第5讲 两条直线的位置关系（7个核心知识点+5个高频考点+6个重点题型专练）-【同步核心训】 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第二章 相交线与平行线（同步核心训） §2.1 两条直线的位置关系（解析） 北师大版七年级下册·相交线与平行线·思维导图 重点题型专练（共6个） 1. 概念辨析类 2. 余角、补角与方程综合 3. 与比有关的角度计算综合 4. 与垂直、角平分线有关的角度计算综合 5. 角度综合多结论辨析题 6. 角度有关的计算与证明综合 核心知识点（共7个） 1. 两条直线的位置关系 2. 对顶角及其性质 3. 邻补角及其性质 4. 余角和补角及其性质 5. 垂线及其性质 6. 垂线段最短 7. 点到直线的距离 高频考点（共5个） 1. 对顶角、邻补角的角度计算 2. 余角、补角的角度计算 3. 余角、补角的性质简单说理 4. 垂直定义判断与角度计算 5. 垂线段最短的实际应用 知识 1 两条直线的位置关系 在同一平面内不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交和平行. 知识 2 对顶角及其性质 1. 定义：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角 的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角.如图， ∠1和∠2，∠3和∠4都是对顶角. 2. 对顶角的性质：对顶角相等 ˙敲黑板˙ （1）判断两个角是不是对顶角，关键是看这两个角是否有公共顶点，一个角的两边是不是另一个角两边的反向延长线； （2）对顶角一定相等，相等的两角不一定是对顶角. 知识 3 邻补角及其性质 1. 定义：有一条公共边，且另一条边是另一个角的反向延长线， 那么这两个角就叫做邻补角.如图，∠1和∠4，∠2和∠4 都是邻补角. 2. 对顶角的性质：邻补角互补 ˙敲黑板˙ （1）判断两个角是不是对顶角的关键是看这两个是否有公共顶点，一个角的两边是不是另一个角两边的反向延长线； （2）邻补角一定互补，互补的两角不一定是邻补角. 知识 4 余角和补角及其性质 定义 图形 语言表述 互余 如果两个角的和等于90°（直角），则这两个角互为余角，即其中每一个角都是另一个角的余角 ∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角 互补 如果两个角的和等于180°（平角），则这两个角互为补角，即其中每一个角都是另一个角的补角 ∠3+∠4=180°，则∠3与∠4互为补角 2. 余角和补角的性质： 同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等 ˙敲黑板˙ （1）若∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，则∠1=∠3（依据：同角的余角相等）； （2）若∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，则∠1=∠3（依据：同角的补角相等）； （3）若∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠1=∠3，则∠2=∠4（依据：等角的余角相等）； （4）若∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，∠1=∠3，则∠2=∠4（依据：等角的补角相等）. 知识 5 垂线及其性质 1. 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条 直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 2. 示例：如图所示，直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”(或CD⊥AB)，读作“AB垂直于CD”.如果垂足是O，记作“AB⊥CD，垂足为O”. ˙敲黑板˙ （1）垂直是相交的一种特殊情形； （2）线段与射线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直； （3）根据两条直线互相垂直的定义可知：两条直线互相垂直，则所成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直； （4）两条直线相交所成的4个角，若对顶角互补，邻补角相等，都可得出垂直关系. 3. 垂线的基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 4. 示例：如图所示，点P分别为直线l外和直线l上一点，过点P有且只有一条直线m与l垂直. ˙敲黑板˙ （1）画已知直线的垂线可以画出无数条，但过一点画已知直线的垂线，只能画出一条； （2）必须强调“在同一平面内”，若是在空间里，经过一点与已知直线垂直的直线，则有无数条； （3）同一平面内，过一点（或直线外、直线上一点）都是有且只有一条直线与已知直线垂直. 知识 6 垂线段最短 1. 定理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 2. ˙敲黑板˙ （1）垂线是指一条直线，而垂线段是指一条线段. （2）直线外一点到这条直线的垂线段只有一条. 3. 示例：如图所示，PO⊥l,垂足为O，则线段PO叫做点P到直线l的垂线段. 知识 7 点到直线的距离 1. 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 2. 两点间的距离与点到直线的距离的区别： 两点间的距离 点到直线的距离 定义 连接两点的线段的长度 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度 性质 两点之间，线段最短 垂线段最短 【高频考点1——对顶角、邻补角的角度计算】 【核心考点1·例题精讲 对顶角、邻补角的定义】 例1、（25-26七年级上·上海·假期作业）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，“具有共同的顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角”，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A．根据对顶角的定义，A中的与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； B．根据对顶角的定义，B中与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； C．根据对顶角的定义，C中与不具有共同的顶点，不是对顶角，故不符合题意； D．根据对顶角的定义，D中与具有共同的顶点且两边互为反向延长线，是对顶角，故符合题意． 故选：D． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列工具中，有对顶角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，关键是熟练掌握对顶角的定义．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解． 【详解】解：由对顶角的定义可知，下列工具中，有对顶角的是选项A． 故选：A． 2．（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有 对． 【答案】6 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义，对顶角的两边互为反向延长线，可以判断． 【详解】解：如下图： 图中对顶角有：与、与、与、与、与、与，共6对． 故答案为：6． 3．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）平面上3条互不重合的直线交于一点，其中对顶角有 对． 【答案】6 【分析】本题主要考查对顶角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键；三条互不重合的直线交于一点，可视为三对两条直线的组合，每对两条直线相交形成2对对顶角，因此总对数为对，然后问题可求解． 【详解】解：三条互不重合的直线交于一点，共有三种不同的两条直线组合：直线1与直线2、直线1与直线3、直线2与直线3，每种组合形成2对对顶角，故总对数为对． 故答案为：6． 例2、（2026七年级下·全国·专题练习）下列图形中，与互为邻补角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角的定义，判断两个角是否满足三个条件：①有一条公共边；②另一边互为反向延长线；③两角之和为． 【详解】解：A、与没有公共边，不满足邻补角的条件，不符合题意； B、与的另一边不互为反向延长线，不满足邻补角的条件，不符合题意； C、与有一条公共边，另一边互为反向延长线，且两角之和为，符合邻补角的定义，符合题意； D、与 的另一边不互为反向延长线，且角度和不是，不符合题意． 故选：C． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是邻补角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查邻补角的判定，掌握邻补角需同时具备公共顶点、公共边、另一边互为反向延长线是解题的关键． 先明确邻补角的条件：两个角需有公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线，再逐个分析选项，判断是否满足这些条件． 【详解】解：邻补角需同时满足：有公共顶点、一条公共边、另一边互为反向延长线． A：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； B：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； C：∠1与∠2的和不等于180°，不符合题意； D：∠1与∠2有公共顶点、公共边，且另一边互为反向延长线，符合邻补角定义，符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有 对． 【答案】12 【分析】本题主要考查了邻补角的定义； 根据邻补角定义判断即可，注意：两直线相交，邻补角有四对． 【详解】解：∵直线、、相交于点， ∴与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角；与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角； ∴共12对邻补角， 故答案为：12． 3．（23-24七年级下·贵州黔东南·月考）观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【答案】(1)2，4 (2)6，12 (3)12，24 (4) (5)可形成9900对对顶角；19800对邻补角 【分析】本题考查有规律性的数学问题，关键是由特殊情况总结出一般规律．由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解． （1）根据图形直接得出答案即可； （2）根据图形直接得出答案即可； （3）根据图形直接得出答案即可； （4）由特殊情况总结出一般规律； （5）再由（4）得出的规律进行解答即可． 【详解】（1）图①中共有2对对顶角，4对邻补角， 故答案为：2，4； （2）图②中共有6对对顶角，12对邻补角， 故答案为：6，12； （3）图③中共有12对对顶角，24对邻补角， 故答案为：12，24； （4）根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角．对邻补角， 故答案为：，； （5）若100条直线相交于一点，则可形成9900对对顶角，19800对邻补角， 【核心考点2·例题精讲 对顶角、邻补角的角度计算】 例1、（25-26七年级下·全国·周测）如图，直线，相交于点．如果，那么的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键． 根据，结合邻补角的定义可求出，再根据对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：，且， ， 解得：， ， 故选：A． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，已知，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是对顶角的性质，邻补角的性质，先求解，再进一步的利用邻补角的性质求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，直线与相交于点O，，则的邻补角的度数是 ． 【答案】/130度 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，邻补角互补，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由对顶角相等得到，然后根据邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵直线与相交于点O，， ∴， ∴的邻补角的度数是． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，为了测量一座古塔外墙底部的底角的度数，李萧同学设计了如下测量方案：作，的延长线，，量出的度数，从而得到的度数．这个测量方案的依据是 ． 【答案】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的性质，掌握对顶角相等，利用该性质可以通过测量易获取的角来得到不易直接测量的角是解题的关键． 观察与的位置关系，判断其为对顶角，根据对顶角的性质确定测量方案的依据． 【详解】解：∵与是对顶角，根据对顶角相等的性质， ∴量出的度数，即可得到的度数． 因此，这个测量方案的依据是：对顶角相等． 故答案为：对顶角相等． 【高频考点2——余角、补角的角度计算】 【核心考点1·例题精讲 利用余角、补角的定义计算角度】 例1、（25-26七年级上·湖南娄底·期末）已知与互为余角，，则的补角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查余角，补角的定义及角度制，先利用余角的定义求出的度数，再根据补角的定义计算的补角，关键是掌握余角和补角的定义，以及度分秒的换算． 【详解】解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， ∵互为补角的两个角和为， ∴的补角． 故选：B． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·湖北黄石·期末）一个角的补角是，则这个角的余角是 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查了余角和补角的知识，解题的关键是：掌握互余两角之和为，互补两角之和为．根据补角定义求出这个角，再根据余角定义求出余角 【详解】解：设这个角为x， 根据题意，得， 解得． 这个角的余角为． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）与互为补角，且，则的余角可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查补角与余角的定义，先根据补角性质得到与的数量关系，再将的余角用、的代数式表示并化简，最后对比选项得出结果． 【详解】解：∵与互为补角， ∴， ∴， ∵的余角为， ∴将代入得： ， ∴的余角为， 故选：D． 3．（25-26七年级上·河南濮阳·期末）一个角的补角比它的余角的3倍大，求这个角的余角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了补角、余角的概念，角度的计算，准确理解题意建立正确的方程是解题的关键．设这个角为，则这个角的补角为，这个角的余角为，由题意得：，解方程得到这个角为，最后计算出这个角的余角即可． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为，这个角的余角为， 由题意得：， 解得：， ∴这个角的余角为：， 答：这个角的余角的度数为． 【核心考点2·例题精讲 利用图形中得余角、补角计算角度】 例1、（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，，是的平分线，和互余，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查角的和差运算，角平分线的定义，余角的概念，掌握好相关知识是关键． 根据角平分线的定义得，从而计算出，根据余角的概念，求出即可． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵和互余， ∴， ∴． 故答案为：． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）将一副三角尺按如图方式摆放，下列结论正确的是______（写所有正确结论的序号）． ①与互余；②；③与互余；④与互补． 【答案】①②④ 【分析】本题考查三角板内的角度，互余、互补的定义，根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：由题意可知在和中，， ∴，即与互余，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①②④正确，③与互余无法确定； 故答案为：①②④． 2．（25-26七年级上·广西梧州·期末）下列四个图都由一副透明的三角尺摆放而成，其中与互补的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角，熟记概念与性质是解题的关键． 根据补角，对顶角、邻补角的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A、图中的对顶角和的对顶角的和为，所以，不互补，故本选项不符合题意； B、图中，不互补，故本选项不符合题意； C、图中，的邻补角为，所以，，互为补角，故本选项符合题意； D、图中，与互余，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26七年级上·广西百色·期末）如图，是直角，射线在的内部．若等于的补角的，则的度数是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查余角、补角的定义及一元一次方程的应用，关键是根据角度之间的数量关系列出方程．首先设的度数为，利用直角的性质得到，再结合补角的定义表示出的补角，最后根据题目给出的等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵是直角， ∴， ∴． ∴的补角为． 根据题意，可列方程：， 解得：； 故选：B． 例2、（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，射线，射线在内部，． (1)若，求的度数． (2)若与互补，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差，补角的定义，解题的关键是： （1）设，结合已知求出，，，结合得出，即可求解； （2）由（1）得，，结合与互补得出，即可求解． 【详解】（1）解：设， ， 又， ， ， ， ； （2）解：由（1）得，． 因为， 所以， 解得， 所以． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）（1）一个角的补角比这个角的倍大，求这个角的度数． （2）如图，与互余，平分．若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）设这个角的度数为，根据一个角的补角比这个角的倍大，列方程求解即可； （2）利用角平分线可得，接着根据与互余得到，进而可得的度数； 【详解】（1）解：设这个角的度数为， 由题意得：， 解得：， 答：这个角的度数； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴. 2．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图1，与互为补角，，且． (1)求的度数； (2)如图2，若平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，以及，即可求解； （2）根据与互为补角可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵与互为补角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·江西南昌·月考）如图，点O为直线上一点，平分． (1)平分吗？说明理由； (2)写出所有的互余的角． 【答案】(1)平分，理由见解析 (·2)互余，互余，互余，互余． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再根据角的和差可得，由此即可得； （2）根据互余的角之和为即可解答． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴平分； （2）解：∵，平分，平分， ∴，， ∴， ∴互余，互余，互余，互余． 【高频考点3——余角、补角的性质简单说理】 【核心考点1·例题精讲 余角、补角的性质简单说理】 例1、（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，由，可直接推导出，依据是（ ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角的知识．根据“同角的余角相等”，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴（同角的余角相等）． 故选：A 【同步跟进·核心考点专训】 1．（2025七年级上·四川南充·专题练习）已知，， ．那么与的关系是（ ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查互余和互补的性质，先利用同角的补角相等得出，再结合与互余的关系，推导与的关系. 【详解】解：∵， ， ∴，（同角的补角相等） ∵， ∴， ∴与互余， 故选：B． 2．（25-26七年级上·吉林·期末）如图，若，射线与东西方向的夹角为，则点相对于点的方向为（ ）    A．北偏东 B．东偏北 C．北偏东 D．北偏西 【答案】A 【分析】根据同角的余角相等，得到射线与正北方向的夹角为，解答即可． 本题考查了方向角的应用，余角的性质，熟练掌握方向角的计算是解题的关键． 【详解】解：根据同角的余角相等，得到射线与正北方向的夹角为， 故点相对于点的方向为北偏东， 故选：A． 3．（25-26七年级上·山东滨州·月考）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查余角的性质，将角度进行转化得到关系是解题的关键． 首先根据正方形的性质得到角度为，再进行角度转化即可得到、、三个角的数量关系． 【详解】解：如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点O重合放置， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 例2、（25-26七年级上·北京朝阳·期末）如图，是直线上一点，平分，平分，与互补．求的度数． 补全下面的解题过程，括号内填推理的依据． 解：因为是直线上一点， 所以①． 因为与互补， 所以②． 所以．（③） 因为平分，平分， 所以，． 所以④． 所以⑤． 【答案】；；同角的补角相等；； 【分析】本题主要考查了平角的定义、角平分线的定义、补角的性质，熟练掌握同角的补角相等及角平分线的定义是解题的关键．先利用平角定义得到与的和为．再根据“同角的补角相等”推出．接着由角平分线的性质，把用表示出来．最后代入互补关系的等式中，计算出的度数，从而得到的度数． 【详解】解：因为是直线上一点， 所以． 因为与互补， 所以． 所以．（同角的补角相等） 因为平分，平分， 所以，． 所以． 所以． 故答案为：；；同角的补角相等；；． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·广东韶关·期末）如图，O为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： 因为与互补（已知）， 所以（补角的定义）． 又因为O为直线上一点（已知）， 所以（平角的定义）． 即， 所以（_______）． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了补角的定义，角平分线的有关计算等知识． （1）根据求解过程补充完整即可． （2）由角平分线的定义得出，再根据补角的定义得出，再根据角平分线的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：因为与互补（已知）， 所以（补角的定义）． 又因为O为直线上一点（已知）， 所以（平角的定义）． 即， 所以（同角的补角相等）． （2）解：∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线． ∴． 2．（25-26七年级上·山东聊城·期末）如图，，平分，，求的度数。 以下是小亮的做法： 解：由得 ，． 根据______，得 ______。 因为平分， 所以根据______，得 ______， …… (1)完成填空； (2)请用两种不同的思路补全小亮解题过程中未完成的部分． 【答案】(1)同角的余角相等（余角的性质），，角平分线的定义， (2)，见解析 【分析】本题考查了角的和差计算，角平分线的定义，与余角有关的计算． （1）先由同角得余角相等得到，再由角平分线定义得到，即可填空； （2）思路1，由即可求解；思路2，先求出，再由即可求解． 【详解】（1）解：由得，，． 根据同角的余角相等，得 因为平分， 所以根据角平分线的定义，得， 故答案为：同角的余角相等，，角平分线的定义，． （2）解：思路1：∵，由（1）得， ∴； 思路2：由得，， 由（1）得 所以． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，直线，相交于点，平分，平分． (1)若，求的度数． (2)试问与的关系． 解：（1）平分， 直线，相交于点O 又平分 （________的定义） （2）直线，相交于点O （________） 又平分 （________） 【答案】(1)，，角平分线 (2)，同角的补角相等，等量代换 【分析】此题考查了角平分线的定义，平角的定义，同角的补角相等， （1）根据角平分线的定义和平角的定义求解即可； （2）首先根据同角的补角相等得到，然后等量代换求解即可． 【详解】（1）解：平分， 直线，相交于点O 又平分 （角平分线的定义）； （2）解：直线，相交于点O （同角的补角相等） 又平分 （等量代换）． 【高频考点4——垂直定义判断与角度计算】 【核心考点1·例题精讲 垂线的定义与性质】 例1、（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，若，，则点，，在同一条直线上，推理的依据是____________． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查了垂线的性质，根据垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可求解． 【详解】解：若，，则点，，在同一条直线上，推理的依据是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列说法： 有且只有一条直线垂直于已知直线； 两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直； 过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 其中正确的说法有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线之间的位置关系，在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，可知错误，正确，根据对顶角相等和对顶角的和是，可知这两条直线垂直，故正确，根据点到直线的距离的定义，可知正确． 【详解】解：在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，故错误； 两直线相交，对顶角相等，若对顶角的和是，则每个角都是，即两直线相交形成的夹角是，两条直线互相垂直，故正确； 根据点到直线的距离的定义，可知：过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离，故正确； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故正确． 综上所述，正确的说法有． 故选：B． 2．（24-25七年级下·吉林白城·期中）下列说法正确的有（ ） ①互为补角的两角的平分线互相垂直； ②在同一平面内，两条互相垂直的线段不一定相交，但它们所在的直线一定相交； ③两条直线相交成四个角，如果有一对对顶角互余，那么这两条直线垂直； ④画一条射线的垂线，垂足一定落在这条射线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据所学的相关知识，解答后判定作答即可． 本题考查了垂线，垂直的意义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：①互为补角的两角的平分线不一定互相垂直，如正方形的对角的平分线是一条，故本结论错误； ②在同一平面内，两条互相垂直的线段不一定相交，但它们所在的直线一定相交，正确； ③两条直线相交成四个角，有一对对顶角都是，两角互余，其邻补角为，二线不垂直，故本结论错误； ④画一条射线的垂线，垂足可能落在这条射线上，也可能落在射线的反向延长线上，故本结论错误． 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④．其中能说明的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查垂线的定义，角的概念，对顶角、邻补角的定义，准确识图，理解垂线的定义，对顶角、邻补角的定义是解决问题的关键． 根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：①∵直线，相交于点，， ∴， 故条件①能说明； ②∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故条件②能说明； ③∵直线，相交于点， ∴， 根据已知条件，不能得到， 故条件③不能说明； ④∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， 故条件④能说明， 综上所述：能说明的条件有①②④，共3个． 故选：C． 【核心考点2·例题精讲 与垂直有关的角度计算】 例1、（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，已知直线相交于点O，，若，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂线的定义可得，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级下·广东江门·开学考试）如图，点在直线上，，若平分，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出和，再结合角的和差求解即可． 【详解】解： 平分，， ， ， ， ， ． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点，于点，于点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先根据垂直的定义得到直角，再结合已知角度求出相关角的度数，最后通过角的和差关系计算出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 3．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，点在直线上，，且平分，．则________． 【答案】60 【分析】本题主要考查角的计算、角平分线的性质，根据角平分线的性质得到角度是解题的关键． 首先根据平角得到的度数，再根据角平分线的性质得到的度数，再结合得到的度数，进而即可求解的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60． 例2、（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，是直线上的点，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由邻补角的性质得，进而根据角平分线的定义即可求解； （）由垂直的定义得，再根据角的和差关系即可求解； 本题考查了邻补角的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（）知， ∴． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，直线，相交于点，过点作，且平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的计算，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平分，得，再结合对顶角相等，得，即； （2）结合，得，根据平分，得，又因为，得，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， 则． 2．（25-26七年级上·重庆·月考）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得的度数，由垂线的定义可得的度数，据此可得答案； （2）设，，则可推出，根据垂线的定义可推出，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ， ， ， ； （2）解：， ∴可设，， 平分， ， ， ， ， ， 即， ∴，即． 3．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图，直线和交于点，在内作射线，使得，在内作射线，使得． (1)若，求的度数； (2)若射线于点，，请先依据题意补全图形，再求的度数． 【答案】(1) (2)图见解析；射线在左侧时的度数为，当射线在右侧时的度数为 【分析】本题考查角的计算，垂线的定义； （1）根据题意先求得，根据，得出，再根据，即可求解． （2）分两种情况，①当射线在左侧时，②当射线在右侧时，补全图形后根据垂线定义结合图形，即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 又因为， 所以， 因为， 所以， 所以． （2）解：补全图形如下， 由（1）可知，， 因为，所以． ①当射线在左侧时，如图1，， 所以． ②当射线在右侧时，如图2，， 所以． 【高频考点5——垂线段最短的实际应用】 【核心考点1·例题精讲 垂线段最短】 例1、（25-26七年级上·福建泉州·期末）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·四川宜宾·期末）数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（ ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 2．（25-26七年级上·山西临汾·期末）下列生活现象中，能直接体现“垂线段最短”这一基本事实的是（ ） A．工人师傅用墨斗弹墨线时，拉紧的墨线是直的 B．从家到学校，走笔直的公路比走弯曲的小路更近 C．把一根木条固定在墙上，至少需要两颗钉子 D．体育课上，测量同学的跳远成绩时，测量的是落点到起跳线的垂直距离 【答案】D 【分析】本题考查了对几何基本事实的理解． 逐一分析各选项对应的原理，找出体现“垂线段最短”的选项即可． 【详解】解：A选项拉紧的墨线是直的对应几何基本事实两点确定一条直线； B选项走笔直公路比弯曲小路更近对应几何基本事实两点之间，线段最短； C选项至少两颗钉子固定木条对应几何基本事实两点确定一条直线； D选项测量跳远成绩取落点到起跳线的垂直距离，直接体现了垂线段最短这一基本事实； 故选：D． 3．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）设A，B，C是直线l上的点，P是直线l外一点，，，，则点P到直线L的距离（ ） A．等于 B．等于 C．不大于 D．等于 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短的性质．根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”可知垂线段的长度不能超过的长． 【详解】解：根据垂线段最短的性质可知点P到直线的距离不能超过的长． 故选：C． 【核心考点2·例题精讲 点到直线的距离】 例1、（25-26七年级上·江苏盐城·期末）下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是（ ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一概念是解题的关键． 根据点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一定义，逐一判断各选项中线段是否为点到直线的垂线段． 【详解】解：选项A中，不垂直于，线段的长度不表示点到直线的距离； 选项B中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离； 选项C中，，垂足为，线段的长度表示点到直线的距离； 选项D中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离； 故选：C． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（2025·河北邯郸·二模）如图，线段垂直于直线于点，线段垂直于射线于点，直线交射线于点．则点到直线的距离为（ ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】A 【分析】本题考查点到直线的距离的定义．点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离．根据点到直线的距离的定义结合图形选择即可． 【详解】解：由图可知点到直线的距离是线段的长． 故选：A． 2．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，点在直线上，点，在直线上，，，．有下列结论：①点到直线的距离等于4；②点到直线的距离等于3；③点到的距离等于5．其中，正确的个数有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即可得到答案． 【详解】解：①点到直线的距离等于，故①正确， ②点到直线的距离等于，故②错误， ③点到的距离等于，故③错误， 综上：①正确， 故选：B 3．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 根据 “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； B、线段的长是点C到直线的距离，故此选项符合题意； C、线段的长是点A到直线的距离，故此选项不符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； 故选：B． 【核心考点3·例题精讲 画垂线段】 例1、（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段； （2）线段_____的长就是点到直线的距离； （3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】（1）见解析 （2）（3） 【分析】本题主要考查了利用网格作图，垂线段最短，解题的关键是熟练利用网格特征和几何基本性质． （1）利用网格的边长与角度特征，构造直角三角形来作垂线； （2）根据点到直线的距离定义，确定垂线段的长度即为点到直线的距离； （3）根据“垂线段最短”的性质，比较垂线段与斜线段的长度大小． 【详解】解：（1）如图，线段即为所求； （2）线段的长就是点到直线的距离， 故答案为：； （3） 故答案为：． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）如图网格图中每个小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在格点上， (1)求的面积； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)用或填空： ___________，理由是___________． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题考查网格中计算三角形的面积、作垂线、垂线段最短，解决本题的关键是根据网格准确作图． （1）利用割补法求解可得的面积； （2）根据线的定义，结合网格作图即可得； （3）根据垂线段最短即可完成填空． 【详解】（1）解：． （2）解：如图所示． （3）解：， （垂线段最短）． 故答案为：，垂线段最短． 2．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）作图题（用无刻度的直尺作图） 如图，已知网格上三点，，，按要求完成下列问题 (1)画出直线，射线． (2)过点画直线的垂线，垂足为；同时过点作出的平行线． (3)比较和的大小：_____，理由是_____； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)>，垂线段最短 【分析】本题考查了画直线，射线，网格作图，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据直线，射线的定义进行作图即可； （2）结合网格的特征，以及两点确定一条直线，进行作图即可； （3）运用垂线段最短进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：直线，射线如图所示： （2）解：直线的垂线，的平行线，如图所示． （3）解：依题意，由（2）得， ∴，理由是垂线段最短． 3．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，直线，相交于点O． (1)请用三角板过点O作，垂足为O，点P在直线上方； (2)图中的邻补角为_____； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)和； (3)． 【分析】本题考查了邻补角的定义，垂线的定义，角的和与差．利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据垂直定义作图即可； （2）根据两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，即可解答； （3）先利用邻补角的性质求出的度数，然后根据垂直定义可得，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：用三角板过点O作． （2）解：图中的邻补角为和． （3）解：因为，与互补， 所以． 又因为， 所以， 则． 【重点题型专练1——概念辨析类】 例1、（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）下列说法中正确的有（ ）个 ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】逐个判断五个说法的正误，统计正确说法的个数，用到对顶角性质、余角补角性质、直线位置关系、垂线性质等初中几何知识点． 【详解】解：①对顶角相等，是对顶角的基本性质，说法正确； ②设锐角为，则其补角为，余角为， ∵， ∴一个锐角的补角比这个角的余角大，说法正确； ③该说法缺少前提“在同一平面内”，非平面内还存在异面直线，说法错误； ④同角的补角相等，是补角的基本性质，说法正确； ⑤该说法缺少前提“在同一平面内”，非平面内过一点有无数条直线与已知直线垂直，说法错误； 综上，正确的说法共3个． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）下列语句中正确的是（　　）． A．角的边越长，这个角越大 B．互补的两个角必定一个是锐角一个是钝角 C．两个锐角不能互为补角 D．如果，那么互为补角 【答案】C 【分析】本题考查角的基本性质与补角的定义． 【详解】解：∵角的大小与边的长度无关，只和两边张开程度有关，∴选项错误； ∵两个直角和为，也可以互补，此时两个角都不是锐角也不是钝角，∴选项错误； ∵锐角是小于的角， ∴两个锐角的和一定小于，因此两个锐角不能互为补角，∴选项正确； ∵互为补角是两个角之间的关系，定义中只针对两个角，∴选项错误； 故选：． 2．（25-26七年级上·重庆·期末）下列说法正确的是（ ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．若，则点为线段的中点 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查平行线的定义、线段中点的条件、点到直线的距离的概念以及垂线的性质，逐一判断各选项的正确性，注意细节条件是解题的关键． 【详解】解：A选项：∵平行线定义要求在同一平面内，不相交的两条直线可能不在同一平面， ∴A错误； B选项：∵点B可能不在线段上，如等腰三角形中，但B不是中点， ∴B错误； C选项：∵点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身， ∴C错误； D选项：∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴D正确． 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·周测）有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查对顶角、平行线、垂线、距离和直线位置关系等概念的正确理解． 对照对顶角、平行线、垂线、两点间距离、直线位置关系的概念，逐一判断每个说法的正确性，统计正确说法的个数． 【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，错误，不符合题意； ②过一点不一定有平行线，正确表述需指定过直线外一点，错误，不符合题意； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，符合题意； ④两点之间的距离是两点间线段的长度，不是线段本身，错误，不符合题意； ⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有平行和相交，错误，不符合题意． ∴只有③正确，共1个． 故选：A． 【重点题型专练2——余角、补角与方程综合】 例1、（25-26七年级下·四川达州·开学考试）已知一个角的补角比这个角的余角的2倍大，求这个角的度数． 【答案】这个角的度数是 【详解】解：设这个角是， 则， 解得， 答：这个角的度数是． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）若一个角的余角的3倍，比这个角的补角多，求这个角的度数． 【答案】这个角的度数为． 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，熟知余角和补角的定义是解题的关键． 设这个角的度数是x，则这个角的余角的度数为，补角的度数为，再根据这个角的余角的3倍比这个角的补角多列出方程求解即可． 【详解】：设这个角的度数是x， 由题意得，， 解得：， ∴这个角的度数为． 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）已知与互为邻补角，且比的3倍少，求与的度数． 【答案】， 【分析】本题考查角的有关计算，考生需熟知互为邻补角的两个角的和是，能够灵活应用方程求解是解决此题的关键． 根据“比的3倍少”建立与的等量关系式；根据“与互为邻补角”可知，计算即可． 【详解】解：由题可得：， ∴， 解得， ∴． 3．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知与互为余角，且的比大，求的补角． 【答案】 【分析】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补．根据余角的概念和题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵与互为余角， ∴， ∵的比大， ∴， ∴， 解得， ∴的补角为． 【重点题型专练3——与比有关的角度计算综合】 例1、（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图，已知直线相交于点O，与互余． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了余角的定义，对顶角，熟知度数之和为的两个角互为余角是解题的关键． （1）由余角的定义即可得到，再根据对顶角相等即可求解； （2）由余角的定义得到，求得，由题意求得，由平角的定义即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵与互余，， ∴， ∵与是对顶角， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26七年级上·甘肃酒泉·期末）如图，和都是． (1)与相等的角是________； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了同角的余角相等，角平分线的定义，解一元一次方程． （1）根据同角的余角相等作答即可； （2）根据平分得到，根据得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 即， 解得：． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，直线，相交于点，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，根据角平分线的定义和已知条件可推出，则由平角的定义可求出的度数，由垂线的定义可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）如图，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若与互补，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线有关计算，补角的定义，角的和差，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，补角定义． （1）根据角平分线的定义求出，即可求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，由即可求解； （2）设，根据角平分线的定义得出，进而求出，再根据与互补，列出方程求解得到的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， 设， 又∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴，即， ∴， ∴． 【重点题型专练4——与垂直、角平分线有关的角度计算综合】 例1、（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）如图，直线相交于点O，平分，． (1)写出图中一对相等的角：_____； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)； (3) 【分析】本题考查对顶角，与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系是解题的关键： （1）根据对顶角相等，垂直的性质，角平分线的定义作答即可； （2）垂直求出的度数，平角求出，平分求出，角的和差关系求出的度数即可； （3）根据角平分线的定义，推出，平角结合比例关系求出的关系，再利用平角的定义，求出的度数即可． 【详解】（1）解：由对顶角的性质得：； ∵平分，， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． （3）解：∵平分． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，点O是直线上一点，是直角，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义． （1）求得，根据角平分线的定义，可求得，利用即可解答； （2）根据角平分线的定义和角的和差得到，，进而根据等角的余角相等，即可求解． 【详解】（1）解：点O是直线AB上一点，， ． 是的平分线， ． 是直角， ； （2）解：，理由如下： 是的平分线， ． ． 是的平分线， ． 是直角， ． ． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线、交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角相等，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． （1）先利用对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答； （2）分在直线的上方和在直线的下方两种情况，然后分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）①如图，当在直线的上方时， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图，当在直线的下方时， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． 3．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图．直线相交于点O，分别在、的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：___________； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂直的意义，角平分线的定义，余角，对顶角，以及角的和差计算等知识点． （1）根据垂直的意义得到，而，再由余角的定义即可求解； （2）由垂直的意义得到，根据角的和差结合对顶角得到，再由角平分线的意义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的余角是， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【重点题型专练5——角度综合多结论辨析题】 例1、（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）小明同学课余时间利用一副三角板摆成图形如图，平分，则下列结论：①；②若，则；③图中的余角共有三个；④若，则；其中正确的结论有___________． 【答案】①②④ 【分析】根据角平分线得到，结合，通过角的和差分别表示出、，进而推导出，验证结论①正确；将转化为，而，结合两个直角推导出，验证结论②正确；根据余角的定义，寻找与和为的角，确定只有和两个角满足，由此判断结论③错误；利用已证的，由求出的度数，再代入结论②的角度关系算出，验证结论④正确． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，结论①正确． ∵，，， ∴，结论②正确． ∵， ∴，即是的余角； ∵， ∴，即是的余角； 图中没有其他角与的和为，故的余角只有2个，结论③错误． ∵，， ∴， ∴，结论④正确． 综上，正确的结论是①②④． 【核心题型·变式通关练】 1．（2025七年级上·四川南充·专题练习）如图，为直线上一点， 为直角， 平分， 平分， 平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②； ③与∠互补； ④． 下列结论中错误的有_______个． 【答案】 【分析】本题考查余角和补角、角平分线的定义．根据角平分的定义，互为余角、互为补角的定义逐个进行判断． 【详解】解： 平分， 平分， ，， ， ， 故①正确； 为直角， ， ， 平分， 平分， ，， ， 故②错误； ， ， ， ， 平分， ， ， 与∠互补， 故③正确； 由①可知， 平分， 平分， 为直角， ， ， ， 故④正确． 综上所述，结论错误的有个． 故答案为：. 2．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图，是直线上的一点，平分，．给出以下结论：①与互为补角；②；③；④若，则．其中，正确的是______．（填序号） 【答案】④ 【分析】本题考查角平分线、余角，角的和差计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义以及余角的定义．据此对各结论进行分析即可作出判断． 【详解】解：①∵， ∴， ∴与互为余角，故结论①错误； ②∵平分， ∴， 无法推出，故结论②错误； ③设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③错误； ④∵， ∴， ∵平分， ∴，故结论④正确； 综上所述，正确的是④． 故答案为：④． 3．（2026七年级上·湖北武汉·专题练习）如图，O为直线上一点，为直角， 平分，平分，平分，下列结论：①与互为余角；②；③与互为补角；④，其中正确的是______________________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了余角和补角的定义，角平分线定义，角的和差计算，设，，，可证明，，再根据余角和补角的定义以及角平分线的定义计算出各选项的结果判断即可． 【详解】解：∵平分，平分， 平分， ∴可设，，， 如图： ∵为直角，， ∴， ∴， ∵O为直线上一点， ∴， ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定成立，即与不一定互为余角，故①错误； ∵，， ∴， 即，故②正确； ∵，， ∴， 即与互为补角，故③正确； ∵，，， ∴， 即，故④正确； 正确的有②③④． 故答案为：②③④． 【重点题型专练6——角度有关的计算与证明综合】 例1、（24-25七年级上·北京·期末）阅读材料并回答问题． 数学课上，老师提出了如下问题：已知点在直线上，，在同一平面内，过点作射线，满足．当时，如图所示，求的度数． 甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图2，∵点在直线上， ∴______， ∵∠BOC=42°， ∴______， ∵， ∴平分， ∴______， ∵，， ∴______． 乙同学：“我认为还有一种情况．” 请完成以下问题： (1)请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整． (2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在答题卡图中画出另一种情况对应的图形，直接写出的度数；若不正确，请说明理由． (3)将题目中“”的条件改成“”，其余条件不变，当在到之间变化时，如图所示，为何值时，成立？请直接写出此时的值． 【答案】(1)，，，； (2)； (3)的值为或． 【分析】本题主要考查了角的和差计算、角平分线的性质、平角的定义、方程思想在几何中的应用，熟练掌握角的和差关系、分类讨论思想的运用是解题的关键． （1）先利用“点在直线上”得出平角的度数，再用平角性质求出，接着根据推出平分，算出，最后结合求出． （2）考虑射线在外部的情况，先求出，再算出，最后用−得到结果． （3）分在直线的下方和在直线的下方两种情况，用含的式子分别表示和，再根据列方程求解． 【详解】（1）解：如图，∵点在直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：，，，； （2）解：乙同学的说法正确． 另一种情况：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，取小于平角的角， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，当在直线的上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴−， ∵， ∴， 解得． 如图，当在直线的下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴−， ∵， ∴， 解得． 综上，的值为或． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）已知平分，平分，且、．如果与互补或与互补，则称、是一对“多补角”． (1)如图1，当在内部，若，，则________，和________一对“多补角”（填“是”或“不是”）． (2)若和是一对“多补角”，，是锐角，求的度数． (3)如图2，若，和是一对“多补角”，直接写出的度数． 【答案】(1)，不是 (2)的度数为或 (3)的度数为或或或 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，再由计算即可得出的度数，再由“多补角”的定义判断即可得出结果； （2）设，由角平分线的定义可得，，表示出，分两种情况：当时，；当时，；分别求解即可得出结果； （3）分两种情况：当在内部时；当在外部时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，且， ∴和不是一对“多补角”； （2）解：设， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵和是一对“多补角”， ∴当时，， 解得：，此时，符合题意； 当时，， 解得：，此时，符合题意； 综上所述，的度数为或； （3）解： 当在内部时，设，则， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵和是一对“多补角”， ∴当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得：，此时； 当在外部时，设，则， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵和是一对“多补角”， ∴当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得：，此时； 综上所述，的度数为或或或． 2．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何让班级同学们的广播操能做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图，为方便研究，定义两手手心位置分别为两点，两脚脚跟位置分别为两点，定义平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图，三点共线，点重合，，则______； (2)如图，三点共线，且，平分，求的大小？ (3)第三节腿部运动中，如图，洋洋发现，虽然三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请直接写出这个定值？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了角的计算，补角的定义，角平分线的定义，理解补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解题的关键． （）由三点共线得，再根据，即可得出的度数； （）由，设，，再由三点共线得，由此求出得，，然后由角平分线定义得，由此即可得出的度数； （）设，再由，设，，由此得，，再由三点共线得，由此得，进而得，，继而得，据此即可得出答案． 【详解】（1）解：∵三点共线，点重合， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴设，， ∵三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：设， ∵， ∴设，， ∴，， ∵三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的值为定值，这个定值为． 3．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）点是直线上一点，在直线上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，即，三角板的一条直角边在直线上， (1)如图1，求的度数； (2)如图2，将三角板绕点在直线上方逆时针旋转，当平分时，试说明平分； (3)将三角板绕点在直线上方逆时针旋转时． ①当在内部时，直接写出和的数量关系：______； ②若时，直接写出的度数：______． 【答案】(1) (2)说明见详解 (3)①；②或 【分析】本题考查图形中求角度及角度关系，涉及角平分线定义、一元一次方程等知识，数形结合，找准相关角度之间的和差倍分关系列式求解是解决问题的关键． （1）由题意可知，，，从而得到，代值计算即可得到答案； （2）由题意，结合平分，求出，即可说明平分； （3）①当在内部时，如图所示，根据①，②，由②①得即可得到和的数量关系； ②根据，分两种情况：当在上方时；当在内部时；分别作出图形，结合角度关系列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ； （2）解：说明如下： ， ， 平分， ， ， ， ， 平分； （3）解：①当在内部时，如图所示： ，， ①，②， 则由②①得， 故答案为：； ②当时，分以下两种情况： 当在上方时，如图所示： ， 设， ，， 由，可得， 解得， 则， ； 当在内部时，如图所示： ， 设， ，， 由，可得， 解得， 则， ； 综上所述，当时，的度数为或， 故答案为：或． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 相交线与平行线（同步核心训） §2.1 两条直线的位置关系（讲义） 北师大版七年级下册·相交线与平行线·思维导图 重点题型专练（共6个） 1. 概念辨析类 2. 余角、补角与方程综合 3. 与比有关的角度计算综合 4. 与垂直、角平分线有关的角度计算综合 5. 角度综合多结论辨析题 6. 角度有关的计算与证明综合 核心知识点（共7个） 1. 两条直线的位置关系 2. 对顶角及其性质 3. 邻补角及其性质 4. 余角和补角及其性质 5. 垂线及其性质 6. 垂线段最短 7. 点到直线的距离 高频考点（共5个） 1. 对顶角、邻补角的角度计算 2. 余角、补角的角度计算 3. 余角、补角的性质简单说理 4. 垂直定义判断与角度计算 5. 垂线段最短的实际应用 知识 1 两条直线的位置关系 在同一平面内不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交和平行. 知识 2 对顶角及其性质 1. 定义：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角 的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角.如图， ∠1和∠2，∠3和∠4都是对顶角. 2. 对顶角的性质：对顶角相等 ˙敲黑板˙ （1）判断两个角是不是对顶角，关键是看这两个角是否有公共顶点，一个角的两边是不是另一个角两边的反向延长线； （2）对顶角一定相等，相等的两角不一定是对顶角. 知识 3 邻补角及其性质 1. 定义：有一条公共边，且另一条边是另一个角的反向延长线， 那么这两个角就叫做邻补角.如图，∠1和∠4，∠2和∠4 都是邻补角. 2. 对顶角的性质：邻补角互补 ˙敲黑板˙ （1）判断两个角是不是对顶角的关键是看这两个是否有公共顶点，一个角的两边是不是另一个角两边的反向延长线； （2）邻补角一定互补，互补的两角不一定是邻补角. 知识 4 余角和补角及其性质 定义 图形 语言表述 互余 如果两个角的和等于90°（直角），则这两个角互为余角，即其中每一个角都是另一个角的余角 ∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角 互补 如果两个角的和等于180°（平角），则这两个角互为补角，即其中每一个角都是另一个角的补角 ∠3+∠4=180°，则∠3与∠4互为补角 2. 余角和补角的性质： 同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等 ˙敲黑板˙ （1）若∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，则∠1=∠3（依据：同角的余角相等）； （2）若∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，则∠1=∠3（依据：同角的补角相等）； （3）若∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠1=∠3，则∠2=∠4（依据：等角的余角相等）； （4）若∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，∠1=∠3，则∠2=∠4（依据：等角的补角相等）. 知识 5 垂线及其性质 1. 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条 直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 2. 示例：如图所示，直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”(或CD⊥AB)，读作“AB垂直于CD”.如果垂足是O，记作“AB⊥CD，垂足为O”. ˙敲黑板˙ （1）垂直是相交的一种特殊情形； （2）线段与射线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直； （3）根据两条直线互相垂直的定义可知：两条直线互相垂直，则所成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直； （4）两条直线相交所成的4个角，若对顶角互补，邻补角相等，都可得出垂直关系. 3. 垂线的基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 4. 示例：如图所示，点P分别为直线l外和直线l上一点，过点P有且只有一条直线m与l垂直. ˙敲黑板˙ （1）画已知直线的垂线可以画出无数条，但过一点画已知直线的垂线，只能画出一条； （2）必须强调“在同一平面内”，若是在空间里，经过一点与已知直线垂直的直线，则有无数条； （3）同一平面内，过一点（或直线外、直线上一点）都是有且只有一条直线与已知直线垂直. 知识 6 垂线段最短 1. 定理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 2. ˙敲黑板˙ （1）垂线是指一条直线，而垂线段是指一条线段. （2）直线外一点到这条直线的垂线段只有一条. 3. 示例：如图所示，PO⊥l,垂足为O，则线段PO叫做点P到直线l的垂线段. 知识 7 点到直线的距离 1. 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 2. 两点间的距离与点到直线的距离的区别： 两点间的距离 点到直线的距离 定义 连接两点的线段的长度 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度 性质 两点之间，线段最短 垂线段最短 【高频考点1——对顶角、邻补角的角度计算】 【核心考点1·例题精讲 对顶角、邻补角的定义】 例1、（25-26七年级上·上海·假期作业）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（ ） A． B． C． D． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列工具中，有对顶角的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有 对． 3．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）平面上3条互不重合的直线交于一点，其中对顶角有 对． 例2、（2026七年级下·全国·专题练习）下列图形中，与互为邻补角的是（ ） A． B． C． D． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是邻补角的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有 对． 3．（23-24七年级下·贵州黔东南·月考）观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【核心考点2·例题精讲 对顶角、邻补角的角度计算】 例1、（25-26七年级下·全国·周测）如图，直线，相交于点．如果，那么的度数为（ ） A． B． C． D． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，已知，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，直线与相交于点O，，则的邻补角的度数是 ． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，为了测量一座古塔外墙底部的底角的度数，李萧同学设计了如下测量方案：作，的延长线，，量出的度数，从而得到的度数．这个测量方案的依据是 ． 【高频考点2——余角、补角的角度计算】 【核心考点1·例题精讲 利用余角、补角的定义计算角度】 例1、（25-26七年级上·湖南娄底·期末）已知与互为余角，，则的补角是（ ） A． B． C． D． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·湖北黄石·期末）一个角的补角是，则这个角的余角是 ． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）与互为补角，且，则的余角可以为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河南濮阳·期末）一个角的补角比它的余角的3倍大，求这个角的余角的度数． 【核心考点2·例题精讲 利用图形中得余角、补角计算角度】 例1、（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，，是的平分线，和互余，则的度数为 ． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）将一副三角尺按如图方式摆放，下列结论正确的是______（写所有正确结论的序号）． ①与互余；②；③与互余；④与互补． 2．（25-26七年级上·广西梧州·期末）下列四个图都由一副透明的三角尺摆放而成，其中与互补的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·广西百色·期末）如图，是直角，射线在的内部．若等于的补角的，则的度数是(　　) A． B． C． D． 例2、（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，射线，射线在内部，． (1)若，求的度数． (2)若与互补，求的度数． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）（1）一个角的补角比这个角的倍大，求这个角的度数． （2）如图，与互余，平分．若，求的度数． . 2．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图1，与互为补角，，且． (1)求的度数； (2)如图2，若平分，平分，求的度数． 3．（25-26七年级上·江西南昌·月考）如图，点O为直线上一点，平分． (1)平分吗？说明理由； (2)写出所有的互余的角． 【高频考点3——余角、补角的性质简单说理】 【核心考点1·例题精讲 余角、补角的性质简单说理】 例1、（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，由，可直接推导出，依据是（ ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【同步跟进·核心考点专训】 1．（2025七年级上·四川南充·专题练习）已知，， ．那么与的关系是（ ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 2．（25-26七年级上·吉林·期末）如图，若，射线与东西方向的夹角为，则点相对于点的方向为（ ）    A．北偏东 B．东偏北 C．北偏东 D．北偏西 3．（25-26七年级上·山东滨州·月考）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________． 例2、（25-26七年级上·北京朝阳·期末）如图，是直线上一点，平分，平分，与互补．求的度数． 补全下面的解题过程，括号内填推理的依据． 解：因为是直线上一点， 所以①． 因为与互补， 所以②． 所以．（③） 因为平分，平分， 所以，． 所以④． 所以⑤． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·广东韶关·期末）如图，O为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： 因为与互补（已知）， 所以（补角的定义）． 又因为O为直线上一点（已知）， 所以（平角的定义）． 即， 所以（_______）． (2)若，求的度数． 2．（25-26七年级上·山东聊城·期末）如图，，平分，，求的度数。 以下是小亮的做法： 解：由得 ，． 根据______，得 ______。 因为平分， 所以根据______，得 ______， …… (1)完成填空； (2)请用两种不同的思路补全小亮解题过程中未完成的部分． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，直线，相交于点，平分，平分． (1)若，求的度数． (2)试问与的关系． 解：（1）平分， 直线，相交于点O 又平分 （________的定义） （2）直线，相交于点O （________） 又平分 （________） 【高频考点4——垂直定义判断与角度计算】 【核心考点1·例题精讲 垂线的定义与性质】 例1、（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，若，，则点，，在同一条直线上，推理的依据是____________． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列说法： 有且只有一条直线垂直于已知直线； 两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直； 过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 其中正确的说法有（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·吉林白城·期中）下列说法正确的有（ ） ①互为补角的两角的平分线互相垂直； ②在同一平面内，两条互相垂直的线段不一定相交，但它们所在的直线一定相交； ③两条直线相交成四个角，如果有一对对顶角互余，那么这两条直线垂直； ④画一条射线的垂线，垂足一定落在这条射线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④．其中能说明的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【核心考点2·例题精讲 与垂直有关的角度计算】 例1、（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，已知直线相交于点O，，若，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级下·广东江门·开学考试）如图，点在直线上，，若平分，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点，于点，于点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，点在直线上，，且平分，．则________． 例2、（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，是直线上的点，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，直线，相交于点，过点作，且平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．（25-26七年级上·重庆·月考）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 3．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图，直线和交于点，在内作射线，使得，在内作射线，使得． (1)若，求的度数； (2)若射线于点，，请先依据题意补全图形，再求的度数． 【高频考点5——垂线段最短的实际应用】 【核心考点1·例题精讲 垂线段最短】 例1、（25-26七年级上·福建泉州·期末）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·四川宜宾·期末）数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（ ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 2．（25-26七年级上·山西临汾·期末）下列生活现象中，能直接体现“垂线段最短”这一基本事实的是（ ） A．工人师傅用墨斗弹墨线时，拉紧的墨线是直的 B．从家到学校，走笔直的公路比走弯曲的小路更近 C．把一根木条固定在墙上，至少需要两颗钉子 D．体育课上，测量同学的跳远成绩时，测量的是落点到起跳线的垂直距离 3．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）设A，B，C是直线l上的点，P是直线l外一点，，，，则点P到直线L的距离（ ） A．等于 B．等于 C．不大于 D．等于 【核心考点2·例题精讲 点到直线的距离】 例1、（25-26七年级上·江苏盐城·期末）下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是（ ） A．B．C． D． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（2025·河北邯郸·二模）如图，线段垂直于直线于点，线段垂直于射线于点，直线交射线于点．则点到直线的距离为（ ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 2．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，点在直线上，点，在直线上，，，．有下列结论：①点到直线的距离等于4；②点到直线的距离等于3；③点到的距离等于5．其中，正确的个数有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【核心考点3·例题精讲 画垂线段】 例1、（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段； （2）线段_____的长就是点到直线的距离； （3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）如图网格图中每个小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在格点上， (1)求的面积； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)用或填空： ___________，理由是___________． 2．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）作图题（用无刻度的直尺作图） 如图，已知网格上三点，，，按要求完成下列问题 (1)画出直线，射线． (2)过点画直线的垂线，垂足为；同时过点作出的平行线． (3)比较和的大小：_____，理由是_____； 3．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，直线，相交于点O． (1)请用三角板过点O作，垂足为O，点P在直线上方； (2)图中的邻补角为_____； (3)若，求的度数． 【重点题型专练1——概念辨析类】 例1、（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）下列说法中正确的有（ ）个 ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．2 B．3 C．4 D．5 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）下列语句中正确的是（　　）． A．角的边越长，这个角越大 B．互补的两个角必定一个是锐角一个是钝角 C．两个锐角不能互为补角 D．如果，那么互为补角 2．（25-26七年级上·重庆·期末）下列说法正确的是（ ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．若，则点为线段的中点 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．（24-25七年级下·全国·周测）有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【重点题型专练2——余角、补角与方程综合】 例1、（25-26七年级下·四川达州·开学考试）已知一个角的补角比这个角的余角的2倍大，求这个角的度数． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）若一个角的余角的3倍，比这个角的补角多，求这个角的度数． 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）已知与互为邻补角，且比的3倍少，求与的度数． 3．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知与互为余角，且的比大，求的补角． 【重点题型专练3——与比有关的角度计算综合】 例1、（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图，已知直线相交于点O，与互余． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26七年级上·甘肃酒泉·期末）如图，和都是． (1)与相等的角是________； (2)若平分，，求的度数． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，直线，相交于点，平分，，，求的度数． 3．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）如图，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若与互补，，求的度数． 【重点题型专练4——与垂直、角平分线有关的角度计算综合】 例1、（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）如图，直线相交于点O，平分，． (1)写出图中一对相等的角：_____； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，点O是直线上一点，是直角，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线、交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 3．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图．直线相交于点O，分别在、的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：___________； (2)若，求的度数． 【重点题型专练5——角度综合多结论辨析题】 例1、（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）小明同学课余时间利用一副三角板摆成图形如图，平分，则下列结论：①；②若，则；③图中的余角共有三个；④若，则；其中正确的结论有___________． 【核心题型·变式通关练】 1．（2025七年级上·四川南充·专题练习）如图，为直线上一点， 为直角， 平分， 平分， 平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②； ③与∠互补； ④． 下列结论中错误的有_______个． 2．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图，是直线上的一点，平分，．给出以下结论：①与互为补角；②；③；④若，则．其中，正确的是______．（填序号） 3．（2026七年级上·湖北武汉·专题练习）如图，O为直线上一点，为直角， 平分，平分，平分，下列结论：①与互为余角；②；③与互为补角；④，其中正确的是______________________． 【重点题型专练6——角度有关的计算与证明综合】 例1、（24-25七年级上·北京·期末）阅读材料并回答问题． 数学课上，老师提出了如下问题：已知点在直线上，，在同一平面内，过点作射线，满足．当时，如图所示，求的度数． 甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图2，∵点在直线上， ∴______， ∵∠BOC=42°， ∴______， ∵， ∴平分， ∴______， ∵，， ∴______． 乙同学：“我认为还有一种情况．” 请完成以下问题： (1)请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整． (2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在答题卡图中画出另一种情况对应的图形，直接写出的度数；若不正确，请说明理由． (3)将题目中“”的条件改成“”，其余条件不变，当在到之间变化时，如图所示，为何值时，成立？请直接写出此时的值． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）已知平分，平分，且、．如果与互补或与互补，则称、是一对“多补角”． (1)如图1，当在内部，若，，则________，和________一对“多补角”（填“是”或“不是”）． (2)若和是一对“多补角”，，是锐角，求的度数． (3)如图2，若，和是一对“多补角”，直接写出的度数． 2．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何让班级同学们的广播操能做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图，为方便研究，定义两手手心位置分别为两点，两脚脚跟位置分别为两点，定义平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图，三点共线，点重合，，则______； (2)如图，三点共线，且，平分，求的大小？ (3)第三节腿部运动中，如图，洋洋发现，虽然三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请直接写出这个定值？ 3．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）点是直线上一点，在直线上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，即，三角板的一条直角边在直线上， (1)如图1，求的度数； (2)如图2，将三角板绕点在直线上方逆时针旋转，当平分时，试说明平分； (3)将三角板绕点在直线上方逆时针旋转时． ①当在内部时，直接写出和的数量关系：______； ②若时，直接写出的度数：______． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $