牛吃草问题—小升初奥数思维之典型应用题精讲精练（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学通用版

牛吃草问题—小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义 一、知识精讲 （一）核心定义 牛吃草问题又称“牛顿问题”，核心是研究“动态草量”问题——草地上的草会不断生长（或枯萎），而牛会不断吃草，两者形成反向（或同向）运动，最终求牛吃完草的时间、需要的牛的数量等。 核心特点：草的总量是变化的，分为“原有草量”和“新生草量”（或“枯萎草量”），解题的关键是先固定这两个量，再结合牛的吃草速度求解。 （二）核心量与公式 为方便计算，我们统一设定以下固定量（通用标准）： 1. 每头牛每天的吃草量 = 份（人为设定，简化计算，无需纠结实际量）； 1. 每天新生草量 = 份（若草枯萎， 为负数）； 1. 草地原有草量 = 份； 1. 牛的数量 = 头，吃完草的时间 = 天。 核心公式（分两种情况）： 1. 草匀速生长（最常见，如牧场自然长草） 原有草量 + 每天新生草量 天数 = 牛的总吃草量 转化为公式： 推导关键：牛每天吃的草量，一部分用来吃新生的草，剩下的用来吃原有草；当原有草吃完时，所有牛就吃完了所有草。 1. 草匀速枯萎（特殊情况，如秋冬季节草枯萎） 原有草量 - 每天枯萎草量 天数 = 牛的总吃草量 转化为公式：（ 为负数， 为每天枯萎量） （三）解题核心步骤 无论哪种类型，解题都遵循“三步走”，核心是先求“每天草的变化量”和“原有草量”，再求最终问题： 1. 第一步：根据两组“牛的数量 + 吃完时间”，列方程求出每天新生（或枯萎）草量 和原有草量 ； 1. 第二步：分析所求问题，明确“牛的吃草分配”（生长型：一部分牛吃新生草，剩余吃原有草；枯萎型：所有牛都吃原有草，同时草在枯萎）； 1. 第三步：代入公式，计算最终答案（时间或牛的数量）。 易错提醒： 1. 切勿忽略草的“动态变化”，直接用“总草量 牛数”计算； 1. 草枯萎时， 为负数，计算时注意符号，避免出错； 1. 奥数题中牛数无需强行取整（分数/小数牛数代表草的消耗速度，仅最终答案按题意保留）； 1. 多牧场问题按原题方程求解，负数原有草量直接标注题目数据问题，不随意修改数据。 二、典型例题精讲（分题型） 题型 1：基础生长型（最核心，小升初高频） 例 1：一片牧场，每天匀速生长青草，这片青草可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天。问：可供 25 头牛吃多少天？ 解析： 第一步：设定变量，列方程求 （每天新生草量）和 （原有草量）。 设每头牛每天吃草 1 份，每天新生草 份，原有草 份。 根据题意，两组条件代入生长型公式： ① 10 头牛吃 20 天： ② 15 头牛吃 10 天： 用① - ②，消去 ：（份/天） 将 代入②，求 ：（份） 第二步：分析 25 头牛的吃草分配。 每天新生 5 份草，每头牛每天吃 1 份，因此需要 5 头牛专门吃每天新生的草，剩下的 头牛，吃原有草量。 第三步：计算时间。 原有草 100 份，20 头牛每天吃 20 份，所需时间：（天） 答：可供 25 头牛吃 5 天。 题型 2：基础枯萎型（易错题型） 例 2：一片牧场，草每天匀速枯萎，这片青草可供 20 头牛吃 5 天，可供 16 头牛吃 6 天。问：可供 11 头牛吃多少天？ 解析： 第一步：设定变量，列方程求 （每天枯萎草量）和 （原有草量）。 设每头牛每天吃草 1 份，每天枯萎草 份（ 为正数，公式中用减法），原有草 份。 代入枯萎型公式： ① 20 头牛吃 5 天： ② 16 头牛吃 6 天： 用① - ②，消去 ：（份/天） 将 代入①，求 ：（份） 第二步：分析 11 头牛的吃草情况。 草每天枯萎 4 份，11 头牛每天吃 11 份，相当于每天总共减少的草量 = （份）（牛吃草 + 草枯萎，双重消耗）。 第三步：计算时间。 原有草 120 份，每天减少 15 份，所需时间：（天） 答：可供 11 头牛吃 8 天。 题型 3：变式型（求牛的数量，高频考点） 例 3：一片牧场，每天匀速生长青草，原有草量 120 份，每天新生草量 5 份。问：要在 12 天内吃完所有草，需要多少头牛？ 解析： 第一步：明确已知量，分析吃草分配。 已知 份， 份/天， 天。要 12 天吃完，需先安排部分牛吃每天新生的草，剩余牛吃原有草。 第二步：计算吃原有草的牛的数量。 12 天吃完原有 120 份草，每天需要吃：（份），对应 10 头牛（每头牛每天吃 1 份）。 第三步：计算总牛数。 每天新生 5 份草，需要 5 头牛吃，因此总牛数 = （头） 答：需要 15 头牛。 题型 4：复杂变式（多牧场、不同牛速，拓展培优） 例 4：有两片面积不同的牧场，A 牧场面积 3 公顷，B 牧场面积 5 公顷，两片牧场的草匀速生长，且生长速度相同。A 牧场可供 12 头牛吃 4 天，B 牧场可供 20 头牛吃 6 天。问：若将两片牧场合并，可供 30 头牛吃多少天？ 解析： 关键：多牧场问题，需先统一“单位面积”的草量（原有草量 + 生长量），避免面积差异影响计算。 第一步：统一单位面积（以 1 公顷为标准），求每公顷每天新生草量和每公顷原有草量。 设每头牛每天吃草 1 份，每公顷每天新生草 份，每公顷原有草 份。 A 牧场（3 公顷）： 化简： ① B 牧场（5 公顷）： 化简： ② ② - ①：（份/公顷·天），代入①得：（此为题目数据设定的特殊情况，说明 A 牧场初始无草，仅靠新生草生长） 第二步：计算合并后（ 公顷）的总草量和总生长量。 总原有草量：（份） 总每天新生草量：（份） 第三步：计算时间。 原有草量为 0，每天新生 32 份草，30 头牛每天吃 30 份，新生草量大于牛的吃草量，永远吃不完。 答：两片牧场合并后，草的新生量大于 30 头牛的吃草量，因此永远吃不完。 三、巩固精练（分基础、提升、培优三级，共 32 道原创题） 基础题（夯实基础，必做，共 15 道） 1. 一片牧场，每天匀速生长青草，可供 9 头牛吃 14 天，可供 7 头牛吃 20 天。求：可供 12 头牛吃多少天？ 1. 一片牧场，草每天匀速枯萎，可供 16 头牛吃 7 天，可供 13 头牛吃 9 天。求：可供 8 头牛吃多少天？ 1. 一片牧场，原有草量 90 份，每天新生草量 5 份，要在 9 天内吃完所有草，需要多少头牛？ 1. 一片牧场，每天匀速生长青草，可供 6 头牛吃 22 天，可供 10 头牛吃 10 天。求：可供 13 头牛吃多少天？ 1. 一片牧场，草每天匀速枯萎，可供 19 头牛吃 5 天，可供 15 头牛吃 7 天。求：可供 11 头牛吃多少天？ 1. 一片牧场，原有草量 110 份，每天新生草量 7 份，要在 11 天内吃完所有草，需要多少头牛？ 1. 一片牧场，每天匀速生长青草，可供 4 头牛吃 25 天，可供 11 头牛吃 7 天。求：可供 15 头牛吃多少天？ 1. 一片牧场，草每天匀速枯萎，可供 23 头牛吃 3 天，可供 19 头牛吃 4 天。求：可供 17 头牛吃多少天？ 1. 一片牧场，原有草量 130 份，每天新生草量 4 份，要在 16 天内吃完所有草，需要多少头牛？ 1. 一片牧场，每天匀速生长青草，可供 12 头牛吃 11 天，可供 14 头牛吃 9 天。求：可供 16 头牛吃多少天？ 1. 一片牧场，草每天匀速枯萎，可供 18 头牛吃 6 天，可供 14 头牛吃 8 天。求：可供 10 头牛吃多少天？ 1. 一片牧场，原有草量 85 份，每天新生草量 6 份，要在 8 天内吃完所有草，需要多少头牛？ 1. 一片牧场，每天匀速生长青草，可供 5 头牛吃 24 天，可供 9 头牛吃 12 天。求：可供 12 头牛吃多少天？ 1. 一片牧场，草每天匀速枯萎，可供 21 头牛吃 4 天，可供 18 头牛吃 5 天。求：可供 15 头牛吃多少天？ 1. 一片牧场，原有草量 78 份，每天新生草量 3 份，要在 9 天内吃完所有草，需要多少头牛？ 提升题（小升初高频，重点练，共 10 道） 1. 一片牧场，每天匀速生长青草，可供 13 头牛吃 18 天，可供 21 头牛吃 9 天。若要使草永远吃不完，最多可以放多少头牛？（提示：牛数 每天新生草量） 1. 一片牧场，草每天匀速枯萎，原有草量 160 份，每天枯萎 6 份，现有 11 头牛，多少天能吃完所有草？ 1. 一片牧场，每天匀速生长青草，可供 15 头牛吃 14 天，可供 22 头牛吃 8 天。若要使草永远吃不完，最多可以放多少头牛？ 1. 一片牧场，草每天匀速枯萎，原有草量 190 份，每天枯萎 7 份，现有 13 头牛，多少天能吃完所有草？ 1. 一片牧场，每天匀速生长青草，原有草量 150 份，每天新生草量 8 份，要在 15 天内吃完所有草，需要多少头牛？ 1. 一片牧场，草每天匀速枯萎，可供 26 头牛吃 3 天，可供 21 头牛吃 4 天，现有 16 头牛，多少天能吃完所有草？ 1. 一片牧场，每天匀速生长青草，可供 17 头牛吃 11 天，可供 19 头牛吃 9 天，若要在 7 天内吃完所有草，需要多少头牛？ 1. 一片牧场，草每天匀速枯萎，原有草量 210 份，每天枯萎 9 份，现有 17 头牛，多少天能吃完所有草？ 1. 一片牧场，每天匀速生长青草，可供 10 头牛吃 19 天，可供 16 头牛吃 8 天，若要在 11 天内吃完所有草，需要多少头牛？ 1. 一片牧场，草每天匀速枯萎，可供 20 头牛吃 5 天，可供 17 头牛吃 6 天，现有 14 头牛，多少天能吃完所有草？ 培优题（拓展思维，冲刺难题，共 7 道） 1. 有两片牧场，甲牧场面积 5 公顷，乙牧场面积 7 公顷，草的生长速度相同。甲牧场可供 18 头牛吃 19 天，乙牧场可供 25 头牛吃 14 天。若将两片牧场合并，可供 45 头牛吃多少天？ 1. 一片牧场，每天匀速生长青草，可供 16 头牛吃 9 天，可供 24 头牛吃 5 天。若有 32 头牛，吃了 2 天后，减少 6 头牛，剩下的牛还能吃多少天？ 1. 有两片牧场，A 牧场面积 6 公顷，B 牧场面积 9 公顷，草的生长速度相同。A 牧场可供 22 头牛吃 16 天，B 牧场可供 32 头牛吃 11 天。若将两片牧场合并，可供 55 头牛吃多少天？ 1. 一片牧场，每天匀速生长青草，可供 19 头牛吃 11 天，可供 25 头牛吃 7 天。若有 33 头牛，吃了 3 天后，增加 5 头牛，剩下的牛还能吃多少天？ 1. 一片牧场，草每天匀速枯萎，可供 23 头牛吃 4 天，可供 19 头牛吃 5 天。若有 15 头牛，吃了 3 天后，减少 3 头牛，剩下的牛还能吃多少天？ 1. 有三片牧场，面积分别为 3 公顷、4 公顷、6 公顷，草的生长速度相同。3 公顷牧场可供 12 头牛吃 14 天，4 公顷牧场可供 17 头牛吃 11 天。若将三片牧场合并，可供 50 头牛吃多少天？ 1. 一片牧场，每天匀速生长青草，可供 21 头牛吃 9 天，可供 29 头牛吃 5 天。若有 28 头牛，吃了 4 天后，减少 8 头牛，剩下的牛还能吃多少天？ 答案解析详细分步 基础题答案解析 1. 解：设每头牛每天吃草 1 份，每天新生草 份，原有草 份。 ① ② ② - ①：（份/天），代入①得 （份） 12 头牛每天净消耗原有草：（份） 时间：（天） 答：可供 12 头牛吃 天（约 9.66 天）。 1. 解：设每头牛每天吃草 1 份，每天枯萎 份，原有草 份。 ① ② ① - ②：（份/天，负号说明草实际匀速生长，每天新生 2.5 份），（份） 8 头牛中，2.5 头吃新生草，5.5 头吃原有草，时间：（天） 答：可供 8 头牛吃 天。 1. 解：每天新生 5 份，需 5 头牛吃；9 天吃完 90 份原有草，需 头牛 总牛数：（头） 答：需要 头牛。 1. 解：设每头牛每天吃草 1 份，每天新生草 份，原有草 份。 ① ② ① - ②：（份/天），代入②得 （份） 13 头牛每天净消耗原有草：（份） 时间：（天） 答：可供 13 头牛吃 天（约 7.10 天）。 1. 解：设每头牛每天吃草 1 份，每天枯萎 份，原有草 份。 ① ② ① - ②：（份/天，草实际匀速生长，每天新生 5 份），（份） 11 头牛中，5 头吃新生草，6 头吃原有草，时间：（天） 答：可供 11 头牛吃 天。 1. 解：每天新生 7 份，需 7 头牛吃；11 天吃完 110 份原有草，需 头牛 总牛数：（头） 答：需要 头牛。 1. 解：设每头牛每天吃草 1 份，每天新生草 份，原有草 份。 ① ② ① - ②：（份/天），代入②得 （份） 15 头牛每天净消耗原有草：（份） 时间：（天） 答：可供 15 头牛吃 天（约 4.96 天）。 1. 解：设每头牛每天吃草 1 份，每天枯萎 份，原有草 份。 ① ② ① - ②：（份/天，草实际匀速生长，每天新生 7 份），（份） 17 头牛中，7 头吃新生草，10 头吃原有草，时间：（天） 答：可供 17 头牛吃 天。 1. 解：每天新生 4 份，需 4 头牛吃；16 天吃完 130 份原有草，每天需吃 份，对应 头牛 总牛数：（头） 答：需要 头（12.125 头）。 1. 解：设每头牛每天吃草 1 份，每天新生草 份，原有草 份。 ① ② ① - ②：（份/天），代入②得 （份） 16 头牛中，3 头吃新生草，13 头吃原有草，时间：（天） 答：可供 16 头牛吃 天（约 7.62 天）。 1. 解：设每头牛每天吃草 1 份，每天枯萎 份，原有草 份。 ① ② ① - ②：（份/天，草实际匀速生长，每天新生 2 份），（份） 10 头牛中，2 头吃新生草，8 头吃原有草，时间：（天） 答：可供 10 头牛吃 天。 1. 解：每天新生 6 份，需 6 头牛吃；8 天吃完 85 份原有草，每天需吃 份，对应 头牛 总牛数：（头） 答：需要 头（16.625 头）。 1. 解：设每头牛每天吃草 1 份，每天新生草 份，原有草 份。 ① ② ① - ②：（份/天），代入②得 （份） 12 头牛中，1 头吃新生草，11 头吃原有草，时间：（天） 答：可供 12 头牛吃 天（约 8.73 天）。 1. 解：设每头牛每天吃草 1 份，每天枯萎 份，原有草 份。 ① ② ① - ②：（份/天，草实际匀速生长，每天新生 6 份），（份） 15 头牛中，6 头吃新生草，9 头吃原有草，时间：（天） 答：可供 15 头牛吃 天。 1. 解：每天新生 3 份，需 3 头牛吃；9 天吃完 78 份原有草，每天需吃 份，对应 头牛 总牛数：（头） 答：需要 头（约 11.67 头）。 提升题答案解析 1. 解：设每头牛每天吃草 1 份，每天新生草 份，原有草 份。 ① ② ① - ②：（份/天），（份） 要使草永远吃不完，牛数 每天新生草量，最多放 5 头牛。 答：最多可以放 头牛。 1. 解：枯萎型总每天消耗草量 = 牛吃草量 + 草枯萎量 总消耗：（份/天） 时间：（天） 答：约 天能吃完所有草。 1. 解：设每头牛每天吃草 1 份，每天新生草 份，原有草 份。 ① ② ① - ②：（份/天） 要使草永远吃不完，整数牛数 新生草量，最多放 5 头牛。 答：最多可以放 头牛。 1. 解：枯萎型总每天消耗草量 = 牛吃草量 + 草枯萎量 总消耗：（份/天） 时间：（天） 答： 天能吃完所有草。 1. 解：每天新生 8 份，需 8 头牛吃；15 天吃完 150 份原有草，需 头牛 总牛数：（头） 答：需要 头牛。 1. 解：设每头牛每天吃草 1 份，每天枯萎 份，原有草 份。 ① ② ① - ②：（份/天，草实际匀速生长，每天新生 6 份），（份） 16 头牛中，6 头吃新生草，10 头吃原有草，时间：（天） 答：16 头牛 天能吃完所有草。 1. 解：设每头牛每天吃草 1 份，每天新生草 份，原有草 份。 ① ② ① - ②：（份/天），（份） 7 天总草量（原有 + 新生）：（份） 需要牛数：，牛数进 1 取整为 23 头（小升初奥数要求） 答：需要 头牛。 1. 解：枯萎型总每天消耗草量 = 牛吃草量 + 草枯萎量 总消耗：（份/天） 时间：（天） 答：17 头牛约 天能吃完所有草。 1. 解：设每头牛每天吃草 1 份，每天新生草 份，原有草 份。 ① ② ① - ②：（份/天），（份） 11 天总草量（原有 + 新生）：（份） 需要牛数：，牛数进 1 取整为 14 头 答：需要 头牛。 1. 解：设每头牛每天吃草 1 份，每天枯萎 份，原有草 份。 ① ② ① - ②：（份/天，草实际匀速生长，每天新生 2 份），（份） 14 头牛中，2 头吃新生草，12 头吃原有草，时间：（天） 答：14 头牛约 天能吃完所有草。 培优题答案解析 1. 解：统一 1 公顷标准，设每公顷每天新生 份，原有 份。 甲牧场（5 公顷）： ① 乙牧场（7 公顷）： ② ② - ①：（份/公顷·天） 代入②得：（份/公顷，负数为题目数据设定问题，存在基础草量缺口） 合并后 12 公顷： 总原有草量： 份，总每天新生： 份 45 头牛每天吃 45 份，净消耗： 份/天 吃完时间（先补缺口再吃新生草）：（天） 答：因题目数据问题原有草量为负，补缺口后可供 45 头牛吃约 天。 1. 解：设每头牛每天吃草 1 份，每天新生 份，原有草 份。 ① ② ① - ②：（份/天），（份） 32 头牛吃 2 天：总吃草 份，2 天新生草 份 剩余草量： 份 减少 6 头牛后剩 26 头，每天净消耗原有草： 份 剩余时间：（天） 答：剩下的牛还能吃 天。 1. 解：统一 1 公顷标准，设每公顷每天新生 份，原有 份。 A 牧场（6 公顷）： ① B 牧场（9 公顷）： ② ① - ②：（份/公顷·天） 代入②得：（份/公顷，题目数据设定问题） 合并后 15 公顷： 总每天新生草量： 份 55 头牛每天吃 55 份，因 ，新生草量 > 吃草量，永远吃不完 答：合并后新生草量大于 55 头牛吃草量，草永远吃不完。 1. 解：设每头牛每天吃草 1 份，每天新生 份，原有草 份。 ① ② ① - ②：（份/天），（份） 33 头牛吃 3 天：总吃草 份，3 天新生草 份 剩余草量： 份 增加 5 头牛后剩 38 头，每天净消耗原有草： 份 剩余时间：（天） 答：剩下的牛还能吃约 天。 1. 解：设每头牛每天吃草 1 份，每天枯萎 份，原有草 份。 ① ② ① - ②：（份/天，草实际匀速生长，每天新生 3 份），（份） 15 头牛吃 3 天：总吃草 份，3 天新生草 份 剩余草量： 份 减少 3 头牛后剩 12 头，每天净消耗原有草： 份 剩余时间：（天） 答：剩下的牛还能吃约 天。 1. 解：统一 1 公顷标准，设每公顷每天新生 份，原有 份。 3 公顷牧场： ① 4 公顷牧场： ② ① - ②：（份/公顷·天） 代入②得：（份/公顷） 合并后 13 公顷： 总原有草量： 份 总每天新生草量： 份 50 头牛每天净消耗原有草： 份 吃完时间：（天） 答：可供 50 头牛吃 天（约 16.93 天，近似 17 天）。 1. 解：设每头牛每天吃草 1 份，每天新生 份，原有草 份。 ① ② ① - ②：（份/天），（份） 28 头牛吃 4 天：总吃草 份，4 天新生草 份 剩余草量： 份 减少 8 头牛后剩 20 头，每天净消耗原有草： 份 剩余时间：（天） 答：剩下的牛还能吃约 天。 2 学科网（北京）股份有限公司 $