 9/24 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型四： 三角函数式的化简与证明 点方法 三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简， (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子. (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即 化异求同， (4)比较法：设法证明“左边一右边=0”或“左边右边=1”. (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到获得已知条件或明显的事 实为止，就可以断定原等式成立. 群易猪 符号、定义域、约分漏项，证明从繁到简，不跳步。 1.学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式： simceosp-[sin(+sin(cosinp[sim(sin()] oo=[cos(a+B)+cos(a-B],sinsin=-[cos(a+P)-cos(a-B].请你结合相关内容回答 以下问题： 0证明：coo=cosa+B+-cosfa-B], 2已知cosa+B)cosa-)号，求cosa-snB的值； 3)若a+B+y+o=π，证明：sina+B)sin(a+y）=sinasin+sinBsiny. 【解析】(1)利用余弦的和角、差角公式： cos(a+B)=cosa cos B-sina sin B, cos(a-B)=cosa cos B+sin a sin B, 将两式相加：cos(a+B)+cos(a-B)=2 cosa cos阝 两边同时除以2，得： coscos-osB)+cos-B) 2)已知cosa+B)cosa-)- 10/24 考点03 几个三角恒等式 考点一：半角公式 ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 考点二：积化和差公式 知识点诠释： 规律1：公式右边中括号前的系数都有． 规律2：中括号中前后两项的角分别为和． 规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数． 考点三：和差化积公式 知识点诠释： 规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2． 规律2：在所有的公式中，左边都是角与的弦函数相加减，右边都是与的弦函数相乘． 规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”． 规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘． 题型一：积化和差公式的应用 在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应为与的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为与的和或差． 易漏系数、符号写错，角度拆分混乱。注意公式结构统一，优先化简特殊角，避免盲目展开，计算后核对正负与系数。 1．的值为（    ） A． B． C． D． 2．等于（    ） A． B． C． D． 3．的值是（    ） A． B． C． D．1 4．若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．已知，则等于（　　） A．－m B．m C．－4m D．4m 题型二：和差化积公式的应用 和差化积公式应用时要注意只有系数的绝对值相同的各函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式． 系数、角度拆分、正负号，先统一函数再套公式。 1．可化简为（   ） A． B． C． D． 2．设，则（    ） A．1 B． C． D． 3．若，，则（    ） A． B． C． D． 4．的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 题型三：应用半角公式求值 利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． （3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用，计算． （4）下结论：结合（2）求值． 先确定角所在象限，判断正负号，再选公式。优先用已知余弦计算，避免根号嵌套，别混淆分子分母与系数。 1．已知，，则____________. 2．已知为第一象限角，，则______． 3．若，，则__________． 4．在中，，则________. 5．已知，则__________． 题型四：三角函数式的化简与证明 三角恒等式证明的常用方法 （1）执因索果法：证明的形式一般是化繁为简． （2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子． （3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同． （4）比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”． （5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到获得已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 符号、定义域、约分漏项，证明从繁到简，不跳步。 1．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题： (1)证明：； (2)已知，求的值； (3)若，证明：． 2．在中，求证：． 3．证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 4．求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 1．函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D．0 2．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 3．（   ） A． B．1 C． D． 4．下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）已知函数且是它的最大值（其中为常数，），给出以下命题，正确的是（    ） A．为偶函数 B．函数的图像关于点对称 C．是函数的最小值 D． 6．已知，且，则______，则______． 7．化简：_____________． 8．函数的最小正周期为_____________，最大值为_____________． 9．已知，，，，则的值为_____________． 10．求值： （1）____________； （2）____________． 11．已知函数． (1)求的严格增区间； (2)求在闭区间上的最大值和最小值及此时x的值． 12．已知函数． (1)求； (2)若，，求角． 13．已知，，求的值． 14．已知函数． (1)若，且，求的值； (2)求函数的最小正周期及单调递增区间． 15．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 16．求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 17．在中，求证：． 18．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $